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Aplicaciones de Integrales
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Apli Aplica caci cion ones es de la la integ integra rall trip triple le
La integral triple tiene una variedad de aplicaciones, en esta secci´on se utilizar´a para el c´alculo alculo de vo masas y centros de masa de s´olidos.
5.6.1
C´ alculo alculo de volumen volumen
Si en una integral triple, la funci´on on f de integraci´on on es uno, la integral triple proporciona el vol s´ olido. olido.
Determina inarr el volum volumen en de la regi´ regi´on on en el primer octante acotada por los planos coordena Ejemplo 1 Determ planos x + z = 1 y y + 2z 2z = 2. En la figura se muestra un dibujo del s´olido.
Soluci´ on on.
Primero probamos si la variable z puede utilizarse para la integral exterior, se traza una recta d (azul (azul en el siguiente siguiente dibujo). dibujo).
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La recta entra en la regi´on on en el plano x = 0 y sale por el plano x + z = 1, esta ecuaci´on on se pue escribir como x = 1 z . Entonces Entonces,, la variable variable de la integral integral exterior exterior es x con l´ımit ım ites es 0 x (1 Ahora se proyecta el s´olido olido sobre el plano yz . Esta proyec proyecci´ ci´ on corresponde a la del plano y + 2z on 2z En la figura se muestra la regi´on on plana.
−
≤ ≤
Esta regi´on on es vertical simple con l´ımites ımites 0
≤z≤
1
−
1 y 2
y0
≤ y ≤ 2.
La integral del volumen es 1− 12 y
2
1 −z
1− 12 y
2
volumen = dx dz dy dy = [x] 1 = (1 − z ) dz dy = z− z 1 1 1 1 2 2 0
0
0
1− 12 y
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
dy
3
1−z 0
dz dy Sign up to vote on this title 1− y 2 1 Not1useful 1 =Useful1 dy y 1 y + y2 2 2 4 0 0 1 2
−
−
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Se muestran las dos superficies, la curva de intersecci´on y la proyecci´on on del s´olido olido en el plano
En coordenadas rectangulares, el l´ımite inferior de z es la superficie z = x2 + 3y2 y el su superficie z = 8 x2 y 2 . Para Para obtener la proyecci´ proyecci´ on on en el plano xy , se obtiene la intersecci dos superficies, igualando las ecuaciones
− −
z = x2 + 3y 3y 2 = 8 2x2 + 4y 4y 2 = 8
− x2 − y2
x2 + 2y 2y 2 = 4
La ecuaci´on on corresponde a la de una elipse Sign up to vote on this title
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El volumen del s´olido olido es
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√162 π.
Calcular el volumen volumen del s´ olido olido acotado acotado por el cilindro cilindro r = 3 cos cos θ y el plano z = Ejemplo 3 Calcular cuya figura se muestra.
−y en el cuarto octan
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la ecuaci´ ecuaci´ on del cilindro como se muestra on r = 3 cos cos θ, elevando al cuadrado la ecuaci´on on y sustituyendo r 2 = x2 + y 2 x2 + y2 = 9 cos cos2 θ y2 = 9 cos cos2 θ
− x2, sustituyendo x = r cos θ y2 = 9 cos cos2 θ − r2 cos2 θ = (9 − r2 ) cos2 θ, sustituyen sustituyendo do la ecuaci´ ecuaci´on on del cilindro r sen 2 θ cos2 θ y2 = (9 − 9cos2 θ)cos θ = 9(1 − cos2 θ)cos2 θ = 9 sen y = 3 sen sen θ cos θ
La integral del volumen es 2π
3cos θ
−3sen θ cos θ
volumen = r dz drdθ = [rz] rz ] drdθ = (−3sen θ cos θ) drdθ 27 1 − 2 sen θ cos θ dθ = (−3sen θ cos θ ) r dθ = 2 27 27 27 3 2
π
0
2π
3 2
π
0
3cos θ
0
0
3 2
3 cos cos θ
2π
3 2
2π
−3sen θ cos θ
0
π
2π
2
π
3cos θ
3 2
0
3
π
2π
=
8
cos4 θ
=
3 2
π
8
(1
− 0) =
8
El comando para evaluar la integral triple en wxmaxima es
integrate(integrate(integ integrate(integrate(integrate(r,z,0,-3 rate(r,z,0,-3*sin(t)*cos(t *sin(t)*cos(t)),r,0,3*\cos )),r,0,3*\cos(t)),t, (t)),t,
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dando por supuesto supuesto el mismo resultado. resultado.
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El rayo desde el origen y que cruza por el s´olido, entra en esta regi´on on por la esfera esfera y sale por el cardioi por lo que los l´ımites en ρ son 1 ρ 1+cos φ. Los l´ımites del angulo a´ngulo φ, como se mencion´o al realiz la gr´afica afica es 0 φ π/2 π/ 2 y para el ´angulo angulo θ es 0 θ 2π . La integral del volumen es
≤ ≤
≤ ≤ 2π
π/2 π/ 2
1+cos φ
≤ ≤
2π
1+cos φ
π/2 π/2
1 volumen = ρ sen φdρdφdθ = ρ sen φ dφdθ 3 (1 + cos φ) sen φ 1 1 1 − 3 sen φ dφdθ = − 12 (1 + cos φ) + 3 cos φ = 3 Sign up to vote on this title 1 1 1 11 11 11 0
0
2π
0
0
1
π/2 π/ 2
0
2
0
1
2π
3
0
2π
=
2
− 12 (1 + 0)4 + 12 (1 + 1)4 + 0 − 3 (1)
0
2π
π/
4
dθ = Useful dθ =Not useful [θ ]20π = π 12 12 6 0
0
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Si ρ = ρ(x,y,z) x,y,z) es la funci´on on de densidad se define: masa
m=
ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
Primeros momentos respecto a los planos coordenados
M yz yz =
xρ( xρ(x,y,z) x,y,z) dV
M xz xz =
Q
yρ( yρ (x,y,z) x,y,z) dV
Q
M xy xy =
zρ( zρ (x,y,z) x,y,z) dV
Q
Centro de masa
x=
M yz yz m
y=
M xz xz m
z=
M xy xy m
Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados
I x =
2
2
(y + z )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
I y =
(x2 + z 2 )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
I z =
(x2 + y 2 )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
olido de densidad constante limitado en su parte inferior por la superficie z olido = 4y 2 , en Ejemplo 5 Un s´
title superior por el plano z = 4 y en los lados por los planosSign x =up to 1 yvote x =on 1.this determinar el centro Useful useful Not y los momentos de inercia con respecto a los tres ejes. Utilice un CAS para evaluar las integ
−
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Los l´ımites ımi tes en y se obtienen de la intersecci´on on de la superficie z = 4y2 y el plano z = 4, para d 2 4 = 4y , de donde y = 1. La regi´on on del s´olido olido es
±
Q:
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1,
y2
≤z≤4
Y aplicando las ecuaciones de masa y primeros momentos con una densidad constante ρ = k 1
m= M = M =
1
4
−1 −1 4y2 1
yz yz
1
xz xz
1
4
−1 −1 4y2 1
1
32 k 3
4
−1 −1 4y2 1
k dz dydx =
4
kx dz dy dx = 0 Sign up to vote on this title
Useful ky dz dydx = 0 128
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y utilizar utilizar estos valores valores para determinar determinar los mome momento ntoss de inercia inercia 1
I xx xx
1
4
= =
kx2 dz dy dx =
32 k 9
ky 2 dz dy dx =
32 k 15
−1 −1 4y2 1
I yy yy
1
4
−1 −1 4y2 1
1
4
512 k 7 −1 −1 4y 32 512 7904 I x = I yy k+ k= k 75 75..28 28k k yy + I zz zz = 15 7 105 32 512 4832 I y = I xx k+ k= k 76 76..70 70k k xx + I zz zz = 9 7 63 32 32 256 I z = I xx k+ k= k 5.69 69k k xx + I yy yy = 9 15 45
I zz zz =
kz 2 dz dy dx =
2
Ejemplo 6 Calcular Calcular la masa, el centro de masa y los momentos momentos de inercia de un s´olido en el primer octant
por los planos y = 0 y z = 0 y por las superficies z = 4 x2 y x = y 2 si la densidad es ρ(x,y, donde k es una constante. El solido se muestra en la figura.
−
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≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ √2. Y para el s´olido olido √ 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2
Y los l os l´ımites de la regi´on on plana (horizontal simple) son: y 2
Q = (x,y,z) x,y,z) y 2
| ≤ x ≤ 2,
La masa y los primeros momentos son: √
m= M = M =
2
4−x2
2
y2
0
√
2
yz yz
0
4−x2
2
y2
0
√
2
xz xz
√
2
M xy xy =
0
32 k 15
kxyx dz dx dy =
0
4−x2
2
y2
0
kxy dz dxdy =
0
4−x2
2
y2
8 k 3
256 (2) kxyy kxyy dz dx dx dy = k 231 kxyz dz dx dy =
0
256 k 105
Las coordenadas del centro de masa son x=
8 3k 32 15 k
√
5 = = 1. 1 .25 25,, 4
y=
256 (2) 231 k 32 15 k
Para los momentos de inercia
0.7347 7347,,
z=
256 105 k 32 15 k
=
8 7
1.143
Sign up to vote on this title √
2
I xx xx =
√
40 2 = 77
4−x2
2
y2
0
√
0
2
Useful 128 kxyx2 dz dx dx dy = k 35
Not useful
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