5.6
Apli Aplica caci cion ones es de la la integ integra rall trip triple le
La integral triple tiene una variedad de aplicaciones, en esta secci´on se utilizar´a para el c´alculo alculo de vol´ umenes, umenes, masas y centros de masa de s´olidos.
5.6.1
C´ alculo alculo de volumen volumen
Si en una integral triple, la funci´on on f de integraci´on on es uno, la integral triple proporciona el volumen del s´ olido. olido. Determina inarr el volum volumen en de la regi´ regi´on on en el primer octante acotada por los planos coordenados y los Ejemplo 1 Determ planos x + z = 1 y y + 2z 2z = 2. En la figura se muestra un dibujo del s´olido.
Soluci´ on on.
Primero probamos si la variable z puede utilizarse para la integral exterior, se traza una recta de prueba (azul (azul en el siguiente siguiente dibujo). dibujo).
La recta entra en la regi´on on por el plano z = 0 y sale por el plano y + 2z 2z = 2 o por el plano x + z = 1 seg´ un un la posici´on on de la recta de prueba al cruzar la regi´on, por lo tanto no se puede utilizar para la integral mas exterior (su l´ımite superior sup erior no siempre es el mismo). Se prueba para la variable x trazando la recta de prueba en la direcci´on on del eje x como se muestra en el siguiente dibujo.
La recta entra en la regi´on on en el plano x = 0 y sale por el plano x + z = 1, esta ecuaci´on on se puede escribir como x = 1 z . Entonces Entonces,, la variable variable de la integral integral exterior exterior es x con l´ımit ım ites es 0 x (1 z ). Ahora se proyecta el s´olido olido sobre el plano yz . Esta proyec proyecci´ ci´ on corresponde a la del plano y + 2z on 2z = 2. En la figura se muestra la regi´on on plana.
−
≤ ≤ −
Esta regi´on on es vertical simple con l´ımites ımites 0
≤z≤
1
−
1 y 2
y0
≤ y ≤ 2.
La integral del volumen es 1− 12 y
2
1 −z
1− 12 y
2
volumen = dx dz dy dy = [x] 1 = (1 − z ) dz dy = z− z 1 1 1 1 2 2 0
0
0
0
2
0
2
0
1− 12 y 0
dz dy 2
dy =
1
0
−
1 y 2
−
1 2
1
−
1 y + y2 4
dy
2
2
=
0
1− 12 y
2
0
0
1−z 0
2
− 8y
2
dy =
2
y
− 24 y
3
=
0
3
El volumen es 2/3 unidades c´ ubicas. ubicas. Tambi´ Tambi´en en son posibles posib les otros ´ordenes ordenes de integraci´on, on, se deja como ejercicio probar el orden dx dz dy dy. Determinar el volumen volumen del s´olido olido encerrado por las superficies z = x2 + 3y 3y 2 y z = 8 Ejemplo 2 Determinar Soluci´ on on.
Se hace un bosquejo de las dos superficies
− x2 − y2.
Se muestran las dos superficies, la curva de intersecci´on y la proyecci´on on del s´olido olido en el plano xy . En coordenadas rectangulares, el l´ımite inferior de z es la superficie z = x2 + 3y2 y el superior la superficie z = 8 x2 y 2 . Para Para obtener la proyecci´ proyecci´ on on en el plano xy , se obtiene la intersecci´on on de las dos superficies, igualando las ecuaciones
− −
z = x2 + 3y 3y 2 = 8 2x2 + 4y 4y 2 = 8
− x2 − y2
x2 + 2y 2y 2 = 4
La ecuaci´on on corresponde a la de una elipse
En coordenadas rectangulares, se puede considerar como una regi´on on vertical simple con l´ımite inferior 2 2 4 x 4 x y= y como l´ımite superior super ior y = , los l´ımites ımi tes en x son -2 y 2. 2 2 La integral del volumen
−
−
−
volumen =
Q
q 2
dz dy dx =
−2 −
4−x2 2
q
4−x2 2
8−x2 −y 2
dz dy dx
x2 +3y +3y 2
La soluci´ on de esta integral requiere de algo de desarrollo matem´atico, a continuaci´on on on se muestra la soluci´ on on obtenida con wxmaxima .
El volumen del s´olido olido es
√162 π.
Calcular el volumen volumen del s´ olido olido acotado acotado por el cilindro cilindro r = 3 cos cos θ y el plano z = Ejemplo 3 Calcular cuya figura se muestra.
−y en el cuarto octante
Soluci´ on on.
Los l´ımites ımi tes en z son 0 y el plano z = y , como se muestra en la figura. La proyecci´on del s´olido olido sobre el plano xy es la regi´on on limitada por el eje x y la curva r = 3cos θ, con un ´angulo angulo θ entre 3π/ 3π/22 y θ = 2π. El valor de y (necesario para el l´ımite superior de z ) como una funci´on on de r y θ se obtiene de
−
la ecuaci´ ecuaci´ on del cilindro como se muestra on r = 3 cos cos θ, elevando al cuadrado la ecuaci´on on y sustituyendo r 2 = x2 + y 2 x2 + y2 = 9 cos cos2 θ y2 = 9 cos cos2 θ
− x2, sustituyendo x = r cos θ y2 = 9 cos cos2 θ − r2 cos2 θ = (9 − r2 ) cos2 θ, sustituyen sustituyendo do la ecuaci´ ecuaci´on on del cilindro r = 3 cos cos θ sen 2 θ cos2 θ y2 = (9 − 9cos2 θ)cos θ = 9(1 − cos2 θ)cos2 θ = 9 sen y = 3 sen sen θ cos θ
La integral del volumen es 2π
3cos θ
−3sen θ cos θ
volumen = r dz drdθ = [rz] rz ] drdθ = (−3sen θ cos θ) drdθ 27 1 − 2 sen θ cos θ dθ = (−3sen θ cos θ ) r dθ = 2 27 27 27 3 2
π
0
2π
3 2
π
0
3cos θ
0
0
3 2
3 cos cos θ
2π
3 2
2π
−3sen θ cos θ 2
π
0
π
2π
3 2
0
3cos θ
3
π
2π
=
8
cos4 θ
=
3 2
π
8
(1
− 0) =
8
El comando para evaluar la integral triple en wxmaxima es
integrate(integrate(integ integrate(integrate(integrate(r,z,0,-3 rate(r,z,0,-3*sin(t)*cos(t *sin(t)*cos(t)),r,0,3*\cos )),r,0,3*\cos(t)),t,3*%pi/ (t)),t,3*%pi/2,2*%pi); 2,2*%pi);
dando, dando, por supuesto supuesto el mismo resultado. resultado.
Ejemplo 4 Calcular Calcular el volumen volumen del s´ olido acotado en su parte inferior por el hemisferio ρ = 1, para z olido
parte superior por el cardioide ρ = 1 + cos φ.
≥ 0, y en su
Soluci´ on on.
En la figura se muestran las dos superficies para 0 muestra en forma s´olida olida y el cardioide en malla.
≤ φ ≤ π/2, π/2, que corresponde a z ≥ 0. La esfera esfera se
El rayo desde el origen y que cruza por el s´olido, entra en esta regi´on on por la esfera esfera y sale por el cardioide, cardioide, por lo que los l´ımites en ρ son 1 ρ 1+cos φ. Los l´ımites del angulo a´ngulo φ, como se mencion´o al realizar la gr´afica afica es 0 φ π/2 π/ 2 y para el ´angulo angulo θ es 0 θ 2π . La integral del volumen es
≤ ≤
≤ ≤ 2π
π/2 π/ 2
1+cos φ
≤ ≤
2π
1+cos φ
π/2 π/2
1 volumen = ρ sen φdρdφdθ = ρ sen φ dφdθ 3 (1 + cos φ) sen φ 1 1 1 − 3 sen φ dφdθ = − 12 (1 + cos φ) + 3 cos φ = 3 11 11 1 1 1 11 0
0
2π
0
0
1
π/2 π/ 2
0
2
0
1
2π
3
0
2π
=
2
− 12 (1 + 0)4 + 12 (1 + 1)4 + 0 − 3 (1)
0
2π
dθ =
0
π/2 π/2
4
12
dθ =
12
[θ ]20π =
6
dθ 0
π
El volumen del s´olido olido es 11π/ 11π/6 6 unidades c´ubicas. ubicas.
5.6. 5.6.2 2
Masa Masa y cen centr tros os de de masa masa
Al igual que para las placas delgadas, si f ( f (x,y,z) x,y,z) es la funci´on on de densidad como ρ(x,y,z) x,y,z) y se integra sobre la regi´on on del s´olido, olido, se obtiene la masa del s´olido. olido. Tambi´ en en se definen los momentos momentos y centro de masa como se se˜ nala nala
Si ρ = ρ(x,y,z) x,y,z) es la funci´on on de densidad se define: masa
m=
ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
Primeros momentos respecto a los planos coordenados
M yz yz =
xρ( xρ(x,y,z) x,y,z) dV
M xz xz =
Q
yρ( yρ (x,y,z) x,y,z) dV
Q
M xy xy =
zρ( zρ (x,y,z) x,y,z) dV
Q
Centro de masa
x=
M yz yz m
y=
M xz xz m
z=
M xy xy m
Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados
I x =
2
2
(y + z )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
I y =
(x2 + z 2 )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
I z =
(x2 + y 2 )ρ(x,y,z) x,y,z) dV
Q
olido de densidad constante limitado en su parte inferior por la superficie z = 4y 2 , en la parte olido Ejemplo 5 Un s´ superior por el plano z = 4 y en los lados por los planos x = 1 y x = 1. determinar el centro de masa y los momentos de inercia con respecto a los tres ejes. Utilice un CAS para evaluar las integrales
−
Soluci´ on on.
Primero se define la regi´on on s´olida olida Q . De la descripci´on, on, los l´ımites de z son 4y 4y 2 z 4 y los de x 1 x 1. La proyecci´on on del s´olido olido en el plano xy es un cuadrado como se muestra en la figura.
− ≤ ≤
≤ ≤
Los l´ımites ımi tes en y se obtienen de la intersecci´on on de la superficie z = 4y2 y el plano z = 4, para dar 2 4 = 4y , de donde y = 1. La regi´on on del s´olido olido es
±
Q:
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1,
y2
≤z≤4
Y aplicando las ecuaciones de masa y primeros momentos con una densidad constante ρ = k 1
m= M = M =
1
4
k dz dydx =
−1 −1 4y2 1
yz yz
1
32 k 3
4
kx dz dy dx = 0
−1 −1 4y2 1
xz xz
1
4
ky dz dydx = 0
−1 −1 4y2 1
M xy xy =
1
4
kz dz dy dx =
−1 −1 4y2
128 k 5
Puesto que la densidad es constante, y el s´olido olido es sim´etrico etrico en x y en y respecto respecto al origen, origen, las coordenadas x y y del centro de masa son cero. x = 0, 0,
y = 0, 0,
z=
128 5 k 32 3 k
=
12 = 2.4 5
Para los momentos de inercia se pueden calcular I xx xx =
Q
2
x ρ(x,y,z) x,y,z) dV ,
Iyy =
Q
2
y ρ(x,y,z) x,y,z) dV ,
Izz =
Q
z 2 ρ(x,y,z) x,y,z ) dV
y utilizar utilizar estos valores valores para determinar determinar los mome momento ntoss de inercia inercia 1
I xx xx
1
4
= =
kx2 dz dy dx =
32 k 9
ky 2 dz dy dx =
32 k 15
−1 −1 4y2 1
I yy yy
1
4
−1 −1 4y2 1
1
4
512 k 7 −1 −1 4y 32 512 7904 I x = I yy k+ k= k 75 75..28 28k k yy + I zz zz = 15 7 105 32 512 4832 I y = I xx k+ k= k 76 76..70 70k k xx + I zz zz = 9 7 63 32 32 256 I z = I xx k+ k= k 5.69 69k k xx + I yy yy = 9 15 45
I zz zz =
kz 2 dz dy dx =
2
Ejemplo 6 Calcular Calcular la masa, el centro de masa y los momentos momentos de inercia de un s´olido en el primer octante acotado
por los planos y = 0 y z = 0 y por las superficies z = 4 x2 y x = y 2 si la densidad es ρ(x,y,z) x,y,z ) = kxy, kxy , donde k es una constante. El solido se muestra en la figura.
−
Soluci´ on on.
De la figura del s´olido olido se observa observa que el l´ımite en z es 0 z 4 x2 . La proye proyecci cci´´on on del s´olido olido en el plano xy corresponde a la regi´on on plana limitada por las intersecci´ones ones de las superficies x = y2 y z = 4 x2 con el plano xy en el primer octante. Estas intersecciones corresponden a la par´abola x = y 2 y la recta x = 2 como se muestra.
≤ ≤ −
−
≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ √2. Y para el s´olido olido √ 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2
Y los l os l´ımites de la regi´on on plana (horizontal simple) son: y 2
Q = (x,y,z) x,y,z) y 2
| ≤ x ≤ 2,
La masa y los primeros momentos son: √
m= M = M =
2
4−x2
2
y2
0
√
2
yz yz
0
4−x2
2
y2
0
√
2
xz xz
√
2
M xy xy =
0
32 k 15 8 k 3
kxyx dz dx dy =
0
4−x2
2
y2
0
kxy dz dxdy =
0
4−x2
2
y2
256 (2) kxyy kxyy dz dx dx dy = k 231 256 k 105
kxyz dz dx dy =
0
Las coordenadas del centro de masa son x=
8 3k 32 15 k
√
5 = = 1. 1 .25 25,, 4
y=
256 (2) 231 k 32 15 k
√
2
√
40 2 = 77
0.7347 7347,,
z=
256 105 k 32 15 k
Para los momentos de inercia 2
I xx xx
y2
0
√
2
I yy yy
4−x2
= = √
2
4−x2
y2
kxyy2 dz dx dx dy =
4 k 3
kxyz2 dz dx dx dy =
4096 k 945
0
4−x2
2
I zz zz =
0
128 k 35
0
2
y2
0
kxyx2 dz dx dx dy =
0
4 4096 5356 I x = I yy k= k 5.668 668k k yy + I zz zz = k + 3 945 945 128 4096 7552 I y = I xx k+ k= k 7.992 992k k xx + I zz zz = 35 945 945 128 4 524 I z = I xx k+ k= k 4.990 990k k xx + I yy yy = 35 3 105
=
8 7
1.143
