EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE CÁLCULO INTEGRAL EJERCICIO 2:
EJERCICIO 14.
EJERCICIO 18
EJERCICIO 22:
EJERCICIO 28: Modelo 1. Ejercicio 2 de la Opción B de Sobrantes de 2010
[2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = x 2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas. Solución
Sabemos que la recta y = -x es la bisectriz del II y IV cuadrante. La parábola y = x 2 + ax tiene las ramas hacia arriba, corta al eje OX en x = 0 y x = -a (soluciones de x2 +ax = 0). Un esbozo de la gráfica sería
Área = 36 = ∫b0(recta – parábola)dx
"b" es la solución de recta = parábola, x 2 + ax = -x, de donde x 2 + x(a+1) = x(x + (a+1)) = 0, de donde las soluciones son x O 0 yy x = -a – 1, es decir 36 = ∫b0(recta – parábola)dx = ∫ -a-10(–x – x 2 – ax)dx = [-x2/2 –x3/3 –ax2/2]-a-1 0 = = (0) – [ - (-a-1) 2/2 – (-a-1)3/3 – a(-a-1)2 ] = (a3 + 3a2 + 3a + 1)/6 = 36, de donde a 3 + 3a2 + 3a – 215 = 0 Utilizando Ruffini, tenemos (probamos con el 5) 1 5 1
3
3
-215
5
40
215
8
43
0
Vemos que la raíz es 5, es decir " a = 5". Si intentamos resolver la ecuación x 2 +8x+43 = 0, vemos que no tiene mas soluciones reales. EJERCICIO 34: Modelo 3. Ejercicio 2 de la Opción A de Sobrantes de 2010
[2’5 puntos] Dada la función f definida por f(x) = 3/(x2 -5x+4) para x ¹ 1y x ¹ 4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas x =2, x = 3. Solución 2
De f(x) = 3/(x -5x+4) para x ¹ 1y x ¹ 4, estamos viendo que x = 1 y x = 4, 4 , son asíntotas verticales de f(x). (Si se calcula el límite cuando x tiende a 1 ó a 4 nos sale infinito). La gráfica entre las asíntotas se parece a la de una parábola con las ramas hacia abajo (gráfica de la función 1/g(x) a partir de la gráfica de g(x) en el caso de q ue g(x) sea una parábola), a izquierda y derecha de las asíntotas verticales x = 1 y x = 4, sabiendo que también tiene como asíntota horizontal y = 0, la gráfica se parece a trozos de hipérbola (me acerco a las asíntotas). Aunque no es necesario pongo un esbozo de la gráfica de "x 2 – 5x + 4" (en rojo) y de "3/( x2 – 5x + 4 )" (en azul)
Como en principio no sé la gráfica pongo valores absolutos ( | | ) Área = | (∫23 [ 3/(x2 -5x+4) ].dx | = | (∫ 23 [ 3/( (x -1)(x - 4) ) ].dx | = ** La descomposición en suma de fracciones simples es 3/( (x -1)(x - 4) ) = A/(x-1) + B/(x-4) = = [ ( A(x-4) + B(x-1) ) ] / ((x -1)(x - 4) ). Igualando numeradores tenemos 3 = A(x-4) + B(x1) Tomando x = 1, nos sale 3 = A(-3), de donde A = -1 Tomando x = 4, nos sale 3 = B(3), de donde B = 1
Seguimos ya con la integral ** = | (∫ 23 [ A/(x -1) + B/(x - 4) ) ].dx | = | (∫ 23 [ -1/(x -1) + 1/(x - 4) ) ].dx | = = | [ -ln|x-1| + ln|x-4| ] 23 | = | ( (-ln(2) + ln(1) ) – ( -ln(1) + ln(2) ) ) | = | -2ln(2) | = 2.ln(2) u.a. EJERCICIO 72:
EJERCICIO 90: Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 5 de 2008
[2’5 puntos] Sean f : R ® R y g : R ® R las funciones dadas por f(x) = x2 y g(x) = a (con a> 0) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a. Solución
Como a > 0, la gráfica de g(x) = a es un recta paralela al eje OX y por encima de él. La gráfica de f(x) es una parábola con vértice en (0,0) y ramas hacia arriba. Un esbozo es
Como el área encerrada por el recinto es 4/3, y sabemos que la recta y = a es mayor que cero, tenemos que f(x) = g(x)
, siendo a y b las soluciones de
De f(x) = g(x) tenemos x 2 = a, de donde
Resolviendo la ecuación de donde a = 1 EJERCICIO 118:
, tenemos
, es decir a 3 = 1,
Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 6 de 2007
[2’5 puntos] Calcula β > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : R → R y g : R → R definidas por f(x) = x 2 y g(x) = −x 2 + 2β2 sea 72 (unidades de área). Solución 2
La gráfica de f(x) = x es una parábola que tiene su vértice en (0,0) y las ramas hacia arriba Como b > 0, la gráfica de g(x) = −x 2 + 2β2 es igual que la de – x 2 (como la de x2 pero simétrica respecto el ej OX) pero desplazada hacia arriba 2β 2 en OY Aunque no lo piden las gráfica conjuntas son:
Área = 72 u2 = "a" y "b" son las soluciones de f(x) = g(x), es decir x 2 = - x2 + 2.β 2. Operando x2 = β 2, de donde x = ± β
72 = = ( (-2/3)β3 + 2β3 ) - ( (2/3)β3 - 2β3 ) = (8/3) β3 De (8/3)β3= 72, resulta β 3 = 27 y calculando la raíz cúbica obtenemos β = 3. EJERCICIO 132: °
Ejercicio n 2 de la opción B de junio de 2006
[2.5 puntos] El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones
e
, con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a. Solución
La visualización de los gráficos de estas funciones para el caso a = 1 y a = 2 respectivamente nos permite hacernos una idea del recinto que estas curvas encierran:
Cálculo del punto de corte de ambas gráficas:
El área del recinto limitado por las dos curvas:
EJERCICIO 141: Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 5 de 2006
[2’5 puntos] Sean las funciones f y g : [0, +∞) → R , dadas por f (x) = x 2 y donde λ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es 1/3.
,
Solución
Las gráficas de f (x) = x 2 y Un esbozo de sus gráficas es
son sencillas pues ambas son parábolas y λ > 0.
Veamos antes los puntos de corte, es decir las soluciones de cuadrado tenemos x 4 = λ2(x).
, elevando al
x4 - λ2(x) = x(x3 - λ2). De donde x = 0 y
El área es 1/3, de donde λ2 = 1 y obtenemos λ = +1 y λ = - 1. Como λ > 0, λ = +1. EJERCICIO 175:
(λ2)/3 =
°
Ejercicio n 2 de la opción A de septiembre de 2004
[2'5 puntos] Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada
Solución
De la figura, se observa, que el punto donde se corta la recta paralela al eje de abscisas, y la función y = Ln(x) es Ln(3), por tanto la recta paralela al eje de abscisas es y = Ln(3) El área pedida es Área = Ln(3) dx Ln(x) dx = = = [3.Ln(3) - 0 ] - [(3Ln(3) - 3) - (1Ln(1) - 1 )] = 3Ln(3) - 3Ln(3) +3 - 1 = 2 unidades de área (u.a.) Ln(x) dx es una integral por partes Ln(x) dx = Ln(x).x u = Ln(x); du = (1/x) dx
x.(1/x) dx = Ln(x).x -
dx = Ln(x).x - x
dv = dx; v = dx = x EJERCICIO 177: °
Ejercicio n 2 de la opción B de septiembre de 2004
[2'5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y las curvas y = x 2 e y = x2/2 Solución Aunque no lo piden veamos las gráficas de las funciones 2x, x 2 y x2/2, que son las de un recta que pasa por el origen, la parábola x 2 y la parábola x2/2 (un poquito mas abierta que x2)
En rojo la recta 2x, en verde la parábola x 2 y en azul la parábola x 2/2 Veamos los puntos de corte de 2x con x 2 y de 2x con x 2/2 2x = x2; de donde 2x - x 2 = 0 = x(2 - x), y las soluciones son x =0 y x = 2 2x = x2/2 ; de donde 2x - x 2/2 = 0 = x(2 - x/2), y las soluciones son x =0 y x = 4. El área encerrada por las tres funciones es
Área = (x2 - x2/2) dx + (2x - x2/2) dx = 8/6) + [ (16 - 64/6) - ( 4 - 8/6)] = 4 u.a. EJERCICIO 193: °
+
Ejercicio n 2 de la opción B de junio de 2004 (Modelo 6)
= (8/3 -
[2'5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que e! área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = 6x es igual a 9/2. Solución 2
Las gráficas de y = x e y = bx con b > 0, son conocidas. La primera es una parábola que tiene de vértice el punto (0,0) y las ramas hacia arriba y la segunda es una recta que pasa por el origen (0,0)
Viendo la gráfica el área 9/2 = (recta – parábola)dx Los limites de integración se obtienen resolviendo la ecuación x 2 = bx, de donde x 2 – bx = 0, es decir x(x – b ) = 0, de donde obtenemos x = 0 y x = b
área = 9/2 = (bx – x2)dx = = b3/2 – b3/3 = b3/6 Igualando tenemos 9/2 = b 3/6, de donde b 3 = 27 = 3 3, luego b = 3. EJERCICIO 201: Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 2 de 2003
[2'5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0 ; 2] la gráfica de la parábola de ecuación y = x2/4. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.
Solución
A1 = (x2/4) dx = [x3/12]m1 = m3/12 - 1/12 A2 = área del rectángulo - área bajo curva = = (2 - m)(1) (x2/4) dx = [x3/12]2 m = (2 - m) - [8/12 - m 3/12] Igualando A1 = A2 , tenemos m3/12 - 1/12 = (2 - m) - [8/12 - m 3/12]. Operando tenemos m = 17/12 EJERCICIO 212: Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 5 de 2003
[2'5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 y la recta y = λ x es 1. Solución
La recta y = λx pasa por el origen de coordenadas, como λ > 0 está en el primer cuadrante. Las gráficas aproximadas son
Para calcular el área igualamos las funciones para ver los puntos de corte x 2 = λx, de donde x 2 - λx = x(x -λ) = 0, y las soluciones son x = 0 y x = λ . Área = 1 =
(λx - x2 ) dx = [λ x 2/2 - x3/3]λ 0 = λ 3/2 - λ 3/3 = λ 3/6.
Tenemos λ 3/6 = 1, de donde λ3 = 6 y la solución de λ es λ = EJERCICIO 242. Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 1 de 2001
Se quiere dividir la región encerrada entre la parábola y = x 2 y la recta y = 1 en
dos regiones de igual área mediante la recta y = a. Halla el valor de a Solución
Como se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x 2 (en rojo), y la recta y = 1 (en verde) en dos regiones de igual área mediante la recta y = a (ver figura)
Para determinar el área limitada por dos funciones hemos de igualarlas para calcular sus puntos de corte De y = x2 e y = 1, tenemos x 2 = 1 de donde x = ± 1 De y = x2 e y = a, tenemos x 2 = a de donde x = ± a Tenemos que igualar las áreas para determinar el valor de "a", es decir Área 1 = Área 2 Área 1 =
(1) dx -
(a) dx -
(x 2) dx -
(x2) dx =
-
-
= = 2 - 2aÖ (a) + ( 2aÖ (a))/3 - 2/3
Área 2 = (a - x2) dx = = 2a√(a) - ( 2a√(a))/3 Igualando las áreas tenemos 2 - 2a√(a)+ ( 2a√(a))/3 - 2/3 = 2a√(a) - ( 2a√(a))/3, y operando nos resulta
1/2 = a√(a), de donde a = recta y = 0'6299.....
≈ 0'6299..., luego hay que dividirlo por la
