INTEGRAL DE LÍNEA RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO 1. Calcul Calcular ar la longit longitud ud de arco arco de la cicl cicloid oide: e: x"t = a"t − sent y "t = a"1 − co! t
La cicloide e!t# de$inida %ara todo t & IR' " x"t + (π ' y "t + (π = " a"t + (π − sent ' a "1 − co! t = " x"t + (π a' y "t
)"t )"t e! una una $unc $unci* i*nn %eri %eri*d *dic icaa de %eri %eriod odoo (+' (+' ,ien ,ientra tra!! -ue -ue "t "t cu,% cu,%le le -ue -ue al incre,entar el %ar#,etro de (+ !e o/tiene el ,i!,o 0alor -ue en t %ero de!%laado (+a' %or e!te ,oti0o la cur0a tiene $or,a !i,ilar en $ran2a! 0erticale! de anc3ura (+a' /a!tando e!tudiar e!tudiar !u co,%orta,iento co,%orta,iento %ara 0alore! del del %ar#,etro t & 45' (+6. 416 Corte con O7: x"t = 5' a"t − sent = 5' t = sent ' t = 5 Punto"5'5
Corte con O8: y "t = 5' a"t − co! t = 5' co! t = 1' t = 5'(π Punto"5'5' "(π a'5
E!tudio de la! deri0ada!: x9 "t = a"t − co! t y 9 "t = asent
Cero de la! deri0ada!: x9 "t = 5' co! t = 1' t = 5'(π y 9 "t = 5' sent = 5' t = 5' π '(π
To,a,o To,a,o!! lo! cero! cero! de la! la! deri0ada! deri0ada! 5' + ' (+ (+ ) 0alore! 0alore! inter,edio! inter,edio! +(' ;+( %ara %ara $or,ar la !iguiente ta/la:
P.R. < Punto de retroce!o
Un arco de cicloide !e o/tiene %ara 0alore! del %ar#,etro t & 45' (+6: Longitud de arco (π
∫ x9 "t
(
+ y 9 "t ( dt =
5
(π
∫ 4a"1 − co! t 6
(
+ 4asent 6 ( dt =
5
(π
(a
∫ 5
( sen
t (
dt = (a4
− co! t : ( 1: (
6(
= =a
Nota: Una cicloide e! la cur0a de!crita %or un %unto P de una circun$erencia de radio a cuando rueda !in re!/alar !o/re el e2e O8.
α = " r co! t ' rsent "5 ≤ t ≤ (
(. >allar la longitud de la circun$erencia @uB ocurre !i
"5 ≤ t ≤ Cπ
' donde r ? 5.
4(6
Se tiene:
α "t
= "−rsent ' r co! t ' α "t =
r ( sen ( t + r ( co! ( t = r
"5 t (+ A!F -ue
(π
∫
α "t dt
= r ∫ dt = (π r ' 5
c
co,o ca/Fa e!%erar "5 ≤ t ≤ Cπ
Si do! 0ece!. ;. Sea
3u/iBra,o! o/tenido +r' %or-ue la circun$erencia !e recorrerFa
C
α : 45'(π 6 → R
la ;
3Blice
de
' α "t = "co! t ' sent ' t "5 ≤ t ≤ (π
. E0aluar la integral
∫ ϕ ds C
) !ea
%ara,etriaci*n ϕ " x' y ' z
. 4(6
Se tiene: α "t
= "− sent ' co! t ' t ' α "t =
sen ( t + co! ( t + 1 = ( '
( ( "5 ≤ t ≤ (π α "t = "− sent ' co! t ' t ' α "t = sen t + co! t + 1 =
Por tanto' (π
∫ ds = ( ∫ "1 + t dt = (
ϕ
C
E! el 0alor de la integral %erdida.
5
(π ( ;
"; + Cπ (
('
= x ( + y ( + z (
. >allar la! longitude! de arco de la! !iguiente! cur0a!: "a
x = ;t ' y = ;t ( ' z = (t ;
y
entre lo! %unto! "5' 5' 5 ) ";' ;' (.
− x a + x
= aarcsen" x : a' z = a ln a C
"/
entre lo! %unto! "5' 5' 5 ) "5' )5' 5. 4;6
Si la cur0a !e %ara,etria %or el 0ector de %o!ici*n longitud 0iene dada %or la $or,ula
()
r t ⃗
' con
"t 5
≤ t ≤ t 1
' la
t 1
= ∫ r 9 "t dt t 5
r ( t ) =(3 t , 3 t , 2 t ) 2
"a En e!te ca!o' r 9 "t
3
⃗
' de donde
r ' ( t ) =(3, 6 t , 6 t ) 2
⃗
= ;"1 + (t ( .
Teniendo en cuenta ade,#! -ue "5' 5' 5 < r ( 0 ) y ( 3,3,2 ) =r (1 ) re!ulta: ⃗
⃗
1
= ∫ ;"1 + (t ( dt = G 5
"/ Si lla,a,o! < t' la cur0a !e %ara,etria %or σ "t
= "t ' a H arcsen"t : a'
a C
ln
a − t '5 ≤ t ≤ x5 a + t
De a-uF o/tene,o!:
σ 9"t = 1' Por tanto'
a a(
+ t (
;a ( − (t ( − a ( ⇒ σ 9 "t = ( ( ' (" a ( + t ( (" a − t
)
x − (t ( a( dt = − = ∫ dt 1 ∫ ( ( ( ( − t (t − (a 5 (" a 5 1
;a (
= x 5 −
a(
5
x5
1
∫ t
dt = x 5
−a x − a a = x 5 − H ln 5 C x 5 + a (
(
(
5
. La ecuaci*n de la cur0a e! "1' 1. 46
y ( = x ;
Para,etria,o! la cur0a de la $or,a: lo! radicale!. A!F: α "t
= "t ( ' t ;
−
α 9 "t
x
a( (
x5
∫ t − a − t + a dt 1 : (a
1 : (a
5
. >alle la longitud de arco -ue une "1' 1 a
= t ( ' y = t ;
' "con e!ta %ara,etriaci*n e0ita,o!
= "J(t ';t (
∀t ∈ ℜ
1
K e! la cla!e C en R ) ade,#! la %ara,etriaci*n dada recorre la cur0a en el !entido -ue !e %ide %or-ue: α "−1
= "1'−1
'
α "5
= "5'5
α 9 "t
La Longitud del arco !er#:
'
α "1
= "1'1
= Ct ( + Lt C = t C + Lt (
1
s =
∫ α 9 "t dt = −1
1
=
∫ t
1
∫
−1
=
1 (N
5
∫
C + Lt dt = t C + Lt dt − t C + Lt ( dt = (
−1
5
" C + Lt ( ; ( −
(
1 (N
"C + Lt ( ; ( =
1 (N
"(M ; − 1M
416(s.f.). En Integrales de Línea (págs. 81-83). Ejercicio 2.4 [2] Merrero, I. (2012). En I. Merrero, Integral de Línea (pág. 5). Ejercicio 3.2 y 3.3 Esp!"#$%&''. [3](s.f.). En Integrales de Línea (págs. 3-4). Ejercicio 18. [4]nni*o. (s.f.). En Integral de Línea (págs. 1-2). Ejericio 2
