Análisis Combinatorio: Profesor: Daniel Quinto Pazce

Análisis Combinatorio Profesor: Daniel Quinto Pazce SEMESTRE ACADEMICO-3015-1

Matematica Discreta: Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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TEMARIO: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Introducción Principio del Producto Principio de la Suma Principio de Potencia Factorial Permutación Variación Combinación Aplicaciones 2

1.Introducción 



 



El análisis combinatorio es un sistema que permite permit e agrupar y ordenar, de diversas formas elementos de un conjunto. El problema general es contar cuantos grupos de m elementos se pueden formar a partir de un conjunto de n elementos. Hay que tener en cuenta los elementos que forman el grupo, y si importa o no el orden or den de los mismos. La segunda condición que hay que tener en cuenta es, si se repite o no se repite el mismo subconjunto dentro del grupo de n elementos. El conteo es una asociación entre un conjunto de números y un conjunto de objetos. Ni = [ Ai ]

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3

1.-

PRINCIPIO DEL PRODUCTO

Se dice que los Subconjuntos de A={A1, A2, A3 …, An } se lleva a cabo n actos y cada acto se realiza A1 ∩A2∩ A3 ∩…, ∩ An, formas diferentes, entonces el numero de formas de Subconjuntos A es: N(formas) = A1*A2* A3 *…* An ( incluyentes) Ejemplo 1 En la etapa final de un torneo de Brasil 2014, cuatro equipos : Argentina ( A ), Brasil ( B),Perú ( P ), Uruguay (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

4

PROBLEMA 

Solución: Acto: disputar el

1º 4

lugar y 4

x

2º lugar 3

3

n(maneras) = 12 

Ejemplo 2 De cuantas maneras podemos clasificar a una persona a la cual se hace una encuesta con relación a su sexo, estado civil y estatura.

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5

PROBLEMA 



Actos de encuesta: Sexo Estado Civil (M, F) (S, C, V, D) 2 4 n (maneras)=2*4*3 = 24

Estatura (B, M, A) 3

PROBLEMA 3

Un empleado tiene 5 corbatas diferentes, 8 camisas diferentes y 10 pantalones diferentes de cuantas maneras se puede vestir en forma diferente?.


6

PROBLEMA 

Acto de vestirse Corbatas Camisas 5 8 n (maneras)=5*8*10 = 400

Pantalones 10


7

Ejercicios 1. ¿ De cuantas maneras diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?  2. Con las cifras 3 y 7. ¿ Cuantos números de 2 cifras se pueden formar?. 


8

2.PRINCIPIO DE LA SUMA Se dice que los Subconjuntos de A, A={A1, A2, A3 …, An } se lleva a cabo n actos y cada acto se realiza A1 U A2 U A3 U …, U An formas diferentes, entonces el numero de formas diferentes de A es: N(formas) = A1+A2+ A3 +…+ An (excluyentes)


9

PROBLEMAS 

EJEMPLO 1 Un ingeniero puede elegir un proyecto de trabajo entre 3 listas diferentes si cada uno de las listas contiene respectivamente 5, 7,9 proyectos de trabajo ¿Cuantos posibles proyectos tiene el ingeniero a elegir? Acto: Proyecto de trabajo Lista 1 Lista 2 Lista 3 5 7 9 n (proyectos)=5+7+9=21


10

PROBLEMAS 

EJEMPLO2 Un postulante debe decidir por una de las tres carreras profesionales que ofrece una universidad: - Medicina (4 especialidades) - Educación (3 especialidades) - Derecho (4 especialidades) ¿De cuantas maneras se pueden elegir una especialidad? Acto: Elección de una especialidad Medicina Derecho Educación 4 4 3 n (maneras)=4+4+3=11 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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4.Principio de Potencia 

Se dice que en los subconjuntos de A= {A1, A2,.. An} se lleva acabo en n actos iguales (con repetición) y

cada acto se realiza de

A A …A

formas diferentes

de A (Si importa el orden). El numero de formas se cumple: n(formas)= A . A…………….. A=

n

A

n


12

EJEMPLO 

b7 2

Cuantas cadenas de 8 bits comienzan con 101

b6 2

b5 2

n(cadenas)= 

b4 2

b3 2

b2 1

b1 0

b0 1

=32

Sea A el conjunto de palabras de 4 letras si llamamos A al alfabeto entonces hallar el cardinal de A: |A|


13

SOLUCION Sabemos que las letras del Alfabeto : A= {A1, A2, A3, A4} A A A A 26 26 26 26

A=26

4 |A| =


14

5.Factorial (PERMUTACION) 

Se dice que en los subconjuntos de “A” definidos A={A1,A2,A3,……An} , que se lleva a cabo en n actos diferentes, (sin repetición) y cada acto se realiza

1x 2x 3 x……….x n formas diferentes de A, (si importa el orden) se cumple:

n(formas)= n! , p(n) = n! N! = 1 *2 *3 *4*...*N N! = N*(N-1)! 0! = 1! = 1


15

EJEMPLO 

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra software. S O F T W A R E 1 2 3 4 5 6 7 8

n (formas)=1x2x3x………….x8 =8!=40320 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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EJEMPLO 

De cuantas formas diferentes se pueden hacer sentar a cuatro personas uno al lado del otro en fila. P4

P3

P2

P1

n(formas)=4*3*2*1 =4!=24 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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EJEMPLO 

Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D. P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Representacion:


18

EJERCICIO 

Cuántas permutaciones se pueden formar con los números 0, 1, 3, 5, 6, 9 si el número 3 esta después de la segunda posición y el número 6 debe ir en cualquier lugar que este posterior al lugar del número 3.


19

NOTA 

 



Se denominan permutaciones de N elementos, los diferentes grupos que se pueden formar, tomándolos todos cada vez. Las permutaciones implican orden. Cada conjunto ordenado de N elementos se denominará una permutación de los N elementos diferentes. La formula es P(N) = N!, donde P(N) corresponde al número de permutaciones posibles Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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6.Permutación Circular 

Se dice que los subconjuntos de A,

A= {A1, A2,…………, An} se lleva acabo en n actos ≠s (sin repetición) y cada acto se realiza

A1xA2x…………xAn x A-1, formas ≠s de A (no importa el orden). Se cumple n(formas)=P(θ, n) =(n-1)! , Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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EJEMPLO DE PERMUTACION C. ¿ De cuántas maneras se pueden hacer sentar a 4 personas, alrededor de una mesa circular; y exprese el hecho gráficamente.

Sea: H1, M1, H2,

M2

n(maneras) = P(θ , 4 )=(4-1)! = 3! = 6


22

Expresando Gráficamente: H1 M1

H1 H2

M1

H1 M2

H2

M2

M2

H2

M1

H1

H2

H1

H2

M1 M2

M1

H2 H1


H1

M2 M1

23

6.Permutación 



Ejemplo1 : ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos? Solución : Se trata de una permutación circular


24

EJEMPLO b) ¿De cuantas maneras se puede sentar 3 parejas casadas alrededor de una mesa circular si no debe haber 2 mujeres juntas ni 2 hombres juntos? Justifique gráficamente este hecho. Sea H1, H2, H3, M1, M2, M3 n(maneras) = P(θ , 4 )*2!

=(4-1)!*2! = 3!*2! = 12 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Expresando Gráficamente: H1

H1

H1

H1

M1

M2

M1

M3

M1

M2

M1

M2

H2

H3

H2

H3

H3

H2

H3

H2

M3

M2

M1

H1

H1

H1

M3 H1

M2

M1

M2

M3

M2

M1

M3

M1

H2

H3

H2

H3

H3

H2

H3

H2

M2

M1

M3

M2

H1

H1

H1

H1

M3

M2

M1

M2

M3

M1

M3

M2

H2

H3

H2

H3

H3

H2

H3

H2

M1

M3

M2


M1 26

EJEMPLO 

Hallar el numero de maneras de 5 personas alrededor de una mesa circular, si dos de ellas insisten en sentarse uno al lado del otro. n(maneras)=p((4, θ)x2! =3!x2! =12


27

7.Variacion 

Se dice que en los subconjuntos de

A={A1,A2,A3,……An}.Se lleva acabo “n” actos en el orden de k en k (sin repetición) y cada acto se realiza A1,A2,….,An-k+1 formas diferentes de A (Si importa el Orden) Se Cumple:

n(formas) = v(n, k)


28

FORMULA

n! (n

V(n, k) =

k )!

,0

k

n (n-1)(n-2)….(n-k+1)

V(3, 2) =

3! (3

2)!

n k factor

6

3 (2) = 6


29

Ejemplo 

Determine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (K= 2), muestre gráficamente el hecho. 4 2

V

4!

4 x3 x 2 x1

4 2 !

2 x1

12


30

Se muestra gráficamente


31

Ejemplo Ejercicio: A= {a, b, c} 

V (3, 2)=?

3!

V(3,2) =

(3

2)!

=6

3x2=6

Ejercicio: Elabore un algoritmo que Calcule V(3, 2) y que grafique su diagrama de arbol. Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

32

Variacion con Repeticion 

Se dice que en los subconjuntos de A,

A= {A1, A2,……, An} se lleva a cabo

de n actos en el orden K (con repetición) y cada acto se realiza

K1, K2,……, Kn, formas diferentes de A (si importa el orden).


33

Variacion con repeticion

n!



N(formas= K1!*K2!*K3!*...*Kn


34

Ejemplo 

Determinar las palabras de 9 letras que se pueden construir como resultado de ordenar las letras de las palabras cocodrilo. “COCODRILO”

C:2 O:3

D: 1 R:1 I :1 L :1

9! n (formas) = 2!*3!*1!* 1!* 1!* 1!

∑Ki =9=n

9! 2!*3!


35

Ejemplo 

Determine el Nº de trayectorias lineales que pueden ser alcanzados, en forma horizontal o vertical y siempre ascendentemente desde el punto A(2,1) hasta B(7,4)


36

V: 3 H: 5

N(maneras)=

8! 3!*5!

Z: 8 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Ejemplo R: 3 V: 2 A: 3 R

V

A

8 N(maneras) =

R

R

V

A

8! 3!*2!*3!

A


38

8.Combinación 

Se dice que en los subconjuntos de A A={A1,A2,A3,……An}.Se lleva acabo “n” actos en

el orden de k en k (sin repetición) y cada acto se realiza A1,A2,….,An-k+1 formas diferentes de A (No importa el Orden) 

El número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con 0< k < n ,está dada por:


39

fórmula


40

fórmula n! n k

n C k

k ! n k ! n(n 1)...(n k 1)

k factores

k !


41

EJEMPLO    

Ejemplo 1: Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución : Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.


42

PROPIEDADES

n

n

0

n

N K

1 N K

N

1

K

1

forma recursiva


43

Ejercicio 





¿De cuántas maneras se pueden dar tres cartas de una baraja de 52 que consta de cuatro grupos (figuras) de 13 cartas diferentes? El orden no hace diferencia. Un anfitrión realiza una fiesta para los miembros del comité de caridad al que pertenece. Debido a que su casa es muy pequeña solo puede invitar a 11 de los 20 miembros del comité. ¿De cuantas maneras puede elegir a los 11 invitados?

Lina y Paty han comprado un billete de “loteria”. Para ganar el premio mayor deben acertar a cinco números del 1 al 49, y además a un número del 1 al 42. ¿De cuántas formas pueden seleccionar los seis números de su billete? Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Ejercicio En la preparatoria, el maestro de deportes debe seleccionar a nueve niñas de primer y segundo año para formar el equipo representativo de volleyball. Si hay 28 niñas en primer año y 25 en segundo ¿Cuántos equipos diferente puede armar? Ahora, si dos niñas de primero y una de segundo son muy buenas jugadoras y deben estar en el equipo. ¿De cuántas maneras puede elegir al resto del equipo? Finalmente, para cierto torneo las reglas dictan Que el equipo debe consistir de cuatro niñas de primer año y cinco de segundo ¿Cuántas combinaciones son posibles? Ahora el maestro de deportes debe formar cuatro equipos con nueve niñas cada uno de 36 estudiantes. ¿De cuantas maneras puede seleccionar y armar los equipos? 


45

Combinacion con repeticion 

Se dice que en los subconjuntos de A,

A= {A1, A2, A3… An} se lleva a cabo en n actos en el orden k con repetición y cada acto se realiza de

formas ≠s de A (no importa el orden). Se cumple:


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FORMULA

n( formas)


n k 1 n

47

Ejemplo 

Cuantas soluciones en los enteros n negativos tiene la ecuación: X1+X2+X3+X4=29 N=29 K=4 29 4 1 32 32 n (soluciones)= 29 29 3 = 4960 Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Ejercicio La presidente Humala tiene cuatro vicepresidentes: Betty, Goldie, Mary y Mona. Ella desea distribuir S/.10000, en billetes de S/. 1000, como bono navideño entre ellas. Considerando que uno o más vicepresidentes pueden no recibir nada, ¿de cuántas formas puede dar los billetes? Ahora, si cada vicepresidente recibe al menos S/. 1000, ¿de cuántas maneras puede dar los bonos? Y si cada vicepresidente recibe al menos S/. 1000, y Mona al menos S/. 5000, ¿de cuántas maneras puede distribuir el dinero restante?


49

Teorema Binomial

( x y) n

n

n 0 n x y 0

n 1 n1 n 2 n 2 xy x y ... 1 2

n n11 n 0 x y x y n 1 n

n n k n k k 0


k

x y

50

Teorema Binomial x

3y

4

x

4

3

12 x y 3

108xy

2 2

54 x y

81 y

4

Un Termino Cualquiera

Tk 1

1

k n

k

x

n k k


y

51

Teorema Binomial Hallar el tercer termino de K+1=3, n=4

T3 ( 1) 2

2 4

x

2

4 2

(3 y )

2

x 3 y

4

2

2

=(6x )(9 y ) 54 x y Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Ejercicio 

7 . ¿Cuál es el coeficiente de x 5 y 2 ? En la expansión (x + y)



7 En la expansión (2u – 3v) . ¿Cuál es el coeficiente de 5 2 u v ?


53

BIBLIOGRAFIA Libro de texto Rosen, K. H. Matemáticas discretas y sus aplicaciones, 5a Edición, McGrawHill, 2004. Grimaldi, R. P, Discrete and Combinational Mathematics: An Applied Introduction, 5a Edición, Pearson Addison Wesley, Libros de consulta Johnsonbaugh, R, Matemáticas Discretas, 4a Edición, Prentice Hall, 1999. Grossman, Peter. Discrete mathematics for computing. 2a edición. New York : Palgrave Macmillan, 2002. Haggarty, Rod. Discrete mathematics for computing. Harlow, England ; New York : Addison-Wesley, 2002 . Anderson, James Andrew. Discrete mathematics with combinatorics . Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001. Scheinerman, Edward R. Matemáticas discretas. México : Thomson Learning, 2001. Kolman, B., Busby, R. C. y Ross, S. C. Estructuras de matemáticas discretas para la computación. 2ª Edición. México : Prentice-Hall Hispanoamericana , 1997.


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Análisis Combinatorio

FIN CLASE


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Análisis Combinatorio Ejercicios 1. Cuántas permutaciones se pueden formar con los números 0, 1, 3, 5, 6, 9 si el número 3 esta después de la segunda posición y el número 6 debe ir en cualquier lugar que este posterior al lugar del número 3.


56

Análisis Combinatorio Ejercicios 2. En la final de la Olimpiada Matemática 2007 de cierto país se premiaron a 12 estudiantes:2 con medalla de Oro, 4 con medalla de Plata y 6 con medalla de Bronce. De cuántas maneras se pueden colocar en fila para tomarles la Foto Anual de Medallistas 2007 si: los estudiantes Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Análisis Combinatorio Ejercicios Que obtuvieron medalla de Oro debe ir juntos en el centro y los demás puede ir en cualquier otra posición de manera que a la derecha de los estudiantes con medalla de Oro queden exactamente 2 estudiantes con medalla de Plata y 3 con medalla de Bronce. Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Análisis Combinatorio Ejercicios 3. Se tiene dos canastas, cada una tiene 12 bolas enumeradas del 1 al 12. De cada canasta se sacan 7 bolas y se anotan los números de las 14 bolas extraídas, determine una fórmula que indique de cuántas maneras se puede obtener k números repetidos con k pertenece { 2, 3, 4, 5, 6, 7} Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

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Análisis Combinatorio Ejercicios 4. Sea A un conjunto de n elementos y B un conjunto de n - 1 elementos. ¿Cuántas funciones sobreyectivas existen de A a B?


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Análisis Combinatorio Ejercicios 5. Cuántos anagramas se pueden hacer con las letras de la palabra

"ENSEÑANZA" si las letras “E,S,E”

deben ir juntas en cualquier orden.


61

Análisis Combinatorio Ejercicios 6. ¿Cuántos anagramas existen de la

palabra “Matemático", en los cuales las dos “a” no estén juntas, ni las dos “m”, ni las dos “t”?.


62

Análisis Combinatorio Ejercicios 7. En un concurso, Mario, Lucia y Sandra han ganado 12 premios: 7 viajes para una persona al Cuzco y 5 premios sorpresa distintos. Sin embargo dichos premios van a ser distribuidos aleatoriamente entre los participantes mencionados. De cuántas maneras se puede distribuir. dichos premios si a Mario le toque por lo menos 2 viajes y solamente 2 premios sorpresa.


63

Análisis Combinatorio Ejercicios 8. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 5 libros distintos de probabilidad entre Jorge, Karla y Anthony si a cada uno le corresponde al menos un libro?


64

Análisis Combinatorio Ejercicios 9. Dados dos conjunto A y B tales que [A] = n, [B] = m con n > m, determine el número de funciones sobreyectivas de A en B.


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