rojo
EJERCICIOS DE APLICACIÓN K=3
Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ……….. Identidad que ya conoces
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 3 y
TERCER AÑO
Rectángulo x Área = x . y Área = x2 x x POLINOMIOS Cuadrado a+b Suma limitada de monomios, no semejantes. a Ejm.: GRADO b RELATIVO (G.R.) Esta arepresentado por el mayor exponente de la • 4x2 y3 + 2x4 y2 – x3 y b variable 5 3 a referida. • x + x + 2x + 1 bP 3 5 4 3 5 (x, y) = 2x y – 4x y – 1y b a GR(x) = 4 , GR(y) = 5 NOTACIÓN b Un polinomio cuya única variable es x puede ser a Ejm.:B representado así: P(x) D En el Csiguiente polinomio: Lo cual se lee: “P de x” o “P en x” A P(x) =productos xa+1 + 2xa-3 + 7xa-5 y significa: polinomio cuya única variable esEn x. Egipto ya conocían los notables, pero no ellovalor calculaban Calcular de “a” si GA = 14 En general, un polinomio de (n + 1) términos puede
algebraicamente.
POLINOMIOS Solución:
ser expresado así: P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ………….. + a 0x0
El grado absoluto es: a + 1 = 14 a = 13
Donde: x es la variable cuyo mayor exponente es
•
Ejm.: En el polinomio:
n. an, an-1, an-2, ……… a 0 son los coeficientes
•
P(x, y) = 7x2 yb+4 – 5x3 yb-1 –x2 yb+7 Calcular el valor de “b” GR y = 10
de P(x). •
an: coeficiente principal; an
•
a0: término independiente.
0
Solución: El grado relativo con respecto a “y” es: b + 7 = 10
GRADO ABSOLUTO (G.A.)
b=3
Esta Esta repr repres esen enta tado do por por el mono monomi mioo de mayo mayorr grado. P(x) = x7 + x5 + 4 GA = 7 P(x, y) = x12 y5 + x4 y + 4 GA = 17 88
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
89
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
1.
Colo Coloca carr ver verda dade dero ro o fal falso so según egún corr corres espo pond nda: a: P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6 I. El polinomio es de grado 4. II. El término independiente es 6. III. La suma de coeficientes es 7.
2.
( ) ( ) ( )
¿Cuá ¿Cuále less de de las las sigu siguie ient ntes es afir afirma maci cion ones es son son cie ciert rtas as?? I.
4
3x es un monomio de grado 4.
II. P(x) = 5 + 3x 2 + x-3 es un polinomio. III.
P( x)
3 4 x 2
a) Sólo I d) I y II 3.
5 x2
1 4
es un polinomio en Q.
b) Sólo II e) Todas
c) Sólo III
En el siguiente polinomio: P(x) = x2a+1 + 6x2a+3 – 5x2a+4 Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14 a) 2 d) 5
4.
b) 3 e) 6
c) 4
En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6 Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13 a) 15 d) 10
5.
b) 14 e) 12
c) 13
En el polinomio: P(x, y) = x2a y4 – 3x2a y6 – x2a Calcular el valor de “a” G.A. = 20 a) 7 d) 11
6.
b) 8 e) 14
En el polinomio: P(x, y) = x2a+4 y – 7xa-5 y2 – 8xa-3 y2 Calcular el valor de “a” si GRx = 10
92
c) 10
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
7.
a) 4
b) 5
d) 9
e) 10
c) 3
En el polinomio: P(x, y) = 5x3 yb+6 – 4x2 yb+2 – x2 yb+3 Calcular el valor de “b” GR y = 12
8.
a) 4
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
En el polinomio: P(x, y) = axa-4 + 3xa y3 + 2ya Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12
9.
a) 10
b) 12
d) 15
e) 16
c) 14
Indi Indica carr la sum sumaa de coef coefic icie ient ntes es del del pol polin inom omio io:: P(x, y) = axa-4 yb-2 + bxa+2 yb – 4xa-2 yb+3 Siendo: GA = 8
10. 10.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
Calcu alcula larr el el va valor lor de de “n “n” en: en: P(x, y)
11. 11.
c) 3
n n 3 2 6x 2 y 2x y 3 1 siendo n < 8
a) 6
b) 8
d) 5
e) 2
c) 4
Deter etermi minne el el GA GA del del polin olinom omio io:: P(x, y)
a 1 a 3 a 10 a 9 x y 2 x y 4 x a 1 y a 9
Sabiendo que 9 < GR (x) < 14 a) 9 d) 19
b) 13 e) 21
c) 16
93
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
12. 12.
En el el sig sigui uien ente te poli polino nomi mio: o: P(x, y) = xa+1 y2b+3 – xa+3 y2b+1 + xa+5 y2b-1 – xa+7 y2b-3 De donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9 Calcular el G.A. del polinomio. a) 3 d) 9
13.
b) 5 e) 18
c) 12
Determ Determin inee el mayor mayor grad gradoo rela relativ tivoo de una de sus variab variables les:: P(x,y) = x 3k-1 yk+1 + x2k+3 y2k+5 + xk+2 y3k-4 Sabiendo GA del polinomio es 16. a) 5 d) 11
14. 14.
b) 7 e) 13
c) 9
En el el sig sigui uien ente te poli polino nomi mio: o: P(x, y)
9 2n ( 3n 5 ) ( ) (2n 1)x 2 2ny 3
Calcular: “n” a) 1 d) 4 15.
b) 2 e) 5
c) 3
Del Del prob problem lemaa ante anterio riorr seña señalar lar la suma suma de de coef coefici icien entes tes:: a) 2 d) 8
b) 4 e) 11
c) 6
TAREA DOMICILIARIA 1.
Colo Coloca carr ver verda dade dero ro o fal falso so según egún corr corres espo pond nda: a: P(x) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7 I.
94
El polinomio es de grado 5.
( )
II. El término independiente es 3.
( )
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
III. La suma de coeficientes es 15. 2.
( )
La suma de coeficientes del polinomio: P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 + (7 - n)x + 3n es de 16 Señalar el término independiente.
3.
a) 3
b) 4
d) 6
e) 9
c) 5
En el siguiente polinomio: P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+4 Calcular el valor de “a” si GA = 13
4.
a) 8
b) 9
d) 11
e) 12
c) 10
En el polinomio: P(x, y) = x2 ya + 2x3 ya – 5a+5 Calcular el valor de “a” si GA = 8
5.
a) 2
b) 3
d) 0
e) 4
c) 1
En el polinomio: P(x, y) = x3a y2 – 2x3a y3 – x3a Calcular el valor de “a” GA = 9
6.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
En el polinomio: P(x, y) = x7 – 4x2 yb + byb+3 Calcular la suma de coeficientes si GRy = 10
7.
a) 0
b) 1
d) 6
e) 4
c) 2
En el polinomio: 95
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
P(x, y) = 6x2 yb+3 + 2x3 yb+4 + x4 yb+5 Calcular el valor de “b” GRy = 15
8.
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
En el polinomio: P(x, y) = nxn-3 + 2xn y2 + 4yn Calcular la suma de sus coeficientes si GA = 8
9.
a) 10
b) 11
d) 14
e) 15
c) 12
Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = axa-2 yb + bxa+3 yb+1 + 3xa-1 yb-2 Siendo: GA = 10
10.
a) 3
b) 5
d) 9
e) 12
c) 1
Calcular el valor de “n” en: n n 2 3 P(x, y) = 2x 4 y + 2x y 3 + 3
Siendo: n < 15
96
a) 10
b) 12
d) 14
e) 9
c) 13
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
11.
12.
Señalar la suma de coeficientes del polinomio: P(x)
n n nx 2 2nx 3 3x7 n 4xn 5
a) 19
b) 17
d) 13
e) 11
c) 15
En el polinomio: n 1 4 15 n P(x, y) 3 x y
Determine “n”
13.
a) 3
b) 5
d) 9
e) 11
c) 7
Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x, y) = x 2k+4 yk+2 + x2k-1 yk+1 + 4xk+2 y2k-1 Sabiendo GA del polinomio es 15.
14.
a) 6
b) 8
d) 12
e) 13
c) 10
En el siguiente polinomio: P(x, y)
( n 3) ( 6 3n ) 2 (n 3)x 2ny 3
Calcular: “n”
15.
a) 2
b) 3
d) 5
e) 7
c) 4
Del problema anterior señalar la suma de coeficientes: a) 10
b) 11
d) 14
e) 16
c) 12
97
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 4
TERCER AÑO
SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO Un ejemplo sencillo : Situémonos en el conjunto R, que es del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x ∈ R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x. Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x 2 designará la superficie de un cuadrado de lado x y x 3 el volumen de un cubo de arista x. Imaginemos que una persona compra : Una curda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues : 3x . 2 = 6x soles Un tablero de contrachapado de superficie 2x 2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x 2 . 12 = 24x2 soles. Un tonel de vino de capacidad igual a x 3 (en metros cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x 3 soles. Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma : 50 + 6x + 24x2 + 2000x3 (1) Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”). Las compras de una segunda persona llevarían a establecer, por ejemplo, el polinomio : P 1(x) = 30 + 2x - 15x 2 + 50x3 El signo “-” delante de 15x 2 significa una deuda equivalente a la suma de 15x 2 soles. Para otra persona podría tenerse : P2(x) = 15 – 2x + 2x2, etcétera. Lo que distingue de los polinomio P, P 1, P2, ……, no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes : (50 , 6 , 24 , 2000) para el primer polinomio (30 , 2 , -15 , 50) para el segundo polinomio (15 , -2 , 3) para el tercer polinomio Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P 1 o P . P1. Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o -para no agotar demasiado aprisa el alfabeto- mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, …). Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra : a 1 se lee “a uno” o “a índice 1”. La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso : simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.
98
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Reduciendo los términos semejantes, queda : 4a2b + 11ab2 + 6b3 3. Sumar : 3a y -2b Cuando algún sumando es negativo, suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la suma; así : 3a + (-2b) La suma será : 3a – 2b
La Suma o Adición : Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b. La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : ay – b.
Carácter General de la Suma Algebraica : En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética. Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto. Así, la suma de m y –n es m – n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n . La suma de -2x y -3y es -2x – 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 3y .
4. Suma : 7a , -8b , -15a , 9b , -4c y 8 Tendremos : 7a + (-8b) + (-15a) + 9b + (-4c) + 8 7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 -8a + b – 4c + 8
REGLA GENERAL PARA SUMAR Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
I.
SUMA DE MONOMIOS 1. Sumar : 5a, 6b y 8c Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a , 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c El orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la Ley Conmutativa de la suma. 2. Sumar : 3a2b , 4ab 2 , a2b , 7ab 2 y 6b3 Tendremos : 3a2b + 4ab2 + a2b + 7ab2 + 6b3
La Resta o Sustración : Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. en efecto : a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en efecto : a – b + b = a.
Regla General para Restar : Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
I.
RESTA DE MONOMIOS 1. De -4 restar 7 Escribimos el minuendo -4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será : -4 – 7 = -1 En efecto : -11 es la diferencia porque sumada con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 : -11 + 7 = -4 2.
Restar 4b de 2a 99
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será : 2a – 4b
tiene más objeto que decirnos, de acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo al sustraendo -4. Por eso a continuación del minuendo 7 escribimos +4.
En efecto : 2a – 4b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo : 2a – 4b + 4b = 2a
5. De 7x3y4 restar 3 4 -8x y Tendremos : 7x3 y4 – (-8x3 y4) = 7x3 y4 + 8x3 y4 = 15x3 y4
Restar 4a2b de 3. -5a2b Escribo el minuendo -5a2b y a continuación el sustraendo 4a 2b con el signo cambiado y tengo : -5a2b - 4a2b = -9a2b -9a2b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4a2b reproduce el minuendo : -9a2b + 4a2b = -5a2b 4. De 7 restar -4 Cuando el sustraendo en negativo suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la operación, de este modo distinguimos el signo – que indica la resta del signo – que señala el carácter negativo del sustraendo. Así : 7 – (-4) = 7 + 4 = 11 El signo – delante del paréntesis está para indicar la resta y este signo no
1 2
De - ab restar -
6. 3 4
ab
Tendremos : 1 2
- ab – (-
3 4
1 2 1 ab 4
ab) = - ab + =
3 4
ab
Carácter General de la Resta Algebraica : En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar disminución o aumento. Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo. Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equivale a sumar la misma cantidad positiva.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 16. P(x) =
Si el polinomio es de 4º grado. Hallar “m” : 7 x1+m + a) 0 d) 3
17.
6 x2+m +
5 x3+m
b) 2 e) 4
c) 1
Sumar los siguientes monomios : M(x, y) = ax 2 y3z5 N(x, y) = bx 2 y3z4 Indicar su coeficiente :
100
a) a + b
b) az5 + bz
d) az5 – bz4
e) az5 + bz4
c) a – b
18. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta : I. 3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b > 30 II. 7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3 III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) Sólo I d) I y III
b) Sólo II e) Ninguna
c) I y II
19. Si al sumar los siguientes monomios ax2 y3 + bx2 y3 resulta 2cx2 y3. Indicar : a + b + 7c A= 9 a) 1 d) 3 20.
b) 2 e) 2c
21.
t2 = 5 3 xm+3 , se sabe que : t 1 + t2 = Indicar el calor de 2m + 1 a) 15 d) 18
b) 28 e) 58
a) 0 d) 6
c) 38
Del grafico, relacionar A con B ax3 y2 + 7x3 y2 8x2 + mx2 + nx2 2x3 y3 + px3 y3
x2 3x3 y3 ax3 y2
A
B
Dados los polinomios : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3 Hallar : 5P(x) + 3Q(x) − 19 E= x c) 30
b) 1 e) 5
a) 3 d) 9 27. :
3x2 y + 5xy2 + 7x2 y + 5x 3 + 20xy2 + 3xy2 + 7x2 y II. 8ab + 7a2b + 22ab2 + 50ab + 3a 2b + 4ab2 + 3ab III. 3m3 + 3k 2 + 5pm2 + 20m3 + 32k2 + 7mp2 + 8pm2 + 2m3 IV. 3p2 y + 5px2 + 7p2 y + 5x2p + 10px2 + 13p2 y + 7x2p
b) 20 e) 50
c) 17
c) 2
26. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : px a + qxb + rxc = 5pqrxb. Indicar M = p+ q+r pqr b) 5 e) 6
c) 7
Hallar la expresión equivalente más simple de 3(x 7 y) 4(2x 5 y) 6x A = 3(x y) 4(x 3 y) 2(x 2 y) 6 y a) x + y d) 1
I.
a) 10 d) 40
b) 16 e) 19
3 pt2.
25. Si al polinomio : P(x) = 3x2 y3 + 5xm+3 y4 se le resta 2x8 y4 el grado disminuye. Indicar el valor de “m”.
22. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios :
23.
Sean los términos : t 1 = 7 6 x2m-5 ,
c) c
Se tiene : M(x) = 3x2 + 2x + 1 N(x) = 7x2 + 2x + 3 Se sabe que : 2M(x) + 3N(x) = ax 2 + bx + c. Indicar : a + b + c a) 10 d) 48
24.
b) x/y e) 1/5
c) x – y
28.
En la siguiente adición de monomios :
mxa +
m 4
x4-a = bxb-3. Indicar :
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
m+ a+b−2 c) 3
29. Indicar la suma de los siguientes monomios y polinomios : a. x3 + xy2 + y3 , -5x2 y + x 3 – y3 , 2x3 – 4xy2 – 5y3 b. -7m2n + 4n3 , m3 + 6mn2 – n3 , -m3 + 7m2n + 5n3 101
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
c. x4 – x2 + x , x 3 – 4x2 + 5 , 7x2 – 4x + 6 d. a4 + a6 + 6, a5 – 3a3 + 8 , a3 – a2 – 14 e. x5 + x – 9 , 3x 4 – 7x2 + 6 , -3x3 – 4x + 5 f. a3 + a , a 2 + 5 , 7a2 + 4a , -8a2 – 6 g. x4 – x2 y2 , -5x3 y + 6xy3 , -4xy3 + y4 , -4x2 y2 – 6 h. xy + x2 , -7y2 + 4xy – x 2 , 5y2 – x2 + 6xy , -6x2 – 4xy + y2
i. a3 – 8ax2 + x3 , 5a2x – 6ax 2 – x3 , 3a3 – 5a2x – x3 , a3 + 14ax2 – x3 j. -8a2m + 6am2 – m3 , a3 – 5am2 + m 3 , -4a3 + 4a 2m – 3am2 , 7a2m – 4am2 – 6 k. x5 – x3 y2 – xy4 , 2x4 y + 3x2 y3 – y5 , 3x3 y2 – 4xy4 – y5 , x5 + 5xy4 + 2xy5 l. a5 + a6 + a2 , a4 + a3 + 6 , 3a 2 + 5a - 8 , -a 5 – 4a2 – 5a + 6 m. a4 – b4 , -a3b + a2b2 – ab3 , -3a4 + 5a3b – 4a2b2 , -4a3b + 3a2b2 - 3b4 n. m3 – n3 + 6m2n , -4m2n + 5mn2 + n3 , m3 – n3 + 6mn2 , -2m3 – 2m2n + n3 o. ax – 3ax-2 , 5ax-1 + 6ax-3 , 7ax3 + ax-4 , ax-1 – 13ax-3 p. ax+2 – ax + ax+1 , -3ax+3 – ax-1 + ax-2 , -ax + 4ax+3 – 5ax+2 , ax-1 – ax-2 + ax+2 2 2 1 1 5 q. a + ab - b2 , a2 3 5 2 6 1 2 1 1 2 1 2 1 ab + b , a + ab b 10 6 12 20 3 5 2 2 2 3 1 r. x - y + xy , - xy 6 3 4 2 1 1 5 1 1 - x2 + y2 , xy - x2 + y2 6 8 6 3 4
ab2 – 2b3 ,
1 3 a 4
–
1 2
ab2 + b 3 ,
1 2 ab 2
-
5 2 ab 6
-
3 8
3 3 b 5
TAREA DOMICILIARIA 1.
Si el polinomio es de 5º grado. Hallar “p” :
P(x) =
3
3 x1+p +
a) 0 d) 1
6 x2+p +
7 x4+p
b) 2 e) 4
c) 3
2. Sumar los siguientes monomios : M(x) = 3x 3 y3 N(x) = 5x3 y2 a) 8 5y2 d) 5y3
b) 3y + 5y2
c) 3x3 +
e) 3y2
3. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta : I. 3x5 + 6x5 + 7x5 = 16x15 II. ax3 y2 + bx3 y2 + cx3 y2 = (a + b + c)x3 y2 III. mx2 + nx3 + px3 = (m + n + p)x8 a) Sólo I III d) I y II
b) Sólo II
c) Sólo
e) Ninguna
Si al sumar los siguientes monomios mx 2 + m+n+p nx2 resulta px2. Calcular : E = p 4.
a) 1 d) p 5.
b) 2 e) 2p
c) 3
Se tiene : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3 Se sabe que : P(x) + 2Q(x) ≡ mx + n. Hallar : m+n a) 1
102
a3 -
s.
b) 2
c) 10
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
d) 20
e) 21
11. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : ax m + bxn + cxp = 7abcxp. Indicar E =
6. En el siguiente grafico, relacionar las sumas de A con los resultados de B. 2
3mx + 5x 5xy + mnxy ax2 y + bx 2 y A
abc
a) 2 d) 7
2xy 8x2 y 7x2
2
a +b+c
12.
B
3ab + 5a2b + 7ab + 3a 2b + 4ab2 + 7ab2 + 21a2b II. mn2 + mn + m2n + 3mn + 4mn 2 + 5n 2m + 7nm2 III. 4pq + 7p2q + 10pq 2 + 8p3 + 33p2q + 16pq + 18p3 IV. 3p2 y + 22xy2 + 21xy + 3xy 2 + 22p2 y + 35xy I.
Dados los polinomios : M(x) = 3x + 27 N(x) = 18x + 3 6M(x) − N(x) Hallar : E = 3 a) 50 d) 53
9.
b) 51 e) 54
Sean los términos : t 1 =
c) 52
4 5
x5+n , t2 =
3 4
x12 se
sabe que : t 1 + t2 ≡ 3t1. Indicar el valor de n+1 a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
Hallar la expresión equivalente más simple de
c) 6
a) 2y/x d) 3x/y 13.
10. Si al polinomio : Q(x) = 5x2 + 7x3 + 8xm+5 se le resta 2x10 el grado absoluto disminuye. Indicar el valor de : E = m − 1
c a c 6-a x + x 3 2
14.
c) 2
c) 1
= bxb-2. Hallar : (a + b + c)
a) 14 d) 20
b) 12 e) 24
c) 10
Sumar : a. b. c. d. e. f. g. h.
m,n m . –n -3a , 4b 5b , -6a 7 , -6 -6 , 9 -2x , 3y 3x + x3 , -4x2 + 5 , -x3 + 4x2 – 6
i.
x2 – 3xy + y 2 , -2y2 + 3xy – x 2 , x2 + 3xy – y2
j. a2 – 3ab + b2 , -5ab + a2 – b 2 , 8ab – b2 – 2a2 k. -7x2 + 5x – 6 , 8x – 9 + 4x 2 , -7x + 14 – x 2 a3 – 4a + 5 , a 3 – 2a2 + 6 , a2 – 7a + 4
m. –x2 + x – 6 , x 3 – 7x2 + 5 , -x3 + 8x – 5 n. a3 – b3 ,5a2b – 4ab2 , a3 – 7ab2 – b3 o.
b) 1 e) 4
b) 2 e) 2x/y
En la siguiente adición de monomios :
l.
a) 0 d) 3
c) 6
4(x 2 + y 2 ) − 3(x 2 − y 2 ) + (x 2 − 7 y 2 ) :E= 4x 2 − 5xy − 7 x 2 + 6xy + 3x 2
7. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios.
8.
b) 4 e) 9
1 2 1 x + 3 2
xy ,
1 2
1
xy + 4 y2
p. a2 +
1 2
ab , - 4 ab +
1
1 2 b , 2
- 4 ab -
1
1
5
2
1 2 b 5
q. x2 +
2 3
xy , - 6 xy + y2 , - 6 xy + 3 y2 103
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
r.
3 4
y2
104
1
2
x2 - 2 y2 , - 5 xy +
1 2 y 6
,
1 10
xy +
1 3
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
NIVEL: SECUNDARIA
I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
SEMANA Nº 6
PRIMER AÑO
POLINOMIOS
Recuerda Un monomio es una expresión que une parte variable y parte constante mediante la multiplicación.
Y ¿Qué es un polinomio?
1. POLINOMIO Es una suma limitada de monomios no semejantes. En esta suma se puede incluir alguna constante.
Ejemplos: 5x + x2 3xw + x 2 2w + 5 5 -3y + 2x – 1
138 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
4xy – 5xz + 4 – 3x 2 2 4 4x y + yz – 3 2 3 3 3x y – 8xy 2 -5 – 10x – x
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo.
Ejemplos:
(3x + 2)
+
polinomio
(8x + 4)
(2x + 5)
=
3x + 2
polinomio
-
(5x + 2)
+ 2x + 5 =
5x + 7
términos semejantes
=
8x + 4 - 5x - 2 =
3x + 2
términos semejantes
(2x + 3)
-
(5x - 1)
(-5xy + 3) - (5xy – 1 – x 2)
=
2x + 3 - 5x + 1 = =
-3x + 4
-5xy + 3 - 5xy + 1 + x 2 = x2 + 4
¡ Ahora tu ! Ψ (4x + 5) + (3x + 2) = Ψ (5x - 5) + (4x - 7) = Ψ (3w - 7) – (w - 1) = Ψ (x2 + 5x) – (x 2 – 4x) = Ψ (2x + 3x3 y) + (4x + 2x 2 y + y3) = Ψ (3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z 4) =
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
139
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
¿Sabías que? El prefijo poli significa varios, es decir, polinomio significa varios monomios.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN I. 16. 17. 18. 19.
Opera (suma o resta) los siguientes polinomios (x + 2) + (2x + 1) = (3w + 5) + (4w + 4) = (4x2 + 2) + (5x 2 + 3) = 2
2
(5z + 4z) + (2z + 3z) =
20.
(9y3 + y) + (3y 3 + y) =
21.
(3x + 2) – (x + 1) =
22.
(5w + 4) – (2w + 2) =
23.
(8z2 + 5) – (4z 2 + 2) =
24.
(7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =
25.
(10x4 + 3x) – (5x 4 + 2x) =
II. Opera los siguientes polinomios: 26.
(2x2 + 3x) + (3x 2 - x) =
27.
(5x2 – 4x) + (2x 2 – 3x) =
28.
(3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =
29.
(4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =
30.
(8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =
140 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
31.
(3x2 + 4x) – (2x 2 - x) =
32.
(4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =
33.
(5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =
34.
(9y5 – 3y2 + 4y) – (3y 2 + 9y5) =
35. (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) = III.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
IV. Resuelve los siguientes problemas 36.
A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x 2 + 3x - 1 Hallar: A + B – C Si:
a) 6x2 – 7x - 16 b) 6x2 – 7x – 15 c) 6x2 – 7x + 16 37.
39. d) 6x2 – 7x e) 6x2 + 7x - 16
A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w Hallar: A – 2B Si:
3
2
a) w + 4w - 4 b) w3 – 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4 38.
a) 5x2 y + 18y3 b) 5x2 y – 18y 2 c) 5xy2 – 18y3
3
2
d) w – 4w – 2 e) w3 + 4w2 + 4
Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + n Hallar: m – n a) 9 d) 7
40.
d) 5x2 y – 18y 3 e) 5xy – 18y 3
b) 8 e) 5
c) 6
Si: (mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2 Hallar: m + n a) 4 d) 8
b) 5 e) 3
c) 7
A = -8x2 y + 3xy – 3y 3 B = 4y3 – 7x2 y + 2xy Hallar: 2A – 3B Si:
TAREA DOMICILIARIA Nº 6 I.
Opera los siguientes polinomios
1.
(2x + 4) + (3x + 7) =
2.
(4w + 3) + (2w + 1) =
3.
(5z2 + 4) + (4z2 + 2) =
4.
(7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) =
5.
(3x + 4) – (2x + 1) =
6.
(4w + 8) – (3w + 2) =
7.
(10z2 + 3) – (5z2 + 2) =
8.
(9y3 + 4y) – (8y 3 + 2y) =
9.
(3x2 + 4x) + (2x 2 – 2x) =
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
141
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
10.
(5w2 – 3w) + (w2 - w) =
11.
(-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) =
12.
(8y3 + 2y + 4) – (-7y 3 – 2y) =
13.
(-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =
142 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
II. Resuelve los siguientes problemas 14.
Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + n Hallar: m + n a) -1 d) 5
15.
b) 1 e) 4
c) 0
Si:
A = -2x – 5 B = 4x2 – 3x + 2 Hallar: 3A - 2B a) -8x2 - 19 b) -8x2 + 19 c) 8x2 - 19
d) 8x2 + 19 e) -8x - 19
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 4
TERCER AÑO
DIVISIÓN ALGEBRAICA
VEREMOS LOS CASOS:
1
Efectuar: 15x4 y5 ÷ 2x2 y
Monomio entre monomio Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable. Así:
⇒
xn
x
15 x 4 y5 . 2 x2 y
= 7 . 5 x2 y4 Obs.: i)
Recuerda: xm m n
15x 4 y 5 2x2 y
x4 x2
x 4 2 x2
y5 5 1 4 y y ii) y Ejemplo 2 39xp y8nz 4k 3 Calcular: 13x2 y2nz2k 5
Ejemplo 1
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
95
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
39 . xp . y8n . z 4k 3 ⇒ 13 x2 y2n z2k 5 Los exponentes quedarían p – 2 8n – 2n (4k + 3) – (2k + 5)
⇒
2
p–2
6n
4k + 3 – 2k + 5
p–2
6n
2k + 8
exp. “x”
exp. ”y”
exp. ”z”
21xp ynz q 18x3p y 4nz5 3xp 3 y2n 5z3q 1 3xp 4 y2nz2q 3
39xp y8nz 4k 3 13xp 2 y6nz2k 8 2 2 n 2 k 5 13x y z
i)
21xp ynz q 3xp 4 y2nz2q 3
7x 4 y nz3 q
ii)
18x3p y 4nz5 3xp 4 y2nz2q 3
6x 4 2p y2nz8 2q
iii)
3xp 3 y2n 5z3q 1 3xp 4 y2nz2q 3
x7 y5z q 2
Luego: La Rpta. será:
Polinomio entre monomio
-7x4 y-nz3-q – 6x4-2p y2nz8-2q + x7 y5zq+2
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Así:
Observa que se divide cada término del polinomio entre el monomio.
3
POLINOMIO ENTRE POLINOMIO Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad. D(x)
Ejemplo 1
15x3 y 4z2 25x7 y3 18x5z3 Efectuar: 5x 4 y3z2
Cada: 15x3 y 4z2 3x 1 y i) 4 3 2 5x y z 25x7 y3 ii) = -5x3z-2 4 3 2 5x y z 18x5z3 18 xy 3z iii) 5x 4 y3z2 5
d(x) . q(x) + R(x)
Grado D(x) > Grado d(x) Donde: i. ii. iii. iv.
D(x) : d(x) : q(x) : R(x) :
Dividendo Se conoce Divisor Cociente Se desea calcular Residuo o Resto
Nota: v. vi.
Luego: 18 xy 3z La Rpta. será: 3x 1 y 5x3z 2 5 Ejemplo 1 Calcular:
96 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
R(x) = 0 → División Exacta R(x) ≠ 0 → División Inexacta
Ojo:
Para poder dividir los polinomios dividendo (D(x)) y divisor (d(x)) deben estar completos y ordenados y si falta algún término se completa con ceros. Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
MÉTODO DE HORNER Se sigue los siguientes pasos: a) Se completan y ordenan los polinomios dividendo y divisor. b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra vertical que se corten a un extremo. c) Sobre la línea horizontal se colocan los coeficientes del dividendo con todo su signo (obviar el +). d) En el casillero intersección se coloca el primer coeficiente del divisor. e) El lado de la línea vertical se colocan los demás coeficientes del divisor, pero cambiado de signo. f) Se cierra el diagrama con una línea horizontal.
q(x) = 3x2 – x + 3
R(x) = x - 2
ESQUELETO
Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.
(-1)
Cociente
Residuo
Ejemplo 1 9x 4 2x2 6x 8 Dividir: 3x2 x 2 D(x) = 9x 4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8 d(x) = 3x2 + x – 2
3
9
-1
2 lugares porque el grado del divisor es 2
0
2
-3
6
2
1
6
-8
-2 -3
6
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 3 -1 3 1 -2
x2
x
TI
x
TI
Dpto. de Publicaciones 2003
97
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
DIVISIÓN 5x 4 2x2 3 5x 5 2x2 x
D(x) y d(x) D(x) = d(x) =
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
5x 4 3 4x3 2x2 x2 2 x
D(x) = d(x) =
3x 4 5x2 2 3 x3
D(x) = d(x) =
2x 4 5x3 3 2x2 2x
D(x) = d(x) =
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I. 41.
En los siguientes casos dividir e indicar el coeficiente resultante: 14x7 y 4z 7 2x5 ynzp Rpta.: ………………………………………
42.
5x2n p y3m qz2n 5 3x5p n y 4q 2mzn 7 Rpta.: ………………………………………
43.
12x5 y 7xp 4 y
2z2q 5z3q 5
Rpta.: ……………………………………… 44.
2x2m 3n 3x2n 7
5 y 5m 2p 4z5p 4 m y3m 2 pz3p 4
Rpta.: ……………………………………… 45.
5x3m 2p 4q n y 5m 2q 3p 5n 3x2m 3p 2q n y3m 2q 5p n Rpta.: ………………………………………
II. En los siguientes casos dividir e indicar la suma de coeficientes:
98 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
46.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
5xm n y2m 3 7xn m y2n 7 3xm yn Rpta.: ………………………………………
47.
5 4x5 y2 3x 4 y5 2xy 5x 4 y3 Rpta.: ………………………………………
48.
2 3x5 4x8 3x7 3x6 Rpta.: ………………………………………
49.
3xm n p 4xn m p 5x2m 2n 3q 5xp 3xm n p q Rpta.: ………………………………………
50.
Dividir: 3x2m+3n+4p y2q+3p-4+5x2m+4n-3p y5p+4q Entre: 5xm+2 yp+q+3 Rpta.: ………………………………………
III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar el cociente [q(x)] y el resto [R(x)] 51.
x 4 2x3 15x2 28x 7 2x2 4x 3 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
52.
10x5 13x3 4x2 4x 3 2x2 1 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
99
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
53.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
9x7 15x5 6x3 12x 4 20x2 8 3x 4 5x2 2 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
54.
6x5 8x 4 3x3 16x2 6 3x3 4x2 5 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
55.
15x 4 17x2 20x3 18x 5 3x2 4x 1 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
TAREA DOMICILIARIA Nº 4
I. 30.
Dividir los siguientes monomios: 25x5 y3z 4 5x2 y8z5 Rpta.: ………………………………………
31.
15x2m p y3n 2z2p 3 3xp 2m y2n 4z 4 p Rpta.: ………………………………………
100 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
32.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
1215x 4 y7z a 81x5 y8z 3 Rpta.: ………………………………………
33.
3x2p 3q 5 y25 3p qzp q 3 2xp 3q 5 y5 q 2pz3 q p Rpta.: ………………………………………
34.
a2x 3 y 4z 2wb5 y 3x z wc5x y z w 2a x 2 y z wb2 y x z wcx y z w Rpta.: ………………………………………
II. Hallar el cociente en cada uno de los siguientes casos: 3xm n y2m n 7 xn m y 7 2n 35. 5xn ym Rpta.: ……………………………………… 36.
3 2x5 y 7 4x3 y 4 2xy 7x5 y 4 Rpta.: ………………………………………
37.
2 x3 x8 3x2 4x 2x5 Rpta.: ………………………………………
38.
8x a b c 4x a b c 5x2a 2b 3c 5x a 7x a b c Rpta.: ………………………………………
39. 14x a b c d 21x2a 2b c d 3x3a 2b 3c d 4 x5a 3b 4c 2d 2x a b c d
Rpta.: ……………………………………… COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
101
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar el cociente y el residuo. 40.
2x5 14x3 x2 28x 15 x2 5 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
102 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
41.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
x 4 10x3 31x2 30x 18
q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
42.
15x 4 6x2 1 5x2 1 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
43.
27 x3 8 9x2 6x 4 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
44.
x 7 x6 x5 4x 4 4x3 3x2 x 1 x2 x 1 q(x) = ……………………………………… R(x) = ………………………………………
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 5
TERCER AÑO
DIVISIÓN EUCLIDIANA Como estudiamos en la semana anterior la División Euclidiana es aquella que se realiza con polinomios de una variable. Así teníamos los métodos de división:
4
MÉTODO DE HORNER Ejemplo:
100 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
6
Dividir: 12x 4 17x3 17x2 2x 9 4x2 3x 1 4
12
3
-17
17
9
-3
-1
-6
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
2
-9 i) ii)
2 6
-2
3
-2
2
10
-11
x2
x
T.I
x
T.I
TEOREMA DE RENÉ DESCARTES (TEOREMA DEL RESTO) Este teorema tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar la división. Se siguen los siguientes pasos: Se iguala el divisor a cero. Se despeja una variable. iii) Se reemplaza el valor o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario. Ejemplo 1 8x2003 13x2 1999 x 1
q(x) = 3x2 – 2x + 2 R(x) = 10x - 11
5
MÉTODO DE RUFFINI Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado. d(x) = x + b
b
i) x + 1 = 0 ii) x = - 1 iii) Se reemplaza: R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999 R = -8 + 13 + 1999 R = 2004
0
Dividendo x+b=0 -b
1 Lugar Cociente
Ejemplo 2 2x5 3x3 3x 6 x2 1
Resto
Ejemplo 2x5 15x3 20x 8 x 3 2 0 15 0 20 8
Dividir: x 3 0 3
6 18 2 6 3 x4 x3 x2
9 27 9 7 x T.I
21 13
i)
x2 + 1 = 0
ii)
x2 = - 1
iii) Observo que: D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x – 6 Reemplazando: x2 = - 1
q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7
R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x – 6
R(x) = -13
R(x) = 2x – 3x + 3x – 6 R(x) = 2x - 6
EJERCICIOS DE APLICACIÓN COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 101
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
56.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Al efectuar la siguiente división: 4x 4 13x3 28x2 25x 12 4x2 5x 6 Indicar su cociente.
57.
a) x2 – 2x – 3
b) x2 + 2x + 3
d) x2 + 2x
e) x2 + x - 3
c) x2 - 1
Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir: 6x 4 7x3 3x2 4x 6 3x2 2x 1 a) 2 d) 0
58.
b) -4 e) -2
c) 8
Calcular m + n si la división: 6x5 x 4 11x3 mx n 2x2 3x 1 Es exacta: a) 5 d) -12
59.
b) 37 e) -20
c) -21
Calcular A + B si al dividir: (12x4 – 7x3 – 2x2 + Ax + B) entre (3x 2 – x + 3) El residuo es 4x + 3.
60.
a) -4 b) 8 d) 4 e) 5 Hallar A/B si al dividir:
c) -6
2x 4 x3 Ax B x2 2x 3 El residuo es 7x + 44 a) 4 d) 12 61.
b) 5 e) 9
c) 6
Si la división es exacta en: mx 4 nx3 2x2 3x 2 4 x2 x 1 Determinar: m – n
102 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
.
om étr icoII BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO Di me TAREA nsi DOMICILIARIA Nº 3 M on ( a b)(a c)(b c) ees 60. Si: a + b = 3La ab = 3 a) 1 b) 3 c) -3 3 rg 3 Calcular: a oA +b d) -1 e) 4 nc a) 0 b) 1 c) 2 ho Si: a + b = 5 ab = 6 d) 3 e) N.A. Alt Hallar: a3 + b3 1 ur x 4 61. Si: x aV a) 35 b) 30 c) 45 olu 3 1 d) 50 e) 100 x Calcular: me 3 x nA Reducir: ma a) 40 b) 50 c) 52 2 2 2 2 2 2 rill d) 49 e) N.A. (x y )(x xy y )(x xy y ) o (aCelb)3 ( a b)3 a) 1 b) x + y c) x6 – y6 62. Reducir: est 3 2 d) -1 e) 3 e a 3ab Ve a) 1 b) 2 c) 3 rd Si se cumple que: d) 4 e) 5 n n n e (3 - 1) (9 + 3 + 1) = 728 Cue 63. Multiplicar:“Es Indicar el valor de: n 3 M = (x3 + 1)co(x6 + x3 + 1) (x3 - 1) (x6 – xrpo + 1) + 1 ndi Geo a) 5 b) 2 c) 3 do” a) x3 b) x4 c)mét x6 d) 6 e) 1 Mo rico d) x9 e) x18 ra Dim 1 do ensi 7 Si: x 64. Efectuar: Lil oones x 3 3 3 3 3 ( 5 7 ) ( 25 35 49 a Lar) 3 1 L Calcular: M x Ro goA 6 x3 jo nch a) 1 b) 2 c) 3 am oAlt a) 100 b) 120 c) 116 d) 4 e) 5 ari ura d) 110 e) 135 llo Volu 3 3 65. Si: xy = 3 cel ; x – y = 170 m men Hallar el valor numérico de: Calcular: “xest - y” Ama 2 4 2 4 2 2 e rillo E = (x + 3)(x – 3x + 9) – (x + 3x + 9)(x - 3) a) 1 b) 2 c) 3 ver Cele Para: x 7 2 d) 4 e) 5 de ste lila Ver 66. Reducir: ma a) 50 b) 51 c) 52 de 3 10 3 4 ) (3 100 3 40 3 16 ) ( rró d) 54 e) 58 “Esc Cuerp 3 3 3 n( 5 1)( 25 5 1) ondi o do” mo Si: a + b + c = 0 Geoméc)Mor a) 1 b) 2 3 ra Hallar: tricoD d) 4 e) N.A. do ado a3 b3 c3 a b b c a c imensi roj Lila E o L Rojo ones abc c a b 67. Si: x + y + z o= 0 argoA ama Reducir: E nchoA a) 3 b) 0 c) 2 x3J y3 z3 x y x zrilloz y M lturaV cele d) 4 e) 1 Cuerpo xyz z y x ER olume ste Geomét CI b) 1ricoDimnAmarc)ver a) 0 2 illo CI e) eensiones d) 3 N.A. de Celest lila LargoAn O Cuerpo e marr choAltu COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 Geomét S raVolumVerde ón ricoDim D enAmari“Escon mor ensione dido”
POL COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO IN“TRILCE” OM Reducir: IOS a3 b3 c3
81.
82.
83.
84.
85.
86.
110
c o o Verde EJ LI uraVolu “Escondi Lila ER C II BIM – do” Rojo – 3ER. AÑO menAm COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” ÁLGEBRA arillo A Moradoamarill CI Celeste o CI CI Lila Verde celest 2 2 2 2 2 2 Rojo OS 68. Si: a + b = 6 ab = 3 71. Reducir: (a Ó b )(a ab b )(ea ab b ) “Escond 3 3 amarillo a b 12 ido” N verde DE Reducir: celeste Morado K= a2 b2 lila c)AP a) -1 b) a verde +b a6 – b6 Lila 3 Cuerpo marrón LIC d) 1 e) N.A. lila Rojo a) 1 b) 5 c) 4 Geomét O morad AC marrón amarillo d) 3 e) N.A. o 72. Si: (2n + 1) bs (4n – 2n + 1)morado = ricoDim 65 celeste ensione rojo IÓ Calcular: “n”er rojo verde N 69. Hallar el valor numérico de: sLargoA EJER v EJERC lila E = (x4 + 5)(x8 – 5x4 + 25) – (x4 + 4)(x8-4x4+16) a) 1 b) 2 nchoAlt c)K3= CICI a marrón ICIOS 3 uraVolu d) 4 Para: x 7 7 7 es e) N.A. OS morado Ob menAm DE ta rojo arilloDE ser APLIC 73. Si: a 7 ot5 EJERC Celeste APLI va a) b) 7 c) 60 7 ACIÓ b 11 ra 7 Verde ICIOS CACI est d) 61 e) N.A. N b 5 fo11 “Escond DE K 3 ÓN a 3 3 3= ido” a b c r 1 Calcular: A K = 3 otr APLIC Obser 3 Morado 70. Si: x 6 abc m x ACIÓ LilaObs a va a 1 3 Rojoerva c)for N Calcular: x a) 0,5 b) 1esta 3 3 d x esta ma amarillo K=3 d) -2 otra el e) N.A. celeste Obse formaotra del Bi a) -1 b) -2 c) 2 verde rva dellilaform Bin 74. Si: a3 + b3 =n1 d) 1 e) N.A. a om esta Reducir: K =o(a 6 + b6) –Bino (a9marrón + b9del ) io otra mio al morado m Bino al3 3 forma Cubo rojo a) (a + b)3 io b) ab c) a b mio Cu del al e) ……… d) –ab –(aEJERC + b)3 al bo Bino .. ICIOS n C Cub … mio Identid DE algebrai u ad que o … al b APLIC ya …… …. ca que Cubo o ACIÓ conoces ….. . …… correspo … y NIdenti Ide ….. nde a su … Rectáng dad ntid K = 3 Identid El ulo … que ya ad volumen Obse ad que poliedro de la xrvaconoc que .. ya derecha es un es: Área = x es ya Id conoces cubo. . esta y V = y cono en y Recuerda que otra Área = Rectá ces tid Rectáng ______ las aristas de forma x2 ngulo y ad ulo un cubo son ___ x qu del x Rec x x iguales. Bino Área = táng x ______ l l e Área = i n n l t a e d ¿Cuál es e R I I I 3 e a a a m i t . o á ó d o c s b e o y a o o a a d . r x . y ulo l n mio s d a ya i u l Cuadrad r r t r r d n … e a e o E C S E L C N = r o l e e r l . y x s y t i j o j r l o i o a ola cx u o v t P i n ___ x s a o b I o l A a J L R D e d r e O d g u Ó e m r o o … Área = K x m co C o al … I q c v A C c m m M E C a expresió Área = R O e o f a B ______ no a Cubo + b x2 Áre x2 n ce a…… x a = ___ . x algebrai s b….. x x . y x ca que V = y Áre a Cuadr Cuadrad Identid represen Re bad queado a = Cuerpo ______ o ta a sus ctá a ya a + b x2 G GeométricoDimensiones LargoAnchoAlturaVolumenAmarillo a+b ___ . aristas? ng b Celeste a x a conoces La ulo b y b Verde x b x a “Escondido” expresió a Cua a Rectáng Ár b ulo b dra Morado b El cubo está formado por varios cuerpos geométricos. eaLila a x a do a ¿Cuántos son? (No olvides contar el que está escondido) =Rojo x BÁrea = b a + b .y Dx . y b amarillo b b Ár C celeste a a Área = a COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003 111 ea A 2 b verde b b =lila Enx a a a x 2 E i t
ua ra C conoc b xrojo o ían A b EJERCICIOSCuDE APLICACIÓN a + bEn a AÑO ad K II = 3 BIM – los COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” ÁLGEBRA – 3ER. a Egip b al Observa esta otraraforma produ del Binomio b Cubodo………..ctosa to a Completa el cuadro con las dimensiones de notab ya B + ya conoces Identidadaque los cuerpos geométricos y sus respectivos les,b con D b y volúmenes. peroa ocía C a Rectángulo no lob n los A bx b prod En Áreaa = x . y calcul a ucto Egi b = x2 aban Área b algeb s pt a x raicaa nota o b B x ment bles, ya b D Cuadrado e. pero co a C a+b b POLIA no no a lo elcía a volumen hallado Hallar la suma de los volúmenes, reduce los términos semejantes y compara el con producto Encalc b NOM n B notable llamado “cubo de una suma”. Egipt a ulab los D IOS o ya b an pr C conoc a alge od A ían b Eb brai uct los na cam os produ Eb ente no ctos NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 TERCER gia .AÑOta notab ble ptB POL les, s, oD pero INO pe yC FACTORIZACIÓN I no lo aA MI ro calcul
no co En Egipto ya conocían los aban productos OS lo nno lo calculaban notables, perooc algeb cal algebraicamente. raica cul ía ment ab POLINOMIOS n e. an lo POLI alg s pr NOM eb rai o IOS ca d me u nt ct e. os n PO ot LI a bl N Es el proceso que consiste en transportar un es polinomio racional entero en una multiplicación de P(x) O , = (x - 7) (x + 2) dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a p MI uno, llamado factores: Tiene 2 factores primos son: x – 7; x +2 er O o multiplicación S n 2 (x + 1) (x + 3) = x + 4x + 3 o Ejemplo 2 lo factorización c y) = x4 y3 – x2 y5 Q(x, al Factorizando Y si estos factores no se pueden descomponer c 2 3 2 2 en más factores se les denomina factores primos. Q(x, ul y) = x y (x – y ) a Factorizando b Ejemplo 1 a primos son: x – 7; x + 2 2 Tiene 2 factores P(x) = x – 5x – 14 n Son: Factorizando al x; y; x + y; x - y g Dpto. de Publicaciones 2003 112 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” e br i
C A
En Egipt o ya conoc ían los produ ctos notab les, pero no lo calcul aban algeb raica ment e.
POLI NOM IOS
a m e II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO nt e.
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
POLINOMIO FACTORIZADO
# DE FACTORES PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z 2x3 P(x, y, z) = x 2 y3w5 P(x, y) = (x + y)(x 2 – xy + y2)x4 P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
P Se sacan lasO variables comunes de todos los L términos. I N O Se escoge elMque tiene menor exponente. I O S Se multiplica el M.C.D. por la variable común.
P(x, y) = x 3 y4(x - 2)(x - y)
x4
x3 x2
x2
5x2
P(x, y, z) = (xyz) 2 P(x) = x3(x4 + 1) La factorización queda así:
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
5x2(5x2 – 6x + 1)
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.
P(x) = abx2 – acx
P(x, y) = x 2 y3 – x4 y + x 3 y3
Factorizar: 25x4 – 30x3 + 5x2
Se halla el máximo común divisor de los coeficientes M.C.D. (25; 30; 5) = 5
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = 2x2 – 4x + 6x 3
Ejemplo 1
FACTORIZACIÓN MONOMIO COMÚN
POLINOMIO
P(x, y) = 5x 3 y4 – 15x4 y5 + 2ax5 y5 25 – 30 – 5 5 5- 6 -1
P(x) = abx2 – ax3 + bx P(x, y) = x 4 – x3 + x P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 113
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.
P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1 P(x, y) = 12nx a yb + 4nxa-1 yb-2 –
Ejemplo 1
8nxa+1 yb+2
a2x + 5m2x – a2 y2 – 5m2 – y2
Observa que en todos los términos no hay expresión común:
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.
a2x + 5m2x – a2 y2 – 5m2 y2
Ejemplo 1
P(x) = 2x2 y(m + n) – 3z4(m + n) + 5(m + n) Observa que un polinomio (m + n) se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda: 2
Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común. Entonces: a2x + 5m2x – a2 y2 – 5m2 y2
4
(m + n) (2x y – 3z + 5) Ejemplo 2
P(x, y) = (x 2 + y2)x – (x2 + y2)y – 2(x2 + y2)
Por monomio común
Tienen común x
Tienen común y2 y se puede sacar el (-) x(a2 + 5m2) – y2(a2 + 5m2)
Por monomio común
El polinomio que se repite es: x 2 + y2 Queda: (x2 + y2) (x – y - 2)
POLINOMIO
(a2 + 5m2) (x – y2)
FACTORIZACIÓN POLINOMIO COMÚN
Ejemplo 2 mx + m2 + xy + my
Monomio Común
m(x + m) + y(x + m)
Monomio Común
2
(a - 2)x – (a – 2)
Polinomio Común
y2(x + y - z) + m 2(x + y - z)
(m + y) (x + m)
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b) a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
POLINOMIO
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
m2 y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2 5a – 3b – 3bc 5 + 5ac5
C. FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
POR
Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los
6x3 – 1 – x2 + 6x 7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2 d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m
114 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
D. IDENTIDADES
(3x)3 + (2)3 = (3x + 2) [(3x) 2 – (3x)(2) + (2)2] = (3x + 2) (9x2 – 6x + 4) 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x 2 – 6x + 4)
Aquí utilizamos dos diferentes productos notables ya estudiados. a2 – b2 = (a + b)(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
POLINOMIO
a2 – 2ab + b2 = (a - b)2
c2 – b2 x2 + 10x + 25
Recuerd a
64 – x3 64x2 – 25 49x2 – 14x + 1
Ejemplo 1
x2 – y2 = (x + y)(x - y) (por diferencia de cuadrados) x2 + 2xy + y2 (por trinomio cuadrado perfecto) x2 y2
xy 2xy
25m2 – 36n2 36n2 + 48xy + 16y2 36x2 + 84xy + 49y 2
E.
Trinomio Cuadrado Perfecto
x2
ax2 + bxy + cy2
x3 – y3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) (Diferencia de cubos)
Su método es: ax2 + bxy + cy2
Ejemplo 2 Factorizar: a) 4x2 – 9 (parece diferencia de cuadrados) Le damos forma: 4x2 – 9 = (2x) 2 – 32 = (2x + 3)(2x - 3) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x - 3) (Por diferencia de cuadrados) b) 25x2 – 40xy + 16y 2 25x2 5x
Se descom ponen en lo factores extremos
Los factores s escriben e forma horizontal
Se realiza un producto en aspa y los resultados se adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término central del trinomio dado.
(Parece trinomio cuadrado perfecto)
16 y2 x
ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar trinomios de la forma:
y ⇒ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x
FACTORIZACIÓN IDENTIDADES
Ejemplo 1
4y ⇒ 25x2 – 40xy + 16y 2 = (5x – 4y) 2
20xy x2 40xy ⇒
x2 + 5x + 6 x +3 x +2 Observa que los factores son (x + 3)(x+2) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
3
c) 27x + 8 (Parece suma de cubos) Le damos forma: 27x3 + 8 =
Ejemplo 2
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 115
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
⇒
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
x2 - 5x - 6 x -6 x +1 x2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)
TRINOMIO x2 + 7x + 12 x2 – 2x - 15
Ejemplo 3
⇒
FACTORIZACIÓN ASPA SIMPLE
X2 + 8xy + 7y 2
6x2 - 7xy – 20y 2 3x +4 2x -5 6x2 - 7xy – 20y 2 = (3x + 4)(2x - 5)
x2 + 2xy – 35y 2 4x2 – 12xy + 5y 2 12x2 - 8xy – 15y 2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 87.
Indique el número de factores primos: F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7 a) 3 d) 1
88.
b) 9 e) 18
c) 10
Factorizar: T(a, b) = a 3 + a2b + ab2 + b3 a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) b) (a2 + 1) (b2 + 1) c) (a2 + b2) (a + b)
89.
d) (a + b) 2 (a2 + b) e) (a2 + b) (a + b2)
Factorizar: P(x) = x5 + x2 – x - 1 a) (x - 1)(x + 3) 2 b) (x + 1) 2 (x - 1) c) (x + 1) (x - 1)
90.
Señale un factor primo de segundo grado: G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2) a) 1 + a2 d) a2 + b2
91.
b) 1 + ab e) 1 - ab
c) ab - 1
Indique el factor primo que mas se repite en: E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1 - x a) x – 3 d) x + 2
92.
d) (x - 1) 2 (x + 1) e) x(x + 1) 2
b) x – 2 e) x + 4
c) x - 1
Factorizar: P(a, b, c) = a(b 2 + c2) + b(c2 + a2)
116 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo: a) 1 d) 4 93.
c) 3
¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión? P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz a) 1 d) 4
94.
b) 2 e) 5
b) 2 e) 5
c) 3
Luego de factorizar: F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1; indique el término independiente de un factor primo. a) b + 1 d) a + b + 1
95.
b) a + 1 e) a – b + 1
c) a + b
Un factor de: a2x2 – 8acx + 16c 2 – 25b2 es: a) ax + 4c + 5b b) ax – 4c + 5b c) ax – c + 4b
96.
d) x + ac e) ax – c - 4b
Factorizar: P(x, y) = (x + 1) 2 – (y - 2)2 Hallar un factor primo: a) x + y – 1 d) x – y – 4
97.
b) x – y – 2 e) x – y - 7
c) x – y - 3
Factorizar: R(x) = 8x3 + 27; indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes. a) 2x – 3 d) 9x2 – 6x + 4
98.
Calcular la suma de los factores primos de: T(x, y) = (xy + 1) 2 – (x + y)2 a) 4 d) 2(x + y)
99.
b) 3x + 2 c) 2x + 3 2 e) 4x – 6x + 9
b) x + y e) x - y
c) 2
Indique el número de factores primos en: P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
100. Indique un factor de: P(a, b) = 3 + 2a 2b + 4ab2 + 8b3 a) a2 + b2 d) a + 2b
b) a2 + 2b2 e) a + 4b
c) a + b
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 117
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
101.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Indique un factor de: P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab – c2 – d2 – 2cd a) a + b – c + d d) a + b + c - d
b) a + b + c + d c) a – b + c - d e) a – b – c - d
TAREA DOMICILIARIA Nº 6 75.
Factorizar: P(a) = a3 + 2a2 – a – 2; e indicar el factor primo con mayor término independiente. a) a + 1 d) a – 1
76.
b) 3a + 1 e) 2a + 5
c) a + 2
Factorizar: P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7; indicar cuántos factores primos se obtienen: a) 3 d) 6
77.
b) 4 e) 7
c) 5
Indicar un factor de: P(x, y) = a 2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by) a) a + b + x – y b) a + b – x – y c) a – b + x - y
78.
d) a – b – x + y e) a – b – x - y
Factorizar: H(x, y) = 4x 4 + 81y4 a) 2x2 – 6xy + 9y2 b) 9x2 – 6xy + 2y 2 c) 2x2 – 6xy – 9y2
79.
d) 9x2 + 6xy + 2y 2 e) N.A.
Factorizar: P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) – 2ac; y señalar la suma de coeficientes de un factor primo y obtenido. a) 1 d) -1
80.
b) 3 e) 0
c) 4
Factorizar: N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3; indicar el término independiente de un factor obtenido. a) 5 d) 4
81.
b) 2 e) 7
c) -5
Indicar un factor de: P(a, b) = a(b 2 + b + 1) + b(a2 + a + 1) + a 2 + b2 a) a + b + 1 d) a + 1
b) a2 + 1 e) a2 + b2
c) b2 + 1
118 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
82.
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Factorizar: A(x) = x4 + 2x2 + 9; luego indique algún termino de un factor primo. a) x d) x2
83.
b) 8x e) 9
c) 7x
Indicar la suma de factores primos: F(a, b) = a 3 – b3 + a2b – ab2 a) 2a d) 1
84.
b) 2b e) 0
c) a + b
Factorizar: M(x, y) = x 4 + 14x2 + 49 + y4; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 9 d) 4
85.
b) 6 e) 8
c) 11
Reconocer un factor de: mn4 – 5m2n3 – 4m3n2 + 20m4n a) m + 2n d) m(m – 2n)
86.
b) 5n – m e) (n – 2m)n
c) n + 5m
Factorizar: P(x, y, z) = x 2 + y2 + x(y + z) + y(x + z); indicar un factor primo. a) x + y d) y + z
87.
b) x + y + z c) x + z e) Mas de una es correcta
Factorizar: P(x) = 4x4 + 15x2 + 36; indique un factor primo. a) 2x2 -3x + 6 b) 6x2 – 3x + 2 c) 2x2 – 3x - 6
88.
¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio? P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 a) 1 d) 4
89.
d) 2x2 + 3x - 6 e) 6x2 + 3x + 2
b) 2 e) 5
c) 3
Dado el polinomio: P(x) = x20(x27 + x20 + 1) + x7(x20 + 1) + 1; indicar un factor: a) 2x10 + x5 + 1 b) x10 – x5 – 1 c) x20 – x10 + 1
d) x25 + x5 + 1 e) x18 + 3x15 + 5
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 119
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
NIVEL: SECUNDARIA
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
SEMANA Nº 7
TERCER AÑO
FACTORIZACIÓN II Veremos los siguientes casos:
F.
(
) (
)
ASPA DOBLE Es un método que sirve para factorizar polinomios de la forma:
G. método del aspa doble especial Este método se emplea para factorizar polinomios de cuarto grado de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dy + Ex + F Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E Se sigue el siguiente procedimiento: Se descompone los términos (Ax 2) y (Cy2) De tal manera que cumpla aspa simple con Bxy. Ax2 + Bxy + Cy 2
1.
2. Se decompone (F), con la descomposición de Cy2 se verifique aspa simple con Dy. Cy2 + Dy + F 3.
Se comprueba la siguiente aspa: Ax2 + Ex + F
Ejemplo: Factorizar: 3x2 – 5xy – 2y 2 – 8y + 11x + 10 3x +y 5 x -2y 2 (3x + y + 5) (x – 2y + 2)
Para factorizar se procede: 1. Se adecua al polinomio a la forma general, si faltase uno de los términos se completa con ceros. 2.
Se descompone conveniente el último (E) y el primer (Ax4) término, luego se efectúa el producto en aspa y se calcula la suma de dichos productos en aspa. 3. El resultado anterior se compara con el término central (Cx2) y la expresión que sobre o falta se descompondrá debajo del término central. 4. Luego la expresión descompuesta realizará un aspa simple hacia el lado izquierdo con (Ax 4) y hacia el lado derecho con (C) verificando (Bx 3 y Dx) concluyendo que los factores serán las sumas horizontales de los términos resultantes de las descomposiciones. Ejemplo: P(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 11x + 10
5x2 – 6xy + y2 – 5y + 13x + 6 5x
-y
x2
-3x
5
→ 5x2
x2
-x
2
→ 2x2
7x2 +3x2 P = (x2 – 3x + 5) (x2 – x + 2)
120 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Para factorizar indicaremos lo siguiente: 1. Determinaremos los posibles ceros de un polinomio dividiendo los divisores del termino independiente entre los divisores del coeficiente principal (incluir los negativos).
4
2
F(x) = x – 3x + 8x – 7x + 5 1
(
3
)(
)
F(x) = x4 – 4x3 + x2 – 8x – 35 +5
2. Se evalúa con el posible cero utilizando la regla de división por Ruffini, si dicha división resulta exacta entonces hemos hallado un factor del polinomio y el cociente será el otro factor. Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 i) x = ±1; ±2 (posibles ceros). ii) 1 -3 4 -2 1
-2
1
-2
2
x2
x
T.I.
x=1 (
)(
)
0
iii) (x - 1) es factor (x2 – 2x + 2) es el otro factor
H. método de lOs divisores binómicos Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado que admitan por lo menos un factor binómico de la forma (ax + b) o transformable a ella. Cero de un polinomio es el valor o valores que anulan a un polinomio. Ejm.: Sea: P(x) = x2 – 4x + 3
P(x) = (x - 1)(x 2 – 2x + 2)
Para: x = 3 P(3) = 32 . 4 . 3 + 3 P(3) = 0 3 es un cero de P(x)
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Factorizar: P(x) = x3 + x2 + x + 6 i) x = ±1; ±2; ±3; ±6 1
1
1
6
-2
Dpto. de Publicaciones 2003 121
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 102. Indicar un factor de: 6x2 – 13xy + 2y 2 + 5y – 8x + 2 a) x – 2y – 1 b) 6x + y + 2 c) 6x + y - 2
108. Indicar un factor de: x3 + 6x2 + 14x + 15
d) x + 2y - 1 e) N.A.
103. Factorizar: 2x2 + 3y2 + 7xy – y + 3x - 2 a) (x – 3y + 2) (x + y - 1) b) (x + 3y + 2) (2x + y - 1) c) (x – 2y + 3) (3x – y - 1) d) (x + 3y - 2) (2x – y + 1) e) N.A.
a) (x - 3) d) x – 21
a) x + 1 d) x + 4 110.
x2 + 6y2 – 5xy – x - 6
111.
a) (x + 2y - 3) (x – 3y - 3) b) (x + 3y + 3) (x –y - 9) c) (x – 2y + 2) (x – 3y - 3) d) Faltan datos e) Todas 106. Factorizar: 2x2 – 24y2 + 2xy – 2x + 34y - 12 a) (x + 4y - 3) (2x – 6y + 4) b) (x – 4y + 3) (3x + 6y + 9) c) (7x – 2y + 3) (3x – 6y + 4) d) (4x – 2y + 3) (x – y - 1) e) N.A. 107. Factorizar: 3
x + 5x – 18x + 8 a) (x - 2) (x2 + 7x - 4) b) (x + 2) (x2 + 7x - 4) c) (x - 2) (x2 – 7x + 4) d) N.A. e) Todas las Anteriores
115.
b) x2 + 3x + 2
c) x2 – 3x -
e) N.A.
d) x2 – x - 4 e) N.A.
b) 2x2 + x – 1 e) 3x2 – x - 2
c) x2 – 3x - 7
Indicar un factor: x4 – x2 – 2x - 1 a) x2 – x – 1 d) 2x2 – 3x + 2
2
c) x - 8
Factorizar e indicar un factor: 2x4 – 3x3 + 16x2 – 8x + 7 a) x2 – x + 7 d) 2x2 – 2x – 9
114.
b) x + 9 e) x + 12
Indicar un factor: x4 + 8x3 – x2 – 62x + 36 a) x2 + 2x – 9 b) x2 – 9x – 3 c) 3x2 – 10 – 2x
113.
c) x + 3
Indicar un factor: x4 – x3 – x2 – 5x + 6 a) x2 – 3x + 2 2 d) 2x2 – 3x – 2
112.
b) x + 2 e) x + 5
Indicar un factor de: x3 – 14x2 + 47x + 8 a) x + 8 d) x – 10
x2 – y2 + 10y - 25
105. Factorizar:
c) (x + 3)
109. Indicar un factor: x3 – 4x2 – 13x - 8
104. Factorizar: a) (x – y + 5) (x + y - 5) b) (x + y - 5) (x + y - 5) c) (x – 2y - 5) (x – y - 5) d) (x + y + 5) (x + y + 5) e) N.A.
b) (-x + 3) e) x + 2
b) x2 + x + 1 e) x2 + 3x - 2
c) x2 – x + 1
Indicar un factor: 6x4 + x3 – 2x - 1 a) 2x2 + x + 1 b) 3x2 + x + 1
122 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
d) 2x2 – x - 1 e) N.A. Dpto. de Publicaciones 2003
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
c) 3x2 + 2x + 1 116. Indicar un factor: 10x4 + 13x3 + 15x2 – 7x - 4 a) 5x2 – x – 1 d) 6x2 – x – 1
b) 5x2 + x – 1 e) x2 – 3x + 4
d) 3x + 5y + 2 e) N.A.
b) 2x + y + 2 e) N.A.
c) 2x – y + 2
b) x2 + 3x + 6 e) N.A.
b) x2 + 5x + 1 e) 2x + 1
c) x2 – 5x - 1
b) x - 1 e) N.A.
c) x + 2
Después de factorizar: M(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6; se iguala a cero uno de los factores se obtiene entonces: a) x = 2 d) x = -3
b) x = 4 e) x = -4
c) x = 3
100. Indique un factor primo: P(x) = x4 + x3 + 2x2 + 2x + 4 a) x2 + 2x + 2 d) x2 + x + 2 101.
b) x2 + 2x + 1 e) x2 – 2x + 1
c) x2 – x + 3
La suma de coeficientes de un factor primo de: T(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10; es: a) 1 d) -2
b) -6 e) 8
c) 2
102. Factorizar: A(x) = 2x4 + 5x3 + 10x2 + 9x + 6; indique un factor primo: a) 2x2 + 3x + 2 b) x2 + x – 2 c) x2 + 3x + 3
d) 2x2 + 3x + 3 e) 2x2 + x + 2
103. Factorizar: x4 – 4x3 + 11x2 – 4x + 10; el factor cuadrático es:
Factorizar e indicar un factor: x3 – 2x2 + 3x + 6 a) x2 – 2x - 3 d) x + 2
96.
d) x – 2y + 2 e) N.A.
Indicar un factor de: 8x2 + 10xy + 3y 2 – 9y – 14x + 6 a) 2x + y – 2 d) 2x – y – 2
95.
d) x – 3y + 2 e) N.A.
Indicar un factor de: 3x2 + 8xy + 5y 2 + 7y + 5x + 2 a) 3x – 5y + 2 b) 3x + 5y – 2 c) 3x – 5y - 2
94.
99.
Indicar un factor de: 2x2 – 5xy + 2y 2 – 8y + x - 10 a) x + 2y + 2 b) x – 2y – 2 c) x + 2y - 2
93.
d) x – 7y + 3 e) N.A.
c) 3
Factorizar: F(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8; indique un factor: a) x + 1 d) x - 3
Indicar un factor de: x2 – 4xy + 3y2 – 8y + 4x + 4 a) x + 3y + 2 b) x – 3y – 2 c) x + 3y - 2
92.
98.
b) 2 e) 5
Factorizar: S(x) = 4x3 + 19x2 – x – 1; indique un factor primo. a) x2 – 5x + 1 d) x2 + 5x – 1
Factorizar: x2 – 5xy – 14y 2 – 41y + 2x – 15; indicar un factor: a) x + 7y + 3 b) x – 7y – 3 c) x + 7y - 3
91.
97.
c) 5x2 – x + 1
TAREA DOMICILIARIA Nº 7 90.
a) 1 d) 4
c) x + 1
Factorizar: G(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10; e indique el número de factores primos lineales.
a) x2 + 4x – 10 d) x2 – 4x + 10
b) x2 – 2c) x2 + 2 e) x2 + 4x + 10
104. Luego de factorizar: x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + 4;
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003 123
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE”
II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
indicar el término independiente de un factor primo: a) 1 d) -1
b) 2 e) N.A.
c) 4
124 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones 2003