y=
2
x + ... + x
Álgeb ra
3
5to grado – III Bimestre
Ín dice Indice
Pág
Monomios
55
Adición y Sustracción de Monomios
59
Multiplicación de Monomios
67
División de Monomios
71
Polinomios
75
Valor numérico de un Polinomio
81
Adición de Polinomios
87
Repaso
91
Monomio s Recuerda que... ...el Monomio tiene un solo término algebraico.
•
Por ejemplo: 4x3y4 ; -2x2 ; también:
M(x) = -5x2 ;
x2y3z4 M(x;y)= +10x3y4
Grados de un Monomio Cuando el monomio presenta dos o más variables se consideran dos grados:
a.
Grado Absoluto (G.A) Cuando se refiere a todas sus variables y está indicado por la suma de los exponentes de las variables.
b.
Grado Relativo (G.R) Cuando se refiere a una sola variable y está indicado por el exponente de la variable en mención.
• Ejemplo 1 M
(x;y)
= 3x2y3
G.A. = 2+3 G.A.= 5 G.R.(x) = 2 G.R.(y) = 3
• Ejemplo 2 Álgebra - 5to. grado
3 4 2
55
N(x;y;z) = 5x y z G.A. = 3+4+2 G.A.= 9 G.R.(x) = 3; G.R.(y) = 4; G.R.(z) = 2
56
Álgebra – 5to. grado
3
Resuelve los siguientes ejercicios:
a. A(x)= 5ax 2
g.
(x)
Variable(s):
G.R.(x) =
G.A. =
G.A. =
b. B(x)= 3a 2b 3x 4
h.
Variable(s):
G.R. = (y)
G.A. =
c2 x10
Variable(s):
i.
G.A. =
G.R.(y) =
Variable(s):
G.A. =
G.R.(x) = (y)
Si: C(x;y) = 7a2b3 x6y3, entonces: G.R.(x) =
d. D(x;y)= 2x 2y 3
G.R.
Si: B(x;y) = 6x4y5, entonces: G.R.(x) =
G.A. = c. C(x)= a3 b4
Si: A = 6x2, entonces:
j.
=
Calcula el valor de "a", si el (x) monomio: M = 5xa
G.A. = e. E
(x;y)
es de grado absoluto 5.
=6abx 2y 7
Rpta.:
Variable(s): k.
G.R.(x) = G.R.(y) =
Rpta.:
G.A. = f. F(x;y;z)=4x 3y 4z
Si: N = 30x 2y b; es de grado absoluto (x;y) 9, halla el valor de "b".
9
l.
Sea: A
(x;y)
= axby 5, halla el valor de "b", G.A. =
Variable(s): G.R.(x) = G.R.
(y)
=
G.R.(z) = Álgebra - 5to. grado
57
si el monomio es de grado absoluto 12. Rpta.:
58
Álgebra – 5to. grado
m.
Halla el "G.R.(x)" si: B
(x;y)
n.
=
x a y4
ñ.
Sea: "xyz" un monomio, entonces: G.R.(x) =
es de grado absoluto 7.
G.R.(y)
=
Rpta.:
G.R.(z)
=
Sea: "x" un monomio, entonces:
G.A. =
G.R.(x) = G.A. =
¡Ahora, hazlo tú! 1. Completa: a. A(x) = 5ax2 Variable(s):
2. Si: A(x) = -7x5, entonces: G.R.(x) = G.A. =
G.A. = b. A(a) = 5ax2 Variable(s): G.A. =
3. Si: B(x;y) = 8x5y 3
4. Si: C(m;n;p) = 4m2 n3 p4 q5
G.R.(x) =
G.R. (m) =
G.R. (y) =
G.R. (n) =
G.A. =
G.R.
(p)
G.A. =
=
3
3
5.
Si: N(x;y) = 40x 2y a ; es de grado absoluto 12, calcula el valor de "a".
6. Si: M(x;y) = 30xb+1 y4; es de grado absoluto 9, calcula el valor de "b". 7. Si: A(x;y) = 5xa-1
y
b+3
; es de grado absoluto 12, calcula el valor de "a+b".
8. Sea: R(x;y) = 3xa+1
y
b+1
; si: G.R.(x) = 4 y G.R.(y) = 5, calcula el valor de "a+b".
9. Sea: P(x) = 5x2 ; entonces: G.R.(x) = G.A. =
10. Sea: P(x;y) = 7x5yb-1 si: G.R.(y) = 8, calcula el grado absoluto de P(x;y).
Desafío Sea: P(x;y;w) = (a+2b)x2a-1
y3b+2 w5
si: G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 14, calcula el coeficiente de dicho monomio.
Adición y Sustracción de Monomio s ¡Presta atención! continuamos con:
ADICIÓN DE MONOMIOS Para sumar "monomios" , se escriben dichos monomios, unos a continuación de otros, con sus respectivos signos; luego, se reducen términos semejantes, si los hay. Ejemplos: a.
Sumar: 2a3; 3b2; 5x4; +5a3; -3x4 entonces: 2a3 5a3 3b2 5x 4 3x4 3
2
7a 3b 2x
4
-2b = -2b La suma será:
b.
Sumar: 4a; 3b; 6c 4a = +4a 3b = +3b 6c = +6c La suma será: 4a+3b+6c
c.
Sumar: 8a; -2b 8a = +8a
8a+(-2b) 8a - 2b
Obser vación : El signo positivo (+) delante de una cantidad se sobreentiende así: 5x = +5x
Recuerda que...
=•
Cantidades de signos iguales se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo.
=•
Cantidades de signos diferentes se restan los valores absolutos y se pone el signo del mayor.
Nota: El uso de la propiedad es de gran utilidad para efectuar la comparación.
3
Ejercicios: Efectúa en cada caso: a. Suma: 8x2; 11b3x5; -3a2; -3b3x5
b. Suma: 9a3x4; -3a3x4; 3a2; 4a2
c. Suma: 10x; +50x; -40x; +5x; -x
d. Suma tres veces "x", con cinco veces "x".
e. Suma siete veces "x", con nueve veces "x".
f. Suma el triple de "x" al cuadrado, con el doble de "x" al cuadrado.
g. Suma el cuádruple de "x" al cubo con 7x3.
Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Suma: 4x3; 5x3; 11x3; 15x3; 3x3 a. x3
b. 2x3
c. 38x3
d. 4x3
c. y
d. x+y
2. Suma: 5x; 9y; 7x; 11y; 12x; 19y a. 1
b. 24x+39y
3. Interpreta y efectúa: a. Agrega a 9 veces "x" al cubo; 6 veces "x" al cubo. b. Agrega a 15 veces "x" al cuadrado; 11 veces "x" al cuadrado. c. Siendo "x" el precio de un caramelo, ¿cuánto gasto si compro 1; 2; 3 y 4 caramelos?
4. Si: M(x) = 3x2; N(x) = 10x 2; S(x) = x 2; halla el valor de: a. M(x) + N(x)
b. M(x) + S(x)
c. N(x) + S(x)
d. M(x) + N(x) + S(x)
5. Halla la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono. Triángulo equilátero
Cuadrado
10x2
5y
Perímetro:
Perímetro:
Triángulo isósceles
7x
Rectángulo
2x-1
5y
Perímetro:
4x+3 Perímetro:
¡Ponemos a prueba nuestra atención en clase!
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para restar dos monomios se escribe primero el monomio "minuendo" con su respectivo signo y a continuación el monomio "sustraendo", con el signo cambiado.
Nota: El uso de la propiedad es de gran MINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA utilidad para efectuar la comparación. Ejemplo: Efectúa: a. (5a3x2) - (2a3x2) entonces: 5a3x2 - 2a3x2 = 3a3x2 b. 8a3 - (-5a3) entonces: 8a3+ 5a3 = 4
3
4
3
c. 5b m - (-2b m ) entonces: Resta: a. 3x2 de 12x2 entonces: 12x2 - 3x2 = 9x2 b. 7y3z4 de 21y3z4 entonces: c. x7y7 de 16x7y7 entonces: Ejemplo: a. De: 17x2y3 restar 2x2y3
Recuerda que... ...si delante de una cantidad está el signo menos, esta cambia de signo. -(-2)= + 2
-(4)= -4
-(+ 3)= -3
-(-7)= 7
entonces: 17x2y3 - (2x2y3) 17x2y3 - 2x2y3 = 15x2y3
Recuerda que...
=•
Cantidades del mismo signo se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo.
=•
Cantidad de signos diferentes se restan los valores absolutos y se pone el signo del mayor.
b.
3
De: 4xyz restar 2xyz. entonces:
c.
De: 15x3y3 restar 12x3y3. entonces:
d.
Restar 9 veces "x" de 12 veces "x". entonces:
e.
Restar 3 veces "x" de 6 veces "x". entonces:
f.
Restar 7 veces "x2" de 24 veces "x2". entonces:
Ejercicios:
1. Efectúa las siguientes restas de monomios: a. (16a3x5) - (7a3x5)
b. 6a2 - (4a2)
c. 56m8n3 - (3m8n3
d. Resta 6x3 de 8x3
e. Resta x6 y2 de 2x6y2
f. De 3xyz resta 3xyz
g. De 10xm3 resta 10xm3
h. De 12x2y2 resta 10x2y2
2. Resuelve: A. Resta: 5a de 7a. a. -2a + 5 B. Resta: "y" de "z".
b. -2a - b + 5
c. 2a
d. 2a + b - 5
a. -y - z
b. z - y
c. -z + y
d. z + y
3
C. Resta: 6x 2 a. x
de 15x2.
2
2
b. -11x
c. 11x
2
2
d. 9x
D. Resta: 23x2y3 de 40x2y3. a. x2 y3
c. 17x2 y3
b. 17
d. 17x2
3. Interpreta y efectúa: a. Quítale a 12 veces "x" al cuadrado, 8 veces "x" al cuadrado. b. Quítale a 15 veces "x" al cubo, 9 veces "x" al cubo. c. Si el precio de un chocolate es "x", ¿cuánto me queda si compro diez chocolates y tengo "21x"?
4. Si M(y) = 23y2 ; J(y) = 240y2 ; L(y) = 135y2 halla el valor de: a. J - M (y)
(y)
b. L - M (y)
(y)
c. J - L (y)
d. J - L - M
(y)
(y)
(y)
(y)
¡Ahora, hazlo tú! 1. Suma: 5xy; 7xy; 8xy; xy; 10xy 2. Suma cinco veces "x" al cubo, con el triple de "x" al cubo. 3. Interpreta y efectúa: a. Agrega a 15 veces "x" al cuadrado, 10 veces "x" al cuadrado. b. Siendo "x" el precio de una gaseosa, ¿cuánto gastaré si compro 1; 2; 3; 4 y 5 gaseosas?
4. Si: A(x) = 5x; B(x) = 3x; C(x) = 8x; halla el valor de: a. A(x) + B(x)
b. A(x) + C(x)
c. B(x) + C(x)
d. A(x) + B(x) + C(x)
5. Halla la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono. Triángulo equilátero
Cuadrado
5xy
x3
Perímetro:
Perímetro:
Triángulo isósceles
7x3y
Rectángulo
5x+2
5x3y Perímetro:
6. Efectúa: a. (15xyz) - (10xyz) b. 7x5 - (x5) c. 38a2b3 - (15a2b3) d. 25xy - (8xy)
7. Resuelve: a. Resta 15a de 22a b. De 81x2y resta 72x2y c. De 16a2b resta 15ba2
3x+1 Perímetro:
d. Resta 12a2bc3 de 20a2bc3
3
8. Interpreta y efectúa: a. Quítale a 22 veces "x" al cubo, 17 veces "x" al cubo. b. Si el precio de una gaseosa es "x", ¿cuánto me queda si compro 15 gaseosas y tengo "32x"?
9. Si: A(w) = 25w3; B(w) = 12w3; C(w) = 16w3 halla el valor de: a. A(w) - B(w)
b. C(W) - B(W)
10. Si: W(x;y) = 50y 3x 2;
A(x;y) = 17y x ;
S(x;y) = 9y x
b. A(x;y) - S(x;y)
c. W(x;y) - A(x;y) - S(x;y)
3 2
c. A(w) - C(w)
d. A(w) - B(w)- C(w)
3 2
halla el valor de: a. W(x;y) - S(x;y)
Desafío Calcula: A x x x x x x x x x... x x x 120 veces
d. W(x;y) - A(x;y)
Multiplicación de Monomios ¿Cómo se multiplica un monomio?
•
I.
Se multiplican las partes numéricas.
II.
Se multiplican las partes literales si tienen variables diferentes, solo se juntan si tienen variables iguales; se pone la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplos: a. (4x7) (5y3) = 20x7y3 b. (+2x) (3x6y) = +6x7y c. (8xyz2) (+4x2yz2) = +32x3y2z4
Recuerda que...
d. (3xyz) (x2y3z4) =
x0 = 1
e. (x3 y4) (4x5y7) (2xy) = f. (10x3y4) (3x4y3) =
•
Crea tus propias operaciones: a. (
)(
)=
b. (
)(
)=
c. (
)(
)(
)=
¡Ahora, hazlo tú! Resuelve las operaciones en el cuaderno, según las indicaciones:
1. Halla la expresión algebraica que representa el área de cada figura: a.
rectángulo
b.
cuadrado
2x
5x2 x
c.
2x
d. y 8x 4y + 1
2. Halla: P = A(x) + B(x); si: A = 3x2(5x) y B = (4x)(6x 2) 3. Calcula el coeficiente de: A(x;y) . B(x;y) 5 si: A(x;y) = 4x3y 4(4xy); B(x;y) = 7x (5xy )8
4. Indica el exponente de "z" luego de simplificar: Q(x;z) . P(x;z) si: P
(x;z)
= 7(8x 2z 4) + 2x 2z 4; Q
(x;z)
5. Simplifica: a. 3x(x2 + x3 + x) + x3 (x - 4) b. 3x2y2(6x3y2) + 2x4y(4xy3)
=6(5x 3z 2) + 9x 3z 2
2x
+
8x
¡Demuestra lo aprendido! Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y descubre la palabra mágica. a. 6x3y2(4xy)
b. 2(xy)(3x2y3)
c. 5xyz(yz2) + 3y2xz3
d. 2(x2y2)(3y3x)
e. 2x(x + y) + 5(x2 + xy)
f. (3x3y2)(2xy3)(5x3y)
g. (xy + z)4x + x2y + 9xz Pinta las letras que tengan las respuestas.
6x3y5
7x2 - 7xy
8xy2z3
24x4y3
2+y
A IO L T R
2
3
8x yz
30x7y6
7x2y2z2
La palabra es: ¿Qué significa para ti, tu familia?
5x2y3 + x
-6x3y4
MA BCE 7x2 - 7xy
SFI P
2 3
-6x y
División de Monomios ¿Cómo se multiplica un monomio? I.
Se dividen las partes numéricas, signos y números. (Coeficientes)
II.
Se dividen las partes literales:
• Si tienen variables iguales, se coloca la
misma variable y se restan los exponentes.
• Si tiene diferente variable, se deja el cociente indicado.
•
Ejemplos:
a.
36x 4 12x
2
36 42 2 12 x 3x
81x6 y z z8 3x3y3z3 81 4
b.
c.
d.
e.
9 7
15x y z 7 7
3x y z
3x
6 3 4 3 83
y
z
3
27x yz
5
48x8y6 2x4 y26 12x
10 5
y
2 3 4
20x a x 2 5 4a x a
Álgebra - 5to. grado
71
3
¡Listos... a trabajar! 1. Resuelve los siguientes ejercicios: a.
5
63x yz 3
7x yz
4
3
b.
m
8 6
48x y
4 3
3x y
c. Si se cumple: 48x2 8x ; halla: E=m+n nx
10 b
d. Si: ax
y
5
6x4 y2 2x6 c y8 ; halla "a + b - c"
e. Si: P = 100x3; Q = 25x2; halla: P(x) Q(x) (x)
(x)
2. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y relaciona pregunta - respuesta:
a.
b.
9 10
34x y
2 2
34x y
20x
7 8
•
• x y
•
• 4x y
•
• 12
•
• 4xya
•
• 40
10 12 9
y a
9 11 8
5x y a
c. Halla el producto "mnp"; si:
15x
m n n 1
y
3 4
2 2
3
px y 3x y
4 5
d. Si : C x;y 48x y
2 3
D x;y 12x y hallar halla:: Cx;y Dx;y
e. Halla :el G.A.de :R x;y Sx;y ;Si 8 6
4 2
: Rx;y 72x y ;Sx;y 9x y
3
3
¡Demuestra lo aprendido! Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y compara los resultados con tus compañeros. a. Si: M(x) = 58x2; N(x) = 2x; halla P(x) N(x)
b. Halla: R (x) B(x); si: R(x) = 225x3; B(x) = 15x
c. Halla: A(x;y) B(x;y); si: A(x;y) = 35x y3 ;4B(x;y) = 7xy
4
d. Halla: M (x) N(x) ; si: M(x) = 18x9; N(x) = 6x3 El G.A. de: M(x) N(x) es:
M x; y;z x N x;y ;luego de simplificarlo;si : e. Halla lla el G.R.x de P x;y;z : 3 4 5
6
7 3 3
M x;y;z 16x y z ; N x;y;z 12x y; P x;y;z 12x y z 3
f.
Q x 4 10 Hallar ; si :Qx 2x ; Px 4x Halla: : P x
Polinomio s Definición: Es una expresión algebraica racional entera (los exponentes de sus variables son números enteros no negativos). Ejemplos: 2
2
a. 2x 6x 3
b. x 2x 1
2
2
c. x 3x y 3xy y 2
e. Px;y x y
3
2
d. Px x 2x 4
2
f.
3
2
Qx 4x 3x x 3
Recuerda que... ...números enteros no negativos significa números mayores o iguales a cero. Grados de un polinomio Tenemos que distinguir: a.
Grado Relativo, respeto a una de sus variables. Está dado por el mayor exponente que dicha variable tiene en el polinomio. 2 4
3 3
4
5 2
Ejemplo: En: 5 x y 3x y 2x y x y ,luego :G.R.x 5;G.R.y 4 b.
Grado Absoluto, respecto a todas sus variables. Está dado por el mayor grado absoluto de los términos del polinomio. Ejemplo: 2 6 4 5 8 2 Sea: Px;y x y 3x y 2x y Luego: G.R.x 8; G.R.y 6 Para calcular el grado absoluto, se debe calcular:
- El grado absoluto del 1er término = 2 + 6 = 8 - El grado absoluto del 2do término = 4 + 5 = 9 - El grado absoluto del 3er término = 8 + 2 = 10 - El mayor grado es: 10 = G.A.
3
¡Ahora, hazlo tú! 1. Identifica cuántos términos tiene cada polinomio: 2
a. P x x 2x 1 Rpta.: 2 2
b. Px;y x y 3x 3y
3
Rpta.: c. Px;y x 3 y 3 2x 2 y 2 2y 3 Rpta.:
2. Halla el grado absoluto de los siguientes polinomios: 5
4
3
a. P x x 2x 3x 2x 1 Rpta.: 2
3
b. Px 6x 3x 7x 8x
4
Rpta.: 6
6
2 4
8 3
c. Q x;y x y 3x y 6x y Rpta.:
3. Halla el valor de "a", si el grado absoluto del polinomio: P x xa 2 3x ;es 3. Rpta.:
4. Halla el valor de "b", si sabe que el grado relativo de "x" es 6 en el siguiente polinomio: P x;y 5x2 y3 3xb y4 Rpta.:
5.
Hallar : G.R. Halla:
x y G.R.y , si :
P x;y 3x2 y3 x 4y y 4 G.R.(x) =
Hallar : G.R.x 6. Halla:
;
G.R.(y) =
y
G.R. y y G.A. en: en :
P x;y 6x2 3y5 x 4y 3 7 G.R.(x) =
G.R.(y) =
G.A. =
7. Indica (V) si la proposición es verdadera y (F), si es falsa. • El grado absoluto de un polinomio es igual al grado absoluto del término de mayor grado.
(
)
• En un polinomio, el grado relativo respecto a una de sus variables viene dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio.
(
)
• Los términos algebraicos en un polinomio están separados por los signos (+) y ( - ).
2 3
• En Px;y 3ax y , las var iables son : " a ", " x " e " y " .
(
)
(
)
3
2
4 3
• Si Px;y;z 5x 3x y z 3a, sus var iables son : " x " e " y " .
(
)
3
8. Si el polinomio "P(x)" es de décimo grado, calcula "m". P x 3xm 2 5xm 6 7xm 1 a 3 5 a 8 9. Calcula "a" si el G.R. 4 en : P x x;y 5x y 6x y
10. ¿Cuál es el valor de "m" para que P(x) sea un polinomio de grado 8? P x 2 3xm 3 5x 4 7xm 1
¡Demuestra lo aprendido! 1. Identifica cuántos términos tiene cada polinomio: 3
2
2
a. Px x 3x 3x 1 Rpta.:
2 3
5 2 7
8 4 2
Rpta.: 2
2
c. Px;y x y 2xy
Rpta.:
2. Halla el grado absoluto de los siguientes polinomios: 6
5
4
2
a. Py y y 4y 3y 5 Rpta.: 2 3
4 5
b. Px;y 5x y 3x y 8x Rpta.: 3 4 8
5
d. Sx;y;z 4x y z x y z z y
Rpta.:
8 2
c. R x;y;z 3x y z x y z z Rpta.:
3
b. Rx;y 4x 7x y 5x y
4
3
m
5
3. Halla el valor de "m", si el grado absoluto del polinomio: R x x 4x ; es 8. 4. Halla el valor de "a", si se sabe que el grado relativo de "x" es 15 en el siguiente 5 4
polinomio: M x;y 8x y 5x
5. Halla: G.R.
a 1 9
y
5 8
3 9
2 5
x y G.R.y ; si : Sx;y 4x y x y x y
G.R.(x) =
G.R.(y) =
6. Halla: G.R.
8
6
4 7
x , G.R.y y G.A en : R x;y 7x 4y x y 2
G.R.(x) =
G.R.(y) =
G.A.=
7. El polinomio P(x) es de cuarto grado. Halla "m": P x 7x 1 m 6 x 2 m 5 x 3 m
8. Calcula el G.A. del siguiente polinomio si se sabe que es de sétimo y décimo grado respecto a "x" e "y" respectivamente: P x; y
5x
a3 5 b
y
2 3x
a2 8b
y
9. Se sabe que el polinomio: Px;y 2x
n2 m
y
n m 1
3x y
4x
n 3 m 3
y
tiene: G.R.(x) =7; G.R.(y)=6; calcula el valor del grado absoluto.
10. Calcula "b" si el G.R.(x) = 9 en: Rx;y 7x b 5y 7 4x by 2
3
3
Desafío Halla "m", m ∈ IN, sabiendo que el polinomio P es de grado 36. (x)
5m3 Px 0,2 x
2
m1 7 x
3
Valor numérico de un Polinomio 1. NOTACIÓN POLINÓMICA Un polinomio cuya única variable es "x" puede ser representado así: P(x). Se lee: "P de x" o P en x" Significa: polinomio cuya variable es "x" Por lo tanto: a. M(x) = 5x2
"será un monomio de variable x" 2 3
b. Mx;y 10x y "será un monomio de variables x e y" 2
c. Px x 2x 1 "será un polinomio de variable x" 3
2 2
3
d. Px;y x y 3x y xy "será un polinomio de variable x"
Recuerda que... ...monomio es un polinomio de un solo término.
2. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO. Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables del polinomio por los valores numéricos que se dan. Ejemplo 1:
Si M(x) = 3x2; halla: M(2) Resolución: Resolución: M(x) = 3x2 Como: M = 3(2) 2 (2) M(2) = 3 x 4 M = 12 (2)
Ejemplo 1:
Si M(x;y) = 10x 3x 4; calcula: M(1;2) Resolución:
Resolución: M(x;y) = 10x3x4
Como:
M(1;2) = 10(1) 3(x) 4 M(1;2) = 10x1x16 M(1;2) = 160
¡Ahora, hazlo tú!
3 1. Si M(x) = x 3
5. Si M(x;y) = x2 y2
calcula: M(3)
calcula: M(2;3)
3y
2. Dado: M(y) = 3 halla: M(1)
3. Si M(z) = 2z
2
4. Halla el valor de: M(2) + N(2) (x)
si: M
(3)
4 calcula: M(4)
Si M =
6. Dado M(x) = ax2
2x4
N(y) = 4y2
= 36; halla "a"
7. Dado: N(x;y) = 3xya+1 si: N
(1;2)
= 24; halla "a"
8. Si: P(x) = 4x2 + 4x + 4 halla: P(3) - P(2)
9. Si:
Q(x) = 3x3 + 2x2 R (x) = 2y3 + 3y S(z) = z3 - z2
halla el valor de: A = Q(1) + R(2) +
10. Si: R (x) = ( x + 5 )2 calcula:
3
R10 R5 E R0
S(3)
¡Demuestra lo aprendido! 1. Cuando: halla:
M(x) = 5x4 M(2)
3. Si: M(x) = 10x3; N(y) = 13y 10
halla el valor numérico de: M -N (1)
2. Si:
M = (y)
halla: M(6)
6y 2
(1)
M5 4. Halla el valor de: J = N 1 Si: M(x) = 5x3; N(y) = 125y
3
5.
2 3
Si: M(x;y;Z) = 3x x z halla el valor de:
9. Si: P(x;y) = x3 - y3 calcula:
P(4;3) + P(5;4) + P(6;5)
M(2;3;1)
6. Si: halla:
P(x) = x 2 + 2x + 1 P(1) + P(2)
10. Si se conocen: P(x) = 3x2 + 1 Q = 2y - 1 halla:
(y)
S= P -Q (2) (1) indica como respuesta: Q(S)
7. Si: P(x;y) = x 2 - y2 calcula: P
(5;4)
.P
(10;9)
8. Si: P(x;y) = x 3 + 3x2y + 3xy2 + y3 calcula:
P 2;1 P 1;2
Desafío
3
Calcula el valor numérico de "E" para: x = 0,4 si:
E
3
5x 1
2
5x 1
1
Adición de Polinomios "Los polinomios son usados para definir funciones que son usadas en gráficos por ordenador (computadora)". Los gráficos realizados por el ordenador (CG) en el campo de la informática visual, donde uno utiliza computadoras tanto para generar imágenes visuales sintéticamente como integrar o cambiar la información visual y especial probada del mundo real. El primer mayor avande en la gráfica realizada por
un
ordenador
fue
el
desarrollo
de
Sketchpad en 1962 por Ivan Sutherland. Adición de polinomios Para sumar polinomios, se ubican los polinomios uno debajo del otro, de tal manera que coincidan sus términos semejantes.
=• Ejemplo 1: Sumar: 3x2 2x 5; 2x2 x 3 Luego:
2
3x 2x 5 2
2x 2
x 3
x 3x 2
1
1
1 3
4
1
=• Ejemplo 1: Sumar: x 2 x ; x 2 2 3 4 2 3x 4 Luego:
Álgebra - 5to. grado
1 2 1 x x 1 2 3 3 2 4 x x 2 3 4 2 5 x x
4 1 4 2
1
2
2x
5
x
2
2
2x
5
x
1 87
2
3
4
3
4
3
2
2
88
Álgebra – 5to. grado
3
¡Listos... a trabajar! 1. Suma los siguientes polinomios: 2
a. 2 3x 8x ; 4x 5 x 2
2
2
b. 1 2x 7x ; 2 5x 2x
c.
1 2 3 2 x 7; 5 x 4 4
d.
3 2 2 2 x 5x; x 4x 4 4
2. Se ha definido los siguientes polinomios como: 1
2
• Qx 9 11x 16x 3
2
1
• S x x 3 x 2 2 5 6
• Px 3x 10x 7 2
• Rx 17x 3x 10x 7
2 3
• Tx x 7 5 3 2
1 3
• Ux 4 x x 6 x
Calcula: a. P(x) + Q(x)
d. S(x) + T(x)
b. Q(x) + R(x)
e. T(x) + U(x)
c. R(x) + P(x)
f. U(x) + S(x)
¡Demuestra lo aprendido!3 1. Suma los siguientes polinomios: 2
2
a. 2x 4x 4; x 2x 2
c.
5 2 3 1 1 2 1 1 x ; x x x 7 4 2 7 4 2
b. x3+2x2+3x; x2-x-1 2 1 3 2 1 3 1 2 d. 5 6 x 2 x ; 5 6 x 2 x
2. Sean los polinomios:
A
•
3 x 2 x1
x 10
2
10
2
y 4y 4
• D x
2
• Bx 5 x 7 10 2
• Ex 10 5y 2y 2
• Cx 4 x 2 1 3 x 10 2 10
• Fx 3 2y 3y
2
Calcula: a. A(x) + B(x)
d. D(x) + E(x)
b. B(x) + C(x)
e. E(x) + F(x)
c. A(x) + C(x)
f. F(x) + D(x)
3
Desafío De los datos proporcionados en el ejercicio 2, decir si es posible calcular.
D(x) + E(x) + F(x) En caso afirmativo, calcula la respuesta.
Repas o 1. Los siguientes monomios están definidos como: 2 1 5 A x 3x ; Bx 7x 2; Cx x 3; Dx x 3 3 4
halla: a. A(x) + B(x)
c. C(x) + D(x)
b. B(x) - A(x)
d. D(x) - C(x)
2
8
2. Si: Mx 10x3; Nx 3x ; Sx 50x ; Tx 15x
5
calcula: a. M(x) . N(x)
c. S(x) M(x)
b. N . S
d. T
(x)
(x)
(x)
N
(x)
3. Sea el polinomio "P(x)" definido como: Px 9x2 18x 81 halla el valor numérico de: P(1) + P(2)
4. Sea: P 7 y 2 3 y 6 ; Q 8 y 2 1 y 3 y 10 y 10 10 10 10 10 halla: P(y) + Q(y)
3
Desafío Considera el polinomio: P z 9z 18z 81 y calcula: P0 2