y=
2 x
x + ... +
Álgebra 5to grado – I Bimestre
3 x
Índice Índice
Pág l
Historia del Álgebra
63
l
Operaciones combinadas en N
69
l
Operaciones combinadas con fracciones: adición y sustracción
75
Operaciones combinadas con fracciones: multiplicación y división
79
l
Repaso
87
l
Propiedades de potenciación I
91
l
Propiedades de potenciación II
99
l
Propiedades de radicación
105
l
Operaciones combinadas de potenciación y radicación
111
l
Historia del Álgebra El Álgebra es la parte de la Matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible, representando a dichas cantidades mediante letras y números. En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se separó de ella. Esta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica, a la hora de estudiar ambas ramas, se hace de una manera conjunta. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos.
¿En qué sE difErEncia El ÁlgEbra dE la aritmética? La diferencia es que la Aritmética se representa por números, mientras que el Álgebra está representada por letras, además de números. Las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo fueron hacer marcas en troncos de los árboles, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían. El origen del Álgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto básico de Álgebra. La historia del Álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como: x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. En Egipto encontramos los primeros vestigios de desarrollo de una ciencia matemática; que debido a las inundaciones del río Nilo, no llegaron a perfeccionar el Álgebra. En el papiro de Rhind, existe el más antiguo y valioso documento matemático que presenta problemas y soluciones de ecuaciones de segundo grado. Los matemáticos griegos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro "Las aritméticas de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio".
la EscuEla dE bagdad Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían: Al Juarismi; Al Batani y Omar Khayyan. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Álgebra a problemas astronómicos y Omar Khayyan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en "rubayat", escribió un Tratado de Álgebra.
63
Álgebra – 5to. grado
1
El origen de la palabra Álgebra
El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado
ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro "AL'DJABR W' AL MUKABALA" que quiere decir "transposición y reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de ALJUARIZMI, pero ya en el siglo XVI se suprimió la segunda parte para llamarle simplemente "Al'Djabr" o sea "Álgebra", o la Teoría de las Ecuaciones. Aljuarizmi es por eso llamado padre del Álgebra.
El álgebra según Isaac Newton
Isaac Newton (1642 - 1727) consideraba al Álgebra como una extensión de la Aritmética.
Esta rama de la Matemática, como expresión simbólica y de gran perfección operativa, tiene sus orígenes en el siglo XVII d.C.
El álgebra para Gauss
Niels Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos
en Álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación: xn - 1 = 0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde, fue el primer matemático que demostraba el Teorema Fundamental del Álgebra; dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. Para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.
Regla de la Cosa
Durante muchos siglos, el Álgebra se llamó "Regla de la Cosa"
y quienes la cultivaban recibieron el nombre de "Cosistas".
Hace cerca de cuatro mil años ya se daban problemas
que nosotros resolveríamos ahora por medio de una ecuación algebraica; es así como en el Papiro de Rhind se encuentra el siguiente problema: "MONTON, sus dos tercios, su mitad, su séptima parte, total 33". En este problema MONTON se refiere a la incógnita (×), es decir, al número que satisface las condiciones del problema. Álgebra – 5to. grado
64
Simbología algebraica SÍMBOLO
1
SIGNIFICADO
+
Operador de la adición.
-
Operador de la sustracción.
× ;•; ( ) ( )
Operadores de la multiplicación.
÷;:;
Operadores de la división.
√
Operador radical.
M(x;y) = 2xy2
Monomio de variables "x" e "y".
P(x) = x2 + 2x + 1
Polinomio de variable "x".
∀
Para todo.
Ejemplos: 1. P(x;y) = x2 + y2 + 25
- Las variables son "x" e "y".
- El polinomio tiene 3 términos algebraicos.
- P(x;y) es la notación matemática de esta expresión.
2. M(x) = 5x2
- La variable es "x"
- El coeficiente es 5.
- M(x) es la notación matemática de esta expresión.
65
Álgebra – 5to. grado
¡Listos, a trabajar!
1
1. Señala la operación matemática en cada caso y da un ejemplo:
a) a + b, se llama______________ , ejemplo: ______ + _______ = ______
b) a - b; se llama ______________ , ejemplo: ______ - _______ = ______
c) a × b; se llama _____________ , ejemplo: ______ × _______ = ______
d) a ÷ b; se llama ______________ , ejemplo: ______ ÷ _______ = ______
e) a • b; se llama ______________ , ejemplo: ______ • _______ = ______
f)
g) a : b; se llama ______________ , ejemplo: ______ : _______ = ______
h)
(a) (b); se llama _____________ , ejemplo: (____) (_____) = ______
a ; se llama ________________ , ejemplo: ______ = ______ b
2. Los signos de agrupación son:
a) (
)
se llama ________________________
b) [
]
se llama ________________________
c) {
}
se llama ________________________
3. Completa correctamente: a) P(x;y) = 7x9y6 c) M(y;z) = 3x9y4z3 variables: _____________ variables: _____________
d) N(x) = a2b3x4 b) P(a;x) = ax2 + a2x + a3 variables: _____________ variables: _____________
4. Dados los enunciados, señala cuál es la incógnita.
a) ¿Cuál es el número que aumentado en 3 resulta 10?
La incógnita es: _________
b) La edad de Ariana disminuida en 2 es 8.
La incógnita es: _________
Álgebra – 5to. grado
66
c)
Si 4 kg de azúcar cuestan S/.10, ¿cuánto costará un kilogramo de azúcar? La incógnita es: _________
La incógnita se puede representar usando cualquier letra, generalmente se usan las últimas letras del alfabeto: "x"; "y" o "z".
Demuestra lo aprendido •
67
Contesta las siguientes preguntas: 1.
¿En qué se diferencia el Álgebra de la Aritmética? _______________________________________________________________________
2.
¿Cuáles fueron las culturas iniciadoras del Álgebra? _______________________________________________________________________
3.
¿Qué matemáticos griegos continuaron los estudios de los babilonios y egipcios? _______________________________________________________________________
4.
¿Quiénes fueron los matemáticos árabes que pertenecieron a la escuela de Bagdad? _______________________________________________________________________
5.
¿Quién es el padre del Álgebra? _______________________________________________________________________
6.
¿De dónde deriva la palabra Álgebra? _______________________________________________________________________
7.
¿Quién demostró el teorema fundamental del Álgebra por primera vez? _______________________________________________________________________
8.
Antiguamente, ¿cómo se llamaba a los que estudiaban Álgebra? _______________________________________________________________________ Álgebra – 5to. grado
1
Operaciones combinadas en N Recuerda: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; .....}
Operaciones Combinadas Hasta la II Guerra Mundial no se superó la división tradicional de los ejércitos nacionales en tres armas tierra, mar y aire. La ventaja de realizar acciones en las que se combinasen las tres armas fue percibida en primer lugar por el almirante británico Lord Keyes, quien apreció en ello, aparte de evidentes progresos en cuanto a operatividad y eficacia, una manera de superar las divergencias y dispersión que marcaban las relaciones entre las tres. Las operaciones combinadas vieron la luz por primera vez tras el reembarque de Dunkerque.
rEglas dE opEración Caso 1: Sin signos de agrupación a. Primero, se resuelven las potencias y raíces a la vez. b. Segundo, se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. c. Por último, se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo: 1.
34 + 2 × 5 - 102 + √9 123 2
+
-
+
2.
=
3 × 23 + √25 ÷ 5 123 14243
+ +
69
=
Álgebra – 5to. grado
1
¡Listos, a trabajar! 1. Resuelve:
a) 3 + 2 - 4 - 1
c) 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3
b) 7 - 3 + 6 - 2 + 8
d) 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9
2. Resuelve:
a) 56 ÷ 8 + 6 + 3
d) 50 + 15 ÷ 5 × 3 - 9 ÷ 3 × 4 + 6 × 4 ÷ 6
b) 16 - 3 + 5 × 8
e) 4 × 5 - 3 × 2 + 10 ÷ 5 - 4 × 2
c) 2 × 3 + 5 × 8
f)
Álgebra – 5to. grado
6 × 5 + 4 - 8 ÷ 4 × 2 × 3 - 5 + 16 ÷ 4 - 3
70
3. Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga.
a) Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.
b) Nueve veces ocho más cinco veces siete.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
c) El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.
_______________________________________________________________________
Demuestra lo aprendido 1. Resuelve:
a) 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53
b) 3 + 6 - 18 ÷ 9
c) 7 × 6 ÷ 2 + 18
d) 24 - 18 ÷ 6 × 8
e) 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1
f)
g) 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 ÷ 4 × 3
h) 40 ÷ 5 × 5 + 6 ÷ 2 × 3 + 4 - 5 × 2 ÷ 10
6 × 5 × 4 ÷ 20 + 20 ÷ 5 ÷ 4
2. Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga: a) El triple de doce disminuido en el duplo de nueve. ____________________________________________________ b) El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte. ____________________________________________________
71
Álgebra – 5to. grado
1
1
Caso 2: Con signos de agrupación
a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.
b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1).
{ [
•
) ]
(
}
3º 2º 1º
Ejemplo 1:
•
3(5 - 1)2 - [14 ÷ 2]
2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2(
) + 5(
3(
)
_____ + _____ =
•
•
_____ - _____
Ejemplo 3: {[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3} 14243 14243
"se suprime paréntesis"
{[
"se suprime corchetes"
4 + 15 144424443
] + 10 - 3}
{19 + 10 - 3} 1442443 26
)2 - _____
_____ - _____ =
Ejemplo 2:
"se suprime llaves"
Ejemplo 4: 30 ÷ {(15 - 6) ÷ 3 + (18 - 3) ÷ 5} 123 123 30 ÷ {
9 ÷3+ 14243
30 ÷ {
"se suprime paréntesis"
15 ÷ 5} 14243
3 + 3 1442443
}
"se suprime llaves"
30 ÷ 6 123 5
Álgebra – 5to. grado
72
¡Listos, a trabajar! •
Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8
b. 64 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1)
c. {5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7}
d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 ÷ 20)}
e. {55 ÷ 11 + 66 ÷ 11 + (77 ÷ 11 - 11)}
f.
[44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5]
g. 40 + [25 - (3 + 2)] h. 60 + [(4 + 2) - 5] i. 150 - [(5 - 1) - (4 - 3)] j. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]
Demuestra lo aprendido •
Efectúa :
a. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]}
b. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]}
c. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)}
d. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]}
e. (30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6)
f.
g. (9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5
h. [15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7]
i.
9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]
j.
30 ÷ {(15 - 6) ÷ 3 + (18 - 3) ÷ 5}
73
[(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 + 2
Álgebra – 5to. grado
1
1
Desafío José dibujó un rectángulo de 6 cm de ancho. Su largo es 7 cm menos que cinco veces su ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo? y ¿cuál es su perímetro?
Álgebra – 5to. grado
74
Operaciones combinadas con fracciones: adición y sustracción
fraccionEs homogénEas Tienen el mismo denominador.
•
Suma a c d a+c+d + + = b b b b
Ejemplos:
1 3 5 1+ 3 + 5 9 + + = = 2 2 2 2 2
•
3 5 8 + + = 7 7 7
=
Diferencia a c a−c − = b b b
Ejemplos:
5 3 5−3 2 − = = 11 11 11 11
7 5 − = 3 3
=
fraccionEs hEtErogénEas Tienen distinto denominador.
•
Suma
a b
+
c d
+
ad + bc bd
Método Práctico
Ejemplos:
1 5 3 + 10 13 + = = 2 3 6 6
75
7 4 + = 3 5
= Álgebra – 5to. grado
1
•
Diferencia a
-
b
Ejemplos
5 1 15 − 7 8 − = = 7 3 21 21
c d
+
ad - bc bd
11 1 − = 3 3
Método Práctico
=
Observación: Si son más de dos fracciones, se tendrá que sacar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores y operar cada uno.
Ejemplos:
3 1 2 45 + 20 − 24 41 + − = = 4 3 5 60 60
⇒ MCM = 60
3 1 2 − + = 4 3 5
⇒ MCM = _______
Álgebra – 5to. grado
=
76
¡Listos, a trabajar! Efectúa:
3 7 4 + − 5 5 5
2) R =
5 3 4 − − 11 11 11
7 18 5 − − 13 13 13
4) A =
5 2 + 3 4
1) A =
3) I =
5) N =
3 1 − 5 4
6) A =
1 5 + 3 6
7) V =
7 3 − 8 4
8) A =
2 5 1 + + 3 4 2
9) L =
1 3 1 − + 5 2 3
10) E =
9 1 1 + − 8 3 4
77
Álgebra – 5to. grado
1
Demuestra lo aprendido
1 a) A =
c) I =
8 7 5 + + 13 13 13
7 8 2 + + 5 5 5
b) R =
10 7 2 − − 3 3 3
d) A =
7 1 + 3 2
A=
3 5 + 4 8
e) N =
4 1 – 5 2
f)
g) V =
9 3 – 5 10
h) A =
3 2 1 − − 5 3 2
j)
i)
L=
E=
1 1 1 + + 3 4 5
4 1 2 + – 3 2 5
Desafío
Efectúa:
C = 15
1 1 1 −3 −2 2 3 4
Álgebra – 5to. grado
78
Operaciones combinadas con fracciones: multiplicación y división Recuerda lo aprendido, resolviendo el siguiente ejercicio:
1.
E=
E=
5 3 + −2 4 2
2.
M=
6 2 − 1+ 5 3
5 3 ×2 2 ×4 + 4 2 ×2 1 ×4
E=
5 6 8 + − 4 4 4
E=
5+6−8 4
E=
3 4
Ahora, intenta resolver los siguientes problemas y marca la respuesta correcta:
1.
Los
5 3 de los del triple de 120 es: 3 5
a) 160
2.
b) 360
¿Cuántos listones de madera de de metros de largo?
a) 20
79
b) 32
c)
145
d) 180
e)
N.A.
1 1 de metro se pueden sacar de una pieza de 5 4 2
c)
22
d) 40
e)
34
Álgebra – 5to. grado
1
Para que puedas resolver correctamente los dos problemas anteriores y elimines dudas, recuerda lo siguiente:
Multiplicación de fracciones
Ejemplos:
a)
b)
3
5
×
5
Ahora hazlo tú:
=
4
5×4
=
3 4
7 7 × 5 35 ×5 = = 2 2 ×1 2
+
3×5
×
×
3 7 3×7 7 × = = 2 3 2× 3 2
Ejemplos:
a)
b)
c)
7 = 12
3 1 c) 1 × 3 = 4 2
División de fracciones
2 6 × = 3 3
+
a)
b) 6 ×
c) 1 1 × 2 1 2 3
Ahora hazlo tú:
1 3 ÷ 4 16
1
×
4 6
÷
16 3
=
12
1 × 16 4×3
=
5 20 6 × 20 4 = =2 5 × 12 2 2 6 ÷ 10 5
a)
3 9 ÷ 5 15
b)
7 7 ÷ 2 20
c)
1 5 ÷ 2 6
4 3
2 10 6
=
2×5 10 × 6
=
1 6
5 Álgebra – 5to. grado
80
Ahora que ya recordaste estos procedimientos, podrás resolver tú solo los problemas iniciales:
5 3 de los del triple de 120 es: 3 5
1. Los
Operación
2. ¿Cuántos listones de madera de de metros de largo? Operación
81
Respuesta
1 1 de metro se pueden sacar de una pieza de 5 4 2
Respuesta
Álgebra – 5to. grado
1
Demuestra lo aprendido
1
Isabel, Claudia y Rocío realizarán, cada una en su casa una fiesta el mismo día y las tres han invitado a Paúl. ¿Qué camino escogerá Paúl y a la fiesta de quién irá? (colorea el camino).
•
Para esto resuelve cada ejercicio en tu cuaderno y comienza desde la "A", sigue el camino de la respuesta y continúa hasta llegar a una de las casas.
A.
1 12 10 × × 4 5 9
B.
1 1 3 ÷ ÷ 2 4 12
C.
33 9 ÷ 5 5 25
10 1 1 1 3 D. + ÷ × 16 2 4 4 2
3 5 1 1 2 1 E. ÷ − × + 2 4 2 4 3 6
F.
G. 2
H.
3 3 15 1 ÷ − 2 4 10 2
I.
1 2 1 15 1 − ÷ 3 4 2 10
J.
2 1 2 ÷ + 9 4 3
2
1 1 ×3 2 3 4 ÷2 7
Álgebra – 5to. grado
82
1
Ayudando a Paúl
A
1 3
C
25 9
3 2
9 25 G
B
3 4
25 3
2 3
16 7
F D
5 4
I
E
4 5
Rocío
25 4
H
1 4
0 8 11
2 3
Casa de
Casa de Isabel
J
11 8 Casa de Claudia
Desafío
¿Qué parte de la figura es la parte sombreada?
1 9
83
2 5
3 7
Álgebra – 5to. grado
1
Arbolito inteligente
Pega aquí tu arbolito. Álgebra – 5to. grado
84
Arbolito inteligente
1
Sigue los pasos: 1. Recorta cada pieza del "arbolito inteligente" y resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
18 2 ÷ 5 5
I
4-
E
1 3 ÷ 1 + 4 20 5
27 20
2 × 10 + 1 × 19 5 3 5 3
1
16 5
10 7
F
1
17
2. Arma y pega el "arbolito inteligente" en la página anterior de tu libro.
2 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 3 9 5 7
2
7
7
8 ÷ 1 9 6
B
J
85
2-
1
1 ×21 2 3
1 3 3
3 × 10 × 3 5 9 4
5
3 de 5
A
4 3 ÷ 9 5
H
13 5
1
G
D
1-
7 9
9 2
÷3 1 2
Álgebra – 5to. grado
RECor indica ta como te la pro fesora
Repaso •
En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones, busca el área donde está cada respuesta en el recuadro de la siguiente página, coloréala y descubre la palabra secreta. 1.
40 + [25 - (3 + 2)]
2.
{5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7}
3.
250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]
4.
[44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5]
5.
[15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7]
6.
9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]
7.
1 1 1 1 + + − 2 4 2 4
8.
1 1 1 1 3 × × ÷ 4 2 3 24
9.
1 2 3 4 5 3 − 2 ÷ 4 − 3 5 5 5 5
2 1 1 7 10. × + ÷ 7 5 3 2 30
87
Álgebra – 5to. grado
1
Palabra secreta 21 11
12
7 60
50
100
8 17
51
24 3
16
259
4
15
14
2 18
19
404
23
6
1
66
22
0
57
89
10 13
20
86
5 9
241
La palabra secreta es: ______________________
Responde:
•
521
113
93
72
¿Qué piensas de dicha palabra?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Álgebra – 5to. grado
88
1
Sopa de números con letras •
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno y halla la respuesta en la sopa de números con letras, que están en la página siguiente:
1. 6 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1)
2. 60 + [(4 + 2) - 5]
3. (30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6)
4. [(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 8 + 2
5. (9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5
1 1 1 1 6. + + 2 3 7 5
1 9 8 1 8 1 1 ÷ 7. × × ÷ ÷ 3 4 2 5 10 20 3
1 1 1 1 1 1 8. + ÷ + ÷ 2 3 4 7 5 3
1 4 18 1 6 1 1 15 × ÷ × × × 9. × × 2 3 2 9 3 4 5 2
1 7 1 6 10. + ÷ × 4 4 5 4
89
Álgebra – 5to. grado
Sopa de números con letras
1
m e c n o c n i c i t n i e v l
e a t o r w s e r t i t n i e b
o i c r q s e q x r s r o q i x
j h s e s e s t a v d o c s n i
o u r c u a e v t a o c h a t d
l e e v e v n e b z s d o q i e
r v s f r k t c x l s f t b l m
s e s e n t a y n u e v e r u o
f s g w f b y q i d t e r c a r
d k r g s d u g d r i q c x t t
i l f q u i n c e k m h i s r a
a b s t d z o g l b o c o f o u
n k c r h k r f a x s q s r s g
a r v e i n t e r l i f m l e i
h s o i c r w t e t n i e v t t
v e i n t e y h a s q s d b i n
r i t u d l b x s r g d i r m i
b s e t i n o s d o s h o f o e
e x t f o c h o n o v e n o s v
Respuestas:
1. ______________________
6. ______________________
2. ______________________
7. ______________________
3. ______________________
8. ______________________
4. ______________________
9. ______________________
5. ______________________
10. ______________________
w o n u y e c o d o t n e i c d
Desafío • Si para cortar un árbol en dos partes, se cobra S/.20, ¿cuánto se debe cobrar para cortarlo en 3 partes?
Álgebra – 5to. grado
90
Propiedades de Potenciación I Recuerda: Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables".
91
20 = ____
21
= ____
22
= ____
23
= ____
24 = ____
25 = ____
26
= ____
27
= ____
28
= ____
29 = ____
210 = ____
30
= ____
31
= ____
32
= ____
33 = ____
34 = ____
35
= ____
40
= ____
41
= ____
42 = ____
43 = ____
44
= ____
50
= ____
51
= ____
52 = ____
53 = ____
54
= ____
60
= ____
61
= ____
62 = ____
63 = ____
70
= ____
71
= ____
72
= ____
73 = ____
80 = ____
81
= ____
82
= ____
83
= ____
90 = ____
91 = ____
92
= ____
93
= ____
100 = ____
101 = ____
102 = ____
103 = ____
112 = ____
122 = ____
132 = ____
142 = ____
152 = ____
162 = ____
172 = ____
182 = ____
192 = ____
202 = ____
252 = ____
302 = ____
402 = ____
Álgebra – 5to. grado
1
*
Producto de potencias de bases iguales. am . a n = a m + n
Ejemplos:
a) 23 . 24 . 25 = 23 + 4 + 5 = 212
b) 38 . 34 . 3 = 38 + 4 + 1 = 313
c) 5x . 5y = 5x + y
d) 68 . 6m = 68 + m
e) a . a2 . a3 = a6
f)
g) xa . xa . xa =
h) ym . ym . ym . ym =
i)
*
Cociente de potencias de igual base.
m . m5 . m =
am an
x 2 . x3 . x4 =
= am - n
Observa:
am am
= am - m = a 0 = 1
(a ≠ 0)
Ejemplos: 89
9−5
=8
4
=8
b)
710
= 710 − 5 = 75
a)
c)
e) 129 ÷ 126 =
f)
g) 288x ÷ 286x =
h) 146a ÷ 142a =
i)
5
8
54 = 5
5
7
d) 186 ÷ 184 = 157 ÷ 155 =
72m ÷ 72m =
Álgebra – 5to. grado
92
¡Listos, a trabajar! 1. Encuentra el exponente correspondiente en cada caso:
a) 3
= 9
d) 4
= 64
b) 7
= 49
e) 8
= 64
c) 67
= 1
f)
19
= 19
2. Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad:
a) 3 . 3
b) 10
c) a2x . a
= 37 . 103 = 1010 = a2x + 4
3. Completa la igualdad para que se cumpla:
a)
107
= 102
10 7 = 78 73
b)
c) 20 = 20p - q q 20
4. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa:
a) 38 . 39 = 317
(
)
b) 54 . 79 = 713
(
)
c) 138 ÷ 134 = 1312
(
)
d)
(
)
93
79 4
7
= 75
Álgebra – 5to. grado
1
1
5. Reduce:
a)
364.365.36 369
125.126.12 b) 12
=
6. Resuelve:
a) A = 34 + 32 + 40 + 5
b) B = 63 - 27 + 32
7. Expresa como potencia cada caso:
a) 5.5.5.5............5 144 42444 3 = 20 veces
b) 2.2.2.2............2 144 42444 3= 13 veces
8. Resuelve dejando indicado el exponente:
a)
615 6
6
b) 810 ÷ 86 =
=
9. Halla:
a) J =
b) S =
59 57
+
7104 7102
518 516
+
Álgebra – 5to. grado
+
719 716
538 536
−
715 714
94
10. Simplifica las siguientes expresiones:
a) (72 . 75 . 73) ÷ (76 . 72)
c)
54.56 52.55
+
58 + 52 52.5
1
b) 612 ÷ (67 . 6 . 64)
34.32 d) 33.3
35.32 ÷ 32.33
Demuestra lo aprendido 1. Encuentra el exponente correspondiente en cada caso:
a) 2
= 128
d) 5
b) 9
= 81
e) 12
c) 6
= 36
f)
= 125
2
= 144 = 32
2. Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad:
a) 42 . 45 . 4
b) ax . a
= 410
c) 97 . 9
= 913
= ax + 3
3. Completa los cuadros para que se cumpla la igualdad:
95
a)
b)
9 = 918 2 9
c)
624
= 615
6
5 = 5a - b b 5 Álgebra – 5to. grado
1
4. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa:
a) 159 ÷ 153 = 1512 .................................(
)
b) 78 . 7 . 7 = 710 ....................................(
)
c) 84 . 8 . 83 = 88 ....................................(
)
d) 54 . 5x = 54 + x ....................................(
)
5. Reduce:
a)
420.450.490 4157
b)
24.22.24.26.28 28.216
6. Resuelve:
a) Y = 23 + 32 + 53
b) E = 62 + 122 - 260
7. Expresa como potencia cada caso:
a) S = 4.4.4.............4 1442443 10 veces
b) I = 17.17..........17 1442443 8 veces
8. Resuelve dejando indicado el exponente:
a)
77 7
7
=
Álgebra – 5to. grado
b) 92x ÷ 9x =
96
9. Halla:
a) E =
1 107 105
+
1012 1010
+
1024 1022
b) S =
930 927
+
984 981
−
910 99
10. Simplifica las siguientes expresiones:
a) (49 ÷ 44) ÷ (44 ÷ 42)
73.76 b) 78
75.75 78
Desafío 1. ¿Cuál es la expresión reducida por la que deberíamos dividir 5 para obtener como resultado la unidad?
S = (x4y) (x5y2) (xy)
2. El cuadro de números.
Coloca los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a sus lados.
97
Álgebra – 5to. grado
Propiedades de Potenciación II *
potEncia dE otra potEncia [[am]n]p = am.n.p
Ejemplos: a) (22)3 = 22.3 = 26
b) ((34)2)3 = 34.2.3 = 324
c)
{[(1002)9]8}0 = 1002.9.8.0 = 1000 = 1
d) [(42)3]4 =
e)
{[(52)3]0}6 =
f)
[(74)3]2 =
h)
[(82)3]9 =
g) [(x3)4]5 = i)
*
{[(125)7]0}9 =
potEncia dE un producto En general: (a.b)n = an . bn Ejemplos: a) (2 × 4)3 = 23 × 43 c)
(4 × 7 × 8)0 = 40 × 70 × 80 =
d) (6 × 3 × 2)3 =
e)
(2.x.y)3 =
f)
(4.6.7)2 =
h)
(7.2)4 =
g) (8.5)3 = i)
99
b) (3 × 5)2 = 32 × 52
(12.10)4 =
Álgebra – 5to. grado
1
¡Listos, a trabajar! 1.
Resuelve, indicando el exponente: a) [(5)3]4
2.
b) [(102)3]4
Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores: a) 402 = (
×
×
)2 =
×
×
=
b) 242 = c)
3.
602 =
Resuelve: a) [(32)2]3 = b) [(52)3]4 = c)
{[(210)20]3}0 =
4.
Simplifica: A = {[(24)2]30}0 + 23 + 26 + 2
5.
Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: a) (52)3 = 56 ............................................(
)
b) {[(43)4]2} = 412 ...................................(
)
{[(83)4]0}7 = 18 ...................................(
)
c)
Álgebra – 5to. grado
100
6. Simplifica:
a) [(32)4]0 + (38)0 + [(35)20]0
b) {[(5x)7]0}9 + {[(6x)8]0}100 + {[(7x)7]0}15
1
7. Obtén el valor de "x", en: xx = 27
8. ¿Cuál es la potencia que hay que dividir entre "E" para obtener 2 como cociente?
E=
[(22 )3 ]4 32
9. ¿Cuánto mayor es la edad de Esteban que la edad de Sergio, si Esteban tiene 22 años y Sergio representa su edad por la expresión:
23.25 ? 16
10. ¿Qué valor debe tomar "t" para que la siguiente proposición sea verdadera?
101
100t × 1 000t × 10 000t = 1090
Álgebra – 5to. grado
1
Demuestra lo aprendido 1. Resuelve, indicando el exponente:
a) (3 × 5)2
b) (2 × 3 × 4)2
2. Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores:
a) 702
b) 363
3. Resuelve:
a) {[(76)8]2}3
b) {(103)4]5}2
4. Simplifica:
A = {[(310)30]100}0 + 33 + 32 + 3
5. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa:
a) [(25)4]3 = 26 ................................................. ( )
b) [(34)0]7 = 1 . ................................................. ( )
c) 1 = {[(8x)3]203}0 .......................................... ( )
6. Simplifica:
Y = [(83)2]0 + {[(152)4]0}2 + [(93)0]5
Álgebra – 5to. grado
102
1
7. Halla "y", en: yy
= 256
8. ¿Para qué valor de "a", el resultado de operar
2a + 3 23
es igual a 64?
9. ¿Cuál es el exponente de la potencia que resulta de operar: 37 × 34 × 38? 10. Halla el resultado de efectuar:
(23)2 × (22)3
Desafío
1. ¿Cuál es la expresión por la que deberíamos multiplicar "P" para que el resultado sea x20? P = [(x2)3]2.x4 2. Siete números en la "Y" griega. Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.
103
Álgebra – 5to. grado
Propiedades de la radicación Sabías que . . .
a us n e
1
cateto
... el valor numérico de √2 aproximado a 65 posiciones
t po hi √2
decimales es: 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
1
cateto
La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud 1.
elementOs de la radicación 3
índice
64 =
4
raíz
radicando
Se lee: "raíz cúbica de 64 es 4".
raíz de un prOductO En forma general se cumple lo siguiente: n
n
n
√a.b = √a . √b
donde: a, b, n ∈ N
Cuando el índice es 2, no se escribe, se sobreentiende.
105
Álgebra – 5to. grado
1
Ejemplos: 4.9 = 4. 9 = 2.3 = 6
a)
Se lee: "raíz cuadrada de 4 por 9 es igual a la raíz cuadrada de 4 por la raíz cuadrada de 9 y esto es igual a 6".
b)
16.25 = 16 . 25 = 4.5 = 20
c)
144.121 = 144. 121 = 12.11 = 132
d)
e)
3
27.64 =
.
=
3
8.125 =
.
=
Raíz de un cociente En forma general se cumple lo siguiente:
n
a b
n
=
√a n
√b
donde: a, b, n ∈ N y b ≠ 0
Ejemplos:
a)
64 = 4
64 4
=
8 =4 2
Se lee: "raíz cuadrada de 64 entre 4 es igual a la raíz cuadrada de 64 entre la raíz
cuadrada de 4 y esto es igual a 4".
b)
81 = 9
81
c)
64 = 49
64
9
49
=
=
Álgebra – 5to. grado
9 = 3 3
8 7
d)
100 = 225
64 = e) 3 27
=
=
=
=
106
*
Calcula mentalmente las raíces de:
a)
25 = 5 ; porque: 52 = 25
h)
b)
49 = ____; porque ________
i)
36 = ______; porque: _________
c)
3
125 = 5 ; porque: 53 = 125
j)
81 = ______; porque: _________
d)
5
32 = ______; porque: _________
k)
e)
16 = ______; porque: _________
l)
f)
64 = ______; porque: _________
m)
121 = ______; porque: _________
g)
27 = ______; porque: _________
n)
144 = ______; porque: _________
3
4
16 = ______; porque: _________
3
64 = ______; porque: _________
4
81 = ______; porque: _________
¡Listos, a trabajar! 1. Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando propiedades:
a)
25.16 =
f)
36.25 =
b)
49.16 =
g)
81.49 =
c)
27.8 =
h)
d)
36 ÷ 4
i)
25 = 100
e)
81 = 25
j)
64 = 36
107
3
3
125.64 =
Álgebra – 5to. grado
1
1
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a)
144 2 3 − − 25 5 5
d)
1 3 27 3 + − 5 125 5
b)
36 4 4 + + 49 7 7
e)
7 4 16 3 + + 3 81 3
c)
25 16 9 + − 100 100 100
f)
25.16 4.9
+
9 − 36
1 36
Demuestra lo aprendido 1. Resuelve aplicando propiedades de radicación:
a)
169.4 =
b)
361.25 =
c)
289.36 =
d)
144.121 =
e)
256.225 =
f)
329.9 =
g)
196.64 =
h)
400.900 =
Álgebra – 5to. grado
108
i)
400 = 100
j)
1
25 = 225
2. Resuelve
en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas. Luego anota los resultados en la guía.
a)
25 1 3 + + 100 2 2
b)
c)
400 9 7 + + 100 100 10
d)
e)
Respuestas:
a) ______________________
b) ______________________
c) ______________________
d) ______________________
e) ______________________
f)
9.324 25.4
−
20 100
+
1 100
f)
64 3 1 − + 25 5 5
3 1 2 − + 10 100 10
144 121 9 1 + + − 11 11 121 121
______________________
Desafío La profesora de Álgebra de TRILCE estudió cuidadosamente un cubo. Multiplicó el número de caras por el de vértices y por el de aristas. ¿Qué producto obtuvo?
109
Álgebra – 5to. grado
Operaciones combinadas de potenciación y radicación exponente
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para
24 = 16
abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y, en la parte superior derecha del mismo, se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
base
potencia
POTENCIACIÓN índice
3
27 = 3
radicando raíz
•
Potencia de exponente 0 Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno.
a0 = 1 •
RADICACIÓN
a ≠0
Potencia de exponente 1 Todo número elevado a la potencia uno es igual a sí mismo.
a1 = a •
Potencia de exponente 2 La potencia dos se lee "elevado al cuadrado".
a2 = a × a •
Potencia de exponente 3 La potencia tres se lee "elevado al cubo".
a3 = a •
×a ×a
Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguidas de tantos ceros como unidades tiene el exponente.
111
Álgebra – 5to. grado
¡Listos, a trabajar!
1 1. Realiza las siguientes operaciones:
a) (24.32.53)3
b) (32.52)3
23.2 c) 2 .2. 24.22 3
2. Sustituye los (*) por números que correspondan: 2
((3)3)4
a)
* 8 2 c) = 27 3
6 3 * 3 b) = 2 2
= (3)*
3. Resuelve: 3
a)
c)
64 3 1 .2 . 8 24
23.29.2.24 3
64. 64
b)
d)
( 36 . 36 . 36 . 36 )4 (( 36 )2 )2 (52.53 )2.52. 25 3
4
125 . 625
4. Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:
x
a) 3 =
x −1
c) 6
4
(3.32.33 ). 81 5
243.33
b) 4 x +1 =
3
=
36 .( 216 )4 .67
Álgebra – 5to. grado
2 3
6 .6
d)
((42 )3 )0 .42 5 − (49 )0
((8)2 )3 .(((8)8 )3 )0 . 64 3
512
= 8x
112
Demuestra lo aprendido 1. Realiza las siguientes operaciones: 33.34 b) 3 .3 34.32 2 3
(53.22.43)2
a)
3.23 c) 22.32
2
2. Sustituye los (*) por números que correspondan: 5
a) ((52)3 = (5)*
* 256 4 c) = 625 5
10 3 * 3 b) = 7 7
3. Resuelve:
81 4 1 .3 . a) 3 3 34
b)
( 49 . 49 . 49 . 49 )2 (( 49 )2 )3
3
c)
102.103. 1000.104 4
3
( 10000. 1000 )2
d)
(8 + 2)2.(12 − 2)2.103.(32 + 1) 3
4
(20 ÷ 2) 100. 1000. 10000
4. Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:
x
a) 10 =
x
113
102.103 (( 100 )2 )3 4
2 c) = 3
3
10000 ÷ 1000
2 2 3 3
8
2 3 6
4 2
2 2 2 3 3 3
b) 7
x +1
=
( 49 . 49 )5 .76 (( 49 )2 )3
7
1 2 1 x −1 2 2 1 d) = 0 2 1 30 2 Álgebra – 5to. grado
1
1
Desafío Al cero en cinco pasos •
Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras.
•
Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ó 9. Puedes usar el número que elijas las veces que quieras.
•
Cada operación que hagas se cuenta como un paso.
•
Ganas el juego, si a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números.
Ejemplo: Reduce a cero el número 869.
869
•
Paso 1
869 - 5 = 864
Paso 2
864 ÷ 9 = 96
Paso 3
96 ÷ 8 = 12
Paso 4
12 ÷ 6 = 2
Paso 5
2-2=0
Ahora, reduce a cero los números 789 y 823.
789
823
Paso 1
Paso 1
Paso 2
Paso 2
Paso 3
Paso 3
Paso 4
Paso 4
Paso 5
Paso 5
Álgebra – 5to. grado
114
1
Glosario - IN
: Símbolo que representa al conjunto de números naturales.
- ZZ
: Símbolo que representa al conjunto de números enteros.
- Exponente
: Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable)
- Potencia
: Es el resultado de multiplicar la base tantas veces como indica el exponente.
- Numerador
: Partes que se toman de la unidad.
- Denominador
: Partes en que se divide la unidad.
- Fracciones Homogéneas
: Aquellas que tienen igual denominador.
- Fracciones Heterogéneas
115
: Aquellas que tienen diferente denominador.
Álgebra – 5to. grado