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Problemas
1. Progresión Aritmética: Es una sucesión de números, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos es una cantidad constante, llamada razón. Ejemplo: 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28, ............. Razón (R) = 13–10 = 16–13 = 19–16 = 22–19 = ......
1.
¿Cuántos términos hay en la siguiente progresión aritmética: 3n+5; 4n+2; 4n+7; ......; 309?
2.
Si la diferencia de los términos de lugares 73 y 58 de una progresión aritmética es 90. Hallar el vigésimo término, si el décimo quinto término es 104.
3.
En una progresión aritmética creciente de cinco términos, el producto del 4to y 5to término es 325 y la suma de dichos términos es 38. La suma del tercer y cuarto término es:
4.
Cuántos términos tiene la siguiente progresión: 89; ab ; ac ; ........ ; acb
1.1 Cálculo de un término cualquiera:
sabiendo además que:
b+c–1=a
tn = t1 + (n – 1) . R 5. Donde:
tn t1 n R
: : : :
término de posición “n” primer término posición del término razón de la progresión
Aplicación: Hallar el término de lugar 40 en la siguiente progresión aritmética: 17; 20; 23; 26; 29; 32; ...... Solución: t1 = 17 .............. n = 40 .............. E = 20–17=3.....
Hallar el valor de “m”; si la siguiente progresión aritmética tiene 77 términos: 32m ; 332; ........ ; 8m7
2. Cantidad de cifras empleadas en una progresión aritmética: Pasos a seguir:
(primer término) (lugar del término) (razón de la progresión)
Primero: Se debe conocer el primer y el último término de la progresión, para formar grupos que tengan la misma cantidad de cifras.
t40 = 17 + (40 – 1) 3 = 134 Segundo: Se calcula el número de términos, que hay en cada grupo formado.
1.2 Cálculo del número de términos: Ultimo Pr imero N° de términos = 1 Razón
Tercero: Se calcula el número de cifras, que hay en cada grupo; así por ejemplo: 20 números de 2 cifras, emplean: 20 2 = 40 cifras 80 números de 3 cifras, emplean: 80 3 = 240 cifras
Aplicación: Cuántos términos tiene la siguiente progresión: 52; 57; 62; 67; ....... ; 382
Cuarto: Se suma los resultados de cada grupo y obtenemos el total de cifras.
Solución: Razón (R) = 57 – 52 = 5 Utilizando la fórmula:
Aplicación: Cuántas cifras se emplean en la siguiente progresión: 40; 42; 44:; 46; ............ ; 220
N° de términos =
382 52 +1 5
= 67 términos
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
Ejemplo 1: ¿Cuántos números de tres cifras que empiecen y terminen en cifra par existen?
Solución: Primero: 40; 42; 44; 46; ..... ; 98 ...... números de 2 cifras 100; 102; 104; 106; ..... ; 220 ....... números de 3 cifras
Solución:
abc Segundo: N°de términos de 2 cifras =
98 40 +1 = 30 términos 2
N°de términos de 3 cifras =
220 100 +1= 61 términos 2
0; 2; 4; 6; 8 0; 1; 2; 3; 4; .....; 8; 9 2; 4; 6; 8
Tercero:
°a° toma 4 valores “b” toma 10 valores “c” toma 5 valores
30 términos de dos cifras 30 2 = 60 cifras
Total de números: 4 10 5 = 200 números
61 términos de tres cifras 61 3 = 183 cifras Ejemplo Cuarto: Total de cifras = 60 + 183 = 243 cifras
2:
¿Cuántos
números
de
la
forma:
(a 1) (b 2) (a / 2) (2b) existen? Solución:
Problemas 1.
a 0; 2; 4; 6; 8......
Cuántas cifras se utilizaron en la escritura de la siguiente serie que tiene 400 términos: 13; 18; 23; 28; .........
2.
Un libro de 720 páginas, se enumeran solo las páginas pares, hallar la cantidad de cifras que se emplearon.
3.
En la enumeración de las 5ab páginas de un libro se
Al enumerar la primera mitad de las páginas de un libro se utilizó 702 tipos de imprenta. ¿Cuántas cifras se emplean en todo el libro?
5.
Desde el número ab hasta el número ab1 , se han
5 valores
Si (b – 2) y (2b) son cifras, entonces: b 2; 3; 4......
Total de números:
3 valores 5 3 = 15 números
Problemas 1.
usan 15ab cifras. Calcular (a + b). 4.
Si (a + 1) y (a / 2) son cifra, entonces:
¿Cuántos números existen de la forma:
(a 1) (a 3) (b 2) (b 8) (c 1) (2c ? 2.
¿Cuántos números capicúas de cinco cifras, empiezan en cifra impar y su cifra de segundo orden es un número par?
3.
¿Cuántos números de tres cifras tienen un solo tres en su escritura?
4.
¿Cuántos números de tres cifras tienen por lo menos una cifra 6 en su escritura?
5.
¿Cuántos números de tres cifras tienen por producto de cifras una cantidad par?
empleado 550 cifras. ¿Cuál es el valor de (a + b)?
3. Método Combinatorio: Cuando tenemos un conjunto de números que tienen una característica común, que se puedan expresar por una forma general, se puede hallar la cantidad total de números multiplicando la cantidad de valores que puede adoptar cada cifra.
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Conteo de Números
10. La suma de los 4 primeros términos de una P.A. creciente es 5 veces la suma de los 2 primeros términos. ¿Cuál será la razón de esta progresión, si el primer término es 1/3? A) 1 B) 1/3 C) 2 D) 2/3 E) 1/2 1.
2.
Indica el décimo quinto término en: n+6; 2n+7; 4n; ...... A) 131 B) 140 C) 126 D) 150
11. La suma de 100 números enteros consecutivos es 150 veces el primer sumando. ¿Cuál es el último sumando? A) 199 B) 198 C) 200 D) 236 E) 180
E) 210
La siguiente P.A. tiene pr 5 términos, donde “r” es la razón: a3 ; a6 ; a9 ; ......; xaa . Hallar el máximo valor de: a + p + r + x. A) 16 B) 17
3.
C) 18
D) 19
E) 20
D) 84
E) 88
12. La suma de los cuadrados de 3 números positivos impares y consecutivos excede en 170 al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos mayores? A) 24 B) 46 C) 20 D) 12 E) 28
Hallar el número de términos en: a8b ; a93 ; b04 ; ba5 ; ...... ; aaa7
A) 84 4.
C) 86
13. Sean 7 números consecutivos: I. La suma de los 3 primeros es 57. II. La suma del tercero y el quinto es 42.
¿Cuántos términos hay en: 3a ; 39; b3 ; ......; ab3 ? A) 127
5.
B) 85
B) 128
C) 129
D) 126
E) 130 Para hallar el cuarto número: A) I es suficiente y II insuficiente. B) II es suficiente y I insuficiente. C) I o II son suficientes. D) Las dos son necesarias. E) I o Ii son insuficientes, faltan datos.
Hallar la suma de cifras del último término, sabiendo que la siguiente progresión tiene 37 términos. 10a ; 116; ......; a01
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
6.
La suma del noveno y el décimo cuarto término de una progresión aritmética es 69 y la relación del sexto al décimo séptimo término es 6/17. El término de lugar 40 es; A) 100 B) 108 C) 116 D) 120 E) 125
7.
En la siguiente progresión aritmética: 40; 46; 52; ....... ¿Cuál es el término de lugar 68? A) 440 B) 534 C) 402 D) 726 E) 442
8.
14. Hallar la suma de los términos vigésimo cuarto y trigésimo segundo de la siguiente progresión aritmética: 81; 85; 89; ...... A) 418 B) 408 C) 378 D) 384 E) 702 15. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir: 1 2 3 87 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 87 ? A) 165 B) 175 C) 330 D) 350
16. ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los números impares desde 37 hasta 533. A) 675 B) 704 C) 715 D) 730 E) 725
¿Cuál es la suma de las cifras del trigésimo término de la siguiente P.A.:
24; ; 661 ? 50 tér min os
A) 5 9.
B) 6
C) 8
D) 9
E) 390
17. ¿Cuántas cifras se emplearon al numerar las 720 páginas de un diccionario? A) 2052 B) 1556 C) 1876 D) 1726 E) 1708
E) 12
¿Qué lugares ocupan los dos términos consecutivos, de la siguiente P.A., cuya diferencia de cuadrados es 525: 2; 5; 8; 11 ......? A) 20 y 21 C) 47 y 48 E) 39 y 40 B) 35 y 36 D) 29 y 30
18. Para numerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar todo el libro? A) 1522 B) 1562 C) 1692 D) 1614 E) 1624
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Conteo de Números
19. Un libro tiene 1000 páginas, determinar la cantidad de cifras o tipos de imprenta que se han empleado en la numeración de sus páginas impares. A) 1500 B) 1300 C) 1445 D) 1892 E) 2900
30. ¿Cuántos numerales de 4 cifras del sistema decimal, comienzan y terminan en cifra impar? A) 2100 B) 2200 C) 2300 D) 2400 E) 2500 31. ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 0; 3; 4; 5; 7 y 8? A) 180 B) 540 C) 1080 D) 360 E) 480
20. Al escribir todos los números enteros desde ab5 hasta 5ab se emplean 364 cifras. Hallar “a + b”. A) 5
B) 6
C) 4
D) 7
E) 8
32. ¿Cuántos números de 3 cifras las 2 últimas iguales existen? A) 45 B) 90 C) 100 D) 900 E) 81
21. Al numerar las páginas de un libro se han empleado 4893 cifras o caracteres. Determinar, ¿cuántas horas tiene el libro? A) 960 B) 567 C) 689 D) 642 E) 750 22. Para numerar un libro de 1ab
33. ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 3000 se pueden formar con las cifras: 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9? A) 3071 B) 2058 C) 3072 D) 2688 E) 2057
páginas se han
empleado 36 cifras. Hallar “a + b”. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
34. ¿Cuántos números de la forma: a (2a) (b 1) (3b) ,
E) 13
existen en el sistema decimal? A) 12 B) 14 C) 16
23. En un libro de 1000 páginas las primeras no se enumeraron notándose que se utilizó 2770 cifras en las páginas restantes. ¿A partir de qué página se empezó la numeración? A) 66 B) 67 C) 68 D) 65 E) 63
D) 18
E) 20
35. ¿Cuántos numerales, en base 12, existen de la forma:
a (a 2) (b / 2) (8 b) ? A) 510
B) 520
C) 530
D) 540
E) 550
E) 560
36. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes entre sí existen? A) 648 B) 900 C) 810 D) 729 E) 500
E) 1000
37. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 400
E) 1526
38. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos una cifra 8 en su escritura? A) 900 B) 694 C) 252 D) 646 E) 712
27. En las últimas 40 páginas de un libro se usan 100 cifras. ¿Cuánta se usan en total? A) 289 B) 149 C) 249 D) 309 E) 180
39. De todos los números de 4 cifras, ¿cuántos tienen como producto de cifras a un número par? A) 8375 B) 1545 C) 675 D) 1925 E) 1250
28. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una pareja de baile con 4 varones y 3 damas? A) 6 B) 7 C) 12 D) 14 E) 10
40. ¿Cuántos números de 4 cifras existen si las cifras que ocupan los lugares pares contando de izquierda a derecha son mayores en una unidad a las cifras precedentes? A) 54 B) 72 C) 68 D) 56 E) 70
24. La cantidad de cifras empleadas en: 73; 78; 83; ......; 668 es: A) 354 B) 195 C) 1106 D) 675 25. ¿Cuántas cifras se emplean en la secuencia 39; 41; 43; ......; 931? A) 1862 B) 1294 C) 1310 D) 1341 26. ¿Cuántos ceros inútiles hay en 0001; 0002; 0003; 0004; ......; 1000? A) 1026 B) 2000 C) 1107 D) 742
29. ¿Cuántos números de dos cifras, ambas pares existen? A) 25 B) 16 C) 45 D) 20 E) 18
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Conteo de Números
