RAZONAMI MI ENTO MATEMÁ MÁTI CO
CONTEO DE FIGURAS C O N T E O D E F IG U R A S
Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de fguras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una fgura dada.
MÉTODOS DE CONTEO.Conteo Directo: Valor por Espacio Consiste en asignar números y/o letras a todas las fguras simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado, de fguras de 1 número; al unir 2 números, al unir unir 3 núme número ros, s,... ... etc. etc. s!, s!, por por e"em e"empl plo, o, #cuántos cuadriláteros $ay en la fgura%
1 2 para 2 espacios 1 2 3 par para a 3 espaci pacios os 9ara :n espacios+ 7úmero de triángulos+ n n 1 2
1 2 3 ...... n
Este método nos sirve para contar también “segmentos”; “cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”; “hexágonos”; “trapecios”; ... etc.
(. #Cuántos segmentos $ay en la fgura% 5esoluci4n+ 1
(
'
&
<
=
>
número de segme segmentos ntos , > ? 1/ , (' 2
2 3
&
1 (
). #Cuántos cuadriláteros $ay en la fgura%
'
1 2 3 ... 1= 1> 2/
*e 1 núm númer ero o + nin ningu guno no *e 2 númer números os + 12; 13; 1(; 1'; 1& ' *e ( número números s + 12('; 12('; 13'&; 13'&; 1(2&; 1(2&; 1'23; 1&3( ' -otal -otal de cuadriláteros+ ' ' 1/
2 n ú m e ro s
3
como $ay > espacios+
Resolci!n:
) ) )
2
5esoluci4n+ como $ay 2 espacios+ número número de cuadriláteros , 2/ ? 21 , 21/ 2 #Cuánt ntos os ángu ángulo los s agud agudos os $ay $ay en la *. #Cuá fgura%
3 n ú m e ro s
1 2 3
Conteo "e #$ras: con %!r&la Consiste en anali0ar casos particulares a la fgura dada fguras análogas, tratando de encont encontrar rar una ley de ormac ormaci4n i4n co$ere co$erente nte,, para luego poder generali0ar generali0ar encontrar encontrar la 4rmula. s! por e"emplo+ '. #Cuántos triángulos $ay en la fgura%
'/
Resolci!n: como $ay ' espacios+
número número de ángulos agudos , '/ ? '1 , 12<' 2 +. #Cuánto #Cuántos s sector sectores es circula circulares res $ay en la fgura% 1
1
2
→
1
→
3
(
(
.
.
.
.
.
.
.
.
12
7úmero de triángulos
'
'
.
n
5esoluci4n+ 6igura será
'
3
2 3
Resolci!n: como $ay :n :n espacios+ n n 1 número de sectores circulares 2 ,. #Cuántos $exágonos $ay en la fgura%
)
& 8ey de 6ormaci4n+ 1 para 1 espacio →
&
'
(
3
2
1
5esoluci4n+ ) Cont Contan ando do enco encont ntra ramo mos s & espa espaci cios os..
RAZONAMI ENTO MATEMÁTI CO número de $exágonos , & ? < , 21
2 8uego+ . #Cuántos triángulos $ay en la fgura%
1/
=
( ? ' 2
(
3
2 2
1
3 2
( 3
'
(
' ? & 1' 2 7úmero de cuadriláteros 1 ? 1' 1'
'
×
&
5esoluci4n+ nali0ando casos particulares nos daremos cuenta que cumple con la 4rmula+
'0 .
n n + 1 2 ⇒
1
# C u á n to s paralelep!pedos $ a y e n la fgura%
=
) ( ' '
(
)
*
( ) *
número de triángulos , & ? < , 21 2
+
. #Cuántos cuadriláteros $ay en la fgura% 5esoluci4n+ 9or el m@todo práctico+ 5esoluci4n+ Contando directamente, encontraremos 1=, pero el m@todo más rápido ser!a+ )
( ) (
7úmero de '? & (? ' 3? ( ? ? = = >// 9aralelep!pedos 2 2 2
×
( '
)
(
,
) * (
'.
7úmero de cuadriláteros + 3 ? & 1= An general+ n …
)
D n a p e r s o n a d e E e r e c o r re r t o d a s y c a d a u n a d e la s a B e F n i d a s in t e r io r e s d e u n a s o l a i n te n c i4 n s i n r e c o r r e r d o s B e c e s u n a m ism a a B e n i d a . # 9 o r c u á l d e la s 3 p u e r t a s , y C d e E e s a lir a l f n a li0 a r %
( '
(
)
.
.
&
.
* y
7úmero de nn + 1 mm + 1 ? = Cuadriláteros 2 2
$ori0ontal
Bertical
(.
A y C
A n e l si g u i e n t e g rá f c o , # c u á n to s c u a d r a d o s ti e F n e n tr a 0a d a l a d i a g o n a l%
C
C C 2/ 1>
( 3 2 1 1 2 3 (
n. . . . .
2 1 1 2 . . . . .m
1
2
7úmero de n n + 1 m m+ 1 p p + 1 ? ? = 9aralelep!pedos 2 2 2
/. #Cuántos cuadriláteros $ay en la fgura%
5esoluci4n+
1> 2/
9
2 * 31
22 A (
C 21
). An la siguiente fgura+ a . # C u á n t o s tr i á n g u l o s p o s e e n e n s u i n t e r io r u n s o l o a s t e r is c o % E . # C u á n t o s tr i á n g u l o s p o s e e n e n s u i n t e r io r a l m e n o s u n a s te r is F co%
1F1>
11F1>
* 11F2
A 1F1&
C 11F1=
RAZONAMI ENTO MATEMÁTI CO
*.
# C u á n t o s tr iá n g u l o s s e c u e n ta n c o m o m á x im o % ' A <'
=/ * >/
*
# C u á n t o s tr iá n g u l o s s e p u e F d e n c o n t a r e n la s ig u ie n t e fgura%
+.
1// * 12/ ,.
'' A 1/'
A
C
n n +
2 n
3
'(. #Cuántos cuadrados $ay en total en la fgura% 3/
C 11/
1< C 21 * 31 A 1(
# C u á n t o s ro m E o s s e c u e n t a n e n la s ig u i e n t e f g u r a %
3
n + 1 2 n 1
'). #Cuántos cuEitos altan como m!nimo
32
C 3&
* '2
A (2
para completar un cuEo s4lido en cada caso%
. #Cuántos semic!rculos $ay en total% '/ C (= A (2
(& * '2
1& F 21 C 2< F 21 A 1' F 21
1< F 2 * 2' F 22
'*. #Cuántos cuEitos altan como m!nimo . Galle el número total de cuadr iláteros.
2/ 1> 1= 1< . . . (
3
2
C * A
1
32/ 321 323 32= 3//
/. Calcule el total de triángulos+ . . . .
. . . .
'0 .
1'' A 1('
C 12
8 a f g u r a m u e s tr a < s e g m e n t o s p a r a le l o s . # C u á l e s e l m e n o r n ú m e r o d e s e g m e n t o s a d i c io F n a le s q u e s e d e E e n tr a 0a r p a r a c o n ta r u n t o ta l d e 1 3 2 s e g F m e n to s % 1
2
C 3
* (
1< F 2 * 2' F 22
cm y = cm se diBide en cuEitos de 1 cm de arista. #Cuántos cuEos se contarán en total% demás, si pintamos dic$o ladrillo de Elanco, #cuántos cuEitos tendrán una cara pintada, 2 caras pintadas, 3 caras pintadas y cuántos ninguna cara pintada% 3&; ==; (=; =; (= 3&; >=; '; =; (= C 33; ==; '; =; (< * 3'; ==; '; =; (& A 3&; <=; '; =; ('
A '
''. #Cuántos cuadriláteros conBexos $ay en la siguiente fgura%
1& F 21 C 2< F 21 A 1' F 21
'+. Dn ladrillo cuyas dimensiones son ( cm, &
. . . .
1// cuadrados
1 * 11
para completar un cuEo s4lido en cada caso%
'. *iga Dd. cuántos triángulos existen en la siguiente fgura% . .. 1
( * ('
2
3
. ..
((> A (&
(>
'/
C (>=
RAZONAMI ENTO MATEMÁTI CO
(. Calcule el máximo número de sectores circulares. C * A
&/
C * A
). #Cuántas diagonales se pueden tra0ar como máximo en los cuadriláteros existentes en la siguiente fgura% C * A
/. #Cuántos cuadrados $ay en total% 1
1
2
1> 2/
C * A
pueden contar si se llegan a diEu"ar 22' circunerencias% . . . . . . . . .
(3 A =&=
C (&
3 1=
*. #Cuántos puntos de intersecci4n se
=& * ==
1/= 1<= 1== 1>= 1'=
1(/ 1'1 1'3 1&3 1''
'0. #Calcule
el máximo número de segmentos y de ángulos rectos en la siguiente fgura%
+. #Cuántos cuadriláteros como máximo se C * A
pueden contar% 1' C * A
32 2' 3/ &/
,. An la siguiente fgura, #cuántos triángulos y cuántos contar%
cuadriláteros
se
pueden
1'3; => 12(; <2 1&; >1
''. #Cuántos triángulos $ay en la siguiente fgura%
1 &1 F 2&/ &1 F 2
2 3 ( 2/
* &/ F 2
. Calcule el total de $exágonos en la siguiente fgura+
( & 1/ 1& . . .3= (
C * A
12& 1'& 1>& 1=& 1<&
2/
1>
& * <'
1= . .. (
3
2
=3 A 11
1
C &'
'(. #Cuántos
cuadriláteros siguiente fgura%
1
3= * ('&
2
3
(
$ay . . . . . . . . .
(1> A (=
1>
en
la
2/
C 3
'). #Cuántos cuadrados y cuántos triángulos . Galle el número de cuadriláteros en la
se pueden contar en la siguiente fgura%
siguiente fgura+ 1/; '2 1'; (= C 1<; 31 * 13; 32 A <; 2(
RAZONAMI ENTO MATEMÁTI CO
'*. #Cuántos puntos de corte se podrán oEtener como circunerencias% (
n n+
C
n
–
( n H 1) n
A
2
1
con
n
como máximo en la siguiente fgura% 1&
1)
2 n
máximo
'+. #Cuántos pentágonos se podrán contar
2 n
*
2n
n n +
1
C * A
2/ 12 = 1/
