68137183 Razonamiento Matematico Promedios Cuatro Operaciones Planteo de Ecuaciones Edades Moviles y Relojes

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO

1

2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Promedios

PROMEDIOS Dado un grupo de datos se conoce como su promedio a una sola cantidad representativa de dichos datos.

Promedio geométrico de a y b.

PG =

Promedio geométrico de “n” números.

Principales Promedios

PG = n a 1 × a 2 × a 3 × L × a n

( )

Promedio aritmética PA

El promedio aritmético de varias cantidades viene a ser la suma de todas las cantidades, este resultado dividido entre el total de cantidades. Promedio aritmético de a y b. PA =

a+b 2

( )

Promedio armónico PH

El promedio armónico de varias cantidades es la inversa del promedio aritmético de las inversas de las cantidades. Promedio armónico de a y b. PH =

Promedio aritmético de “n” números. PA =

a1 + a 2 + a 3 + L + a n n

PH =

( )

PP =

2ab a+b

Promedio armónico para “n” números.

Promedio ponderado PP Promedio de promedios

a×b

n 1 1 1 1 + ...... + + + a1 a 2 a 3 an

Propiedades

a 1p1 + a 2 p 2 + a 3p 3 + L + a n p n p1 + p 2 + p 3 + L + p n

Para un conjunto de valores diferentes. PA > PG > PH

a n = Cantidades (Notas; Precios; etc.) p n = Pesos (Créditos, frecuencias; etc.)

( )

Promedio geométrico PG

El promedio geométrico de varias cantidades es la raíz “n”– ésima del producto de estas cantidades.

Sólo para dos números diferentes, PA × PH = PG

2

Para dos valores “a” y “b” (a ≠ b) , 2

2

PA − PG =

(a − b) 4

2

3


4


Halle la media aritmética de m, n y p, si la UNA 2009 - II

PROBLEMA 01

Un promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3 . Halle el promedio aritmético de ellos. a) 30 b) 60 c) 20 d) 50 e) 40

PG = 4 a × b × c × d = 6 3

(

)

4

4

4

a× b×c×d = 2 × 3

4

= 6 ×3

a × b × c × d = (2 × 3) × 3

(

2

x− y

) y)

x− y x−

x− y=

2

= x − 2 xy + y LL(iii)

2

2

3

a × b × c × d = 2 × 6 × 18 × 54 Hallando el promedio aritmético a + b + c + d 2 + 6 + 18 + 54 = 4 4 2 + 6 + 18 + 54 PA = 4 PA =

PROBLEMA 03

mn5 + 3(m − 2)p = mn5 2

=2

mn5 + 3(m − 2)p = 2 × mn5

UNA 2007 – EXT.

Si la media aritmética y la media geométrica de dos números enteros positivos x e y son enteros consecutivos, x− y .

Donde: m = 3 ; n = 1 y p = 5

x−

y =

2

UNA 2005 – CPU

Sea los números: a > b > c Entonces: a+b+c = 9 ⇒ a + b + c = 27 LL(i) 3 a = 2c LLLLLLLLLLLL(ii) a+c ⇒ 2b = a + c LLLLL(iii) 2 Remplazando (iii) en (i): 2b + b = 27 ⇒ 3b = 27 ⇒ b = 9 Remplazando (ii) en (iii): 2b = 2c + c ⇒ 2(9) = 3c ⇒ c = 6 b=

a)

3

b) 3 3

d)

2

e)

c) 2 2

5

Solución: Del enunciado

xy = b LLLLLLLLLLL(i)

c) 5

3(m − 2) p = mn5

2

Solución:

PROBLEMA 02

b) 3 e) 4

Del enunciado:

La media aritmética de tres números es nueve. Si el mayor de los números es el doble del menor y el intermedio es la media aritmética de los otros dos, el menor de ellos es: a) 14 b) 12 c) 6 d) 8 e) 10

PA = 20

mn5 a) 6 d) 2

Solución:

6 2

media aritmética de mn5 y 3(m − 2)p es

= 2b + 2 − 2b

∴ El menor es:

2

a × b × c × d = (2)(2 × 3)(2 × 3 )(2 × 3 )

halle

)

Remplazando (i), (ii) en (iii)

( (

Solución: Promedio Geométrico

a× b×c×d = 6 3

x+y = b + 1 ⇒ x + y = 2b + 2 LL(ii) 2 Entonces:

∴ El menor es: c = 6

Pide:

m+ n+ p 3+1+ 5 = = 3 3 3

PROBLEMA 05

Se mezcla 20 litros de leche a 2,5 soles el litro con 80 litros de leche de 2,2 soles el litro. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que sea de 2 soles el litro? a) 15 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16

Solución: Se agrega “x” litros de agua: PP =

Solución:

UNA 2008 – CPU

PROBLEMA 04

20(2,5) + 80(2, 2) + x(0) =2 20 + 80 + x

x = 13

Piden el promedio ponderado: 80(10%) + 60(70%) + 40(20%) PP = 10% + 70% + 20% PP = 58kg PROBLEMA 07

Se ha mezclado 80kg de una sustancia con 70kg de otra. Las sustancias cuestan S/. 3 y S/. 5 el kg respectivamente. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de S/.4 el kg para que el precio medio de la mezcla resulte S/. 3,95 el kg? a) 60 b) 45 c) 50 d) 48 e) 30

Solución: Sea “x” kg de la 3ra sustancia. 3(80) + 5(70) + 4( x) PP = = 3, 95 80 + 70 + x 240 + 350 + 4 x = 3,95 ⇒ x = 50 150 + x PROBLEMA 08

El peso promedio de todos los estudiantes de la clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuantos estudiantes tiene la clase B? a) 60 b) 45 c) 50 d) 48 e) 30

Solución:

PROBLEMA 06

En un grupo de personas 10% son adultos, 70% son jóvenes y 20% son niños. Si el peso medio de los adultos es 80kg el peso medio de los jóvenes es 60kg y el peso medio de los niños es 40kg, entonces el peso medio del grupo es: a) 56kg b) 57kg c) 58kg d) 59kg e) 6kg

Estudiantes Cantidad Promedio A x − 16 68, 4 B x 71, 2 Dato: PP = 70 68, 4(x − 16) + 71, 2 x = 70 ⇒ x = 64 x − 16 + x


5

6

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 16,5 d) 16,6

01. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón. a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1 02. De los 20 integrantes de un club de tiro todos ellos aciertan de 25 tiros amas. ¿Cuál será la máxima cantidad de aciertos que uno de ellos puede obtener para que el promedio de aciertos del club sea 27? a) 27 b) 75 c) 55 d) 65 e) 54 03. En el aula A de un colegio hay 60 alumnos y en el aula B, 40. El promedio de notas en matemáticas de los alumnos del aula A es 15 y el de los del aula B es 17,5. Si se juntaran ambos salones en uno solo. ¿Cuál seria el promedio de notas en matemáticas de los 100 alumnos? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 04. El promedio de edad de 5 personas es 46, si ninguna de ellas es menor de 44 años. ¿Cuál es la máxima edad que una de ellas puede tener? a) 45 b) 46 c) 48 d) 54 e) 56 05. EL promedio de 50 números es 38; siendo 28 y 62 dos de los números, eliminando estos números el promedio de los restantes es: a) 36,5 b) 38 c) 37,2 d) 38 e) 37,5 06. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuantas perdonas de las que tienen 25 años deben retirase

para que el promedio de los restantes sea de 20 años. a) 10 b) 11 c) 20 d) 25 e) 15 07. Si tenemos 4 números enteros positivos, se seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se calcula su media aritmética, a la cual se agrega el número restante, esto da 29. Repitiendo el proceso 3 veces más se obtienen como resultados 23, 21 y 17, la suma del menor con el mayor es: a) 15 b) 21 c) 24 d) 30 e) 33 08. Para un curso de química se tiene alumnos de primera matricula y alumnos de segunda matricula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matricula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de la segunda matricula? a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80% 09. El promedio aritmético de 60 números es 15. Si a la cuarta parte de ellos se les aumenta en 6 unidades y alas restantes se les disminuye en 4 unidades, el nuevo promedio aritmético es: a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 10. En un aula de 230 alumnos la menor edad es de 12 años, la mayor es de 24 años y el promedio de las 18 edades intermedias es 16 años. Cual es el promedio de todas las edades.

b) 16,2 e) 17,5

c) 17,4

11. El promedio de 50 números es 62,1, se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuanto varia el promedio? a) 5 b) 4,7 c) 5,7 d) 4,9 e) 3,9 12. La media geométrica de dos números enteros A y B es 6 2 . Se sabe que su media armónica y su media aritmética son dos enteros consecutivos. Entonces la diferencia en valor absoluto de dichos números es: a) 1 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24 13. De 500 estudiantes de un colegio, cuya estatura es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedio de los varones del grupo. a) 1,70m b) 1,64m c) 1,71m d) 1,69m e) 1,68m 14. La suma de las edades de los alumnos de un salón de clases es 1800 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 4 años y a cada mujer se le resta 2 años el nuevo promedio es 21. Hallar el número de mujeres. a) 354 b) 45 c) 48 d) 50 e) 55 15. Se ha mezclado 52 litros de alcohol de 60% de pureza con 48 litros de 85% y 50 litros de alcohol de 96%. ¿Cuál es la concentración media de la mezcla final? a) 80% b) 75% c) 88% d) 65% e) 72% 16. El litro de vino de calidad A cuesta 5 soles y el de calidad B, 10 soles. Se desea obtener una mezcla de 20 litros

que cueste 9 soles cada litro. Cuantos litros de calidad B se debe comprar. a) 15 b) 14 c) 17 d) 13 e) 16 17. El promedio de 6 números es “x”. Si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre el promedio y el número mayor retirado. a) -24 b) 24 c) 20 d) -20 e) 30 18. La media aritmética de dos números enteros positivos es ala media geométrica de los mismos números como 13 es a 12. El menor de dichos números puede ser: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 19. Un trailer emplea 18 llantas para su desplazamiento. Si el conductor quiere que tanto sus 18 llantas como sus llantas de repuestos se desgasten igualmente en un recorrido de 2000 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrerá cada llanta? a) 200km b) 1600km c) 400km d) 1800km e) 100km 20. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699 y la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no considerados? a) 949 b) 499 c) 948 d) 721 e) 498 21. Un ciclista recorre desde su casa al trabajo a una velocidad de 120m/seg y de retorno por el mismo camino a una velocidad de 280m/seg. Hallar la velocidad media del recorrido. a) 168 b) 194 c) 200 d) 140 e) 175


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Cuatro Operaciones

8


PROBLEMA 01

Cuatro operaciones En este tema consideraremos situaciones donde se incluyen las cuatro operaciones elementales (adición, sustracción, multiplicación y división), pero sus resoluciones se deben hacer sólo en base al razonamiento.

Ejemplos Ejemplos Ilustrativos

Solución:

EJEMPLO 1 Un vendedor de libros compra 3 libros por S/.70 y vende 4 por S/.105. ¿Cuántos libros debe vender para ganar S/.350? a) 220 b) 130 c) 240 d) 120 e) 200

Solución: Compra: 3 libros

→ 70 soles

70 soles 3

1 libro

→

4 libros

→ 105 soles

Venta:

1 libro

→

105 soles 4

Ganacia: En cada libro ganará: 105 70 − = 4 3 ↓ ↓ precio venta

precio compra

Primeramente, observemos que en el ultimo día asciende 160m y como ya no resbala, los demás días anteriores tendrá que ascender: 400 − 160 = 240m Como en cada día asciende 180m y desciende 120m, entonces su ascenso real por día es de: 160 − 120 = 40m Luego, para ascender los 240m restantes necesita:

35 soles 12 ↓

ganancia

A una fiesta de promoción asistieron 95 personas y en un momento determinado, 15 mujeres y 20 hombres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 22 b) 35 c) 45 d) 50 e) 15

Solución:

V = Varones M = Mujeres Total de personas: V + M = 90 Nº de personas que no bailan: 15 + 20 = 35 Nº de personas que bailan 90 − 35 = 60 Pero como bailan en pareja, entonces:

Sea:

60 = 30 2 Ademas no bailan 15 mujeres. Nº de mujeres que bailan =

Total de Mujeres = 30 + 15 = 45 PROBLEMA 02

240 = 6 días 40

Por lo tanto, total días: 6 + 1(ultimo día) = 7 dias

Nº de libros que debe vender para ganar 350 soles es: 350 = 120 35 12

EJEMPLO 2 Una tortuga se encuentra en una pendiente, durante el día avanza 160m, y durante la noche desciende 120m por acción de su propio peso. Al cabo de cuantos días llega a la parte superior de la pendiente de 400m de largo. a) 10 b) 6 c) 8 d) 7 e) 12

“No es suficiente tener una mente extraordinaria, lo más importante es saber cómo usarla bien” René Descartes

Los gastos de 15 excursionistas ascienden a 375 soles los cuals deben ser pagados por partes iguales. Pero en el momento de cancelar la cuenta faltaron algunos de los viajeros, por lo que cada uno de los restantes, tuvo que abonar 12,5 soles más. ¿Cuántos no estuvieron presentes al momento de cancelar la cuenta? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7

Solución: Cuota original =

375 = 25 soles 15

Nueva cuota 25 + 12, 5 = 37, 5 soles

Esto significa que los quepagan la cuenta tienen que desembolsar 37,5 soles cada uno. Nº de pagantes =

375 = 10 12,5

Nº de escurcionistas que no pagaron 15 − 10 = 5 PROBLEMA 03

Compre un lote de polos a 500 soles el ciento y los vendí a 84 soles la docena ganando en el negocio 4000 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? a) 20 b) 2 c) 30 d) 24 e) 28

Solución: Compra: 100 polos → 500 soles Venta: 12 polos → 84 soles 84 = 7 soles 12 100 polos → 7 × 100 = 700 soles Ganacia: En cada ciento ganara: 700 − 500 = 200 soles ↓ ↓ ↓ 1 polo

→

precio venta

precio compra

ganancia

Pero la ganancia total fue 4000 soles Nº de cientos =

4000 = 20 200

PROBLEMA 04

Una Combi que hace servicio de Juliaca a Puno cobra 3,5 soles como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3.

9

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO Si llego a Puno con 12 pasajeros y una recaudación de 52,5 soles. ¿Cuántas personas partieron de Juliaca? a) 15 b) 6 c) 5 d) 3 e) 9

Como decide regalar 30 libros, entonces quedan aptos para la venta: 780 − 30 = 750 libros Por lo tanto cada libro lo venderá en: 42000 = 56 soles 750

Solución: recaudación

Total de pasajeros =

52, 5 = 15 3, 5 costo de pasaje

Como llego con 12 pasajeros, quiere decir que bajaron: 15 − 12 = 3 pasajeros Si por cada uno que bajó subierón 3, entonces por 3 que bajaron subieron: 3 × 3 = 9 pasajeros Nº de pasajeros que partieron de Juliaca: 15 − 9 = 6 pasajeros

PROBLEMA 06

Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle 700 soles más un televisor, pero al cumplir los 7 meses se le despide pagándole 250 soles más el televisor. El precio del televisor es: a) 420 b) 360 c) 400 d) 350 e) 380

Solución: Del problema se deduce: 12 meses = 700 + TV  (−) restando 7 meses = 250 + TV  5 meses = 450

PROBLEMA 05

Un comerciante compras libros a 50 soles cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros ¿A qué precio debe vender cada libro para ganar 6000 soles? a) 54 b) 62 c) 60 d) 56 e) 58

Solución: La compra es de 13 en 13 porqu le obsequian “1” por cada docena comprada, entonces: 780 = 60 12 + 1 Nº de libros comprados: 60 × 12 = 720 Precio de compra total de libros: 720 × 50 = 36000 soles Para ganar 6000 soles se le debe recaudar: 36000 + 6000 = 42000 soles

En un mes gana: 450 = 90 soles 5

En 12 meses debe ganar: 12 × 90 = 1080 soles Pero en realidad recibe 700 soles mas el televisor, esto significa que: 700 + TV = 1080

∴ TV = 380 soles

Nº de docenas compradas:

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles." René Descartes

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01. A una fiesta asistieron 67 personas y en un momento determinado, 13 mujeres y 10 hombres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 22 b) 35 c) 44 d) 50 e) 9 02. Cada día un ingeniero para ir de su casa a su oficina gasta 2 soles y de regreso 4 soles, si gastó 92 soles. ¿Dónde se encuentra el ingeniero? a) En la oficina b) En la casa c) A mitad de camino a la casa d) A mitad de camino a la oficina e) No se puede determinar 03. Compre un lote de polos a 180 soles el ciento y los vendí a 24 soles la docena ganando en el negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? a) 20 b) 2 c) 30 d) 24 e) 28 04. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 250 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 300 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 6 05. Un microbús que hace servicio de Juliaca a Ayaviri cobra 3 soles como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si llego a Ayaviri con 35 pasajeros y una recaudación de 135 soles. ¿Cuántas personas partieron de Juliaca? a) 15 b) 18 c) 5 d) 13 e) 9


06. Carlos ingresa a un edificio y sube hasta el quinto piso, luego baja al segundo piso y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 15 peldaños. ¿Cuántos peldaños ha subido el Carlos? a) 105 b) 135 c) 90 d) 120 e) 75 07. Cinco amigos consumieron en un restaurante por un total de 400 soles y 1 1 y del dos de ellos solo tenían 8 5 consumo. Para cubrir la diferencia, cada uno de los restantes pagó por igual la suma de: a) 270 b) 90 c) 130 d) 180 e) 80 08. Un comerciante compra 3 limones por 2 soles y vende 4 por 3 soles. ¿Cuántos limones debe vender para ganar 10 soles? a) 120 b) 230 c) 160 d) 180 e) 280 09. Con la gratificación recibida por fiestas patrias compré 30 libros, si cada libro me hubiera costado 10 soles menos, hubiera adquirido 50 libros más. ¿Cuánto me costó cada libro? a) 10 b) 15 c) 16 d) 20 e) 25 10. hay 4 miembros de una familia que van al teatro a preferencial. Cambian de opinión y compran entradas de platea ahorrando S/. 120. Si los precios unitarios de ambas entradas suman S/. 110. ¿Cuánto pagó por las entradas en total? a) 100 b) 120 c) 160 d) 150 e) 140


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11. En el sentido de la corriente una lancha recorre 400km en 10 horas, de regreso al punto de partida requiere 16 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 40km/h b) 7,5km/h c) 25km/h d) 32,5km/h e) 12,5km/h

16. Se compra un recipiente que lleno pesa 9,5kg y vacío pesa 2,5kg se vende el contenido en vasijas que llenas pesan 290g y vacías pesan 40g. ¿Cuántas de estas vasijas se han podido llenar? a) 28 b) 30 c) 56 d) 14 e) 37

12. Un tigre persigue a un venado que lleva 90 saltos de adelanto. Sabiendo que el tigre da 7 saltos mientras que el venado da 6 y que 4 saltos del venado equivalen a 3 del tigre. ¿Cuántos saltos dará el tigre para alcanzar al venado? a) 600 b) 210 c) 450 d) 129 e) 189

17. En el año 2000 un profesor de R.M. en una clase de 25 alumnos sumó todos los años de nacimiento a continuación sumó sus respectivas edades: finalmente sumó ambos resultados y obtuvo 49992. ¿Cuántos alumnos ya cumplieron años, en dicho año? a) 13 b) 12 c) 8 d) 20 e) 17

13. Un comerciante adquirió 1800 lapiceros a 8 soles cada uno, habiéndosele obsequiado 4 lapiceros por cada caja de 20 unidades que compró. ¿A qué precio debe vender cada lapicero, si él a su vez regalará 5 por caja y piensa obtener una ganancia total de 9600 soles? a) 90 b) 12 c) 15 d) 15 e) 9 14. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e) 3 15. Juan compró siete billetes de la lotería de una misma serie de los cuales salieron premiados. El recibirá como premio S/. 240000 si hubiese comprado un billete menos. ¿Qué cantidad recibió Juan? a) 350000 b) 280000 c) 460000 d) 580000 e) 380000

18. Para instalar tuberías de agua un gasfitero solicito 10 soles por cada punto, incluyendo material y mano de obra, y calculó ganar 96 soles; pero acuerda una rebaja de 3 soles por cada punto y resulta ganando solamente 63 soles. ¿Cuánto invirtió el gasfitero en le material de gasfiteria? a) 79 b) 15 c) 49 d) 97 e) 14

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Planteo de Ecuaciones

PLANTEO DE ECUACIONES Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas, Físicas, Ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este Tema nos ayudará traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y apartir de ellas resolverlas. LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADO)

LENGUAJE MATEMÁTICO (ECUACIÓN) TRADUCIR

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incognitas. Ejemplos

19. La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro, se tiene 16 de cociente y residuo máximo el número mayor es: a) 302 b) 234 c) 305 d) 304 e) 243 20. Martha que tiene el hábito de lavarse la cabeza diariamente utiliza la misma cantidad de champú. Después de 15 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. Veinte días más tarde observa que aún le quedan 50cm3. ¿Cuántos cm3 de champú consume diariamente en cada lavado de cabeza? a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 7

5x − 4 −7 = 0 2x − 1 2

2

x − 3x + 4 = 5x + 8 x  x − 3y + 4 = 0   5 x + 7 y − 10 = 0

3

Sugerencias para plantear una ecuación: Leer y comprender el enunciado. Extraer los datos. Elegir la(s) variable(s) y representarla. Relacionar los datos a través de una igualdad lógica (ecuación). 5. Resolver la ecuación obteniendo el valor de la variable o incógnita. 1. 2. 3. 4.

Traducción e interpretación FORMA LITERAL Un número, aumentado en su mitad. El doble de un número

FORMA SIMBÓ ÓLICA

x 2 2x

x+

El triple, de “x” más 8

3x + 8 3( x + 8)

El triple de “x” menos 5

3x − 5

El triple de “x”, más 8

x 2

Mitad de un número Dos consecutivos

números

x ; ( x + 1)

50 − x

Lo que falta para 50 Dos números pares consecutivos “A” excede a “B” en 7

2 x ; (2 x + 2)

“A” es excedido por “B” en 7

B− A = 7

“M” es a “N” como 2 es a3 “A” es 7 veces “B”

M 2 = N 3 A = 7B

“A” es 7 veces más que “B”

A = 8B

Dos números están en la relación de 3 a 5.

x 3 = y 5

El exceso de “M” sobre “N” es “Z” Suma de dos números al cuadrado Suma de los cuadrados de dos números

M−N = Z

Inverso de un número 5 menos 4 veces un número

A−B = 7

(x + y) 2

x +y

2 2

1 x

5 − 4x

13


14

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO y = 75 ∧ x = 90

do

2

Total de dinero = 90(50) + 75(20) = 6000

Solución:

PROBLEMA 01

El cuadrado de un número primo p sumado con el cuadrado del consecutivo a p, más 80, es un número de tres cifras, igual al cuadrado de otro número primo. Halle la suma de cifras de p. a) 11 b) 5 c) 8 d) 10 e) 9

Solución: Sean los números primos p y q . De las condiciones, se plantea lo siguiente. 2

2

p + ( p + 1) + 80 = q 2

p + p + 2 p + 1 + 80 = q

2

2

2 { p (1 p2 +3 1) = (1 q2 −3 9)(1 q2 +3 9) par

par

par

Entonces agrupamos (2 p) dif. =188 dif. =18 8 64 74 64 4 744 2 p ( p + 1) = ( q − 9)( q2 +3 9) { 123 123 1 par

par

par

Al inicio y cuando se aumentan 4 mesas el número de comensales es el mismo 9 x = 6( x + 4)

par

Luego 2 p − ( p + 1) = 18

∴ Nº de comensales: 9(8) = 72

Un empresario pagó a sus empleados con billetes de S/. 50 y S/. 20. El número de billetes de S/. 50, excede a los de S/. 20 en 15 y la cantidad de dinero que pagó con billetes de S/. 50 es 3 veces la cantidad que pagó con billetes de S/. 20. ¿Cuál es el total de dinero en soles que ha destinado el empresario en el pago a sus empleados? a) 4500 b) 7200 c) 8000 d) 5400 e) 6000

→ p = 19

Nos piden la suma de las cifras de p.

∴ 1 + 9 = 10

Solución: Nº de billetes S/. 50: x Nº de billetes S/. 20: y

En el restaurante “Las Palomitas”, los comensales estaban sentados a 9 por mesa; para descongestionar se aumentaron 4 mesas más y luego quedaron sentados a 6 por mesa. ¿Cuántos comensales habían? a) 72 b) 52 c) 82 d) 80 e) 70

Solución: No Gasté

1 2 ⋅ ⋅x 3 5 Gasté + No Gasté = 340 2x + x = 340 15 x = 340 :

PROBLEMA 05

Elías dice a Aurora: “Si me das S/. 7, tendré el doble de lo que posees tú.”, y Aurora le contesta:, “Tú tienes más que yo, pues si me das S/. 5 tendríamos cantidades iguales.” ¿Cuánto tiene Elías? a) S/. 42 b) S/. 53 c) S/. 48 d) S/. 49 e) S/. 41

Remplazando (3) en (2) 50(15 + y) = 3(20y)

Traduciendo el enunciado: 1ro Elías dice a Aurora:

50 x = 3(20 y) LL (2)

750 + 50 y = 60y

x + 7 = 2(y − 7)

LL (1)

x + 7 = 2 [ ( x − 10) − 7 ]

Resolviendo: x + 7 = 2( x − 17) x + 7 = 2 x − 34

x = 41

PROBLEMA 05

Solución: LL (1)

Reemplazando (3) en (1) tenemos:

Por lo tanto, Elias tiene: S/. 41

∴ Gasté = 340 − 300 = 40

De la ecuación (1) se tiene: x = 15 + y LL (3)

x − y = 15

LL (2)

En la ecuación (3) hallamos el valor de “y” y = 41 − 10 ⇒ y = 31

: x

En este problema utilizaremos variables. Sean: Lo que tiene Elías : x Lo que tiene Aurora : y

Del dato: PROBLEMA 02

María va al mercado con 340 nuevos soles, al preguntarle su esposo cuánto había gastado, responde: he gastado la tercera parte de los dos quintos de lo que no he gastado. ¿Cuántos nuevos soles gastó? a) 60 b) 300 c) 240 d) 40 e) 46

Gasté

PROBLEMA 03

2 p + 2 p = q − 81

impar

Cuando se aumentan 4 mesas Nº de mesas : x+4 Nº de comensales : 6( x + 4)

x−5 = y+5

De (2), despejando tenemos: y = x − 10 LL (3)

PROBLEMA 04

Nº de mesas : x Nº de comensales : 9 x

3 x = 24 ⇒ x = 8

2

2

2

Al inicio

Aurora contesta:

dos

Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 soles. Lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 á 3. ¿Cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 16 soles b) 24 soles c) 32 soles d) 15 soles e) 20 soles

Solución: 1a. Parte: Gasta: 2k Cobra: 3k Del enunciado: 2k + 3k = 600 Resolviendo: k = 120 soles Entonces: Gasta: 240 y Cobra: 360 2a. parte: Sea “x” el gasto que se tiene que disminuir Podemos plantear:

240 − x 3 = 360 5

Resolviendo: x = 24 soles


01. Mis camisas son de colores verde, azul y blanco. Si todas mis camisas son blancas, menos cuatro; todas son azules, menos cuatro; y todas son verdes, menos cuatro. ¿Cuántas camisas y tengo en total? a) 16 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 02. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los números es: a) 18 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21 03. Cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra? a) 18 b) 36 c) 6 d) 12 e) 20 04. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente? a) 20 b) 16 c) 25 d) 15 e) 30 05. Un niño le dice a su padre: “de los 140 soles que me diste, gaste 58 soles más de lo que no gasté”. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño? a) 21 b) 75 c) 80 d) 37 e) 41 06. A una fiesta asistieron 20 personas, Silvia bailó con 7 muchachos, Nancy con 8, Jaki con 9 y así sucesivamente hasta llegar a katty que bailó con todos

15

ellos. ¿Cuántos muchachos habían en la fiesta? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 07. Al preguntar una madre a su hija cuanto había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió. “Si no hubiera comprado un regalo que me costo 10 soles tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado”. ¿Cuánto gastó? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 16 08. Cada alumno recibe diariamente 36 hojas para su práctica calificada. Si el número de alumnos aumenta en 960 y no varia la dotación diaria de hojas, cada alumno ahora recibe 6 hojas menos. Ahora ¿Cuántos alumnos son en total? a) 3460 b) 5760 c) 4360 d) 7560 e) 4800 09. Cuando se instalo agua a una población correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día. Ahora que la población se ha aumentado en 40 habitantes a cada uno de ellos les corresponde 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. a) 1000 b) 1100 c) 1200 d) 900 e) 800 10. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) 8 11. Con las alumnas de un salón de clase se puede conformar un número exacto

16 de equipos de voley (6 jugadoras por quipo) y con los alumnos del salón; el mismo número de equipos diferentes, pero de basket (5 jugadores por equipo). Se sabe que en el salón hay 5 alumnas más que alumnos. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay? a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 12. En una reunión se encuentran tantos caballeros como 3 veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros que aun quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? a) 10 b) 42 c) 45 d) 48 e) 24

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 16. En una reunión hay 5 hombres más que mujeres; luego llegaron un grupo de personas cuyo número es igual al de los hombres inicialmente presentes; de modo que en la reunión todos están en parejas y hay 50 hombres en total. Hallar el número de mujeres inicialmente presentes. a) 20 b) 25 c) 30 d) 32 e) 35 17. Con los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto y sobran 9 alumnos para que se forme un cuadrado compacto sin que sobre ningún alumno tendría que haber 18 alumnos más como mínimo. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? a) 178 b) 181 c) 154 d) 205 e) 126

13. La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre se ha ido a un manzano, los 8/9 del enjambre se fue a un capulí; mientras la única abeja que quedó en la colmena da vuelta al rededor del único zángano que la acompaña. ¿Cuál era el tamaño del enjambre? a) 64 b) 72 c) 68 d) 76 e) 80

18. En lugar de caminar a lo largo de los dos lados de un patio rectangular, un niño toma la diagonal del rectángulo y se economiza una distancia igual a la mitad del lado mayor. La razón del lado menor a la mayor es: a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) 3/4 e) 2/5

14. En una granja se tienen: palomas; loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves; sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de palomas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Con 3125 soles se pueden hacer tantos grupos iguales con monedas de 5 soles como monedas tenga cada grupo, la suma de las cifras del número que representa el valor, en soles de cada grupo es: a) 8 b) 11 c) 7 d) 10 e) 13

15. Maritza dice: “Yo tengo tantos hermanos como hermanas tengo”; pero Willy hermano de Maritza dice: “Tengo la mitad de Hermanos que de Hermanas”, ¿Cuántos somos en total? pregunta Vilfredo, hermano de Maritza. a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11

20. En una fiesta hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como hombres sentados. Luego se observa que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran sentados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? a) 56 b) 65 c) 45 d) 54 e) 35

17


Edades Edades

18


PROBLEMA 01 Hace 3 años

Dentro de 8 años

Edades Los problemas de edades son un tipo particular de planteo de ecuaciones las cuales están relacionadas con años de existencia y tiempo en pasado, presente y futuro. Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos:

A) Cuando interviene un sujeto Esquema: Si mi edad actual es “x” años, entonces, dentro de “a” años y hace “b” años, mi edad se expresará así. PASADO hace "b" años x−b

PRESENTE FUTURO hoy tengo dentro de "a" años x+a

x

B) Cuando intervienen varios sujetos En este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, como el que mostramos a continuación: Tiempos

Sujetos

Pasado Pr esente Futuro

Yo

A

Tú

B C

Él

Edades y condiciones Edades y condiciones

Damos dos observaciones importantes que ayudaran a la resolución de los problemas. OBS. 1

La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante en el tiempo.

Tú

Pasado Pr esente Futuro 23 26 34

Yo

17

20

28

Vemos por ejemplo en el cuadro anterior, que la diferencia de las edades es siempre 6 y no importa el tiempo en que sea. En el pasado

23 − 17

En el presente

=

26 − 20

En el futuro

= 34 − 28

Solución: Asumiendo la edad actual “x” años y utilizado el esquema mensionado anteriormente tenemos: PASADO hace 10 años

PRESENTE FUTURO hoy tengo dentro de 20 años

La suma de las edades ubicadas diagonalmente es la misma que la suma de las edades ubicadas diagonalmente simétricas. (Las sumas en aspa). Hace 3 años

Dentro de 8 años

Pasado Pr esente Futuro Tú 23 26 34 17

20

28

Las posibles sumas en aspa que podemos obtener del cuadro de doble entrada anterior son: 23 + 28 = 17 + 34 23 + 20 = 17 + 26 26 + 28 = 20 + 34

x + 20

x

x − 10

OBS. 2

Yo

Dentro de 20 años, tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuál fue mi edad hace 3 años? a) 22 b) 25 c) 34 d) 37 e) 26

Por condición del problema: x + 20 = 3( x − 10) ⇒ x = 25

PROBLEMA 02

Hace 4 años, la edad de Paola era el cuádruplo de la edad de Marco, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. a) 60 b) 76 c) 87 d) 98 e) 68

Solución: De acuerdo al enunciado del problema podemos construir el siguiente cuadro de doble entrada.

4x

4x + 4

4x + 9

Relaciones con el año de nacimiento

Marco

x

x+4

x+9

Si la persona aun no cumple años (Año de nacimiento) + (Edad actual) = (Año actual) − 1

PROBLEMA 03

Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas, ¿dentro de cuántos años tendré 26 años? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Solución:

Paola

Si la persona ya cumplió años

76 + 22 = 98años

∴ Hace 3 años tuve: 25 − 3 = 22

En los problemas que resolveremos, nos referiremos a esta observación diciendo que aplicamos “el criterio de las sumas en aspa”.

(Año de nacimiento) + (Edad actual) = (Año actual)

Resolviendo la ecuación anterior: 4 x + 9 = 3 x + 27 ⇒ x = 18 Las edades actuales de: Paola : 4 x + 4 = 4(18) + 4 = 76 años Marco : x + 4 = (18) + 4 = 22 años ∴ La suma de las edades es:

Hace 4 años

Dentro de 5 años

Pasado Presente Futuro

De la condición, que dice de la edad de Paola respecto de la Marco: “Dentro de 5 años será el triple”, podemos plantear: 4 x + 9 = 3( x + 9)

Del enunciado del problema podermos establecer el siguiente cuadro de doble entrada.

Presente

Dentro de 6 años

Yo

2x

2x + 6

Tú

x

x+6

Él

6x

6x + 6

De la condición: “Si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas” podemos plantear la siguiente ecuación: 6 x + 6 = 4( x + 6)

Resolviendo: 6 x + 6 = 4 x + 24 ⇒x=9 Mi edad actual (Yo):

2(9) = 18 años

Tendré 26 años dentro de: 26 − 18 = 8

19

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO PROBLEMA 04

Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años. Hallar la suma de las edades actuales. a) 36 b) 49 c) 54 d) 37 e) 60 Haciendo un gráfico para cada tiempo “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías” Pasado Tú

Yo : 4(7) = 28 años Tú : 3(7) = 21 años

∴ La suma de las edades actuales es: 28+21= 49años

Solución:

Yo

De la condición del problema, tenemos: 5k + 4k = 63 ⇒ k=7 Luego: Edades actuales:

Presente

Futuro

2x x

PROBLEMA 05

1920 la edad de Marco era 4 veces la edad de Carla y en 1928 la edad de Marco fue el doble de la edad de Carla ¿Cuál fue la edad de Carla en 1930? a) 19 b) 27 c) 26 d) 30 e) 32

“Cuando yo tenía la edad que tú tienes” Yo

Pasado y

Tú

x

Presente 2x y

Futuro

Aplicando el criterio de las sumas en aspa: y + y = x + 2x ⇒

x 2 = y 3

⇒

x = 2k y = 3k

Reemplazamos en el cuadro: Yo

Pasado 3k

Tú

2k

Presente 4k 3k

Futuro

Solución: Del enunciado, exponemos la siguiente tabla: En 1920 En 1928 Marco

4x

4x + 8

Carla

x

x+8

En 1928 nos dicen que “la edad de Marco fue el doble de la edad de Carla” La edad de Marco = 2 ( Edad de Carla ) 4x + 8 = 2( x + 8)

Prosiguiendo con la interpretación del enunciado “Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 63 años” Este valor lo calculamos aplicando la suma en aspa

Pasado

Presente

Futuro

Yo

3k

4k

5k

Tú

2k

3k

4k Suma 63

Resolviendo: 4x + 8 = 2( x + 8) 4 x + 8 = 2 x + 16 4 x − 2 x = 16 − 8 2x = 8 x=4 La edad de Carla en 1928 es: 4(4)+8=24 años. En 1930 Carla tendrá: 24 + 2 = 26años

20

01. Si a la edad que tendré dentro de 10 años le suman la edad que tenia hace 5 años obtienes lo que me falta para tener 65 años. ¿Cuántos años tengo? a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25 02. Hace 3 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 21 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 7 años? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1 03. Si mi edad más dos veces mi edad, más tres veces mi edad y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad como años tengo es 126. ¿Qué edad tengo? a) 5 años b) 6 años c) 7 años d) 8 años e) 4 años 04. Dentro de 20 años tendré 2 veces más que la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendría actualmente si hubiese nacido 3 años antes? a) 25 b) 22 c) 28 d) 29 e) 30 05. Yo tengo 40 años y mi edad es los 4/5 de la edad que tú tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tienes? a) 36 años b) 40 años c) 45 años d) 60 años e) 48 años 06. Tú tienes 7 veces la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que yo tengo. Si dentro de 5 años nuestras edades sumarán 120. ¿Qué edad tengo? a) 40 años b) 70 años c) 60 años d) 50 años e) 80 años


07. Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumarán 95 años. ¿Cuántos años tenías cuando yo cumplí 18 años? a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 4 08. Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la edad de su hijo y dentro de 5 años será solamente el doble. ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? a) 29 años b) 30 años c) 35 años d) 40 años e) 45 años 09. Tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Si nuestras edades suman 46 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 10. Cuando transcurran a partir de hoy tantos años como los años que pasaron desde que naci hasta hace 30 años, tendré el quíntuplo de la edad que tenía en ese entonces. ¿Cuántos años tengo? a) 30 años b) 20 años c) 18 años d) 50 años e) 40 años 11. Tú tienes 24 años, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 60 años. ¿Hace cuántos años tenía yo las 2/5 partes de los años que tendré dentro de 22 años? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 14

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO 12. La edad de José en los 3/2 de la edad de Luis. Si José hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón existente si José hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos cuando nació el otro? a) 15 años b) 10 años c) 16 años d) 10 años e) 14 años 13. Piero lo dice a Juana: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando Luis tenía la mitad de la edad que tienes; y cuando Luis tenga la edad que tengo, yo tendré el triple de la edad que él tenía cuando ya te dije y tú tendrás el doble de la edad que tenía hace 7 años. Halle la edad de Piero. a) 18 años b) 20 años c) 24 años d) 25 años e) 30 años 14. Cuando tú tengas la edad que tengo, tendrás lo que él tenía que es el triple de lo que tienes y yo tenía los 3/5 de lo que él tiene, que es 20 años menos de los que tendré cuando tengas lo que ya te dije. ¿Qué edad tenía yo cuando tú naciste? a) 16 años b) 30 años c) 18 años d) 32 años e) 14 años 15. Paquito dice a su padre: “si tomas mi edad tantas veces como años tengo y restas tantas veces la edad de mi hermano menor como años tiene, obtienes 95 años”. El padre le contesta: “lo mismo ocurre con mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació si hijo Paquito? a) 12 años b) 24 años c) 36 años d) 48 años e) 60 años 16. Estamos en 1943. Yo tengo dos niños que son mellizos. El cubo de la edad de mi hijo sumando al cuadrado de la

21 edad de mi hija, de el año en el cual nació mi esposa, lo cual ocurrió en la segundad mitad del siglo pasado. Si yo soy 8 años mayor que mi esposa. Halle la raíz cúbica de la suma de las cuatro edades. a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7 17. En 1949, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1954, la edad del padre fue el quíntuplo de la edad de su hijo. ¿Cuál era la edad del padre en 1961? a) 56 años b) 57 años c) 58 años d) 47 años e) 59 años 18. B tiene tantas días como los 3/5 de las semanas que tiene A, B tiene tantos años como los 2/7 de los meses que tienes C. Si entre A, B y C tiene 622 meses. ¿Cuántos años tiene B? a) 4 b) 48 c) 24 d) 2 e) 7 19. Adolfo le dice a Ariana: “cuando tú naciste yo tenía la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, si a la suma de nuestras edades, cuando yo tenía lo que tú tienes, le añades la suma de nuestras edades actuales, obtendrás 56 años. ¿Qué edad tiene Ariana actualmente? a) 18 años b) 20 años c) 16 años d) 12 años e) 14 años 20. Diana le dice a Carlos: “Mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tu tienes y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edad tiene Diana? a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18

22


Móviles

Móviles

t alcance =

Movimiento Movimiento rectilíneo uniforme t

t

t

e

e

e e

Tiempo de cruce e espacio

v

velocidad

e v A − vB

t

Para dos móviles en movimiento a) Sentido opuesto ← →

vB

vA

tiempo

Fórmulas para recordar

e = v ×t

e t

v=

t=

LA

e v

LB

t cruce =

Movimientos simultáneos Cuando los móviles se dirigen en sentidos opuestos 1er. Caso

L A + LB V A + VB

b) En el mismo sentido →

→

vA

vB

LA

LB

AL ENCUENTRO

eA

t cruce =

eB

e

e v A + vB

t encuentro =

L A + LB V A − VB

Para un móvil en movimiento y otro en reposo a)

2do. Caso ALEJAMIENTO

L tre n

L puente

→

PUENTE

V tren

eA

t alejamiento =

e v A + vB

Cuando los móviles se dirigen en el mismo sentido (Tiempo de Alcance) A

B

e

t cruce =

eB

e

eA

eB

b)

Ltren + L puente Vtren

→

p e rso n a p a ra d a

V tre n

L tre n

t cruce =

Ltren Vtren

23


24


Utilizaremos: e = v.t

e = 3 ( t + 5 ) ….. (I)

PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Dos autovagones van uno a 15km/h; y el otro, a 18km/h; tardan 12 segundos en cruzarse mutuamente. Si la longitud de uno de ellos es 65m. Halle la longitud del otro. a) 45m b) 55 m c) 65 m d) 40 m e) 70 m

Un auto parte a las 08:00 horas con una velocidad de 50km/h. Si la mitad del tiempo transcurrido es igual a la tercera parte del tiempo que falta para ser las 18:00 horas del mismo día. La distancia recorrida en km hasta ese instante, es: a) 300 b) 200 c) 150 d) 100 e) 250

Solución: 5 25 V1 = 15 × = m/ s 18 6 5 V2 = 18 × = 5m / s 18 e = (V1 + V2 )T

⇒ 65 + x = (

25 + 5)12 6

x = 45m. PROBLEMA 02

Dos móviles parten al encuentro de dos ciudades A y B distantes a 330km; ambas con movimiento uniforme, tardando 15 horas en encontrarse. Determinar la velocidad en km/h del más lento, sabiendo que el más rápido tiene un quinto de velocidad más que el lento. a) 14 b) 10 c) 19 d) 17 e) 8

Solución: t

t

e = 330 km VA = x

18 h

Tiempo : t − 5

10 − x

x

Planteando: x 10 − x = 2 3 3 x = 20 − 2 x x=4

Nos piden:

e = V ×t e = ( 50 km/h ) ( 4 h ) e = 200km

PROBLEMA 04

Una persona debe llegar a su casa exactamente cuando sea “t” horas y observa que caminando a razón de 3 km/h llega 5 h después y caminando a 6 km/h llega 5 h antes. ¿Con que velocidad en km/h debe caminar para llegar a la hora exacta? a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7

330 km /h ⇒ x = 10 km/h 6 x+ x 5

200

El espacio recorrido por la mosca es de 200 m en un tiempo de 25 s. e 200 Vmosca = mosca = t mosca 25

v = 6 km / h

e

Utilizaremos: e = v.t

e = 6 ( t − 5 ) ….. (II)

Los espacios recorridos en los casos (I) y (II) son iguales, luego: 3( t + 5) = 6( t − 5)

Resolviendo: 3t + 15 = 6t − 30 3t = 45 t = 15h es la hora exacta

valor

de

e = 60km Espacio

v=

200+L m/s 28

Las velocidades de la mosca y el tren son las mismas, luego: Vmosca=Vtren

“ t = 15 ”,

Hallando la velocidad pedida: v =

El espacio recorrido por el tren es de (200+l) m en un tiempo de 28 s. e 200+L Vtren = tren = t tren 28 Vtren=

Por otro lado, como e = 3 ( t + 5 ) Reemplazando el tenemos: e = 3(15 + 5)

Vmosca=8 m/s

200+L 28 ∴ L = 24m 8=

PROBLEMA 06

e t

60 km = 40km/h 15 h

Un automóvil se dirige de una ciudad “A” a otra “B”, la mitad de su camino recorre a una velocidad de 30 km/h y la otra mitad a 70 km/h. Hallar la velocidad media en km/h del recorrido. a) 30 b) 45 c) 42 d) 50 e) 67

PROBLEMA 05

Solución: Si camina con velocidad 3 km/h, llegara 5 horas tarde de la hora exata

6x 5

⇒ 15 h =

10 horas

t = t e = 15h VA =

Tiempo F.T.

L

Si camina con velocidad 6 km/h, llegara 5 horas antes de la hora exacta

Solución: Tiempo Transcurrido

Solución:

Tiempo : t + 5

v = 3 km / h

e

Un tren con movimiento rectilíneo de largo “L” pasa un puente de 200 m de largo en 28 segundos. Una mosca fija en el tren tarda 25 segundos en pasar el puente. ¿Cuál es el largo del tren? a) 20 b) 24 c) 30 d) 50 e) 60

Solución: Aplicaremos la fórmula para la velocidad media para ambos tramos (de distancias iguales): 2v1.v 2 2 ( 30 ) ( 70 ) Vmp = = = 42 km/h v1 + v 2 30 + 70


25

01. Dos móviles están separados por una distancia de 2300 metros. Si se desplazan al encuentro con velocidades de 60m/s y 40m/s respectivamente. ¿Al cabo de qué tiempo estarán separados 1300 m por primera vez? a) 12s b) 8s c) 10s d) 15s e) 13s

06. Luis y Alberto parten de una ciudad a otra, situada a 24km de la primera; Luis lo hace con una rapidez de 2km por hora menos que Alberto, llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidez de Luis? a) 5km/h b) 4km/h c) 6km/h d) 8km/h e) 9km/h

02. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 400m de largo. ¿Cuál es la longitud del tren? a) 200m b) 180m c) 160m d) 280m e) 400m

07. La rapidez de un bote de ida es 20km/h; cuando va de regreso (contra la corriente), logra una rapidez de 15km/h. Hallar el espacio recorrido, sabiendo además que de ida demora 5 horas menos que de regreso. a) 500km b) 150km c) 225km d) 300km e) 180km

03. Un tren que pasa por delante de un observador inmóvil, demora 7 segundos y al pasar por una estación de 360 m demora 22 segundos. Hallar su velocidad. a) 20m/s b) 21m/s c) 22m/s d) 23m/s e) 24m/s 04. La casa de un estudiante queda a 840m de su colegio y se desplaza en un bote por un río, cuando va a favor de la corriente se demora 20 minutos, pero en contra la corriente demora 30 min. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 5m/min b) 6m/min c) 7m/min d) 8m/min e) 9m/min 05. Una alumna se dirige a la academia en su bicicleta a 20km/h llegando a las 7a.m. Pero si iría a 12km/h llegaría a las 9a.m. ¿A qué velocidad debe recorrer esa alumna si desea llegar exactamente a las 8a.m.? a) 18km/h b) 14km/h c) 16km/h d) 15km/h e) 17km/h

08. Un campesino va caminando de su casa hacia su chacra. Parte a medianoche y recorre 70m cada minuto. En cierto trecho del camino sube a la moto de un amigo que había partido del mismo lugar a las 0 horas 20 minutos con una rapidez de 150m/min. El campesino llega a su destino 20 minutos antes que si hubiese continuado andando. Calcular la distancia entre la casa y la chacra. a) 5450m b) 5250m c) 4500m d) 4250m e) 600m 09. Dos móviles van en el mismo sentido; uno de los móviles tiene 3 veces la velocidad del otro, inicialmente se encuentran separados 80km y después de 2 horas de desplazamiento la distancia que los separa se triplicó, la velocidad del móvil más rapido, es: a) 150km/h b) 108km/h c) 90km/h d) 180 km/h e) 120km/h 10. Un hombre rema 60km río abajo, empleando el mismo tiempo que

26 emplea en remar 20km río arriba. Hallar la velocidad del bote en aguas tranquilas, si la velocidad de la corriente es 5km/h. a) 10km/h b) 20km/h c) 30km/h d) 40km/h e) 50km/h 11. Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00h; un día se traslada a triple velocidad y llega a su trabajo a las 8:00h. ¿A qué hora sale siempre de su casa? a) 7:00h b) 6:00h c) 5:00h d) 4:00h e) 9:00h 12. Todos los días sale de Puno hacia Arequipa un ómnibus a 40km/h. Éste se cruza siempre a las 11h, con un ómnibus que viene de Arequipa con una velocidad de 35km/h. Cierto día, el ómnibus que sale de Puno encuentra malogrado al otro a las 12:45h. ¿A qué hora se malogró ese ómnibus? a) 12:45h b) 11:00h c) 10:45h d) 10:00h e) 9:00h 13. Dos trenes cuyas longitudes son 147m y 103m marchan sobre vías paralelas en el mismo sentido. Si la velocidad del primero es de 48m/s y el segundo demoró 50 segundos en pasarlo, calcular en m/s la velocidad del último tren. a) 25 b) 15 c) 12 d) 35 e) 53 14. Un ciclista se dirige de una ciudad “A” a otra “B” dividiendo su recorrido en tres partes iguales. El primer tramo lo recorre con una rapidez de 60km/h, el segundo tramo a 30km/h y el último con 20km/h. Hallar la rapidez media del ciclista. a) 20km/h b) 55km/h c) 30km/h d) 60km/h e) 40km/h

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 15. Para recorrer un río de 280km de longitud, un bote demora 7 horas en el sentido de la corriente; pero cuando va en contra de la corriente demora 28 horas. ¿Cuál es la velocidad del bote? a) 30km/h b) 25km/h c) 45km/h d) 50km/h e) 35km/h 16. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de 4 horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? a) 12 b) 18 c) 15 d) 19 e) 16 17. La velocidad de “A” es 10km/h mayor que la de “B”. Si “A” en 16 horas recorre lo mismo que B en 20 horas, ¿en cuánto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde 2 ciudades distantes en 450km? a) 3h b) 4h c) 7h d) 9h e) 5h 18. Un tren demora 13 minutos en pasar por delante de “Pamela” y 25 minutos en cruzar un puente de 600 metros. Calcular la longitud del tren. a) 480m b) 680m c) 560m d) 1300m e) 650m 19. Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta tienda, observando que: caminando a razón de 6m/s tarda 4 segundos más que caminando a 8m/s. ¿Cuál es la distancia mencionada? a) 92m b) 89m c) 98m d) 96m e) 69m

27


Relojes Ángulo entre las manecillas del reloj

Móviles Ángulos entre las manecillas (horario y minutero)

Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen una de la otra. 30º

1

6º 6º 6º 6º

11

6º

1

30

30º

º

3

30

9 8

4 7

6

5

II) Cuando el horario se encuentra antes que el minutero 11 α= m − 30H 2 Adelantos y atrasos:

1 división <> 1 minuto <> 6º En el minutero se cumple: "x" divisiones <> "x" minutos Análisis del recorrido de las agujas

Surgen como consecuencia del funcionamiento de aquellos relojes defectuosos (malogrados), los cuales registran adelantos o retrasos respecto a la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal.

MINUTERO MINUTERO HORARIO HORARIO (div - min) (grados) (div-min) (grados) 60

360º

5

30º

30 15

180º 90º

2,5 5/4

15º 7,5º

⋮

⋮

⋮

⋮

Relación Relación entre el recorrido del minutero y el horario

M = 12 H M : Recorrido del minutero en minutos H : Recorrido del horario en minutos

ATRASO TOTAL

Hora que marca un reloj que se atrasa.

12

Hora que marca un reloj que se adelanta

Hora Real

Tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir

Para este tipo de problemas se emplean de manera práctica, los siguientes esquemas: 1 día < > 24 h

Tiempo transcurrido

1 2

10

θ

9

3

α

8

4 7

6

5

α + β = 360º

Hora (1)

Tiempo transcurrido

PROBLEMA SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS

01. Si son más de las 3, pero aún no son las 5 y los minutos transcurridos desde las 3 es la cuarta parte de los minutos que faltan para las 5, ¿Qué hora es?

06. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 900 segundos. Si ahora marca las 4:20 y hace 8 horas que se adelanta; ¿Cuál es a hora correcta?

b) 4:24 e) 3:36

c) 3:44

02. Sabiendo que el tiempo transcurrido del día es excedido en 8 horas por el tiempo que falta transcurrido. ¿Qué hora será dentro de 3 horas? a) 11:40am b) 8:00am d) 11:00am e) 9:00am

c) 10:00am

03. Hace 20 minutos, el tiempo que faltaba para las 4 pm era el triple de lo que faltará para dicha hora pero dentro de 10 minutos. ¿Qué hora es? a) 3:30 d) 3:55

b) 3:35 e) 3:32

c) 3:45

Hora exacta

Tiempo que falta transcurrir

Hora (2)

Hora Tiempo que falta exacta transcurrir

04. ¿Qué hora es?; para saberlo, basta con sumar la mitad del tiempo que falta para las doce del medio día, más los 2/3 del tiempo transcurrido desde las doce de la noche. a) 7:12am b) 5:30am d) 10:30am e) 7:20am

c) 9:10am

05. Dentro de 4 h se verificará que el tiempo transcurrido del día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas. ¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual a la décima parte del ángulo que forman las agujas actualmente (sexagesimales)? a) 9: 00pm d) 8: 00pm

b) 2:00pm e) 10:00pm

a) 3:42 d) 3:48

c) 6:00pm

b) 4:12 e) 3:30

c) 3:16

07. Un reloj que se atrasa 5 minutos en cada hora es sincronizada hoy al medio día (12m). ¿Qué tiempo, como mínimo, de verá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta? a) 6 días d) 8 días

ADELANTO TOTAL

NOTA 11


PROBLEMAS SOBRE RELACION DE TIEMPOS

a) 3:20 d) 3:24

11 m 2

12

30º

2

º

10

α = 30H −

30º

12

11

I) Cuando el minutero se encuentra antes que el horario

28

b) 9 días e) 10 días

c) 7 días

08. Un reloj que se adelanta 7 min. cada hora y otro que se atrasa 3 min. Cada hora se sincronizan a las 10:00am. ¿Dentro de cuanto tiempo como mínimo marcarán juntos la misma hora? a) 2 días d) 5 días


c) 4 días

09. Un reloj se adelanta 15 minutos cada hora y otro se adelanta 25 minutos cada hora. ¿Dentro de cuantos días volverán a marcar la hora correcta? a) 2 días d) 4 días


c) 8 días

10. Un reloj se adelanta 15 minutos cada hora y otro se atrasa 5 minutos cada hora. ¿Dentro de cuantos días volvera a marcar la hora correcta nuevamente? a) 35 h d) 38 h

b) 28 h e) 36 h

c) 16 h

29

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO PROBLEMAS SOBRE MANECILLAS DEL RELOJ

11. Calcule al ángulo que forma las manillas del reloj a las 1:18. a) 60° d) 67°

b) 69° e) 70°

a) 72° d) 118°

b) 128° e) 108°

a) 264º d) 132º

b) 96º e) 99º

18. ¿Qué hora indica el reloj?

2 α

9

a) 50º d) 45º

b) 67º e) 34º

c) 54º

4 7

a) 2:51 d) 2:54

6

4 min 11 3 d) 3 h 7 min 11 b) 3 h 6

c) 2:53

19. Observando el gráfico determinar qué hora es: 12

1 2

10 9

3 α

7

2α

9 min 11 5 c) 3 h 5 min 11 8 e) 3 h 2 min 11

a) 3 h 1

5

b) 2:52 e) 2:54’ 30’’

8

15. ¿A qué hora entre las 3 pm y las 4 pm, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 80º por primera vez?

3

8

11

14. ¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj a las 4:34?

01. La mitad del tiempo que ha transcurrido desde las 8 horas es la quinta parte del tiempo que falta por transcurrir para las 22 horas. ¿Qué hora es? a) 16h b) 12h c) 11h d) 17h e) 18h

1 2α

c) 98°

c) 98º

12

11 10

13. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las mancillas del reloj a las 12:48?

6

5 a) 6 : 25 7 12 c) 6 : 25 5 3 e) 6 : 25 4

4

7 b) 6 : 25 5 4 d) 6 : 25 7

b) 36º e) 33º

1 2

10

c) 45º 9

3

α

b) 6:20 e) 6:30

c) 6:26

7

a) 3:38 d) 3:39

4

2α

8

17. Entre las 6 y 7, ¿a qué hora las manecillas del reloj forman un ángulo de 48° por primera vez? a) 6:24 d) 6:28

+ 10

º

a) 60º d) 50º

12

11

6

02. ¿A qué hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que falta para las doce del medio día? a) 10:20 b) 6:40 c) 8:15 d) 9:00 e) 11:45 03. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A qué hora empezó a adulterarse si a las 23h con 15 min señala las 23h con 27min? a) 5 h 15 min. b) 5 h 16 min. c) 5 h 17 min. d) 5 h 18 min. e) 5 h 19 min.

es la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 10 minutos? a) 19:28’ b) 18:32’ c) 19:22’ d) 18:56’ e) 19:18’ 07. Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos? a) 16 camp. b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 08. Un reloj se adelanta a razón de 4 minutos por hora se pone a la hora (correcta) a las 2 de la tarde. En la mañana del día siguiente, se observa que dicho reloj está marcando las 10 en punto. ¿Cuánto es la hora correcta en se momento? a) 8:45 a.m. b) 8:30 c) 5:30 d) 10:45 e) 8:15

5

20. ¿Qué hora indica el gráfico? 16. ¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj cuando sean 54 minutos antes que la 1:00 pm?


PROBLEMAS DE RELOJES CON GRAFICO

c) 68°

12. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 8:24?

30

5

b) 3:36 c) 3:37 e) 3: 37’ 30’’

04. Un reloj se adelanta dos minutos cada 3 horas. ¿Qué hora será en realidad cuando marque las 10:15 a.m. Si hace 30 horas que viene adelantándose? a) 10:00 b) 9:59 c) 9:45 d) 9:55 e) 9:50

09. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 05:00 a.m. demora 6 segundos. ¿Cuánto demorará para indicar las 12:00? a) 15 s b) 13 c) 14,5 d) 16,5 e) 17,5

05. Son más de las 3 pero aún no las 4. Si los minutos transcurridos desde las 3 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sea las 4. ¿Qué hora es? a) 3:00 b) 3:45 c) 4:00 d) 4:50 e) 3:42

10. ¿A qué hora inmediatamente después de las 2 el minutero adelanta el horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? a) 2:16 h b) 2:20 c) 2:24 d) 2:26 e) 2:28

06. Son más de las 4, pero aún no son las 6. ¿Qué hora será cuando a partir de este momento transcurren tantos minutos como el triple dle tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 40 minutos, si sabemos que el tiempo que falta para las 6 dentro de 20 minutos,

11. Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 3 minutos por hora y el otro se atrasa 2 minutos por hora. Si ambos relojes se les sincronizó el 25 de febrero de un año bisiesto a las 15:00 h. ¿En qué fecha exactamente ambos relojes volverán a marcar la misma hora?

31

TIPO ADMISIÓN UNA-PUNO a) 1 de marzo b) 2 de marzo c) 3 de marzo

d) 29 de febrero e) 28 de febrero

12. María sale de su casa a las 7:00a.m. (según el reloj de su casa) con dirección a la escuela, llegando a las 8:15 (según el reloj de la escuela). Si el reloj de su casa esta atrasado 5 minutos y el reloj de su escuela esta adelantado 10 minutos. ¿Cuánto tiempo se demoro María en ir de su casa a la escuela? a) 1h20min b) 1h30min c) 1h d) 1h5min e) 1h25 min 13. Al preguntarle la hora a un romántico responde: pasan de las 3 sin ser las 4 de hasta hermosa tarde. Si hubiera pasado 25 minutos más; faltarían para las 5 horas los mismos minutos que pasaron desde las 3 hace 15 minutos, que es el tiempo que espero a mi amada. ¿Qué hora es? a) 3h 21min b) 3h 55min c) 3h 30min d) 3h 31min e) 3h 15min

a) 12:20 d) 12:50

b) 12:10 e) 12:45

16. ¿Qué hora marca el reloj de acuerdo al gráfico? 12 11

15. Supongamos que en el planeta Leo, el día dura 16 “horas” y que cada “hora” tiene 45 “minutos”. ¿Qué “hora” será en un reloj de este planeta, cuando un reloj de la Tierra marque las 6:20 p.m.? Obs: Un día del planeta Leo es equivalente a un día del planeta Tierra.

1 2

10

9

3 156º

8

4 7

6

5

3 2 min . b) 3 h 48 min . 11 11 1 min d) 3 h 47 min c) 3 h 49 11 e) 3 h 48 min

a) 3 h 47

17. ¿Qué hora indica el reloj de la figura? 12 11 1 2

10 α

9 8

14. Julio le preguntó a Marilú sobre la hora y ella respondió: “Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además dentro de 13 minutos faltarán para las 13 horas la misma cantidad de minutos que había pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos”. Según lo expresado por Marilú, qué hora es: a) 11:21 b) 11:32 c) 11:57 d) 11:50 e) 11:56

c) 12:55

4

2α

7

6

3

5

2 4 min b) 2 h 33 min 7 7 3 5 c) 2 h 34 min d) 2 h 33 min 7 7 1 e) 2 h 32 min 7 18. El examen semanal de la academia JOHNS EIRL empieza a las 4:15 p.m. y debe terminar entre las 6 y las 7 p.m., cuando las manecillas del reloj de la academia formen un ángulo de 40º por segunda vez. ¿Cuánto tiempo dura el examen? a) 2:00 b) 2:15 c) 2:20 d) 2:25 e) 2:10

a) 2 h 34

32


68137183 Razonamiento Matematico Promedios Cuatro Operaciones Planteo de Ecuaciones Edades Moviles y Relojes

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