ECUACIONES LINEALES
Es una ventaja para los alumnos que dominen este tema, lo que hay que tener en cuenta es: Primero: despejar las incógnitas o variables en el lado izquierdo de la ecuación, y los números en el lado derecho. Segundo: al pasar de un lado a otro cambia la operación, si está sumando pasa restando y viceversa; si esta multiplicando pasa dividiendo y viceversa. Tercero : eliminar hasta hallar la respuesta.
1.- Juan puede comprar con el dinero dinero que dispone, 24 papayas y 20 manzanas o 36 papayas y 15 manzanas. Si puede comprar solo manzanas ¿Cuál es la cantidad máxima que puede comprar? Sean P y M los precios unitarios de papayas y manzanas respectivamente. Luego : 24P + 20M = 36P + 15M = “ Lo que se dispone “ P=
5 M 12
;
Sustituyendo la última expresión en el primer miembro de la penúltima expresión: 24 (
5 M 12
) + 20M = 30M = “ Lo que se dispone “ RESPUESTA: 30
2.- Pedro gasta S/. 30840 en la compra de azucar y arroz. El saco de arroz vale S/. 10 más que el azúcar que vale S/ 38.00. Si hubiera pagado el arroz al precio del azúcar y viceversa hubiera gastado S/.2250.00 más ¿Cuántos sacos más de azucar que arroz compro?
Sean Ar Ar y Az la cantidad cantidad de saco de arroz y azucar respectivamente. respectivamente.
(2) – (2) – (1) (1)
38Az + 48Ar = 30840
(1)
48Az + 38Ar = 30840 + 2250
(2)
10Az – 10Az – 10Ar 10Ar = 2250 Az – Az – Ar Ar = 225
Es decir compro 225 sacos más de azúcar que arroz.
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3.- De un juego de 32 cartas se saca primero “x” cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía le quedan 10 cartas ¿Cuántas cartas saco la segunda vez? SE SACA I
QUEDA
X+3 1
II
2
32 – (X + 3) = 29 – X 1
(29 – X)
2
Luego, la segunda vez se saco:
1 2
(29 – X) = 10
(29 – X) = 10
4.- Los dos factores de uan multiplicación suman 91 si se aumentan 5 unidades al multiplicando y se disminuyen en 2 al multiplicador, el producto aumenta en 67. Uno de los factores es: a.b producto a + b = 91
(1)
(a + 5)(b – 2) = ab + 67 (1)
(2)
a = 91 – b..…… (3)
(3) en (2)
[ 91 – b + 5] (b - 2) = (91 – b) b + 67 96b – 192 – b2 + 2b = - b 2 + 91b + 67 7b = 259
b = 37
a = 54
5.- Qué número es aquel cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del mismo?
N – 232 =
2
1
5
8
N
Donde N es el número desconocido. Resolviendo; N = 320
6.- La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruplo del número menor, disminuido en 60 unidades. Hallar el número menor, sabiendo que el mayor es el triple del menor Sean a y b dichos números, a > b a – b + 80 = 4b – 60 a = 3b
(1) (2)
b=?
Resolviendo al sistema se tiene que b = 70
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7.- Hallar el mayor de tres números enteros positivos consecutivos. Si los 475 del mayor exceden a los ¾ del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor , disminuída en un 1/5.
Sean 4
n – 1, n, n + 1 los tres números. n
3
1
5
4
n
1
n
1
6
1 5
, del enunciado
n = 10 , luego n + 1 = 11
8.- Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yop tengo; que es 80 soles más de los que tu tendrás: ¿Cuántos soles tienes? Tenias: x
x Tienes:
2 3 x
Tendrás:
Del enunciado:
X+
2 1 2
x+
3 2
x=
3 2
x
x + 180
x = 120
2
= 60
9.- Si se forman varias filas de 7 niños (por cada fila) sobran 5 niños, pero faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños ¿Cuántos niños son?
Sean x: número de niños Y: número de filas (de 7 en 7 niños) Del enunciado: x = 7y + 5
(1)
x = 6y – 7
(2)
Resolviendo el sistema se tiene: x = 47
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10.- En un examen de admisión no hay puntos en contra, la correcta en la parte de números vale 6 puntos y en la parte de letras vale 4 puntos. Un estudiante responde correctamente igual número d epreguntas de cada parte y obtiene 140 puntos. Para obtener en la parte de letras el mismo puntaje que en números, ¿Cuántas preguntas adicionales debió responder?
NUMEROS
LETRAS
Correcta: 6 puntos
correcta: 4
X correctas
x correctas
6x + 4x = 140
x = 14
En números obtuvo: 14(6) = 84 puntos. La diferencia es 84 – 4(14) = 28
.Luego: 28 4 = 7
11.- Luz recibe una propina de su tía tanto como ella tenía, luego su mamá le da S3.00; su madrina el doble hasta lo que entonces tenía. Si con su dinero va al cine con Alicia y Luz gasta S24.00 quedándose sin dinero ¿Cuánto tenía inicialmente?
Sea x soles lo que tenia al inicio Luz su tía le da x soles, entonces Luz tendrá: 2x soles. Luego su mamá le da 3 soles, entonces Luz tendrá: 2x + 3 soles. Su madrina el doble, entonces Luz tendrá: (2x + 3) + 2(2x + 3) = 3(2x + 3) Va al cine y gasta todo (24 soles). x=
5 2
3(2x + 3) = 24
= 2.5 soles
12.- Dividir 350 en dos partes tales que la diferencia entre la parte menor y los 3/5 de la mayor equivalen a la diferencia entre la parte mayuor y los 17/15 de la menor. Hallar el mayor menos el menor Sean a y b dichas partes, a > b; del enunciado: a + b = 350 b -
3 5
a=a-
Resolviendo el sistema:
(1) 17 15
b
(2)
a – b = ?
a = 200 ; b = 150 a – b = 50
24
13.- El cuadrado de la suma d elas dos cifras de un número es 121, si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble producto de las dos se obtiene 81. Hallar el número.
Sea ab dicho numero 2
2
(a + b) = 121
121 – a – 2ab = 81
A2 + 2ab + b 2 = 121….(1) a2 + 2ab = 40…(2) 40 + b 2 =121
(2) en (1)
b2 =81
(a + 9) 2 = 112
a=?
b=9
a =2 ab = 29
14.- A y B comenzaron a jugar con igual suma de dinero; ¿Cuándo B ha perdido los ¾ del dinero con que empezó a jugar lo que ha ganado A es S/ 24.00 más que la tercera parte de lo que le queda a B ¿Con cuánto empezaron a jugar?
A
B 3
gana:
4
tiene: x +
Del enunciado:
3 4
x 3 4
x=
pierde:
x 1 3
queda:
(
1 4
x) + 24
3 4 1 4
x
x
x = 36 soles
15.- El producto de dos números es 918. Si al multiplicando se resta 2, el producto disminuye en 68, hallar el mayor
a.b = 918;
“a” el multiplicando
(a - 2)b = 918 – 68
a b – 2b = 850
918 – 2b = 850 (al sustituir ab) b = 34
a = 918
34 = 27
mayor : 34
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16.- Ocho amigos deben pagar a partes iguales la suma de 200 soles. Pero algunos de ellos no llevaron dinero y los restantes pagaron 15 más cada uno. ¿Cuántos no pagaron? 200 soles (total a pagar) Sea x la cantidad de amigos que pagan : 200 8
= 25 soles cada uno debió pagar
Luego: 25x + 15x = 200
x=5 Pagan demás Lo que les corresponde.
Respuesta: 8 – 5 = 3
17.- El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles; y el viernes los 576 de lo que perdí el jueves. Si en los tres días perdí 252 soles. Hallar la diferencia de lo que perdí el jueves y el viernes. Perdí el miércoles: x soles
3 Jueves perdí:
x
5
3
5
Viernes perdí:
x+
3 5
1
x+
2 3
x = 120
5
6
(
5
x)=
1 2
x
x = 252
x-
1 2
x=
3 5
(120) –
1 2
(120) = 12 dólares
18.- tenía cierta suma de dinero, gaste veinte soles y preste los dos tercios de lo que me quedaba. Si ahora tengo diez soles ¿Cuánto tenía al principio?
X soles tenia al inicio GASTE I II
QUEDA
20
x – 20
2
1
3
Del enunciado:
(x – 20) 1 3
(x – 20) = 10
3
(x – 20)
ojo:
2
1
3
3
x = 50 soles
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19.- Hoy gane un sol mas que ayer. Y lo que he ganado en los dos días es veinticinco soles más que los 2/5 de lo que gane ayer. ¿Cuánto suma lo que he ganado ayer y hoy? Gane ayer : x soles Hoy gané: x + 1 Del enunciado:
x+x+1=
2 5
x + 25
x = 15.
x + x + 1 = 31 soles
20.- La cabeza de un pescado mide 20 cm. La cola tanto como la cabeza más medio cuerpo. Y el cuerpo tanto la cabeza y la cola juntas ¿Cuál es la longitud del pescado?
CUERPO
20 +
x
x
2
20
20 + 20 +
Del gráfico: x = 40 +
x
2
x = 80
2
x
x
Longitud del pescado:
x
20 +
2
+ 40 +
2
+ 20 = 60cm = 1.6m
21.- Cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 7 da tres nuevos números cuyo producto es 55902 ¿Cuál es este número? Sea N dicho número: 3
2N .3N. 7N = 55902
N = 1331
N = 11
22.- El largo de un rectángulo excede al ancho en 3 m.; si cada lado se aumenta 1 metro el área aumenta en 22 m 2 hallar el número mayor. a+3
a +4 a
a(a + 3)
a+1
(a + 4)(a +1) =a(a + 3) + 22 a2 + a + 4a + 4 = a 2 + 3ª + 22 a=9
a + 3 = 12m
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23.- La diferencia de dos número es 44, si el mayor se divide entre el menor el cociente es 3 y el residuo 2. Hallar el número mayor. a – b =44; a > b a
b
2
3
3b + 2 =a…..(1)
Sustituyendo (1) en la diferencia: 3b + 2 – b =44
2b = 42
b =21 a = 65
24.- La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7 la relación es de 3 a 4. Hallar los números y dar como respuesta su diferencia. a b
=
a
8
b
7
2 3
=
; a
3a = 2b
(2) en (1)
4a + 32 = 3b + 21….(1)
4
a=
2 3
b……(2)
2
4( b) + 32 = 3b + 21 3
b = 33
a = 22
b – a = 11
25.- Un octavo de la suma de dos números es 608 y los 3/3 de su diferencia es 36. Hallar los números y dar como respuesta la suma de los dígitos de ambos. 1 8
2 3
(a + b) = 608 ; a y b son los números.
(a – b) = 36
a – b = 54 a + b = 4864 2a = 4918
b = 2405
a = 2459
2 + 4 + 5 + 9 + 2 + 4 + 0 + 5 = 31
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26.- Timoteo gasta S/.300.00 comprando manzanas, peras y duraznos. Las manzanas y peras cuestan S/. 20.00 c/u y los duraznos S/10. c/u. Si las manzanas y las peras costaran S/5.00 menos cada una. Timoteo podría ahorrarse S/. 60.00 ¿Cuántos duraznos compro? Número de manzanas ;
P número de peras etc.
20 M + 20P + 10D = 300 2M + 2P + D =30…..(1) 15M + 15P + 10D = 300 – 60 = 240 3M + 3P +2P = 48…….(2) POR – 3
a (1)
y por 2 a (2)
- 6M – 6P – 3D = - 90 6M + 6P + 4D = 96 D=6
27.- En un corral de chanchos y pelicanos el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de chanchos. (Número de ojos) = (número de patas) – 24 P , número de pelicanos. C número de chanchos. 2C + 2P = 4C + 2P – 24 C = 12 CHANCHOS
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