Planteo de Ecuaciones

Planteo de Ecuaciones.

TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES OBJETIVO Desarroll Desarrollar ar y utilizar utilizar en forma adecuada adecuada la notación notación y el vocabulario vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria y sus situaciones problemáticas. PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identificación de la(s) incógnita(s) y dados proporcionados. 3. elacionar las incógnitas y los datos! este paso ser"a el planteo de la ecuación. 4. #erificar los resultados. RESPUESTA ACERTADA Dos aeronautas via$an en globo. %n fuerte viento les arrastra durante muc&as &oras! y se encuentran perdidos. 'acen descender su aerostato en un prado! y! sin apearse del mismo! le preguntan a la nica persona ue encuentran por all": * Perdone! buen &ombre! +dónde nos encontramos, -l lugareo lo piensa un rato y responde: * -n un globo. -ntonces uno de los aeronautas le dice al otro #ámonos de au" a preguntarle a otro! porue /ste es idiota. * 0o! &ombre! no es idiota. Lo ue pasa es ue es matemático. * 1&! +s",! +2 cómo lo sabes, * Pues muy sencillo! porue le &emos &ec&o una pregunta bien sencilla ue cualuier persona normal podr"a &aber respondido inmediata y eficazmente3 pero /l lo &a pensado largamente! y al final &a dic&o algo totalmente cierto! absolutamente e4acto! pero ue ya sab"amos! y ue además no nos sirve para nada. Razonamiento Matemático

FORMA VERBAL %n nmero desconocido -l triple de un nmero %na cantidad aumentada en 56 %n nmero disminuido en 76 76 disminuido en un nmero 8eis veces el nmero de lápices -l e4ceso de un nmero sobre 96 es 6 ;4< e4cede a ;y< en = -l doble de un nmero aumentado en > -l doble de la suma de un nmero con > ;a< es cuadro veces ;b< La relación ue &ay entre 5 nmeros es 5 a 9 La suma de tres nmeros consecutivos es = La suma de tres nmeros impares consecutivos es >> ?res nmeros son proporcionales a >! @ y 9 respectivamente -l doble del cuadrado de un nmero -l cuadrado del doble de un nmero La cuarta parte de un nmero La tercer parte de un nmero sumada con su uinta parte

FORMA SIMBÓLICA

Razonamiento Matemático


EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. 'allar un nmero! sabiendo ue aumentado en = euivale al triple de su valor. Resolu!"#: 8ea el nmero: 4 8egn el enunciado del problema: 4 A = B >4 esolviendo: = B 54 . C B4 . •

3. 8e tienen dos nmeros! el mayor e4cede al menor en 9 unidades. 8i al menor se le aumenta sus >F@! resultar"a lo mismo ue la mitad del mayor Resolu!"#: ecuerda ue: 8i 1 e4cede a G en 9! entonces: . 1 A G B 9 . •

•

∴

•

. -l nmero nmero es C .

8ean los nmeros: H menor B 4 H mayor B 4 A 9 8egn el enunciado H mayor >  ( H menor ) +   sus  =      @         5  

4 2. -l e4ceso del doble de un nmero sobre = es igual al triple del nmero disminuido en 6. +uál es el nmero, Resolu!"#: 8ea <4< el nmero -l e4ceso del doble del nmero sobre = es: 54 E = -l triple del nmero disminuido en 6 es: >(4 E 6) Luego! segn el enunciado 54 E = B >(4 E 6) • • •

+

> 4 @

=

4 + :9 5

esolviendo @4 A >4 B 5(4 A 9) 4 B 54 A >6 94 B >6 . 4 B7 .

•

esolviendo: 54 E = B >4 E >6 . 5 B 4 . ∴

. -l nmero nmero es 5 .

•

Luego los nmero son: .

H menor = 7 H mayor = 7 + :9

=

5:

.

4. 'allar dos nmeros sabiendo ue uno e4cede al otro en = unidades y ue el menor es >9 unidades menos ue el doble del mayor Resolu!"#:




EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. 'allar un nmero! sabiendo ue aumentado en = euivale al triple de su valor. Resolu!"#: 8ea el nmero: 4 8egn el enunciado del problema: 4 A = B >4 esolviendo: = B 54 . C B4 . •

3. 8e tienen dos nmeros! el mayor e4cede al menor en 9 unidades. 8i al menor se le aumenta sus >F@! resultar"a lo mismo ue la mitad del mayor Resolu!"#: ecuerda ue: 8i 1 e4cede a G en 9! entonces: . 1 A G B 9 . •

•

∴

•

. -l nmero nmero es C .

8ean los nmeros: H menor B 4 H mayor B 4 A 9 8egn el enunciado H mayor >  ( H menor ) +   sus  =      @         5  

4 2. -l e4ceso del doble de un nmero sobre = es igual al triple del nmero disminuido en 6. +uál es el nmero, Resolu!"#: 8ea <4< el nmero -l e4ceso del doble del nmero sobre = es: 54 E = -l triple del nmero disminuido en 6 es: >(4 E 6) Luego! segn el enunciado 54 E = B >(4 E 6) • • •

+

> 4 @

=

4 + :9 5

esolviendo @4 A >4 B 5(4 A 9) 4 B 54 A >6 94 B >6 . 4 B7 .

•

esolviendo: 54 E = B >4 E >6 . 5 B 4 . ∴

. -l nmero nmero es 5 .

•

Luego los nmero son: .

H menor = 7 H mayor = 7 + :9

=

5:

.

4. 'allar dos nmeros sabiendo ue uno e4cede al otro en = unidades y ue el menor es >9 unidades menos ue el doble del mayor Resolu!"#:




•

•

omo nos dicen ue uno de los nmeros e4cede al oto en =! entonces H menor B 4 H mayor B 4 A = Del enunciado H menor = >9 menos )ue el doble del H mayo r                      4

=

5( 4 + =) − >9

esolviendo: 4 B 54 A 7 E >9 . C B 4 . •

. 4 B 55 . •

-ntonces . H mayor B 55 A 5 B 5@ .

%. 8i se multiplica el menor y el mayor de los tres nmeros pares consecutivos! se obtiene un nmero ue es C7 unidades menos ue el producto del mayor y el segundo de los tres mencionados. 'alla dic&os nmeros. Resolu!"#: omo los nmeros pares consecutivos se van generando de 5 en 11 5! entonces serán: •

Jinalmente los nmeros son H menor :C . H mayor 5I .

4 3 4 + 5 3 4 + @

=

=

                    

$. La suma de tres nmeros enteros consecutivos es @ unidades más ue el nmero menor. 'allar el mayor de los tres t res nmeros.

H menor (:er H ) 5do H H mayor (>er H )

Resolu!"#: 8ean los tres nmeros enteros consecutivos: ( 4 + :) 3 3 ( 4 + 5) 4 •

   

H menor

•

      

H int ermedio

   

H mayor

Del acuerdo a los datos del problema 4 A (4 A ) A (4 A 5) ) 4 A @

esolviendo: >4 A > B 4 A @ 54 B @@ Razonamiento Matemático

•

Del acuerdo a los datos: 4 (4 A @) B (4 A @) (4 A 5) E C7

esolviendo: 45 A @4 B 4 5 A 74 A = E C7 == B 54 . @@ B 4 .



•

Luego dic&os nmeros son . @@3 @7 y @= .

•

5

8i gasta los

I

de lo ue ten"a y 8F. 56 más! le uedan:

 5 4 + 56  = 4 − 5 4 − 56 = 9 4 − 56  I I  I 

4 − 

&. 8i al triple de la edad ue ten"a 1lfredo &ace 6 aos! se le resta su edad actual! se obtiene la edad ue tendrá dentro de 9 aos +uál es su edad, Resolu!"#: 8ea ;4< la edad actual de 1lfredo -ntonces: 8u edad &ace 6 aos era: (4 E 6) 8u edad dentro de 9 aos será: (4 A 9) •

8egn datos: >(4 E 6) E 4 B 4 A 9 esolviendo: >4 E >6 E 4 B 4 A 9 . 4 B >9 . •

12

•

Por lo tanto . la edad actual actual de 1lfredo es >9 aos .

'. Kilagros dice: ;ast/ los 5F de lo ue ten"a y 8F. 56 más! uedándome con la uinta parte de lo ue ten"a y 8F. 7 más.< +uánto ten"a Kilagros, Resolu!"#: 8ea ;4< el dinero ue ten"a Kilagros •


•

La uinta parte de lo ue ten"a y 8F. 7 más es: : 4 + :7 9

•

... (I)

... (II)

De acuerdo al enunciado del problema! las e4presiones (I) y (II) son euivalentes! o sea: 9 : 4 − 56 = 4 + :7 I

9

esolviendo: 594 E 66 B 4 A 976 =4 B 576 . 4 B 6 . Luego . Kilagros ten"a 6 soles . (. %n estudiante lee 7@ página de la novela ;ien aos de soledad de lo ue le falta3 si todav"a le uedan por leer los @F del total de páginas! +uántas páginas tiene dic&a novela, •

Resolu!"#: 8ea ;4< el total de páginas. 8egn datos: -l er d"a lee 7@ páginas! entonces le falta f alta leer (4 * 7@) páginas • •

4

7@ páginas > @ 2 todav"a le uedan por leer I 4 páginas.

-l 5do d"a lee

−



•

8e deduce ue: Lo ue lee el primer d"a! más lo ue lee el segundo y más lo ue le uedan por leer! será igual al total de páginas. -ntonces: 7@ +

4 − 7@

>

+

@ 4 = 4 I

esolviendo: KK (>3 ) B 5  >@@ A (4 E 7@) A 54 B 54  >@@ A 4 E @@= A 54 B 54 =C7 B 54 . @@= B 4 . •

4. -l nmero de &ombres es 9 veces el nmero de mu$eres! si en total &ay @5 personas! entre &ombres y mu$eres +uántas mu$eres &ay,

13 14

2. -l doble de un nmero disminuido en 6 es @=. +uál es el nmero,


&. -l dinero ue tengo aumentado en su mitad es @9 +uánto tengo,

pta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

pta.

+uánto vale ;1<, pta.

3. -l triple de la suma de un nmero con 7 es @= +uál es el nmero,

pta.

Por lo tanto . La novela tiene @@= páginas .

1. La edad de Muan aumentada en = es 5 +uál es la edad de Muan,

pta.

$. -l nmero de &ombres es 9 veces más ue el nmero de mu$eres! si en total &ay @5 personas entre &ombres y mu$eres! +uántos &ombres &ay,

pta. (. 1l retirarse @ personas de una reunión se observa ue /sta ueda disminuida en sus 5 partes. +uántas C uedaron,

pta.

pta. %. -l e4ceso de 9 sobre = es igual al e4ceso de ;1< sobre 5.

1). 1 ildder le preguntan la &ora y responde: ;Nuedan del d"a C &oras menos ue las ya transcurridas<. +Nu/ &ora es,

'. 'allar un nmero! tal ue al agregarle @>5 obtengamos su triple disminuido en =.

pta. 13. Doce es e4cedido por = en la misma medida ue el nmero 15 es e4cedido por su triple. 'allar el e4ceso de 56 sobre el nmero.

pta. 14. ?en"a 8F. =9! gast/ cierta suma y lo ue me ueda es el Razonamiento Matemático


cuádruplo de lo ue gast/ +uánto gast/,

pta. 11. +Nu/ nmero es auel cuyo e4ceso sobre  euivale a la > diferencia entre los 9 del nmero y se4ta parte del mismo,

pta. 12. 0oventa soles se reparten entre tres &ermanos proporcionalmente a sus edades ue son como 9! > y 3 si se repartiera euitativamente! +uánto más recibir"a el menor,

pta. 1%. 8ubiendo la escalera de tres en tres! osa da 7 pasos más 16 ue subiendo de cinco en cinco. +uántos peldaos tiene la escalera, pta.

pta. 1$. -l martes gan/ el doble de lo ue gan/ el lunes! el mi/rcoles el doble de lo ue gan/ el martes! el $ueves el doble de lo ue gan/ el mi/rcoles3 el viernes 8F. >6 menos ue el $ueves y el sábado 8F. 6 más ue el viernes. 8i en los 7 d"as &e ganado 8F. C +uánto gan/ el mi/rcoles,

> @

partes de lo ue no gast/<. +uánto gastó,


del

2). 1L comprar 56 naran$as! me

pta.

;-l estudio de la matemática es como el 0ilo! ue comienza por la modestia y termina por la magnificencia<.

1'. alcular cuatro nmeros consecutivos tales ue la tercera parte de la suma de los mayores sea 6 unidades menos ue la suma de los dos primeros.

C. Col*o#

pta.

1(. 1l preguntar un padre a su &i$o cuanto &ab"a gastado de los >96 soles ue le dio! /ste

respondió: ;'e gastado las

sobra 8F. @=6! pero al aduirir 5@ naran$as! me faltar"an 8F. 56 +uánto cuesta cada naran$a,

pta.

pta.

pta. 1&. ompr/ el cuádruple

nmero de caballos ue de vacas. 8i &ubiera comprado 9 caballos más y 9 vacas mas tendr"a el triple de nmero de caballos ue el de vacas. +uántos caballos y cuántas vacas compr/,

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

9 #eces la suma de un nmero con > es igual a @6. &allar el nmero. A+  D+ @

B+ 5 E+ 9

C+ >

$.

'allar el mayor de cinco nmeros enteros consecutivos3 sabiendo ue el e4ceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 5=. A+

B+

C+



2.

>7 D+ >6

-l óctuplo de un nmero! mas 9 es igual al u"ntuplo de la suma del nmero con 6. 'allar el nmero. A+ 5 D+ 9

B+  E+ 7

C+ 6

%.

>@ E+ 5=

>5

@

sabemos ue los

9

>

A+ 5 D+ @7 4.

B+ 55 E+ >6

A+ B+ C+ 56O @6O 6O D+ 9O E+ 1817 76O '. +1 u/ &ora las &oras Razonamiento Matemático

menor disminuida en

C+ =5

'allar la medida de un ángulo! tal ue el e4ceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a >56O

@

del del

intermedio! en una cantidad igual a la se4ta parte del

-l e4ceso del triple de un nmero sobre @5 euivale al e4ceso de 5=7 sobre el nmero. +uál es el nmero,

A+ 9 D+ = &.

B+ 7 E+ C

: 9

C+ 

B+ >96 E+ >=6

(.

B+ 7am E+ am

utilizando 5 billetes de  y 9 +uántos de  se utilizó,

C+ =pm

A+ 9> D+ 97

B+ 9@ E+ 9

C+ 99

Dos &ermanos pesan $untos 95 Qg y los

I =

del peso del

menor e4ceden en > Qg a los

> @

del peso del otro +uánto pesa cada uno, A+ C+

'allar dos nmeros cuya suma es 676 y su diferencia es >56. A+ >@6 D+ >6

1).

A+ =am D+ 9pm

'allar el menor de tres nmeros consecutivos3 si

mayor e4ceden a los 3.

transcurridas es igual al d/cuplo de la midan de las ue faltan transcurrir,

E+

= y =6 6 y =5 9 y 96

 B+ = D+ @



5 y =6



7 y =

C+ >76

CLAVES 1.

-

%.

-

2.

D &.

D

8e &a gastado @=! Razonamiento Matemático


3.



'.



4.

G

(.

G

$.

1 1).

4.

1

'allar un nmero ue! aumentado en @ euivale al triple del mismo nmero

$.

pta.  2.

La suma de dos nmeros consecutivos enteros es >9 +uáles son esos nmeros, pta.  y =

3.

'allar dos nmeros sabiendo ue uno e4cede en = unidades al otro y ue el menor aumentado en su >F9 es 9 unidades menos ue el mayor. pta. > y 9

19

%n nmero más su mitad igual al e4ceso del doble del mismo sobre C. 'allar el doble de dic&o nmero.

1 un alambre se le da dos cortes de manera ue la longitud del primer trozo es los 5FC del total! y la del segundo 7 metros más ue el primero y la del tercero los @FC del total. +uál es la longitud total del alambre,

20

8i un nmero aumentado en = se multiplica por el mismo nmero disminuido en >! resulta el cuadrado del nmero! más 7. +uál es el nmero,

pta. @6 12.

La suma de tres nmeros enteros consecutivos! es lo mismo ue el e4ceso de >C sobre el menor de los nmeros. +uál es el nmero mayor,

Rngel tiene = aos más ue JranQ. &ace = aos la edad de Rngel euival"a a los 9F5 de la edad de JranQ. 'allar la edad ue tiene Rngel. pta. @= aos

pta. 56 1).

'allar un nmero cuyos F= e4cedan a sus >F@ en 9.

13.

8i al cuádruple de la edad ue ten"a &ace > aos! le resto el doble de la edad ue tendr/ dentro de @ aos! obtengo mi edad. +uál es mi edad,.

pta. 9@ m pta.  &.

La edad de -rnesto dentro de = aos será el doble de la edad ue tuvo &ace 9 aos. +uál es su edad actual, pta. = aos


(.

pta. >7 %.

'.

pta. >

PROFUNDI,A TUS CONOCIMIENTOS 1.

-l triple de un nmero aumentado en 7 euivale al e4ceso de 76 sobre el mismo nmero. 'allar dic&o nmero

11.

8i a un nmero se le suma 9! se multiplica por la suma por >! se le resta 7 del producto y se divide la diferencia por !

pta. 56 aos

14. Las edades de Rngel! Geto y arlos suman 9> aos. la edad de Geto es F> de la Razonamiento Matemático


1$.

se obtiene un nmero ue tiene 9 unidades menos ue el nmero inicial. 'allar el nmero aumentado en >.

edad de arlos y la edad de Rngel es @ aos más ue la edad de arlos +uál es la edad de Geto,

pta. @

pta.  aos

1ndrea tiene cierta suma de dinero. astó 8F. >6 en libros y los >F@ de lo ue le uedaba despu/s del gasto anterior! en ropa! si todav"a le uedan 8F. >6 +uánto ten"a al principio,

1%.

-n > d"as Jiorella ganó =9 soles. 8i cada d"a ganó 21 >F@ de lo ue ganó el d"a anterior +uánto ganó el primer d"a,

AVERI/UA EL RESULTADO 22

SA/RADA CRIATURA

pta. 8F. =6

pta. 8F. 96 BUEN CONTADOR- PERO... %n matemático pasea por el campo! sin nada ue &acer! aburrido. -ncuentra a un pastor ue cuida un numeroso rebao de ove$as! y decide divertirse un poco a costa del paleto. Guenos d"as! buen pastor. Guenos d"as tenga usted. 8olitario oficio! el de pastor! +no, %sted es la primera persona ue veo en seis d"as. -stará usted muy aburrido. Dar"a cualuier cosa por un buen entretenimiento. Kire! le propongo un $uego. 2o le adivino el nmero e4acto de ove$as ue &ay en su rebao! y si acierto! me regala usted una. +Nu/ le parece, ?rato &ec&o. -l matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado! murmurando cosas! y en unos segundos anuncia: 9=7 ove$as. -


-l pastor! admirado! confirma ue /se es el nmero preciso de ove$as del rebao. 8e cumple en efecto el trato acordado! y el matemático comienza a ale$arse con la ove$a escogida por /l mismo. -spere un momento! seor. +Ke permitirá una oportunidad de revanc&a, 'ombre! naturalmente. Pues +u/ le parece! ue si yo le acierto su profesión! me devuelva usted la ove$a, Pues venga. -l pastor sonr"e! porue sabe ue &a ganado! y sentencia: %sted es matemático. SarambaT 'a acertado. Pero no acierto a comprender cómo. ualuiera con buen o$o para los nmeros podr"a &aber contado sus ove$as. 8"! s"! pero sólo un matemático &ubiera sido capaz! entre 9=7 ove$as! de llevarse el perro.

-n el mayestático salón encontr/ un &ombre alto! de cara anc&a y facciones acusadas. -ra un famoso catedrático visitante ue llegaba a nuestra universidad! y yo tuve el privilegio de conversar con /l. uando surgió el inevitable tema de la fe3 afirmó con absoluta convicción: ree en lo ue uieras! pero cree. -l divino sentido de la fe no está en su ob$eto en s"! sino en el &ec&o de ue e4ista. 8e levantó! tras cruzar el salón se puso a mirar por la ventana. %na bandada de tordos formaba una negra cadena en el firmamento y en lo alto de la montaa vecina el sol acariciaba la copa de los árboles! &aciendo una encendida &oguera con las &o$as ya coloradas. -l famoso maestro! aunue &ablaba animadamente de muc&os temas! derramaba esa calma interior caracter"stica de los &ombres ue &an llegado a un profundo conocimiento de s" mismo y del universo. reo ue todo reci/n nacido EcontinuóE llega a la ?ierra con un mensa$e ue entregar a la &umanidad. -n su puo diminuto trae alguna part"cula de una verdad an no revelada! uizá un indicio! &asta a&ora desconocido! ue acaso resuelva el enigma del destino del &ombre. -l nuevo ser tiene el tiempo limitado para llevar a cabo su cometido y nunca dispondrá de una segunda oportunidad... como tampoco los dispondremos nosotros. Puede ue se reci/n nacido sea Razonamiento Matemático


nuestra ltima esperanza! y como a tal deber"amos tratarlo... como a algo sacrat"simo. 1l medio d"a! en los alrededores de graduación &ab"a una gran algarab"a. 'a estado bien dif"cil el e4amen de graduación Ecomentaba un graduado ue regresaba feliz. +2 cuantos se presentaron, Eindagó uno de los familiares. -ntre alumnos de distintos profesores /ramos >9! y! como era de esperarse! todos los alumnos del profesor David aprobaron el e4amen. +2 cuantos eran /stos, Pues! e4actamente! el 9U de todos los ue aprobaron. Diga usted cuántos alumnos aprobaron el e4amen! y cuántos eran del profesor David.

O BSERVACIÓN :  VKPL-K-0?V 1I?KW?IV

N0eo a

Colee#*o A. 6 E a 66 E  666 E

O BSERVACIÓN :  V0VI-0DV L1 8%K1 2 DIJ--0I1

TEMA: CUATRO OPERACIONES 23

K + 0 = 8  K =

24

ADICIÓN

. a A a5 A a> A ... A an B 8 .

an : 8umandos 8 : 8uma total Vbservación: : + 5 + > + ... + n =

8 + D

 5   K − 0 = D 0 = 8 − D 5

n (n + :) 5

MULTIPLICACIÓN

. K . mB P .

SUSTRACCIÓN

. 8 A DB K . 8 : 8ustraendo D : Diferencia K : Kinuendo Razonamiento Matemático

K : Kultiplicando m : Kultiplicador P : Producto



DIVISIÓN

Luego ue osa gasta sus 8F. 9 -ntre los 5 tienen =96 E 9 B 9 soles 1demás 1ntonio tiene 8F. =9 más ue osa tenemos la suma : 9 y la diferencia : =9 •

D!!s!"# E56*6

•

⇒

•

. D B d .  .3 r B 6

D : Dividendo d : Divisor  : ociente r : esiduo

∴

⇒

Lo ue tiene osa es la cantidad menor:

antidad Kenor = II9 − =9 5

D!!s!"# I#e56*6

=

⇒

. D B d.  Ar .

=

. pta.: 8F. >@9 .

esiduo má4imo: d E  esiduo m"nimo:  PROBLEMAS 7UE SE DAN CON LAS 4 OPERACIONES C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 Su6 9S+  l6 D!;ee#!6 9D+ Podemos utilizar las siguientes relaciones:

7C6 5

25

2. %na camisa con su corbata cuestan 9@ soles! si la corbata cuesta 7 soles menos ue la camisa. +uánto cuesta la camisa, Resolu!"#: La suma es 9@ soles. La diferencia es 7 soles. 8i la corbata cuesta menos entonces la camisa tiene costo mayor. 26 • •

8 + D . 10?ID1D K12V = . 5

8 − D . . 10?ID1D K-0V = 5

-$emplos: 1. osa y 1ntonio tienen entre los 5 8F. =963 osa gasta 8F. 9 y entonces 1ntonio tiene 8F. =9 más ue rosa. +uánto tiene a&ora osa,

∴

antidad Kayor = 9@ − :7 = I6 = >9 5

5

. pta.: 8F. >9 . C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 Su6 9S+  el o!e#*e 9<+ 8e u#6 8!!s!"# e56*6 8e utilizan las siguientes relaciones

Resolu!"#: Razonamiento Matemático



.

10?ID1D K12V =

8 . ) ) + :

.

.

10?ID1D K-0V =

8 ) + :

.

.

∴

La radio grabadora cuesta 5@6 soles .

C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 D!;ee#!6 9D+  el o!e#*e 9<+ 8e u#6 8!!s!"# e56*6 8e utilizan las siguientes relaciones

-$emplos: 1. La suma de 5 nmeros es @56 si uno de ellos es el triple del otro3 calcular el mayor de dic&os nmeros aumentado en 9. Resolu!"#: La suma ;8< es @56 8i uno de ellos es el triple entonces su cociente es >6. Luego calculando el nmero mayor •

.

10?ID1D K12V =

D . ) ) − :

.

.

10?ID1D K-0V =

D ) − :

.

•

. 10?ID1D K-0V B H K12V * D .

•

H

mayor =

8 . ) ⇒ ) + :

@56 . > >+:

@56 . > =

@

=

>:9

H mayor B >9 . -l H mayor aumentado en 9 es >>6 . 2. %n televisor y una radio grabadora cuestan 8F. 566. 8i el televisor cuesta el cuádruple de lo ue vale la radio grabadora3 +uento cuesta 27 cada artefacto,

-$emplos: 1. -ntre los cargamentos de 5 camiones &ay una diferencia de =66 Qilogramos. 8i uno de ellos tiene el triple de carga de lo ue tiene el otro. +uál es la carga de uno de ellos,

∴

Resolu!"#: 'ay una diferencia de =66 Xg. 'ay un cociente de > (triple). Luego calculando el camión con carga mayor. •

28

• •

Resolu!"#: La suma es 8F. 566 -l cuádruple indica ue el cociente es @. -ntre el ?v y la radio grabadora. La radio grabadora es:

C66

• • •

H menor =

8 ) + :

=

:566 @ +:

H menor B 5@6


=

:566 9

=

H

mayor =

D . ) :=66 . > :=66 . > ⇒ = = 5I66 Xg ) − : > −: 5

5@6

:

2 el camión con carga menor: Razonamiento Matemático


H menor =

.

D ) − :

⇒

:=66 >−:

=

:=66 5

=

C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 Su6 9S+- el o!e#*e 9<+  el Res!8uo 9R+ 8e u#6 8!!s!"# !#e56*6 8e utilizan las siguientes relaciones

C66 Xg

La carga de cada uno de ellos es 566 Xg y C66 Xg .

∴

. 2. %n padre tiene @> aos y su &i$o  aos. +Dentro de cuánto tiempo la edad del padre será el triple de la edad de su &i$o,

.

Resolu!"#: 'ay una diferencia (D) de edades: @> E  B >5 aos.

•

∴

D . ) ⇒ ) − :

>5 . > >−:

C7 =

5

=

.

•

antidad mayor =

29

8 . ) + r ) + :

B

I@ . C + @ ) + :

B

777 + @ :6

B

7I6 :6

@= Xg

8i en el futuro ambos tienen @= y 7 aos y &oy tienen @> y  aos! se observa ue &an pasado 9 aos para ue la edad del padre sea el triple de la del &i$o.

=

I@ . C + @ :6

30

B 7 .


8 −  ) + :

Resolu!"#: 1plicando la relación respectiva:

D >5 >5 'i$o =H menor = ⇒ = = :7a.os ) − : > − : 5 mayor =

10?ID1D K-0V =

.

-$emplos: 1. La suma de 5 nmeros es @! su cociente es C y su residuo es @. 'allar el nmero mayor.

-n el futuro el triple de una de las edades es el cociente >. Luego &allando los aos del padre e &i$o en el futuro:

H

8 . ) +  ) + :

. 10?ID1D K-0V B 8 * H K12V .

•

•

10?ID1D K12V =

∴

-l nmero mayor es 7. . Razonamiento Matemático


.

10?ID1D K12V =

2. -l cociente y el resto de una división ine4acta son @ y >6 respectivamente. 8i se suman todos los t/rminos el resultado es 9@. calcular el divisor: Resolu!"#: 8abemos ue sumando todos los t/rminos da 9=@ y estos t/rminos de la división ine4acta son: D B dividendo  B cociente d B divisor  B residuo -s decir: D A d A  A  B 9@

.

D . ) −  ) − :

10?ID1D K-0V =

D −  ) − :

.

.

. 10?ID1D K-0V B H mayor E D .

•

•

-$emplos: 1. 'allar 5 nmeros cuya diferencia sea =6! su cociente sea 7 y su residuo 56. Resolu!"#: 1plicando las relaciones

Podemos concluir ue: D A d B 9@ E  E  D A d B 9@ E @ E >6 D A d B 9@ E >@ D A d B 9@6

H mayor B

•

B

D A d B 9@6 es la suma conocida

D . ) −  ) − :

:=6 . 7 − 56 =

9

:=66 − 56 :676 = 9 9

⇒

•

B 55

1plicando la relación y sabiendo ue el divisor es el nmero menor. H menor =

8 −  ) + :

H menor =

9@6 − >6 9:6 = = :65 @ +: 9

. -l divisor es 65. . C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 D!;ee#!6 9D+ el o!e#*e 9<+  el Res!8uo 9R+ 8e u#6 8!!s!"# !#e56*6 31 8e utilizan las siguientes relaciones:

H menor B

•

B

D −  = ) − :

:76 9

=

:=6 − 56 9

>5

H menor B >5

⇒

∴

. Los Hs son: 55 y >5 . 2. alcular las edades de dos personas sabiendo ue entre /stas &ay una diferencia de @6 aos y ue al dividirlas su cociente es > y su residuo 6. ∴

32




Resolu!"#: omo tenemos los datos del caso aplicamos las relaciones respectivas: -dad mayor B H mayor

antidad mayor B H mayor

•

H mayor B 76 +

⇒

•

H mayor B

⇒

D . ) −  = ) − :

@6 . > − :6

:56 − :6 =

5

5

::6 =

5

=

99

76 5 − @( 966) 5

H mayor B 76 + >766 − 5666 5

•

-dad menor B H menor H menor B

⇒

.

D −  @6 − :6 = ) − : 5

=

>6 5

=

B 76 +

:9

Las edades son 99 y 9 aos. .

∴

•

C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 Su6 9S+  el Po8u*o 9P+ 8e utilizan las siguientes relaciones:

:766 76 + @6 = = 96 5 5

Para el H menor H menor B 8 E H mayor H menor B 76 E 96 B 6 .

∴

Los nmeros son 96 y 6 .

5 . 10?ID1D K12V = 8 + 8 − @P .

5

C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o l6 D!;ee#!6 9D+  el Po8u*o 9P+ 8e utilizan las siguientes relaciones:

5 . 10?ID1D K-0V = 8 − 8 − @P .

5

. 10?ID1D K-0V B 8 * H K12V . -$emplos: 1. 'allar 5 nmeros tales ue su producto sea 966 y la suma de ambos 76.

.

10?ID1D K12V =

.

10?ID1D K-0V =

D 5

−

D 5

+

@P − D 5

.

@P − D 5

.

. 10?ID1D K-0V B H K12V E D .

Resolu!"#: 1l tener los datos directos aplicamos las r elaciones respectivas: •

33

-$emplos: 34




1. alcular la suma de 5 nmeros tales ue su diferencia sea 6 y su producto >9. •

1l tener los datos directos! aplicamos las relaciones: 5

H Kayor B ( :6 )

•

+

Resolu!"#: ?eniendo los datos directos aplicamos relaciones •

H Kayor B

@ ( >I9) + :6 5

B

:66 + :966 5

H Kayor B

:766 + :6 @6 + :6 96 = = = 59 5 5 5

:6

La suma de los 5 nmeros 59 A 9 B @6 .

∴

.

=

10?ID1D K-0V =

P

.

P )

.

)

.

76

P )

=

:=6 56

=

C

=

>

8i los nmeros son 76 y >! luego! la suma de ambos es 7>.

Co# el #0eo % -l .1. de 7 es lo ue le falta para convertirse en 6.

-$emplos: 1. -l producto de 5 nmeros es =6 y su cociente 563 &allar la suma de estos nmeros Razonamiento Matemático

=

COMPLEMENTO ARITM=TICO 9C.A.+ DE UN N>MERO -l .1. de un nmero natural es lo ue le falta a este nmero para ser igual al nmero formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el nmero. 1s" por e$emplo

C6lul6 2 C6#*!868es o#o!e#8o el Po8u*o 9P+  el o!e#*e 9<+ 8e utilizan las siguientes relaciones: 10?ID1D K12V

>766

=

H menor B > ∴

.

)

:=6 . 56

H Kenor B

Para el H menor: H menor B 59 E 6 B 9 .

.

H Kayor B 76

H Kayor B

+

P

35

-s decir .1. 7:

6 E 7 B @ .1. de 7 B @

⇒



Co# el #0eo '4 -l .1. de C@ es lo ue le falta para convertirse en 66.

-s decir .1. =@:

66 E =@ B 7 .1. de =@ B 7

. Luego el .1. es @97 es 9@@ . 2. 'allar el .1. de C9@5 ∴

37 ⇒

⇒

Co# el #0eo 3'$ -l .1. de >=9 es lo ue le falta para convertirse en 666.

-s decir .1. >=9:

-n forma general podemos concluir ue: 8i 0 es un nmero de > cifras: -s decir 0 B abc ! donde c es diferente de 6! entonces: -l omplemento 1ritm/tico será:

666 E >=9 B 79 .1. de >=9 B 79

.

⇒

6666 E 5CC= B 665 .1. de 5CC= B 665

⇒

RE/LA PR?CTICA PARA @ALLAR EL C.A. Para cualuier nmero natural a la cifra de las unidades se le resta 6 y a las demás cifras (centenas! millares! etc.) se les restará de C.

D.1.( abc)

=

( C − a ) ( C − b) ( :6 − c) .

N OTA: 8 I -L 0YK-V ?-KI01 -0 #1IV8 -V8 ! L1 -L1 PR?I1 8- 1PLI1 1 P1?I D-L 0YK-V D- VD-0 I0J-IV DIJ--0?- D- 6.

Co# el #0eo 2((' -l .1. de 5CC= es lo ue le falta para convertirse en 6666.

-s decir .1. 5CC=:

∴

-$emplos: 1. 'allar el .1. de @66 ⇒

B 9C66 -$emplos: 1. 'allar el .1. de @97

.

∴

Luego el .1. de @66 B 9C66 .

2. 'allar el .1. de 59666 ⇒ ⇒

B 9@@


B @C666 Razonamiento Matemático


.

Luego el .1. de 59666 B @C666 .

∴

PROBLEMAS PARA LA CLASE

38 1. -n un e4amen Pepe gana dos puntos por respuesta correcta! pero pierde un punto por cada euivocación. 8i despu/s de &aber contestado 96 preguntas! obtiene 7@ puntos. +uántas preguntas respondió mal,

4. -l c&ofer de un micro observa ue en su recorrido &an subido sólo adultos pagando 8F. 55 cFu y cuando ba$a uno suben >! llegando al paradero final con 97 adultos. +on cuantos inició su recorrido,! si recaudó 8F. 76 en total

pta.

pta. 2. 1l multiplicar por >7 un nmero! este aumenta en 9 unidades +cuál es el nmero,

pta. 3. %n gerente gana 8F.  >66 más ue otro por d"a! si al cabo de igual nmero de d"as recibieron 8F. > 66 y 8F. 67 @66 respectivamente +uál es el $ornal de cFu,


$. Nuince personas tienen ue pagar por partes iguales 8F. 9663 como algunos de ellos son insolventes cada uno de los restantes tiene ue poner 8F. 96 más para cancelar la deuda +uántas personas no pagaron,

pta. &. 8i a un nmero entero se le agrega dos ceros a la derec&a! dic&o nmero aumenta en =  unidades. -l nmero es:

pta. '. -n un salón de @6 alumnos! el profesor Vscar suma los aos de nacimiento de todos! y luego suma sus edades3 y a continuación suma los dos resultados obteni/ndose ==7=. si la suma se &izo en C5 +cuántos cumplieron ya este ao,

pta.

pta. 11. Para una sala de teatro se &ab"a proyectado cierto nmero de filas de 7 asientos cada fila pero al resultar los asientos muy $untos y las filas muy separadas se pensó distribuir nuevamente el mismo nmero de asistentes! aumentando @ filas y disminuyendo @ asientos en cada fila. 'allar el nmero de asistentes.

pta.

pta. %. Karco empasta 5 libros en un d"a y Pepe la cuarta parte. +uántos d"as les tomar"a empastar 976 libros! si cada uno traba$a en d"as alternados,

pta. 1). %na casa se pintó por 8F. 9663 pero si se &ubiese 39 ganado 8F. 5!9 menos por cada 5 m ! el costo de la pintura &abr"a sido 8F. 9666 +uánto pagó por cada m5,

(. -n una fiesta a la ue fueron 9> personas! en un momento determinado! = mu$eres! no bailaban y 9 &ombres tampoco. +uántas mu$eres asistieron a la reunión,

12. 8e &a enrollado un cable con un carrete de  de diámetro! dándole 66 vueltas. 8i el mismo cable es enrollado en otro carrete dándole 96 vueltas! si diámetro es:



pta.

pta. >

pta. 13. Dos secretarias tienen ue escribir 766 cartas cada una. 40 La primera escribe 9 cartas por &ora y la segunda > cartas por &ora. uado la primera &aya terminado su traba$o. +uántas cartas le faltarán escribir a la segunda,

1$. 8e paga 8F. 6 por cada > manzanas y se venden 9 por 8F. 56. el nmero de manzanas ue se debe vender para ganar 8F. 66 es:

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

pta.

pta.

2.

CALCULANDO EL TIEMPO Dos ánforas de ;edro< de igual tamao se comienzan a llenar simultáneamente! el primero se llena en 7 &oras y el segundo se llena en @ &oras. 8uponiendo ue cada ánfora se llena constantemente con una misma clase de moneda +uántas &oras despu/s de &aberse comenzado a llenar las ánforas ue falta por llenar de la primera es el triple de la ue falta a la segunda,


Lido compra libros a > por 8F. 9 y los vende a 9 por 8F. 6. si los 96 libros ue le uedan representan su ganancia +uántos libros compra, A+ 596 D+ 96

14. La suma de dos nmeros naturales es 6@>! su cociente es 5 y el resto es el mayor posible. 'allar el dividendo.

pta.

> & I

B+ >66 E+ 5=6

4.

A+ 6 D+ 5

C+ >96 $.

%n poste de 59 m de altura se rompe a cierta altura! tal ue e4tremo superior fue a ubicarse a 9 m de la base. +1 ue altura ocurrió la ruptura, A+ = D+ 6

B+ C E+ 5

41 Pedro ten"a 8F. 56! compró > rosas menos porue cada rosa le costó 8F. 5 más +uántas rosas compró,

%.

C+ =

5 turistas están alo$ados en el mismo lugar! pero uno de ellos paga diariamente 8F. @= menos ue el otro. Despu/s de igual nmero de d"as pagan 8F. @7 y 5695 respectivamente. +uántos d"as transcurrieron, A+ > D+ 5

C+ 

B+ 9 E+ C

B+ @ E+ 6

C+ 9

-ntre = personas tienen ue pagar en partes iguales Razonamiento Matemático


3.

A+ 96 D+ 6 &. 42

B+ @6 E+ 76

B+ 5 E+ 5

1).

11.

B+ 9 E+ 

B+ 7 E+ @

A+ 7>= D+ @> (.

C+ 

-ntre = personas tienen ue pagar en partes iguales 8F. 566! como algunos de ellos un pueden &acerlo! cFu de los restantes tiene ue pagar 8F. 9 más. +cuántas personas no pagaron,

A+ > D+ 7

el nmero,

C+ @

-n una división de enteros! el divisor es > y el resto 5. +-n cuanto disminuye el resto cuando se agregan C unidades al dividendo, A+ 9 D+ =

C+ @

8i a un nmero entero se le agregan > ceros a la derec&a! dic&o nmero ueda aumentado en 955 @ unidades. +uál es


A+ > D+ 7

C+ >6

5 $ugadores acuerdan ue despu/s de cada partida! el perdedor pague al otro 8F. 766. Despu/s de >6 $uegos uno de ellos &a ganado 8F.  566. +uántos $uegos lleva perdiendo el otro, A+ = D+ 56

'.

8F. 566! como algunos de ellos un pueden &acerlo! cFu de los restantes tiene ue pagar 8F. 9 más. +cuántas personas no pagaron,

8i por 8F. 56 dieron 7 manzanas más! cada docena costar"a 8F. >7 menos. +uánto cuesta una docena de manzanas,

B+ 95> E+ 7>C

C+ C>

B+ 99 E+ 969

C+ @

-scribe el nmero 6 con 9 nmeros tres (>)

La suma de 5 nmeros es 7! su cociente es >5 y el residuo de su división el más grande posible. +uál es la diferencia de los nmeros, A+ 959 D+ 99

B+ 9 E+ 

pta.

>> >

+

> >

=

:6

C+ 95

43

CLAVES

1.

G %.

1

2.

1 &.

-



3.

-

'.

G

4.

D (.

D

$.

D 1).

G

E+

 y 7@



@ y 

C

 y 9@ $. 2.

La suma de los > t/rminos de una sustracción es 5@6. si el sustraendo es la tercera parte del minuendo. 'allar la diferencia. A+ 6 D+ C6

B+ 76 E+ 96

3.

PROFUNDI,A TUS CONOCIMIENTOS 1.

4.

La suma de dos nmeros e4cede en 7 a 7@ y la diferencia e4cede 5 a la mitad de la suma +uáles son estos nmeros, A+ C+

7 B+ 7 y @

 D+

 @ y 77


7

1ndrea le dice a su papá ;de los 5=6 soles ue me diste! gast/ 7 soles más de lo ue no gast/< +uánto no llego a gastar 1ndrea,

C+ =6

A+ =5 D+

B+ = E+

C+ =6

8i al minuendo de una sustracción le aumentamos 6 unidades y al sustraendo lo disminuimos en = unidades +-n cuanto var"a la diferencia, A+ A D+ A=

&.

B+ E7 E+ EC

B+ =7 E+ =C

1).

C+ =

8i la diferencia de 5 nmeros es 5>76 y el duplo del mayor es 7666. +-n cuanto e4cede el nmero 5C=5 al menor de los 5 nmeros, A+ 5 = C+ 5 = E+ 5 =

C+ A9

Luis dice: ;lo ue tengo más lo ue debo da >@66 soles3 si pagara lo ue debo me

La diferencia de 5 nmeros es 7@ y la división del mayor entre el menor da cociente > y por residuo =. +uál es el nmero mayor, A+ =9 D+ ==

%.

44

=

B+  5= D+ = 5

arlos y 1ntonio tienen 8F. >9= y 8F. CC> respectivamente! 45 se ponen a $ugar a$edrez a 8F.  por partida y al final arlos ue Razonamiento Matemático


uedar"an 776 soles< +uánto debe Luis, A+ =6 D+ 776 '.

C+ 7C6

osa le pregunta a Lidia por la &ora y /sta le responde: ;Nuedan del! d"a 7 &oras menos ue las transcurridas< +Nu/ &ora es, A+  & D+ @ &

(.

B+ 7=6 E+ 796

B+ 5 & E+ 9 &

A+ 99

B+ 97


A+ = D+  11.

C+ > &

1 una reunión social a la ue fueron 67 personas! en un momento determinado! 7 mu$eres no bailaban y 5@ &ombres tampoco. +uántos &ombres asistieron a la reunión, C+ 9

D+ 9=

&a ganado todas las partidas! tiene el cuádruple de lo ue tiene 1ntonio. +uántas partidas de a$edrez se $ugaron, C+ 6

Luzmila tiene =66 soles y Paula >66 soles. ada una de ella a&orran 6 soles mensuales +Dentro de cuántos meses la cantidad ue tiene Luzmila es el cuádruple de lo ue tiene Paula, A+  D+ 56

12.

B+ C E+ 5

B+ = E+ 5

C+ C

%n comerciante divide la cantidad de dinero ue tiene en un bolsillo entre 66 y resultando un nmero entero ;n< si da ;n< monedas de 6 soles a un mendigo! aun le uedan 5596 soles +uánto dinero ten"a en el bolsillo, A+ 8F. 5@96 C+

B+ 8F. 5@76 D+

13. 46

E+ 9C

'allar el nmero de > cifras ue restado de su complemento aritm/tico (.1.) nos da @5=. A+ 5=@ D+ 5=

14.

8F. 5@6 E+ 8F. 5@=6

8i 0 B

B+ 5=9 E+ 5==

1$.

8i 0 B bab y su: .1. B c ( a + >)( a + 5) alcular 0. A+ 959 D+ 979

C+ 5=7

8F. 5966

B+ 9>9 E+ 5

C+ 9@9

abb y

su .1. B alcular la suma de las cifras de 0. ( a + : ) a ( a + :) .

A+  D+ @

B+ 5 E+ 9

C+ >

CLAVES

1.

1 %.

1 11.

D Razonamiento Matemático


2.



&.

3.

D '.

-

4.

1 (.

$.



1).

1 12.

D

oberto le dice a usted el nmero 5C7C

13.



%sted &ace lo siguiente: 5C7C E >79 B 576@

 14.

D

1$.

G

D

Co#lus!"#: Para saber la fec&a ue se busca &ay ue restarle >79 al nmero final

SABAS... COMO ADIVINAR EL DA  EL MES DE NACIMIENTO47 Propóngale a un(a) compaero(o) ue escriba en una &o$a de papel el d"a del mes en ue nació y luego las operaciones siguientes: Nue dupliue el nmero escrito! ue multipliue por 6 lo obtenido! ue le sume > al producto! ue multipliue por 9 la suma! y ue al total le aada el nmero de orden del mes en ue nació. Wl(ella) le dice a usted! el resultado final de todas las operaciones y usted le dice la fec&a en ue nació +cómo puede usted &acer esto, -$emplo: 8i oberto nació el 57 de abril! es decir! el d"a 57 del mes 6@. /l &ace lo siguiente: 57 4 5 B 95 95 4 6 B 956 956 A > B 9C> 9C> 4 9 B 5C79 5C79 A @ B 5C7C Razonamiento Matemático

TEMA: EDADES 48

PROBLEMAS SOBRE EDADES Problemas sobre edades es un caso particular de Planteo de -cuaciones! pero debido a la diversidad de problemas y a la e4istencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema a aparte. -n estos problemas intervienen personas! cuyas edades se relacionan a trav/s del tiempo ba$o una serie de condiciones ue deben cumplirse. -stas relaciones se traducen en una o más ecuaciones segn el problema. -n el proceso de solución se asigna una variable a la edad ue se desea &allar! luego! si &ubieran otras edades desconocidas se tratará de representarlas en función de la variable ya asignada! en caso contrario con nuevas variables. La información ue contiene el problema se debe organizar con ayuda de diagramas ue faciliten el planteo de ecuaciones. DIA/RAMAS LINEALES 8e emplean cuando se trate de un solo persona$e cuya edad a trav/s del tiempo debe marcase sobre una l"nea ue representará el transcurso del tiempo.



>6 A 6 B @6 aos 2.

8i se intenta retroceder en el tiempo se restarán los aos deseados a la edad de referencia -$emplo: 8i Muana tiene actualmente 56 aos! &ace = aos! Muana ten"a: 56 E = B 5 aos •

3. DIA/RAMAS CON FILAS  COLUMNAS 8e emplean cuando se trata de dos o más persona con edades 49 relacionadas en diferentes tiempos. -n las filas (&orizontales) se anota la información de cada persona$e y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado! presente o futuro.

La diferencia de edades entre dos persona es una constante! en cualuier tiempo Ejemplo:

P6s.

P*e.

Fu.

A

6

5

7

B

7

=

5

D!;.

@

@

@

50

-$emplos:

PROPIEDADES 1. Para avanzar en el tiempo! se suman los aos por transcurrir a la edad ue se toma como punto de partida.

-$emplo: 8i oberto tiene actualmente >6 aos! dentro d 6 aos! oberto tendrá:

4. uando a un alumno le preguntan por su edad! respondió: ;8i al triple de la edad ue tendr/ dentro de tres aos le restan el triple de la edad ue ten"a &ace > aos! resultará mi edad actual< +uántos aos tiene, A+ 5

B+ >7

C+ =

D+ 5

E+ 0.1.

Resolu!"#:

•




8egn los datos: >(4 A >) E >(4 * >) B 4 >4 A C E >4 A C B 4 = B 4

%. 'ace 6 aos ten"a la mitad de la edad ue tendr/ dentro de = aos. +Dentro de cuantos aos tendr/ el doble de la edad ue tuve &ace = aos, A+ =

B+ 5@

C+ 56

D+ @

D+ @

E+ 0.1.

8egn los datos:

E+ 0.1. 51

Resolu!"#:

C+ 5

Resolu!"#:

. pta. ?iene = aos .

$. +uántos aos tiene Messica! sabiendo ue la ra"z cuadrada de la edad ue ten"a &ace 9 aos mas la ra"z cuadrada de la edad ue tendrá dentro de 7 aos suman , A+ >6

B+ 6

52

4 E 6 B

: 5

(4 A =)

5 (4 E 6) B 4 A = 54 E 56 B 4 A = 4 B 5= (edad actual) ⇒

'ace = aos tuvo: 5= E = B 56 aos. -l doble de esta edad: @6 aos -sta edad la tendrá dentro de: @6 E 5= B 5 aos 8egn los datos se plantea: 4 9 4 7 B  4 9 B  * 4 −

+

. pta. Dentro de 5 aos .

+

−

+

7

-levando al cuadrado m.a.m. 4* 9 B 5 E 55 4 7 A 4 A 7 4 7 B 7 4 B >6 +

⇒

USANDO EL IN/ENIO

+

. pta. ?iene >6 aos . Razonamiento Matemático

Ki abuelita me contó ue un famoso comediante espaol Don Jrancisco de Nuevedo y #illegas (9=6 E 7@9) apostó a unos amigos! ue /l dir"a en su cara a la reina de -spaa! Doa Isabel de Gorbón! ue era co$a. Razonamiento Matemático


Imag"nate ue audacia... +ómo decirle a la reina ue es co$a, +Nu/ &ubieras &ec&o tu,... PI-081 uando pasaba la reina por el $ard"n! Don Jrancisco se acercó con un clavel y una rosa en la mano! se inclinó como correspond"a y le di$o a su ma$estad:

3.

;-0?- -L L1#-L 2 L1 V81 8% K1M-8?1D -8VM1< 2a te diste cuenta... el truco está en la palabra <-8VM1
-l seor P/rez tendrá ;a< aos a partir de la fec&a +uantos aos tuvo &ace 7 aos,

$.

Maime tendrá = aos &ace 9 aos +uántos aos tendrá dentro de = aos, pta.


%.

uando /sar tenga C aos! 1ndrea tendrá @ aos. +uál será la edad de /sar cuando 1ndrea 55 aos, pta.

Dentro de  aos Morge tendrá 5 aos +uál era su edad &ace  aos, pta.

'. 4.

(. 54

pta.

pta. 2.

uando Jelipe ten"a 53= aos! icardo ten"a 9. +uál será la edad de icardo cuando Jelipe tenga  aos,

&.

pta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

'ace 7 aos Pepe ten"a 7 aos +Dentro de cuantos aos la edad de Pepe será el triple de su edad actual,

1).

Dentro de 6 aos la edad de osario será >=. +'ace cuantos aos ten"a 56,

uando 8ilvia tenga 55 aos! Karitza tendrá 5C. +uál es la edad actual de 8ilvia si Karitza tiene a&ora 56 aos,

pta.

pta.

-n el momento ue Jelipe tenga > aos! 1ndr/s tendrá 55 aos. +uál es la edad actual de 1ndr/s! si Jelipe &ace 5 aos ten"a  aos de edad,

13.

pta.

14.

La diferencia de las edades de armen y 1melia es > aos actualmente +uál será la diferencia de sus edades dentro de  aos,

-n el problema anterior! +uál es la edad del menor dentro de = aos, pta. osario es mayor ue arolina por @ aos3 si la suma de sus edades actuales es 95 aos: +uál es la edad de osario, pta.



1$.

pta. 11.

Pepe es mayor ue oco por 9 aos! +-n cuantos aos será menor oco ue Pepe dentro de 59 aos,

-n el problema anterior! +uál será la suma de las edades dentro de 7 aos,

CONTRADICCIÓN +Por u/ la palabra ;8-P11DV< se escribe todo $unto! y las palabras ;?VDV M%0?V< se escribe separado,

La suma de las edades actuales de -steban y Kanuel es 57 aos. 8i la diferencia de las mismas es 5 aos. +uál es la edad del mayor, pta.

1.

3.

PROBLEMAS PARA LA CASA

La edad de #"ctor es el doble de la de Pedro y &ace559 aos la edad de #"ctor era el triple de la edad de Pedro. +uál es la edad actual de Pedro, A+ 59 D+ 5=

2.

pta.

pta. 12.

$.

B+ @6 E+ >6


C+ @9

4.

-n C=6 la edad de Morge era @ veces la edad de icardo3 en C== la edad de Morge fue el doble de la edad de icardo. +uál fue la edad de Morge en el 566>, A+ 96 D+ >C

B+ @= E+ 97

C+ 5=

-n el problema anterior: +uál era la suma de las edades &ace 56 aos,

%n auto tiene a&ora la mitad de aos ue ten"a Luis cuando el auto era nuevo. Luis tiene a&ora >7 aos. +uántos aos tiene el auto,

A+ 6 D+ 9@

A+ 5 D+ =

56

C+ @7

La edad de ladis es F5 de los 5F> de la edad de 0orma. 8i esta tiene 5@ aos +cuántos aos tendrá ladis dentro de @ aos, A+ = D+ @

&.

B+ 96 E+ 76

B+ 5 E+ 7

B+

C+

(.

C+ 7

'ace 7 aos erardo era @ veces mayor ue David. 'allar la edad actual de erardo sabiendo ue dentro de @ aos! la edad de /ste sólo será 5 veces mayor ue David A+ 95 D+ @6

C+ 6

-l tiene la edad ue ella ten"a cuando /l ten"a la tercera parte de la edad ue ella tiene. 8i ella tiene = aos más de lo ue /l tiene: +uántos aos tiene ella, A+

%.

B+ = E+ @

B+ 97 E+ @7

C+ 76

Dentro de > aos le dad de Mavier será un cuadrado perfecto! pero &ace tres aos era la ra"z de ese cuadrado +Nu/ edad ten"a Mavier el ao antepasado, A+

B+

C+



95 D+ 9@ '.

>7 E+ 96

@6

La edad en aos de una tortuga es mayor en 56 aos ue el cuadrado de un nmero natural ;m< y menor en 9 ue el cuadrado del nmero siguiente a ;m<. +uántos aos tendrá la tortuga el pró4imo ao, A+ 75 D+ 7>

B+ 76 E+ 79

C+ 7@

7 D+ > 1).

9 E+ 5

@

CLAVES

%n padre tiene ;a< aos y su &i$o ;b< aos. +Dentro de cuántos aos tendrá el padre el doble de la edad de su &i$o, A+ a E 5b C+ aAb E+ 5a A b

B+ a A 5b D+ 5a * b

1.

-

%.

G

2.

G &.

D

3.

G

'.

-

4.



(.



$.

1 1).

1

SABAS ESTO TEOREMA: ?odos los nmeros enteros son iguales. DEMOSTRACIÓN : -s suficiente demostrar ue para todo 1 y G ! 1BG ! es decir! ue para todo 0 ! si ma4(1!G ) ZB 0 ! entonces 1BG . Procedemos por inducción en 0 . 8i 0 B! el resultado es obviamente cierto! porue ma4( 1!G ) ZB  implica ue 1BG B. 8i el teorema es cierto para 0 BQ ! para Q A tenemos ue si 1 y G son tales ue ma4( 1!G ) ZB Q A! entonces ma4( 1*!G *) ZB Q 3 como el teorema es cierto para 0 BQ ! entonces 1*BG * ! y 1BG ! luego el teorema tambi/n es cierto para 0 BQ A.

SABAS 7U=... 57 58




REN= DESCARTES 91$(%  1%$)+ -n este tema trataremos el movimiento rectil"neo uniforme (K%)

e . v = .

. e Bv . t .

t

e . t = v .

CASOS PARTICULARES 1. Velo!868 Poe8!o

=

e (total ) t (total )

aso particular: cuando nos piden la velocidad del via$e redondo! conociendo dos velocidad (v y v5) . vp =

v: . v5 . 8i emplean tiempos iguales 5

5v : .v 5

onocido tambi/n por su nombre latino! enatius artesius! en/ Descartes fue un filósofo y matemático franc/s. -n su bsueda de los fundamentos del conocimiento! Descartes adoptó un punto de vista esc/ptico y dudó de todo. 1l descubrir ue no pod"a dudar de su propia e4istencia! cogito ergo sum (Pienso! luego e4isto)! llegó a una idea de certeza. -n su intento de reducir las ciencias f"sicas a las matemáticas! Descartes revolucionó la geometr"a! el álgebra y la notación matemática. Kás conocida es su representación de las ecuaciones matemáticas como curvas geom/tricas contribuyendo as" a establecer la geometr"a en coordenadas. -l sistema de coordenadas cartesianas se llama as" en su &onor.

. vp = v + v . 8i recorren espacios iguales :

5

e

2. T!eo 8e E#ue#*o ? - = v + v : 5

3. T!eo 8e 6l6#e ? 1

=

e v : −v 5

TEMA: MÓVILES 59




PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

orre un ciclista durante dos &oras uniendo las ciudades 1 y G a una velocidad de C QmF&. +uál es la distancia entre ambas ciudades,

4.

8i una bicicleta se desplaza a una velocidad de >7 QmF&: +uántos metros recorre en un segundo,

pta. '.

pta.

pta. $. 2.

Muan persigue a 8ilvana cubriendo una distancia de 56 m en 6 segundos +uál es la velocidad de Muan, pta.

3.

inco &oras demora un auto al via$ar de Lima a 'uancayo a una velocidad de =6 QmF&. 8i cada 6 Qilómetros en la carretera ue une ambas ciudades se desea colocar un bander"n: +uántos banderines se reuieren, pta.


%n auto via$a a una velocidad de 5 QmF&. +uántos metros recorrerá en 5 segundos,

%n ciclista se desplaza por una ciclov"a a razón de 9 metros por segundo. +-n cuantas &oras irá de una ciudad a otra ue distan entre s" >7 Qilómetros.,

(.

+-n cuántas &oras cubre un recorrido de 7 Qm un ciclista ue en un minuto cubre una distancia de 566 metros,

13.

pta. 1).

una persona suele caminar con una velocidad de !5 QmF& +uántos metros recorre por cada segundo ue transcurre, pta.

%na motocicleta emplea un minuto en el recorrido de 566 metros +uál es su velocidad en QmF&,

Dos autos van por una misma autopista en sentidos contrarios 61 uno al encuentro del otro con velocidades de =6 y 6 QmF&. 8i inicialmente estaban separados >66 Q y parten al mismo tiempo: +1l cabo de cuántas &oras se encuentran, pta.

pta. &.

12.

pta.

pta. %.

%na dama mane$a un automóvil recorriendo @66 metros por cada minuto ue transcurre +uántos Qilómetros recorre en tres &oras de via$e,

11.

-n el problema anterior +uánto tiempo demorará la citada persona en recorrer =

1 las = de la maana parten dos autos al encuentro de dos ciudades distantes 666 Qm entre s". Dar la &ora del encuentro sabiendo ue la velocidad del más rápido es 56 mFs y la del más lento es 5= QmF& pta.

14.

Dos autos parten al mismo tiempo y en la misma dirección desde dos puntos distantes =6 Qm entre s". -l auto ue va delante via$a a 6 QmF& y el ue va detrás via$a a 76 QmF&. 8i ambos autos parten a las  am: +1 ue &ora alcanzará Razonamiento Matemático


1$. 62

metros,

uno al otro,

pta.

pta.

-n el problema anterior. 8i intercambiamos las velocidades de ambos móviles! +a u/ &ora alcanzará el más veloz al más lento, pta.

REPASO  EVALUACIÓN •

•

•

•

•

-l olvido de un proceso de deterioro o p/rdida de los conocimientos almacenados! para evitarlo es precio ue realizamos repasos con cierta periodicidad. Para poder contrarrestar el olvido es necesario afianzar el aprendiza$e repitiendo o recitando lo aprendido cierto nmero de veces. -s aconse$able revisar el material dentro de los primeros veinticuatro &oras siguientes al primer aprendiza$e y espaciar convenientemente las distintas sesiones de estudio. 8e deben repasar los contenidos básicos de cada tema y repetirlos! recitarlos en las primeras de estudio y cuanto más pró4imos nos encontremos de la primera sesión de estudio. 8e &a demostrado ue se aprende me$or en peueos intervalos de tiempo! ue dependerán de la dificultad ue entrae la materia para cada estudiante. La evaluación continua constituye un m/todo más ob$etivo y fiable ue la realización de un nico e4amen! ya ue valora los esfuerzo del alumno d"a a d"a! proporciona mayor seguridad al mismo! lo estimula a estudiar diariamente! y permite al profesor descubrir aptitudes! intereses y dificultades en cada alumno. -l estudiante debe realizar una autoevaluación en la ue pueda apreciar su aprovec&amiento en el estudio. Debe evaluar su atención en clase! si pregunta al profesor lo ue no entiende! si &a salido voluntario a dar la


lección y se realiza las tareas en casa o el traba$o personal. Las fallas detectadas deben indicarnos ue acciones concretas debemos cambiar para convertirnos en un estudiante responsable y eficaz.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Dos ciclistas via$an en sentido contrario uno a C6 QmF& y el otro a 76 QmF&. -n pleno recorrido un pá$aro se traslada de una bicicleta a otra sin detenerse a medida ue /stas se van acercando. 8i el pá$aro se mueve a razón de >6 Qm por cada &ora ue transcurre. +uántos Qilómetros recorre el pá$aro &asta ue los dos ciclistas se encuentran, Dato: uando se inició el vaiv/n del pá$aro la distancia entre los ciclistas era de >66 Qm. A+ 96 Qm B+ 76 Qm C+ 6 Qm D+ =6 Qm E+ C6 Qm 2. Liz y #ictoria caminan desde dos puntos distintos en sentidos contrarios encontrándose al cabo de 5 minutos. Liz es más veloz ue #ictoria por 9 mFmin. 8i al momento de encontrarse #ictoria efectuó un recorrido de 56m:

3. Dos autos ue via$an 63 en sentidos contarios se encuentran al cabo de = &oras. 8i uno de ellos es más veloz ue el otro por 6 Qm por &ora de via$e: +uál es la distancia inicial ue separa a los autos al partir! si se sabe ue el más lentos recorrió >56 Qm &asta el momento del encuentro, A+ 66Qm C+ 7=6Qm E+ 766Qm

B+ 56Qm D+ 796Qm

4. Luis sale en su auto de un punto 1 de la ciudad a una velocidad de 76 QmF& y 5 &oras más tarde sale 1rturo del mismo punto a una Razonamiento Matemático


+uál es la distancia ue separaba inicialmente a ambas personas, A+ 596 m B+ 5=6 m C+ >56 m D+ >66 m E+ >96 m

velocidad de =6 QmF& en un auto nuevo. 8i 1rturo parte a las 6 am: +1 ue &ora alcanza a Luis, A+ 9pm D+ @pm

$. %na motocicleta pasa por un 64 punto 1 de una carretera a las  am a una velocidad de >6 QmF&. uatro &oras más tarde pasa por el mismo punto un auto a 6 QmF&. +1 ue &ora estarán separados uno de otro móvil por una distancia de @6 Qm despu/s de ue el auto alcanzó a la motocicleta, A+ 5pm D+ >pm

B+ @pm E+ pm

C+ pm

&. -n el problema anterior +1 ue &ora están separados 66 m otra vez luego del alcance si ambos continan en el mismo sentido, A+ 9 & @6 min C+ 9 & 96 min E+ 9 & 99 min

A+ C+

B+ 9 & @9 min D+ 9 & >6 min

C+ 9pm

%. arolina pasa por un poste a las >&@6min de una soleada tarde caminando a razón de 6 metros por cada minuto. Kedia &ora despu/s pasa arlos por Razonamiento Matemático

B+ =pm E+ 7pm

'. +1 ue &ora alcanzará un auto ue sale de Lima a las  am a 96 QmF& &acia 1reuipa a otro auto ue va en la misma dirección y sentido y ue pasa por Lima a las 9 am a >6 QmF&,

A+ =pm D+ 6pm

el mismo poste tratando de alcanzarla3 para conseguirlo camina a razón de @ metros por cada minuto +1 u/ &ora ocurre el alcance,

E+

9 B+ & 59 min

@ D+

& 99 min

9

@ & 9 min

@

& 96 min

& >6 min

A)

t

=

a a + b

&

y

a

y

a

C+ Cpm

(. %n &ombre sale de su casa en automóvil a 56 QmF&3 luego de cierto tiempo de recorrido regresa a pie a su casa a 9 QmF&! llegando a ella despu/s de 9 &oras +uántos Qm recorrió a pie, A+ =Qm D+ 6Qm

1). Lima y allao distan ;X< Qms! G parte del callao a una velocidad de ;b< QmF&3 1 parte de Lima a una velocidad de ;a< QmF& +-n cuanto tiempo se encontrarán y a ue distancia de Lima,

B+ pm E+ 7pm

B+ 9Qm E+ 56Qm

C+ 59Qm

65

aQ Qms de Lima. a − b B)

t

=

Q a + b

&



C)

D)

E)

aQ a + b Qms de Lima. t = Q & y a a − b

1.

G %.

1

bQ Qms de Lima. a − b

2.

D

&.



3.

G '.

1

bQ Qms de Lima. a − b

4.

D (.

-

$.

D 1).

G

t = b & y a a − b t

=

ab a + b

&

y

a

abQ a + b Qms de Lima.

PON A PRUEBA TU IN/ENIO Kover dos palitos de fósforo! de tal manera ue el recogedor uede de la misma forma pero el papel fuera de /l

PROFUNDI,A TUS CONOCIMIENTOS 66

1.

CLAVES Razonamiento Matemático

Dos personas ;1< y ;G< separadas entre si 6 Qm parten en el mismo instante y van uno &acia el otro! ;1< va a

3.

67 Dos automóviles paren del mismo lugar al mismo tiempo! pero en direcciones opuestas.



C QmF& y ;G< a 9 XmF&. +Nu/ distancia &a caminado cada uno &asta encontrarse, A+ C+ E+

2.

6 y 56 Qm 6 y >6Qm .1.

9 B+ @ D+ 0

6 y 6 Qm 9 y 59 Qm

Dos móviles ;1< y ;G< están separados inicialmente por 666 metros y avanzan en sentidos contrarios rectil"neamente con velocidades constantes de 56 mFs y >6 mFs +-n u/ instante estarán separados por @666 metros, 1)  min ) 5 F5 min -) 7 min

G) 5 min D) > min


-l primero va a =6 QmF& y el segundo a 6 QmF&. +uántas &oras tardarán para estar apartados por 766 Qm,

7

1) > &oras ) 9 &oras -) = &oras

@

4.

G) @ &oras D) 7 &oras

Kanuel y su familia se fueron en su automóvil a la playa a 76 QmF& luego de permanecer 5 &oras en la playa y retorna a casa C6 QmF&! si todo el via$e fue de  &oras +Nu/ tan le$os está la playa, 1) 56 Qm ) 76 Qm -) 96 Qm

G) @6 Qm D) =6 Qm

LV8 0I[V8 8V0 VKV -L -K-0?V J-8V. ?VDV LV N%- L-8 1- L-8 D-M1 %01 IKP-8I\0 I0D-L-GL-

. S TEFEL

$. 68

%n ciclista ue va a 5 QmF& recorre una distancia igual diariamente! pero si cierto d"a triplica su velocidad demorar"a  &ora menos. +uál es la distancia ue recorre diariamente, 1) 5 Qm ) 5@ Qm -) @= Qm

%.

&.

8i un auto via$a a >6 QmF&! llega a su destino a las C a.m. pero si via$a a 56 QmF&! llega a las  a.m. +1 u/ velocidad debe via$ar para llegar a las 6 a.m., 1) >6 QmF& ) 5@ QmF& -)  QmF&

G) = Qm D) >7 Qm '.

G) 59 QmF& D) 55!9 QmF& 5!9

%n &ombre debe realizar parte deun via$e a =56 Qm en un avión a 56 QmF&! y el resto en coc&e a 99 QmF&. 'allar la distancia recorrida en coc&e

%na persona &ace un via$e en automóvil a una velocidad constante de 76 QmF& desde Lima &asta 'uac&o regresa a una velocidad constante de @6 QmF&. 'allar la velocidad promedio en el via$e de ida y vuelta

1) >76 Qm ) 766 Qm -)

1) @9 QmF& ) 96 QmF& -)

G) 556 Qm D) @56 Qm

G) @= QmF& D) 95 QmF&



>56 Qm

0.1.

2.

1

&.



3.

G

'.

G

4.

D

(.



$.

G 1).

-L 'VKG- -8 %01 KI1D13 -L -8?V -8 8\LV 10-. P-V 1L #-D1D-1 KI1D1 -8 L1 N%- #- 1L 1KIV. J %0D- ?% %-PV -0?-V -0 ?% KI1D1! #-?- '1I1 L1 #I8I\0! #-?- '1I1 L1 #I8I\0....

D

D ALA AL D IN R UMI

(.

+uántas &oras emplea un tren para recorrer 5@6 Qm via$ando a una velocidad promedio de 76 QmF&! si durante el recorrido realiza @ paradas de >6 minutos cada uno, 1) @& D) =&

G) 9& -) C&

1).

) 7&

%n tren para atravesar un tnel de 766 m. de longitud 69 tarda =6 s y en pasar delante de un observador tarda >6 s. +uál es la longitud del tren, 1) 5@6 m ) >67 m -) @56 m

G) 7>6 m D) >76 m

TEMA: ME,CLAS 9FRACCIONES+ 70

-n estos problemas generalmente se considera ue parte (fracción) representa lo ue se saca de una mezcla! ya ue de esta manera se determinará ue cantidad sale o ueda de cada una de las componentes de la respectiva mezcla. Por e$emplo: A+ 8i tenemos una mezcla de 96 litros de agua con >6 litros de vino! y se

e4trae los

> :6

de dic&a mezcla. Luego tenemos:

CLAVES . 1gua ue (sale) . >

1.


D %.

G

:6

(96) B 9

. 1gua ue (ueda) . I :6

(96) B >9



. #ino ue (sale) . > :6

I

(96) B C

demás! los e4tremos de cada diámetro! de manera ue las tres cifras de cada fila suman siempre 9. +Nu/ cifra debe ir en el c"rculo central,

. #ino ue (ueda) . :6

(96) B 5

B+ 8i tenemos una mezcla de =6 litros! donde =6 litros son de ácido y el resto de agua! si se saca = litros de dic&a mezcla +uánto sale de dic&a sustancia, Resolu!"#: Primero: 0os preguntamos +Nu/ fracción de los =6 litros son los = litros ue sacamos, ⇒

?endremos: sustancia)

=: :=6

=

C 56

C (=6) B >7 litros 56

Rcido ue (sale) : 1gua ue ( sale)        :=6 − =6 = :66

.

:

(-s la fracción ue saldrá de cada

C (66) B @9 litros 56 Reue286
: litro

<

>

:666 cm >

.

PROBLEMAS PARA LA CLASE 71

72 -n un depósito se colocan @ 1. litros de le$"a y 7 litros de agua. 8e consume F@ de la mezcla y se reemplaza con agua +uántos litros de agua &ay en la mezcla final,

pta.

PROBLEMA RECREATIVO Las cifras del  al C &ay ue distribuirlas! en la rueda de la figura! una cifra debe ocupar el centro del c"rculo y las Razonamiento Matemático

2. -n una casa traba$an > mayordomos: 2uri! Maime y 1ngelo. -l patrón sale de via$e por > d"as. La primera noc&e

3. De un depósito de 7@ litros de vino y 7 litros de agua se e4traen 56 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 56 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 56 litros de la nueva mezcla y son reemplazados por agua. +uántos litros uedan de vino y de agua en dic&a mezcla,

pta.



2uri tomó

: 9

del vino de una

botella y completó con agua. La segunda noc&e 1ngelo tomó ] del contenido y completó con agua. -l tercer d"a Maime tomó F> del contenido y completó con agua. 8i la botella ten"a C76 mililitros de vino. +uántos mililitros de vino ueda en la botella, pta. $. %n depósito está lleno de agua! se saca la mitad y se llena de vino. La operación se realiza dos veces más. 'allar la relación del agua y vino final

pta. %. Dos clases de vinos están mezclados en tres recipientes. -n el primero en la razón de :! en el segundo en la razón :5! en el tercero en la razón :>3 si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar >C lts. de la primera calidad. +uántos litros se e4trae, Razonamiento Matemático

4. %n depósito contiene 9 litros de lec&e pura! luego se e4trae F> del contenido y se reemplaza por agua! enseguida se e4trae F9 de la mezcla y tambi/n se reemplaza por agua y por ltimo se e4trae F@ de la nueva mezcla y tambi/n se reemplaza por agua +Nu/ relación de lec&e pura y agua uedan en el depósito,

pta. '. -n tonel se mezclan
pta.

(. 8e tiene dos recipientes llenos ue contienen agua y vino. -n el primero la relación

pta. &. Dos clases de vino se &an mezclado en los depósito 1 y G. en el depósito 1 la mezcla será en la proporción de 5 a > respectivamente en el depósito G la proporción de la mezcla es de  a 9. +Nu/ cantidad de vino debe e4traerse de cada depósito para formar otra mezcla ue contenga  litros de la primera clase y 5 litros de la otra clase,

pta. 1). Luis tiene 5 recipientes con 5 y 7 L de mezcla de vino y ' 5V. 74 8i el primero contiene C L! de vino puro y el segundo = L de vino puro +uántos litros de mezcla se deben intercambiar para ue ambas mezclas resultantes tengan la misma cantidad de agua,

es de > a 5 y en el segundo de 5 a > respectivamente. 8e intercambian 9 L y en el primero la relación cambia de @ a >. 8i la suma de las capacidades de ambos recipientes es de C6 L! calcular la nueva relación en el segundo recipiente. pta. 13. %n tonel contiene 56 litros de vino! se e4traen sucesivamente 56 litros! >6 litros y @6 litros! reemplazando sucesivamente con agua (en cada caso) +Nu/ volumen de vino y agua ueda al final de la ltima operación,

pta.

pta. 11. De un tonel ue contiene =6 litros de vino! se sacan 56 litros! ue se reemplazan por agua. 8e &ace lo mismo con la mezcla 5^ y >^ vez. +Nu/

14. %n envase cil"ndrico de 6!5 metros de radio !9 metros de altura está lleno de vino. 8e sacan sucesivamente 66 litros! 76 litros! y 6 litros! reemplazando sucesivamente Razonamiento Matemático


cantidad de vino ueda en el tonel despu/s de la tercera operación, pta.

con agua (en cada caso). +Nu/ cantidad de vino y agua en el tonel despu/s de la tercera operación,

cantidad de vino ueda en el tonel despu/s de la cuarta operación, pta.

pta. 12. %n tonel tiene 66 litros de vino. 8e saca F@ y se reemplaza por agua3 luego se saca F@ de la mezcla y se reemplaza por agua! y eso por tres veces. +Nu/ cantidad de vino &ay en el tonel despu/s de la >ra operación,

pta. 1%. 8i de un depósito ue está lleno F5 de lo ue no está lleno! se vac"a una cantidad igual a F> de lo ue no se vac"a +Nu/ parte del volumen del depósito uedará con l"uido,

pta.

1$. De un depósito ue contiene aceite! se sacan las 5F> partes e su contenido menos @6 litros! en una segunda operación se sacan los 5F9 del resto y por ltimo se sacan los =@ litros restantes. Determinar la capacidad del depósito

pta. 1'. %n tonel tiene C6 litros de vino. 8e saca F> y 75 se reemplaza por agua! luego se saca F> de la mezcla y se reemplaza por agua! y eso por tres veces más +Nu/ cantidad de vino &ay en el tonel despu/s de la > ra operación,


1(. %n tonel contiene =6 litros de vino! se e4traen sucesivamente 9 litros3 6 litros3 9 litros y 56 litros3

pta.

PUEDES RESOLVERLO 'ay cinco copas de vino sobre la mesa! ordenadas en fila e intercaladas entre una vac"a y otra llena. +uántas copas son suficiente mover para alterar el orden! de tal manera ue ueden! tres vac"as a un lado y dos llenas del otro,

PROBLEMAS PARA LA CASA 11. 76

De un depósito lleno de agua se e4trae la se4ta parte. +Nu/ fracción del resto se debe volver a sacar para ue uede sólo los >F9 de su capacidad inicial, 6+ >F59 8+ 9F59

pta. 1&. De un tonel ue contiene 66 litros de vino se sacan @6 litros ue se reemplazan por agua. 8e &ace lo mismo con la mezcla 5da! >ra y @ta vez. +Nu/

reemplazando sucesivamente con agua (en cada caso). +Nu/ volumen de vino y agua ueda al final de la ltima operación,

12.

G+ F59 e+ F59

+ CF59

De un total de @66

l

de

14.

%n depósito tiene >6 litros de vino. 8e e4trae F9 de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se e4trae F@ de la mezcla y se reemplaza con agua.* en seguida se e4trae F> de la nueva mezcla y se reemplaza con agua. +uántos litros de vino uedaron, 1) 6

G) 

) 5



vino! se e4traen F@ de lo ue no se e4trae! luego F@ de lo ue ya se &ab"a e4tra"do. +uánto se e4trae en total,

D) > 1$.

A)

B)

C)

66l

>96l

@66l

D)

E)

966l

96l

13.

8e retira de un tanue 5F> de su contenido menos @6 l ! en una segunda operación se saca los 5F9 del resto y por ltimo los =@ l restantes. 'allar el contenido total

A)

B)

C)

66 l

566 l

>66 l

D)

E)

@66 l

966 l

1&.

%n depósito contiene 76 litros de vino y 56 litros de agua. 8acamos 56 litros de esta mezcla y se reemplaza por agua. Luego se saca >5 litros de mezcla y se reemplaza por


1) 5 D) >

G) 7 -) 9

) =

1'.

G) FC -) CF

) =F>

G) 59 -) 57

) 5@

8e mezclan >7 litros de agua con 5 litros de pisco! si se e4traen = litros de mezcla +cuántos litros de pisco &ay en ella, 1) > D) @

1l mezclarse 5 cuc&aradas de pisco con = de miel. +u/ parte de la mezcla es pisco, 1) F9 D) @FC

1(.

agua. +uántos litros de vino ueda en el depósito,

8e mezclan @= litros de vino con 5 litros de agua. -n 56 litros de mezcla. +cuántos litros de vino se tienen, 1) 9 D) @

1%.

-) @

G) 5 -) 

) =

e4trae F> de la nueva mezcla y se reemplaza con agua +cuántos litros de vino uedaron, 1) 5 D) > 2).

G) 5@ -) >=

) >7

%n depósito tiene @6 litros de lec&e mezclados con 6 litros de agua! +uántos litros son de lec&e, 1) 7 D) 6

G) = -) C

) 9

PON A PRUEBA TU IN/ENIO +uántas monedas como m"nimo se deben mover para ue la figura ;1< se transforme en la figura ;G<, pta. 9 AVERI/UA COMO

%n depósito tiene C6 litros de vino! se e4trae F9 77 de su contenido y se reemplaza con agua! luego se e4trae F@ de la mezcla y se reemplaza con agua! luego se 78


Planteo de Ecuaciones

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