PLANTEO DE ECUACIONES Para resolver resolver un problema problema relativo a números o cantidades desconocidas se debe expresar una información escrita en idioma normal, normal, en el simplificado simplificado idioma de las proposiciones matemáticas, matemáticas, las cuales cuales nos permiten operar operar con más comodidad comodidad y rapidez rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una especie de traducción de situ situac acio ione nes s de la vida vida real real,, al simbol simbolism ismo o matemá matemátic tico, o, tarea tarea que constituye constituye el argumento argumento más útil en todo el proceso de solución. A continuación presentamos un listado de frases tpicas que suelen suelen aparecer aparecer en los problem problemas, as, y a un costado costado su respectiva traducción matemática! El resultado de sumar un número a "
"#$
%a suma de algún número y &' &' El resultado de restar a &( algún número +os veces la suma de un número y /
#
&( ) *
- ∆ #
0ótese que cada vez que nos 1emos referido a un número o algún número, en la traducció traducción n matemática, matemática, 2sta se 1a representado por una letra $,3,*/ $,3,*/ o un smbolo! □ 4 ∆ A1ora, cuando tengas que traducir una frase a una ecuación, debes determinar el significado de cada parte y asimismo tendrás que reconocer qu2 es lo que vas a reemplazar por una variable. E5emplos! 6n número, aumentado aumentado en da como suma -'
n
#
7
-'
89.: menos que el costo costo de un sombrero es 89. 89. &"
): ⇒
x
x
) :
7
&"
Procedimiento para resolver problemas %a experienci experiencia a nos permite permite proponer proponer que que lo esen esenci cial al para para reso resolv lver er un prob proble lema ma plan plante tean ando do ecua ecuaci cion ones es,, consis consiste te en la 1abili 1abilidad dad para para seguir seguir cada uno de los siguientes pasos! &/ ;epr ;epres esen enta taci ción ón de las las cant cantid idad ades es desc descon onoc ocida idas s o incó incógn gnit itas as por por variables x, y, z, ... etc./. -/ Plan Plantte o de lla as s e cua cuaci cio one s que que relacionan a las incógnitas con los datos del problema. '/ 8olución de las ecuaciones planteadas4 esto es, determinar los valores de las variables.
0o está demás afirmar que las etapas de representación y planteo, requieren la mayor concentración posible, pues al realizarla realizarlas s correctame correctamente nte se asegura asegura una solución del problema. Es por eso que a estas etapas les daremos mayor 2nfasis en los e5emplos que presentaremos a continuación.
EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 1 El cuadrado de un número, disminuido en = equivale a ( veces el exceso del número sobre -. Resolución! Resolución! 8ea >0? el núm er ero buscado e interpretando la información, tenemos! 0@ ) = 7 ( 0)-/ 0@ ) = 7 (0 &: 0@ ) (0 # " 7 B 0)"/ 0)&/ 7 B 0)" 7 B ó 0&7B 07" 07& Ejemplo 2 El exceso de ( veces un número sobre :B equivale al exceso de :B sobre " veces el número. Callar el número. Resolución 8ea >0? el número. +el primer párrafo obtenemos! (0 ) :B +el segundo párrafo obtenemos! :B "0 %as cuales son equivalentes
∴
(0 :B 7 :B "0 &0 7 &-B N=8 Ejemplo 3 Dompr Dompr2 2 el cuádru cuádruple ple del númer número o de caba caball llo os que que vacas, cas, si 1ubi 1ubie e rra a compra comprado do caball caballos os más y vacas vacas más, más, el número número de caball caballos os sera sera veces mayor que el número de vacas. Duántos caballos compr2F Resolución +el primer párrafo encontramos! Daballos!
%unes ! x Iartes!x # : Ii2rcoles! x # &Jueves! x # &( Además lo del 5ueves es el cuádruple del lunes4 Es decir! x # &( 7
x#< x#( A-7x#< /x#(/ +el dato tenemos que! A- 7 -A&
⇒ x
#
Resolución 8ea 0 el número de alumnos en el aula y >x? el número de bancas. Al agruparlos de : en : tenemos! 0 7 :x Al agruparlos de < en < tenemos! 0 7 <x#'/ Domo son iguales entonces :x 7
'x &K
-K
'K
8umando todos los ladrillos debemos tener =B.
N 2
=
N 3
=
5
3 4
N 1
⇒
N 2
⇒
N 2
4 =
N 1
N 3 N 2
5
3 =
4
+e esta proporcionalidad obtenemos que! 0- 7
0' 7 'O El producto es '(
'BBB
P& 7 P- 7 P' 7 P< 7
< #
⇒ <#
que queda se extrae tanto como no se extrae. Duánto queda en el tonelF
a/ El triple, de un número aumentando en ( b/ El triple de un número, aumentado en ( c/ %o que gana Ana es dos más de lo que gana Setty d/ Ana gana dos veces lo que gana Setty e/ Ana gana dos veces más lo que gana Setty f / 6n número es dos veces menos que otro número g/ %a edad de Iara excede a la de +iana en &= 1/ %o que tie ne A e xcede a S, tanto como &BB excede al doble de S i/ %a suma de cuatr o impare s consecutivos equivale al doble del mayor, mas :. 5/ El doble, del cuadrado de un núme ro disminuido e n : equivale al exceso de &B sobre el máximo número de dos cifras. / El cuadrado, del doble de un número disminuido en '
Resolución Qraficando un tonel e interpretando la primera condición, tenemos!
x &
quedado -( litros Qraficando en un tonel lo que a quedado e interpretando la segunda condición, tenemos!
Y
y # y 7 -( ⇒ y 7 &<
y ∴ Rueda
en el tonel 14 li,)os! -.
7 'BBB &( 7 -"BB 7 &B ∴ %a segunda persona recibió! <&B/ 7 S! $00
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejemplo 11 +e un tonel de &
&. Mraducir a su respectiva expresión matemática.
Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado un estudiante comete un error en el t2rmino independiente de la ecuación y obtiene como races ( y -. Ttro estudiante comete un error en el coeficiente del t2rmino de primer grado y obtiene como races = y &. %a ecuación correcta es!
;pta!........................ '.
8e tienen <( palitos de fósforo, divididos en ' grupos, del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como 1ay en este4 luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como este tiene, y lo mismo se 1izo del tercero al primero, quedando los tres grupos con la misma cantidad de palitos. Duántos palitos tena el primer grupo al inicioF ;pta!........................
<. Encontrar un número impar, tal que al agregarle sus cuatro impares consecutivos nos d2 un total de . ;pta!........................ .
6n ilo de manzanas cuestan ' soles más medio ilo de manzanas. Duánto cuesta el ilo y medioF ;pta!........................
:.
El producto de tres números enteros consecutivos es -< veces el número central. Dalcular su suma. ;pta!........................
".
En un corral 1ay gallinas y cone5os, y el número de patas es &< más -
veces el número de Duántos cone5os 1ayF
cabezas.
;pta!........................ (.
En una fiesta 1aban :( personas4 6n primer caballero bailó con " damas4 el segundo con =, el tercero con && y as sucesivamente 1asta que el último bailó con todas. Duántas damas 1abanF ;pta!........................
=.
6n comerciante tena determinada suma de dinero. El primer aUo se gastó &BB libras y aumentó el resto con un tercio de este. El aUo siguiente volvió a gastar &BB lbs y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer aUo gastó de nuevo &BB lbs y despu2s de que 1ubo agregado su tercera parte, el capital llegó al doble del inicial. Callar el capital inicial.
;pta!........................ &B. 6n grupo de abe5as igual a la raz cuadrada de la mitad de todo el en5ambre se posó sobre cierta flor, de5ando atrás a (9= de todo el en5ambre y sólo una revoloteaba en torno a una flor atrada por el zumbido de una de sus amigas. Duántas abe5as forman el en5ambreF ;pta!........................
&&. Entre < 1er manos tiene n 'B manzanas. 8i e l núme ro de manzanas del primero se incrementa en &, el del segundo se reduce en <, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos tendrán la misma cantidad. El primero y el tercero tenan 5untos. ;pta!........................ &-. Al dividir un número de ' cifras, entre otro de - cifras, se obtiene && de cociente y - de residuo. 8e les toma el complemento aritm2tico y se les vuelve a dividir, esta vez se obtiene " de cociente y &= de residuo. Callar la suma de las cifras del dividendo. ;pta!........................ &'. 6na persona fabrica un número determinado de sillas. 8i duplica su producción y vende :B, le quedan más de -< sillas4 luego fabrica &B más y vende -(, quedándole entonces menos de &B sillas. 8eUale cuántas sillas se fabricaron. ;pta!........................ &<. 6n número entero consta de ' dgitos. El dgito de las centenas es la suma de los otros dos, y el quntuplo de las unidades es igual a la suma de las decenas y de las centenas. Cállese este número sabiendo que si se invierten los dgitos resulta disminuido en =<.
;pta!........................ &. 6na persona se pone a 5ugar con cierta suma de dinero en la pri mera vuelta duplica su dinero y gasta luego 89. &BB. En la segunda vuelta gana el doble de lo que tiene y gasta luego 89.
&". En una playa de estacionamiento 1ay -B ve1culos entre autos y motos. 8i cada auto lleva una llanta de repuesto, y en total se cuentan "' neumáticos . Duántos autos 1ayF ;pta!........................ &(. Al vender una articulo pens2 ganar la mitad de los me costó, pero al momento de vender tuve que reba5ar la mitad de lo que pens2 ganar, por lo que gan2 89. :BB menos de lo que me costó. Duánto me costoF ;pta!........................ &=. El número de alumnos de un salón puede ubicarse en filas de =. Pero si se ponen dos alumnos menos en cada fila 1ay que poner dos filas más. Duántos alumnos 1ayF ;pta!........................ -B.
+os cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro 1oras y el segundo en tres 1oras. 8i cada cirio se quemó en forma constante , cuántas 1oras despu2s de 1aber encendido los ciros, la altura del primero es el doble de del segundoF.
;pta!........................ -&. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas. 8i luego de retirarse ( pare5as el número de caballeros que aún quedan es igual a veces el número de
damas, cuántos 1aban inicialmenteF.
caballeros
adquiere entradas de soles le sobrara & soles Duantos 1i5os tiene el matrimonioF.
relación de - a '. En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dic1a relación sea de ' a .
;pta!........................
;pta!........................
;pta!........................ --. 6n matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus 1i5os. 8i compra entradas de ( soles le faltara &- soles y si
-'. %o que cobra y lo que gasta un profesor suman :BB. %o que gasta y lo que cobra esta en la
