MASALAH EIGEN Luthfatul Amaliana, M.Si
Materi : •
•
•
•
Nilai Eigen & Vektor Eigen Diagonalisasi Ortogonal & Ortonormal Diagonalisasi Ortogonal
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan : A adalah adalah suatu matriks , adalah suatu vektor , 1 O Pandang = suatu transformasi linier O
ℝ → ℝ O
Ingin dicari suatu skalar ∋ ∃ vektor tak nol dengan : =
yaitu transformasi transformasi linier = , yang memetakan ke .
Nilai Eigen dan Vektor Eigen = dapat ditulis sebagai : = = atau = O
SPL homogen = memiliki solusi nontrivial ↔ matriks singular yaitu : det =
disebut persamaan karakteristik dari
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi (Nilai Eigen) Jika adalah matriks real berukuran , maka nilai eigen , , ..., adalah akarakar real/kompleks dari persamaan karakteristik: det = .
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi (Vektor Eigen) Jika λ adalah adalah nilai eigen dari dan vektor tak nol memenuhi persamaan: =
maka disebut vektor eigen dari bersesuaian dengan nilai eigen .
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Contoh 1 Carilah Carilah nilai nilai eigen dan vektor vektor eigen eigen dari matriks berikut.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian O Persamaan karakteristik dari A yaitu:
O
O
diperoleh nilai eigen : =1 dan = 0 Jika dituliskan dalam SPL Homogen: Homogen:
(*)
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian O Jika = 0, SPL Homogen (*) menjadi :
O
Diperoleh solusi solusi : 0 0 = 0 = 0 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian O Jika = 1, SPL Homogen (*) menjadi :
O
Diperoleh solusi solusi : 1 0 = = 0 + 1 0 0 0
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Contoh 2 Carilah Carilah nilai nilai eigen dan vektor vektor eigen eigen dari SPL berikut. + 3 = 4 + 2 =
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian O Dalam bentuk matriks
3 = 2 1 3 sehingga = dan = 4 2 1 4
O
Bentuk = dituliskan sebagai : 1 0
0 1 1 4
0 3 = 2 0
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian 1 4
0 3 = 0 2
1 = 4 O
3 2
Persamaan karakteristiknya yaitu : 1 3 det = =0 4 2 atau 3 10 = 0
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian difaktorisasi menjadi +2 5 =0
diperoleh nilai-nilai eigen = 2 dan = 5. O
1. 2.
Jika = 2 dan = 5 , = : 3 3 = 0 4 4 4 3 =0 4 3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Penyelesaian solusi dan untuk (1) dan (2), diperoleh : O
1 = = 1
O
=
=
1
Jadi, vektor-vek vektor-vektor tor eigen untuk SPL tersebut
1 adalah = dan = yang bersesuaian 1 1 dengan nilai eigen = 2 dan = 5.
Latihan Carilah Carilah nilai nilai eigen dan vektor vektor eigen eigen dari : 10 = 0 2 0 = 0 4 1/2 = 1 5
0 10 4
2 4 2
1 0 17
0 1 8
0 2/ 2/3 8
0 0 1/4
Penyelesaian No.1 Nilai eigen : = 0 , = 10 , dan = 12
Vektor V ektor eigen eigen : 1 1 = 2 , = 2 , 5 1 1 2 = 1 atau = 0 0
Diagonalisasi Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga − adalah suatu matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi mendiagonalisasi A .
Diagonalisasi Langkah-langkah : 1. Tentukan n vektor vektor eigen dari A yang bebas linier/linearly independent 2. Bentuk matriks P yang kolom-kolom nya merupakan n vektor eigen dari A 3. Bentuk matriks − 4. Bentuk matriks − yang merupakan matriks diagonal dengan diagonal utamanya nilai-nilai eigen yang yang bersesuaian dengan vektor-vekt vektor-vektor or eigen dari A .
Diagonalisasi Contoh Carilah matriks P yang dapat dapat mendiagonalisasi mendiagonalisasi : 1 = 1 3
0 2 5
0 0 2
Diagonalisasi Penyelesaian O Persamaan karakteristik dari A yaitu yaitu 1 2 O
=0
Vektor-v V ektor-vektor ektor eigen eigen dari A , diperoleh : 1 0 2 = 0 , = 1 , = 1 0 1 1
O
Matriks P yang terbentuk terbentuk yaitu: 1 = 0 1
0 1 0
2 1 1
Diagonalisasi Penyelesaian O
O
Invers dari matriks P : − − 1 0 2 = 1 1 1 1 0 1 2 0 0 = 0 2 0 0 0 1
1 1 3
0 2 5
1 = 1 1
0 0 2
1 0 1
0 1 0 0 1 0
2 1 1 2 1 1
Diagonalisasi Latihan Carilah matriks P yang dapat dapat mendiagonalisasi mendiagonalisasi matriks : 0 = 0 4 1 0 = 0 0
1 0 17 2 3 0 0
0 1 8 4 1 5 0
0 7 8 2 2
Diagonalisasi Pangkat Suatu Matriks Jika − = , maka : − = = − = − = −
Sehingga : = − − = − − = −
Diagonalisasi Pangkat Suatu Matriks Secara umum : = − = −
atau =
…
…
0
….
…
0 0
−
Diagonalisasi : O
Suatu matriks “ ” atau “ ” ditentukan oleh dimensi ruang eigen dari matriks tersebut.
O
yaitu jumlah dari banyaknya kemunculan nilai eigen.
O
Suatu matriks dapat di diagonalisasi jika dan hanya hanya jjika ika setiap nilai eigen nya.
Diagonalisasi : O
Dimensi ruang eigen dari suatu nilai eigen ( = ) disebut
O
Jumlah kemunculan sebagai suatu faktor dalam persamaan karakteristik disebut
Diagonalisasi Berdasarkan contoh sebelumnya : 1 0 0 = 1 2 0 3 5 2 Matriks Memiliki nilai-nilai eigen : 1 2
O
Untuk = 1, dimensi ruang eigen = 1
O
Untuk = 2, dimensi ruang eigen = 2
O
Total
Ortogonal & Ortonormal Vektor u dan v dikatakan Vektor dikatakan ortogonal jika hasil dot product) nya sama dengan nol kali dalam (dot product atau . = atau , = 0. Vektor u dikatakan ortonormal jika u Vektor memiliki norma sama dengan 1.
Ortogonal & Ortonormal Contoh 0 1 1 = 1 , = 0 , = 0 0 1 1
Periksalah apakah apakah ketiga vektor tersebut saling ortogonal. , = 0 , = 0 , = 0
Ortogonal & Ortonormal Contoh = 1, =
2, =
2
normalisasi ketiga vektor tersebut, menjadi : =
=
=
=
=
= 0,1,0
1 2 1 2
, 0,
,0,
1 2 1 2
Diagonalisasi Ortogonal Matriks A dikatakan dapat di diagonalisasi ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sedemikian sehingga − = , adalah matriks diagonal, A adalah matriks simetris. Catatan : O Matriks A dikatakan simetris jika = . O Matriks A dikatakan ortogonal jika − = . O Suatu vektor eigen dikatakan basis ba sis untuk ruang eigen jika merentang meren tang dan bebas beba s linier. linier.
Diagonalisasi Ortogonal Langkah-langkah : 1. Tentukan n vektor vektor eigen dari A yang membentuk basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen A 2. Bentuk vektor-vektor eigen eigen ortonormal melalui “proses Gram-Schmidt” 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolom nya merupakan merupakan vektor-vektor eigen ortonormal dari A
Diagonalisasi Ortogonal Proses Gram-Schmidt : O Misalkan = O
O
O
= = =
,
,
, =
,
... dst
, =
, ... dst
Diagonalisasi Ortogonal Contoh : Tentukan matriks ortogonal or togonal P yang mendiagonalisasi 4 = 2 2
2 4 2
2 2 4
Diagonalisasi Ortogonal Penyelesaian : O Persamaan karakteristik dari A 8 2 O
O
1 = 1 , = 0 ruang eigen dari
=0
1 0 merupakan basis 1 =2
1 = 1 merupakan basis ruang eigen dari 1 =8
Diagonalisasi Ortogonal Penyelesaian O Melalui proses Gram-Schmidt, diperoleh : 1/ 6
1/ 2 = O
1/ 3
1/ 2 , = 1/ 6 , = 1/ 3 0 2/ 6 1/ 3
Matriks P yang terbentuk terbentuk yaitu: =
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1/ 2
1/ 6
1/ 3
0
2/ 6
1/ 3
Diagonalisasi Ortogonal Latihan Tentukan matriks ortogonal yang mendiagonalisasi dan tentukan − 2 = 1 1 1 = 1 0
1 2 1 1 1 0
0 0 0
1 1 2
.
