NILAI EIGEN
Nama kelompok : Tina Imaniar [ 103214013 ] Arista Laili [ 103214036 ] Ulil Iffah [103214034 ]
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2012
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................. .............................................. ......................... .. i KATA PENGANTAR ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ................................ ..........ii BAB I PENDAHULUAN ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ............................ ..... 1 1.1
Latar Belakang......................................................... ................................................................................ .............................................. ................................... ............1
1.2
Rumusan Masalah........................................................ .............................................................................. ............................................. ................................ .........2
1.3
Batasan Masalah ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................. ......................... 2
1.4
Tujuan Penulisan .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ......................... 2
BAB II LANDASAN TEORI ............................................. ................................................................... ............................................ ........................................... ..................... 4 2.1
................................................................... ............................................ ............................................ ....................................... ................. 4 Matriks ............................................. A. Definisi Matriks ......................................... ............................................................... ............................................. .............................................. ......................... 4 B. Bentuk Matriks ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................. ......................... 4 C. Operasi Matriks .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ......................... 5 D. Invers Matriks ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. ......................... 6 F. Vektor ............................................ .................................................................. ................................. ........... Error! Bookmark not defined. G. Diagonalisasi ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ............................ ..... 7 H. Determinan............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ................................ ......... 7
2.2
Nilai dan Vektor Eigen ............................................ ................................................................... ............................................. ................................... ............. 7
2.3
Dekomposisi LU.............................................................. .................................................................................... ............................................. ............................ .....8
BAB III PEMBAHASAN ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ............................ ..... 9 3.1
Nilai Karakteristik ............................................ .................................................................. ............................................ ........................................... ..................... 9
3.2
Metode Pangkat ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ...................... 10
3.3
Metode Pangkat Invers ............................................ ................................................................... ............................................. ................................. ........... 14
3.4
Metode QR................................................. ....................................................................... ............................................ ............................................ .......................... .... 20
BAB IV PENUTUP ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................ ................................. ........... 24 4.1
Kesimpulan ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 24
DAFTAR PUSTAKA .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ................................. ...........25
i
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan dan memberikan petunjuk sehingga penyusun dapat menyelesaikan tugas untuk membuat makalah ini. Penyusun membuat makalah ini sebagai tugas yang diberikan oleh dosen kami untuk melatih kami dan untuk menambah pengetahuan kami dalam memahami suatu materi. Secara umum makalah ini menjelaskan tentang berbagai metode untuk mencari nilai eigen beserta contoh dan pembahasan. Kami berharap dengan terselesaikannya makalah ini, pembaca dapat mengetahui metode- metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai eigen dan contoh soal beserta pembahasannya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak. Saran dan kritik selalu kami tunggu dalam kesempurnaan makalah ini. Akhirnya kami ucapkan terima kasih kepada dosen dan semua pihak yang terlibat dalam pembuatan makalah ini.
Surabaya, 21 November 2012
Penyusun
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan analisis numerik untuk mencari penyelesaiannya. Analisis numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Munir, 2003: 5). Pada umumnya analisis numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan dengan analisis numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi. Salah satu penerapan dari analisis numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Analisis numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam analisis numerik ini termasuk unik karena dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang -ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya. Salah satu metode dalam analisis numerik yang bisa digunakan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen yaitu metode pangkat. Dengan metode pangkat ini, nilai eigen yang berupa bilangan real dan vektor eigennya dapat ditemukan secara bersamaan menggunakan proses yang sama pula sehingga jika nilai eigen dari suatu matriks ditemukan, maka secara otomatis vektor eigen dari matriks yang bersangkutan akan diperoleh. Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh. Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Oleh sebab it u, diperlukan metode QR berturut-turut untuk menemukannya. Dalam makalah ini, jika metode determinan sangat sulit digunakan untuk matriks berordo di atas 3 × 3, maka metode QR dapat digunakan dengan mudah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen pada
matriks berordo di atas 3 × 3. Dengan demikian, metode pangkat dan metode QR merupakan salah satu metode yang dapat mempermudah dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks. Aplikasi nilai eigen mencakup berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya dalam hal struktur melengkungnya batang, campuran, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, dan lain sebagainya. Sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan manusia sehari-hari. Berdasarkan latar belakang di atas, penulis mengangkat permasalahan tentang “Macam – macam metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai eigen”.
1.2 Rumusan Masalah Dari latar belakang permasalahan di atas, dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana mencari nilai eigen apabila diketahui dalam persamaan differensial? 2. Bagaimana aplikasi metode pangkat dalam mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks ? 3. Bagaimana aplikasi metode QR dalam mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks ?
1.3 Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dibatasi pada : 1. Metode digunakan hanya pada matriks yang semua nilai eigennya adalah bilangan real. Matriks yang sesuai dalam hal ini yaitu matriks simetri yang elemennya tidak ada yang memuat bilangan kompleks 2. Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen, digunakan bantuan program Matlab karena proses penghitungan secara manual terlalu panjang 3. Metode pangkat dalam makalah ini meliputi metode pangkat langsung dan metode pangkat invers.
1.4 Tujuan Penulisan Adapun penulisan makalah ini bertujuan untuk : 1. Menjelaskan langkah-langkah mencari nilai eigen dari persamaan differensial. 2. Menjelaskan langkah – langkah mengaproksimasi nilai eigen pada matriks dengan menggunakan metode pangkat.
2
3. Menjelaskan langkah – langkah mengaproksimasi nilai eigen pada matriks dengan menggunakan metode QR
3
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks A. Definisi Matriks
Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam matriks.
Matriks ditulis sebagai berikut : A=
Susunan di atas disebut sebuah matriks m kali n (ditulis m × n) karena memiliki m baris dan n kolom. Sebagai aturan, kurung siku [ ], kurung biasa ( ) atau bentuk || || digunakan untuk menuliskan matriks beserta elemen-elemennya. Dalam makalah ini, penulis menggunakan kurung siku [ ] untuk menuliskan matriks beserta elemen-elemennya. Matriks dinotasikan dengan huruf-huruf besar. Sedangkan elemen-elemen dalam matriks dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak miring. Jika A adalah sebuah matriks , maka a menyatakan elemen ij
yang terdapat dalam baris i dan kolom j dari A. Sehingga A = [a ]. ij
Contoh: Berikut ini adalah matriks
B. Bentuk Matriks
a. Matriks Bujur Sangkar Definisi 2.2. Matriks m × n dengan m = n disebut matriks bujur sangkar berordo n atau
sebuah matriks bujur sangkar n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a , a , . . . , a disebut elemen diagonal karena 11
22
nn
berada pada diagonal utama matriks.
Contoh : A =
4
b. Matriks Segitiga Atas Definisi 2.3. Matriks segitiga atas adalah suatu matriks bujur sangkar A yang elemen-elemen
a = 0 untuk j > k , yaitu berbentuk
jk
c. Matriks Segitiga Bawah Definisi 2.4. Matriks segitiga bawah adalah suatu matriks bujur sangkar A yang elemen-
elemen a = 0 untuk j < k , yaitu berbentuk:
[ ] jk
d. Matriks Transpos t
Definisi 2.5. Jika A adalah sebarang matriks m × n, maka transpos A dinyatakan oleh A dan
didefinisikan dengan matriks n × m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.
Contoh:
C. Operasi Matriks Definisi 2.12 . Jika A = [a ] adalah matriks m × p dan B = [b ] adalah matriks p× n, maka hasil ij
ik
kali A dengan B yang ditulis AB didefinisikan sebagai matriks C = [c ] yang berordo m × n dengan jk
elemen pada baris ke- j dari A dan dan kolom ke-k dari B. Misalkan matriks baris ke- j dari matriks A
adalah
dari matriks AB = C adalah:
dan matriks B adalah
, maka elemen baris ke- j dan kolom ke-k
5
∑ dimana, j = 1, 2, . . . , m k = 1, 2, . . . , n
D. Invers Matriks Definisi 2.13 Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga -1
AB = BA = I , maka B disebut invers dari A dan ditulis B = A . Matriks B juga mempunyai invers -1
yaitu ditulis A = B
E. Vektor
Suatu matriks yang mempunyai baris atau kolom tunggal adalah sama dengan vektor, dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak tebal.
Definisi 2.14. Matriks yang terdiri dari satu kolom adalah matriks m × l , disebut sebuah vektor
kolom dan ditulis :
Notasi u berupa bilangan nyata, merupakan komponen vektor. u adalah komponen ke- j dari vektor u. j
j
Vektor kolom A yang mempunyai m baris dikatakan sebuah vektor berkomponen m atau vektor berdimensi m. Definisi 2.15. Sebuah matriks yang berisi satu baris adalah suatu matriks 1 × n, disebut sebuah
vektor baris dan ditulis: v = [v , v , . . . , v ] 1
2
n
Notasi v berupa bilangan nyata, merupakan komponen vektor. v adalah komponen ke-k dari k
k
vektor v. Vektor baris A yang mempunyai n kolom dikatakan sebuah vektor berkomponen n atau vektor berdimensi n. Contoh: v = [-2, 3, -1] adalah vektor berdimensi 3. n
Definisi 2.16. Jika u = [u , u , . . . , u ], dan v = [v , v , . . . , v ] adalah sebarang vektor pada R , 1
2
n
1
2
n
maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u . v didefinisikan dengan
6
u.v=u v +u v +...+u v 1 1
2 2
n n n
norma Euclidis ( atau panjang Euclidis) vektor u = [u , u , . . . , u ] pada R didefinisikan menurut : 1
|| √
2
n
F. Diagonalisasi Definisi 2.17. Matriks bujur sangkar A dinamakan dapat didiagonalisasi (diagonalizeable) jika -1
terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P AP diagonal . Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.
G. Determinan Definisi 2.18. Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, . . . , n } adalah susunan
bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan bilangan tersebut.
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen n
Definisi 2.21. Jika A adalah matriks n × n, maka vektor taknol x di dalam R dinamakan vektor eigen (eigen vector ) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,
Ax = λ x
(2.2)
Untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan ni lai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuai an dengan λ.
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n × n maka Ax = λ x dituliskan kembali sebagai Ax = λ I x atau secara ekivalen (λ I-A)x = 0
(2.3)
supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. Persamaan (2.2) akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika det(λ I-A) = 0 det(λ I-A) = 0 dinamakan per samaan kar akteri sti k A. Skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det(λ I-A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A.
Ini dapat ditunjukkan bahwa jika A adalah matriks n × n, maka polinom karakteristik A harus berderajad
n dan koefisien adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n × n mempunyai bentuk det(
7
2.3 Dekomposisi LU
Matriks dinyatakan dalam bentu k eselon bari s tereduk si (r educed row-echelon form) jika matriks tersebut mempunyai sifat-sifat berikut 1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (dinamakan 1 utama) 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks 3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi 4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.
Sebuah matriks yang mempunyai sifat-sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada dalam bentu k esel on bari s . (r ow-echelon f orm) Definisi 2.22. Sebuah faktorisasi matriks A bujur sangkar seperti A = LU , dimana L adalah segitiga
bawah dan U adalah segitiga atas dikatakan sebuah dekomposisi LU atau dekomposisi segitiga A. Prosedur untuk membentuk dekomposisi LU dari matriks bujur sangkar A yang dapat direduksi terhadap bentuk eselon baris tanpa mempertukarkan baris-baris tersebut yaitu: Langkah 1.Reduksi A terhadap bentuk eselon baris U tanpa menggunakan pertukaran baris, dengan mencari jejak pengali-pengali yang digunakan untuk memperkenalkan 1 utama dan pengali pengali yang digunakan untuk memperkenalkan nol di bawah 1 utama. Langkah 2.Pada masing-masing kedudukan sepanjang diagonal utama L, tempatkanlah pengali yang saling bertukar yang memperkenalkan 1 utama dalam kedudukan U . Langkah 3.Pada masing-masing kedudukan di bawah diagonal utama L, tempatkanlah bilangan negatif pengali yang digunakan untuk memperkenalkan nol dalam kedudukan U . Langkah 4.Bentuklah dekonposisi A = LU .
8
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Nilai Karakteristik Nilai Karakteristik disebut juga nilai eigen. Nilai Karakteristik dijelaskan atau diformulasikan dalam bentuk persamaan differensial orde dua.
Diberikan persamaan differensial homogen orde dua:
Dimana
adalah parameter.
Selanjutnya persamaan differensial orde dua diatas diubah dan disajikan dalam bentuk matriks.
Contoh:
(1.1)
Solusi khususnya adalah :
Dengan menggunakan 5 subinterval, h=0,2 dan berikut adalah empat persamaan dengan empat titik.
Disajikan dalam matriks.
Persamaan matriks
(1.2)
, dimana I adalah matriks identitas dan A adalah matriks :
Dan
Solusi aproksimasi untuk permasalahan nilai karakteristik pada (1.1) dapat diselesaikan
menggunakan matriks dari (1.2). Tetapi, pada contoh adalah system persamaan homogen (ruas kanan sama dengan 0), dan mempunyai solusi nontrivial jika
Pada umumnya kita menghitung nilai eigen untuk masalah nilai karakteristik dari
9
3.2 Metode Pangkat A. Pengertian
Metode Pangkat ( The Power Method ) adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan nilai
|||| || || ||
eigen dominan dari suatu matriks dan vektor eigennya. Kami mengartikan nilai eigen dominan sebagai nilai eigen memenuhi :
yang memenuhi
untuk i= 2,....,n. Jika nilai-nilai eigen dari A
maka metode pangkat dapat digunakan untuk menghitung nilai-nilai eigen satu per satu. Misalkan diketahui vektor A berukuran n × n dan dapat didiagonalkan. Misalkan pula λ , λ , 1
2
. . ., λ nilai eigen dari A yang memenuhi hubungan
|| || ||
n
>0
Karena A dapat didiagonalkan, terdapat vektor eigen v , v , . . ., v yang masing-masing 1
2
n
n
berkaitan dengan nilai eigen λ , λ , . . ., λ dan membentuk basis di R , kemudian sebarang vektor 1
2
n
n
x di R dapat dituliskan sebagai 0
x = s v + s v + . . . + s v . 0
1 1
2 2
n n
dengan mengalikan A diperoleh Ax = A ( s v + s v + . . . + s v ) 0
1 1
2 2
n n
= s A v + s A v + . . . + s A v 1
1
2
2
n
n
= s λ v + s λ v + . . . + s λ v 1 1
1
2
2
2
n
n
n
Kemudian hasil terakhir ini dikalikan dengan A, hal ini dilakukan berulang – ulang. Hasil sampai dengan k kali adalah k
A x = 0
=
Jika k makin besar, nilai
(1.1)
akan makin kecil untuk i = 2, . . . , n, karena
karena itu, untuk k yang cukup besar bentuk (1.1) menjadi
| |
< 1 Oleh
10
Dengan demikian telah didapatkan hampiran dari kelipatan vektor eigen
. Vektor
terbesar
tersebut, yaitu vektor
merupakan hampiran vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen
. makin besar nilai k makin baik pula hampiran
dari A.
terhadap sebuah vektor eigen
B. Langkah-Langkah
Jika harga mutlak terbesar dari nilai eigen suatu matriks adalah bilangan real dan memenuhi | λ | > | λ | ≥ . . . | λ | > 0 , maka nilai eigen ini dapat dicari dengan menggunakan teknik iterasi 1
2
n
yang disebut metode pangkat. Rumus umum yang digunakan untuk mencari nilai eigen mutlak terbesar ini yaitu :
Berikut adalah langkah-langkah penggunaan metode pangkat : 1. Jika matriks A berukuran n × n, maka tentukanlah sebuah matriks yang berukuran n × 1 dan bukan matriks nol. 2. Carilah nilai
3. Bagi matriks
yang memenuhi perkalian matriks
dengan elemen dari matriks tersebut yang harga mutlaknya terbesar yaitu
sehingga didapatkan
4. Ulangi langkah 2 dan 3 dengan
dengan k = 0, 1, 2, 3, . . . sampai suatu iterasi yang
menunjukkan bahwa nilai
matriks tersebut, sedangkan
merupakan nilai eigen mutlak terbesar dari
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan
.
C. Contoh
Carilah nilai eigen mutlak terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian dengannya pada matriks berikut:
[
] 11
[] [ ][] [] [] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]
Karena matriks A diatas berukuran 5 × 5, maka matriks A mempunyai 5 nilai eigen. Sehingga
langkah pertama kita tentukan
Langkah berikutnya mencari nilai
elemen vektor
yang memenuhi perkalian matriks
, yaitu :
yang terbesar adalah 8.6 sehingga
12
[ ] [] pada iterasi selanjutnya, dengan menggunakan bantuan program matlab didapatkan hasil dalam tabel berikut ini:
Iterasi (k) 0
1
1
1
1
1
1
8.6
0.5116279070
1.0000000000
-0.4651162791
-0.3255813953
-0.1162790698
2
6.7162790698
1.0000000000
0.6447368421
0.4265927978
0.0027700831
-0.0283933518
3
6.8531855956
1.0000000000
0.9578617623
0.2894098626
-0.5278900566
-0.5142481811
4
10.3306386419
1.0000000000
0.6812250567
0.5548947492
-0.4649033571
-0.4671042335
5
9.0930432741
1.0000000000
0.7312553787
0.5750430293
-0.6141135972
-0.6135811102
6
9.9781669535
1.0000000000
0.6760857181
0.6325833597
-0.6170244329
-0.6171263119
7
9.7960366135
1.0000000000
0.6808908424
0.6444872762
-0.6508192977
-0.6507980024
13
8
9.9750548109
1.0000000000
9
9.9556807176
1.0000000000
10
9.9905387418
34
0.6574570821
-0.6549221761
-0.6549263962
0.6698691353
0.6612768046
-0.6622944297
-0.6622935769
1.0000000000
0.6676591723
0.6642749017
-0.6638676365
-0.6638678067
9.9999999991
1.0000000000
0.6666666667
0.6666666665
-0.6666666665
-0.6666666665
35
9.9999999995
1.0000000000
0.6666666667
0.6666666666
-0.6666666666
-0.6666666666
36
9.9999999998
1.0000000000
0.6666666667
0.6666666666
-0.6666666666
-0.6666666666
37
9.9999999999
1.0000000000
0.6666666667
0.6666666666
-0.6666666666
-0.6666666666
38
9.9999999999
0.6666666667
0.6666666667
-0.6666666667
-0.6666666667
1.0000000000
0.6700103774
Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A pada iterasi ke-38 adalah 9.9999999999 dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
[ ] 14
3.3 Metode Pangkat Invers A. Pengertian
Jika harga mutlak terkecil dari nilai eigen suatu matriks adalah bilangan real dan
|| || ||
memenuhi
maka nilai eigen ini dapat dicari dengan menggunakan variasi dari metode pangkat yang disebut metode pangkat invers. Pada dasarnya, nilai eigen terbesar dari invers matriks
()
adalah merupakan nilai eigen terkecil dari matriks A. Perhatikan kembali persamaan:
dengan mengalikan kedua sisi persamaan tersebut dengan
akan menghasilkan (1.2)
dengan menyusun kembali persamaan (1.2), maka diperoleh pers amaan nilai eigen untuk :
Nilai eigen dari matriks
, yaitu
berbanding terbalik dengan nilai eigen dari
matriks A, sedangkan vektor eigen dari matriks
sebanding dengan vektor eigen dari
matriks A. Metode pangkat dapat digunakan untuk menemukan nilai eigen terbesar (dalam harga mutlak) dari matriks
, yaitu
. Kebalikan dari nilai eigen ini adalah adalah
nilai eigen terkecil (dalam harga mutlak) dari matriks A.
Dalam penggunaannya, metode LU diperlukan untuk mencari nilai eigen mutlak terbesar dari matriks
(matriks invers) yaitu:
. Persamaan metode pangkat yang diterapkan pada matriks
(1.3)
dengan mengalikan persamaan (1.3) dengan A akan menghasilkan
15
jadi,
Persamaan (1.4) adalah bentuk standard Ax = b , dimana Sehingga jika
(k +1)
diketahui, maka y
(1.4)
dan b =
dapat dicari dengan metode LU .
B. Langkah-Langkah
Langkah-langkah yang digunakan pada metode pangkat invers yaitu : 1. Carilah matriks L dan U yang memenuhi persamaan LU = A. (0)
2. Tentukan matriks x
yang bukan matriks nol. (0)
3. Carilah x’ dengan substitusi ke depan pada persamaan Lx’ = x (1)
4. Carilah y’ dengan substitusi ke belakang pada persamaan U y (1)
5. Bagi y
= x’
(1)
dengan elemen y
yang terbesar (dalam harga mutlak) agar diperoleh
.
6. Ulangi langkah 3 sampai 5 dengan
dengan k = 0, 1, 2, 3, . . .
Iterasi dilakukan sampai nilai x konvergen. Pada saat konvergen, λ = 1/ λ
inverse
adalah nilai
(k +1)
eigen yang dicari dan x
adalah vektor eigen yang bersesuaian.
C. Contoh
Carilah nilai eigen mutlak terkecil dan vektor eigen yang bersesuaian dengannya dari matriks berikut:
[
]
Penyelesaian : Karena nilai eigen yang dicari adalah yang terkecil harga mutlaknya, maka digunakan metode pangkat invers. Langkah pertama yaitu mencari matriks L dan U yang memenuhi persamaan LU = A. 16
][ ] [ ] [ ] [ ] [
Dengan metode dekomposisi LU diperoleh
dan
(0)t
Langkah kedua, karena matriks A berukuran 5 × 5, maka x
= [1 1 1 1 1]. Langkah
(0)
ketiga mencari x’ pada persamaan Lx’ = x
] [] [] [] [] ] [] []
[
Dengan metode substitusi biasa diperoleh
(1)
Langkah keempat mencari y’ pada persamaan U y
[
= x’
17
[] [ ] [ ] [ ]
diperoleh
(1)
Langkah kelima membagi y
(1)
dengan elemen y
yang terbesar (dalam harga mutlak) agar
diperoleh
Sehingga,
. Hasil dari iterasi pertama ini digunakan untuk iterasi
kedua yang dimulai pada langkah kedua yaitu mencari x’ pada persamaan (0)
Lx’ = x
(0)
dengan x
(1)
=x
. Iterasi ini dilanjutkan beberapa kali sampai nila i
.
Pada iterasi selanjutnya, dengan menggunakan bantuan program matlab didapatkan hasil dalam tabel berikut ini :
Iterasi (k) 0
1
1
1
1
1
1
-0.472
0.2372881356
-0.9576271186
0.3771186441
1.0000000000
-0.9067796610
2
-0.7521186441
-0.6732394366
0.8478873239
0.9366197183
-0.2676056338
1.0000000000
3
1.0858873239
-0.5549041480
0.5855145399
0.4997146489
-0.7510181846
1.0000000000
4
0.9029015020
-0.7236708092
0.7302788747
0.7395553059
-0.6161029939
1.0000000000
18
5
1.0547907039
-0.6342824683
0.6355190877
0.6305748231
-0.6853706491
1.0000000000
6
0.9708342864
-0.6833945812
0.6836476518
0.6843552306
-0.6570931980
1.0000000000
7
1.0152225191
-0.6581548031
0.6582044924
0.6579188221
-0.6711093046
1.0000000000
8
0.9923296841
-0.6709718341
0.6710313438
-0.6644446170
1.0000000000
9
1.0038834058
-0.6645078896
0.6645098798
0.6644930755
-0.6677588832
1.0000000000
10
0.9980561769
-0.6677497014
0.6677501001
0.6677534127
-0.6661210398
1.0000000000
33
1.0000000002
-0.6666666665
0.6666666665
0.6666666665
-0.6666666667
1.0000000000
34
0.9999999995
-0.6666666667
0.6666666667
0.6666666667
-0.6666666666
1.0000000000
35
1.0000000001
-0.6666666666
0.6666666666
0.6666666666
-0.6666666667
1.0000000000
36
1.0000000000
-0.6666666667
0.6666666667
0.6666666667
-0.6666666667
1.0000000000
0.6709818321
Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui bahwa nilai λ
inverse
dari matriks A pada iterasi ke-36
adalah 1. Jadi, aproksimasi terhadap nilai eigen mutlak terkecil dari matriks A adalah
dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
19
[ ]
.
Kedua
nilai
ini
memiliki
galat
maksimal
3.4 METODE QR
BAGIAN I: Transformasi Kesamaan •
ada transformasi lain yang tidak mengubah nilai eigen yang sering disebut dengan transformasi kesamaan. untuk setiap matriks nonsingular M nonsingular, perkalian M * A * M-1 = B, mengubah A ke B, dan B memiliki nilai eigen sebagai A. Trik untuk menemukan M:
•
Pertama, mengubah salah satu elemen subdiagonal dari A ke nol.
•
Kedua, melakukan ini untuk semua elemen di bawah diagonal sampai A telah menjadi segitiga atas Dalam proses ini lambat, iterasi banyak dibutuhkan, tetapi prosedur bekerja.
Misalkan A adalah matriks 4x4, Berikut ini adalah matriks Q juga 4x 4, yang akan menciptakan nol di posisi a42 Q=
1 0 0 c 0 0 0 s
dimana,
0
0
0 s
1 0 0 c 2
2
d (a22) ( a22) c s
a 22 d a 42 d
20
Contoh Diketahui 6 6 7 8 1 6 1 2 A 1 2 5 2 3 4 3 4 d (6 2 42 ) 7.21110 c s
6 d 4 d
0.83205 0.55470
0 1 0 0.83205 Q 0 0 0 0.5547
0 0.5547 1 0 0 0.83205 0
0
Dimana, Ketika kita mengalikan Q dengan A, kita peroleh: 8 6 6 7 2.49615 7.21110 0.83205 0.5547 Q * A 1 5 2 2 0 3.05085 4.4376 1.94145 Yang mana
0 1 0 0.83205 1 Q 0 0 0 0.55470
0 0.5547 1 0 0 0.83205 0
0
Kita peroleh :
9.98460 6 0.55470 7 2.49615 6.30769 0.83205 3.53846 1 Q * A * Q 1 5 2.77350 0.55470 1.94145 2.46154 3.05085 3.69231
21
Dimana jejaknya adalah sama dengan matriks A asli sehingga nilai eigennya juga sama.
BAGIAN II- Membuat matriks Upper Hassenberg Langkah-langkah yang akan kita gunakan: •
Konversikan ke upper Hessenberg
•
Geser dengan ann kemudian lakukan similarity transforomation untuk semua kolom dari 1 sampai n-1
•
Ulangi langkah 2 hingga semua elemen di sebelah kiri a nn adalah nol. Sebuah nilai eigen akan di dapatkan dari posisi a nn
•
Abaikan baris dan kolom terakhir , dan ulangi langkah 2 dan 3 sampai semua elemen di bawah diagonal dari matriks asli dasarnya nol. nilai-nilai eigen kemudian muncul pada diagonal
Contoh Diketahui
6 6 7 8 1 6 1 2 A 1 2 5 2 3 4 3 4
Kita dapat membuat nol pada kolom pertama dan baris ke-3 dan ke- 4 dengan B * A * B-1, di mana
1 0 0 1 B1 0 b3 0 b4 b3
a31
b4
a41
a21 a21
0
0
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 B1 0 b3 0 b4
0
0
0
0
1 0 0 1
1
3 1
3
Jika kita mengalikan B1*A*B1-1, , kita peroleh: 8 7 32 6 1 1 1 2 0 2 6 0 0 22 6 10
22
Yang mana bernilai nol dibawah subdiagonal dari kolom ke dan mempunyai nilai eigen yang sama dengan matriks A. Kita lanjutkan pada kolom ke-2, dimana sekarang
1 0 B2 0 0 b4
a42
0
0
0
1
0
0
1
0
b4
0 0 1
1 0 1 B2 0 0
0
0
1
0
0
1
0 b4
0
0 1 0
22
11 a32 2 Sekarang premultiplying matriks yang terakhir dengan B 2 and postmultiplying B 2-1 menghasilkan the lower Hassenberg matrix
1
1
B2 B1 AB1 B2
7 1 0 0
32
60
1 2
21
0
38
6
2 0 10 6
Bagian III- Langkah Kombinasi Jika kita (1) mengkonversi matriks A ke Hassenberg atas dan (2) melakukan operasi QR, akhirnya
10 0 0 0
9.8315
4.9054
1
1.8256
0
4
0
0
3.2668 2.7199 1.6958 7
23
BAB IV PENUTUP
4.1Kesimpulan Nilai eigen adalah Untuk mencari nilai eigen dapat menggunakan berbagai macam metode diantaranya adalah : 1. Metode Pangkat ( The Power Method ) adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan
|||| || || ||
nilai eigen dominan dari suatu matriks dan vektor eigennya. Nilai eigen dominan sebagai nilai eigen
yang memenuhi
memenuhi :
untuk i= 2,....,n. Jika nilai-nilai eigen dari A
2. Metode Pangkat Invers (The Invers Power Method) adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan nilai eigen terkecil dari suatu matriks dan vektor eigennya untuk nilai-nilai eigen dari A yang memenuhi :
3. Metode QR adalah
|| || ||
24
DAFTAR PUSTAKA
http://retserv.eng.hawaii.edu/Distance_Learning/SP2010/Documents/Intro_Eigen-Value_typed.pdf http://distance-ed.math.tamu.edu/Math640/chapter6/node6.html http://www.astro.utu.fi/edu/kurssit/f90/f90/english/pdf/numeigen.pdf http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/03510017-noor-farida.ps
25
