NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai eigen eigen dan vektor vektor eigen eigen suatu matriks matriks didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai berikut. berikut. Definisi Definisi 3.1
Misalkan An × n, maka vektor x ≠ 0 di R n disebut vektor eigen (eigen vektor ) dari A jika Ax adalah kelipatan kelipatan skalar skalar dari x, yaitu Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) value) dari A. Ax = λx
⇔ Ax
= λIx
⇔ (λI – A)x = 0 ⇔ (A - λI)x = 0 Persamaan Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika: det (λ I – A) = 0 persamaan karakteristik karakteristik Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan
dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilainilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Dengan kata lain, untuk menentukan nilai eigen suatu matriks, matriks, maka kita harus menentukan dahulu persamaan persamaan karakteristikny karakteristiknya. a. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik. Deng Dengan an demi demiki kian an jika jika An
×
, maka maka pers persam amaan aan karakt karakter eris isti tik k dari dari matr matriks iks A
n
mempunyai derajat n dengan bentuk det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0 Menurut Menurut teorem teoremaa dasar dasar aljabar aljabar kita kita dapatka dapatkan n bahwa bahwa persam persamaan aan karakte karakteris ristik tik tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan persamaan persamaan pangkat tinggi). tinggi). Jadi, suatu matriks matriks yang berukuran berukuran n × n paling paling banyak banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda. Berikut ini diberikan contoh-contoh soal yang berkaitan dengan nilai eigen dan persamaan persamaan karakterist karakteristik ik suatu matriks matriks..
Contoh 3.1.
1
1. Matriks A =
5 − 3 − 4 1
mempunyai vector eigen x =
kelipatan kelipatan dari x, yaitu yaitu Ax =
5 − 3 2 − 4 1 4
=
− 2 − 4
2 4 , karena Ax merupakan 2 = -x. Dengan demikian 4
= -1
λ = -1 adalah nilai eigen dari matriks A.
2.
− 3 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks matriks − 7 − 6
1 5 6
− 1 − 1 . − 2
Untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen, kita harus membentuk persamaan
karakteristik. Misal
− 3 − 7 − 6
1 5 6
− 1 − 1 − 2
= A.
Persamaan karakteristik: det (λI – A) = 0
1 ⇒ det λ 0 0
− 3 0 − −7 1 − 6
0 0
1
1
5
0
λ + 3 ⇒ det 7 6
−1 λ − 5 −6
6
− 1 − 1 = 0 − 2
1 = 0 λ + 2 1
⇒ (λ + 3)(λ – 5)(λ + 2) – 6 – 42 – 6(λ – 5) + 6(λ + 3) + 7(λ + 2) = 0 ⇒ λ3
– 12λ – 46 = 0
⇒ (λ + 2)2(λ – 4) = 0 ⇒ λ = -2; λ = 4 Jadi nilai eigen adalah -2 dan 4. Untuk menentukan vektor eigen kita misalkan vektor eigen tersebut x = (a,b,c), dan kita mencari x yang memenuhi (λI – A)x = 0
2
1 ⇒ λ 0 0
1
1
5
0
λ + 3 ⇒ 7 6 1 − 1 Untuk λ = -2 ⇒ 7 − 7 6 − 6
− 3 0 − −7 1 − 6
0 0
−1 λ − 5 −6
− 1 a − 1 b = 0 − 2 c
6
a 1 b = 0 λ + 2 c 1
1 a
b = 0 . c 0
1
Matriks yang bersesuaian:
1 − 1 0 → 1 − 1 1 − 1 0
1 − 1 7 − 7 6 − 6
1 0
0 0 0 0 1 − 1
1 1
0
7 0
0
1 0
1 1
0
7 0
0
0 →
0
Diperoleh: c = 0 dan a = b Andai a = t, maka b = t, dan c =0.
1 Jadi vector eigen yang bersesuaian dengan λ = -2 adalah t 1 . 0 7 − 1 Untuk λ = 4 ⇒ 7 − 1 6 − 6
1 a
b = 0 . 6 c
1
Matriks yang bersesuaian:
7 − 1 7 − 1 6 − 6
1 0
1 0
1
0 0
6 0 0 0 1 − 1
0 0
6
7 − 1 0 → 0 0 1 − 1 0
1
→ 0
0
0 0 1
Diperoleh: a = 0 dan b = c
3
Andai c = t, maka b = t, dan a = 0.
0 Jadi vector eigen yang bersesuaian dengan λ = 4 adalah t 1 . 1 3.
1 Tentuka Tentukan n nilai nilai eigen eigen dan vekt vektor or eigen eigen dari dari matrik matrikss 0 0
1
0
2
0 .
0
1
Persamaan karakteristik: det (λI – A) = 0
1 ⇒ det λ 0 0
1 0 − 0 1 0
0
0 0
1
1
2 0
0
λ − 1 ⇒ det 0 0
0
=0 1
0 = 0 λ − 1
−1 λ − 2
0
0
⇒ (λ – 1)(λ – 2)(λ – 1) = 0 ⇒ λ = 1; λ = 2 Jadi nilai eigen adalah 1 dan 2. Penentuan vektor eigen sebagai berikut. (λI – A)x = 0
1 ⇒ λ 0 0
0 1 0
λ − 1 ⇒ 0 0 0 − 1 Untuk λ = 1 ⇒ 0 − 1 0 0
0
1 0 − 0 1 0 −1 λ − 2 0
1 2 0
0 a
0 b = 0 c 1
a 0 b = 0 λ − 1 c 0
0 a
b = 0 . c 0 0
Diperoleh: a = s; b = 0; dan c = t.
4
1 0 Jadi vector eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah s 0 + t 0 . 0 1 1 − 1 Untuk λ = 2 ⇒ 0 0 0 0
0 a
b = 0 . 1 c 0
Diperoleh: a = b dan c = 0 Andai b = t, maka a = t, dan c =0.
1 Jadi vector eigen yang bersesuaian dengan λ = 2 adalah t 1 . 0 Ruang Eigen
Vektor eigen suatu matriks An× n yang bersesuaia bersesuaian n dengan dengan nilai nilai eigen eigen λ berada berada dalam ruang penyelesaian penyelesaian (λI – A)x = 0. Ruang penyelesaian penyelesaian ini dinamakan ruang eigen eigen (eigen space ) matriks A. Secara jelas ruang eigen didefinisikan sebagai berikut.
Definisi Definisi 3.2. 3.2.
Ruang Ruang penyelesai penyelesaian an sistem sistem persam persamaan aan linear linear (λI – A)x = 0 atau (A - λI)x λI)x = 0 dinamakan ruang eigen dari matriks An× n.
Contoh 3.2.
Tentukan basis untuk ruang eigen dari matriks:
− 3 A = − 7 − 6 B=
1 0 0
− 1 − 1 . − 2
1 5 6 1 2 0
0
1 0
5
Penyelesaian: Penyelesaian:
Untuk menentukan basis ruang eigen suatu matriks harus melalui langkah-langkah berikut.
♥
membentuk persamaan karakteristik
♥
menentukan nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
♥
menentukan vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang diperoleh
Berdasarkan Contoh 3.1. matriks A dan matriks B sudah diperoleh nilai eigen dan vector eigennya, yaitu:
1.
− 3 Nilai eigen eigen matriks matriks A = − 7 − 6
1 5 6
− 1 − 1 − 2
adalah -2 dan 4.
1 Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -2 adalah vector tak nol x = t 1 . Jadi, 0 1 vector 1 0
merupakan suatu basis untuk ruang eigen dari matriks A yang bersesuaian
dengan λ = 1. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 4 adalah vector tak
0 nol x = t 1 . 1
0 Jadi, vektor 1 merupakan suatu basis untuk ruang eigen dari matriks A 1
yang bersesuaian dengan λ = 4.
2.
1 Nilai eigen eigen matriks matriks B = 0 0
1
0
2
0 adalah 1 dan 2.
0
1
6
1 0 Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah vector tak nol x = s 0 + t 0 . 0 1 1 Jadi, vektor 0 0
dan
0 0 1
merupakan basis untuk ruang eigen dari matriks B yang
bersesuaian bersesuaian dengan λ = 1. Sedangkan Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian bersesuaian dengan λ = 2
1 1 adalah vector tak nol x = t 1 . Jadi, vektor 1 merupakan suatu basis untuk ruang 0 0 eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan λ = 2.
DIAGONALISASI
Definisi : Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga P-1AP adalah matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.
Diagonalisasi bertujuan untuk mencari matriks P sehingga P-1AP menjadi matriks diagonal misalkan D, dimana A akan similar dengan D sehingga kita dapat mengatakan bahwa sejumlah sejumlah sifat yang melekat melekat pada D juga ada di A. Dalam matriks diagonal, diagonal, dengan mudah kita akan mendapatkan nilai eigen, vektor-vektor eigen dan menghitung determinan. Teorema. Jika A adalah matriks kuadrat n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen: a. A dapat dapat did didia iago gona nali lisa sasi si
Prosedur pendiagonalan matriks A adalah: 1. Carilah n vektor eigen yang bebas linier, namakan p1, p2, …, pn.
7
2. Buatlah matriks P yang mempunyai p1, p2, …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya 3. Matriks P-1AP akan diagonal dengan λ 1, λ 2, …, λ n sebagai entri-entri matriks diagonal yang berurutan, dimana λ i adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan vector eigen pi, untuk I = 1, 2, … , n
Contoh: 1. Carila Carilah h matrik matrikss P yang yang mend mendiag iagon onalk alkan an
3 −2 A = − 2 3 0 0 Langkah Langkah 1.
0
5 0
Dapat Dapat ditunj ditunjukk ukkan an bahwa bahwa nilai-ni nilai-nilai lai Eigen Eigen untuk untuk A adalah adalah λ = 1 dan λ = 5
(Buktikan). Dari λ = 1, kita dapatkan:
− 2 2 0 x1 0 2 − 2 0 x = 0 2 0 0 − 4 x3 0 Dengan menyelesaikan menyelesaikan persamaan diatas, diatas, akan kita peroleh: x 3 = 0;
1 misalkan x2 = t, maka x1 = t. Dan vektor vektor eigen = t 1 0
8
− 1 0 r 1 + s 0 0 1
Dan dari λ = 5, kita kita dapatkan vektor vektor eigen =
Vektor-vektor
1 1 , 0
− 1 1 0
dan
0 0 1
merupakan basis untuk suatu ruang vektor Eigen.
1 − 1 dapat membentuk membentuk matriks matriks P = 1 1 Langkah Langkah 2. Dengan demikian kita dapat 0 0
diagonal yang dihasilkan adalah adalah D = Langkah Langkah 3. 3 . Dan matriks diagonal
1
1 0 0
0
1 0
0 0
5
5 0 0
(Periksa bahwa P -
AP = D !)
Perhatikan bahwa letak nilai eigen di matriks D harus bersesuaian dengan vektor eigen di P, jika pemilihan vektor eigen pada pada langkah 2 menjadi:
− 1 1 0
0
1
0
1
0
1
Maka matriks diagonalnya menjadi:
5 0 0
0 5 0
0
1 0
2. Carilah matriks diagonal untuk A =
λ + 3 − 2 2 λ − 1
det
− 3 − 2
2
1
= (λ + 3)( λ – 1) + 4 = (λ + 1)2 = 0
9
λ = -1 merupakan satu-satunya nilai eigen yang akan bersesuaian dengan vektor eigen =
1 t 1 Karena ruang eigen hanya mempunyai 1 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.
Teorema. Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi.
Teorema ini tidak berlaku sebaliknya, artinya bila A dapat didiagonalisasi tidak berarti bahwa A mempunyai n nilai eigen yang berbeda.
DIAGONALISASI ORTOGONAL ; MATRIKS SIMETRIK Definisi: Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P -1 AP = ( Pt AP ) diagonal ; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau: 1. Matriks Matriks – matriks matriks manakah manakah yang yang dapat dapat didiagon didiagonalisa alisasi si secara secara ortogon ortogonal? al? 2. Bagaimana Bagaimana kita kita mencari mencari matriks matriks ortogonal ortogonal untuk untuk melaksana melaksanakan kan diagonal diagonalisasi isasi?? Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita akan memerlukan definisi berikut. Definisi Definisi :
Matriks A kuadrat kita namakan simetrik jika A = A t Contoh:
Jika
A=
1 4 4 − 3 5 0
5
0 maka
7
1 4 A = 4 − 3 5 0
5
0 = A
7
Dengan demikian A simetrik. Teorema selanjutnya merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Dalam teorema ini dan untuk teorema selebihnya dari
10
bagian ini, ortogonal ortogonal akan berarti ortogonal yang bertalian bertalian dengan hasil kali kali dalam Euclidis pada R n. Teorema 1:
Jika matriks A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain. a.
A dapat dapat didia didiagon gonali alisas sasii secara secara orto ortogon gonal al
b. A mempunyai himpunan ortonormal ortonormal dari n vektor eigen c. A ad adalah alah si simetr metrik ik Teorema 2:
Jika A adalah matriks simetrik, maka vektor – vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan ortogonal. Sebagai konsekuensi dari teorema ini maka kita dapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi matriks simetrik secara ortogonal. Langkah Langkah 1. Carilah basis untuk masing – masing ruang eigen dari A Langkah Langkah 2. Terapkanlah proses Gram Schmidt ke masing – masing basis ini untuk mendapatkan
basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Langkah Langkah 3. Bentuklah matriks P yang kolom – kolomnya adalah vektor – vektor basis yang
Dibangun dalam langkah 2, matriks ini akan mendiagonalkan mendiagonalkan A secara ortogonal Pembetulan dalam prosedur ini sudah seharusnya jelas. Teorema 2 menjamin bahwa vektor – vektor eigen dari ruang – ruang eigen yang berbeda akan ortogonal, sedangkan penerapan proses Gram-Schmidt menjamin menjamin bahwa vektor – vektor eigen yang yang didapatkan dalam ruang eigen yang sama akan ortonormal. Jadi, keseluruhan himpunan vektor eigen yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.
Contoh 13
Carilah matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi
A=
4 2 2
2
2
4
2
2
4
Pemecahan: Persamaan karakteristik A adalah
11
Det( λI – A ) = det
λ − 4 −2 − 2
−2 λ − 4 −2
Jadi, nilai – nilai eigen A adalah
−2 − 2 = (λ - 2) (λ - 8) = 0 λ − 4 2
λ = 8.
Kita simpulkan bagian ini dengan menyatakan dua sifat penting dari matriks simetrik. Teorema 3
a.
Persamaan Persamaan karakter karakteristi istik k matriks matriks A simetrik simetrik hanya hanya mempunya mempunyaii akar – akar akar riil
b. Jika nilai eigen
λ dari matriks simetrik A diulangi k kali sebagai akar persamaan
karakteristik tersebut, maka ruang eigen yang bersesuaian dengan
λ adalah ruang
berdimensi k.
Sumber:
http://xover5.jkt.3d.x.indowebster.com/downloadvip/11/p16fn4abdu1q0171ohgd1fgv1acj5.pdf/%5Bwww.indowebster.com%5D Nilai_Eigen_d Nilai_ Eigen_dan_Ve an_Vektor_E ktor_Eigen.pdf igen.pdf
12
