BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Mata kuliah Al-Jabar Linier sangat bermanfaat bagi kita dalam ketika mempelajari matematika lanjutan dan penerapannya dalan sains dan teknologi. Pada makalah kita kali ini kita akan membahas materi lanjutan dari mata kuliah Al-Jabar Linier yaitu nilai eigen (eigen value), vektor eigen ( eigen vector ) dan diagonalisasi sebuah matriks, termasuk diagonalisasi ortogonal dan matriks simetris. Bahasan ini secara khusus merupakan bahasan tentang konsep vektor baik di Ruang 2 maupun di ruang tiga (R3) ( R3) dan ruang (Rn). Sebagai tujuan instruksional umum setelah mempelajari materi dalam makalah ini diharapkan dapat memahami nilai eigen, vektor eigen dan permasalahan diagonalisasi dari sebuah matriks. Sedangkan sebagai tujuan instruksional khususnya, diharapkan dapat:
menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks/ transformasi linear
menentukan hasil diagonalisasi sebuah matriks.
2.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas maka dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut: 1. Apa itu Nilai Eigen dan Vektor Eigen. 2. Apa itu Diagonalisasi. 3. Apa itu Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simetris.
1
2.4 Tujuan
Adapaun tujuan makalah ini adalah: 1. Untuk mengetahui definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen. 2. Untuk mengetahui definisi Diagonalisasi Diagonalisasi 3. Untuk mengetahui definisi Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simetris
2
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kata vektor eigen adalah rumusan bahasa jerman dan inggris. Dalam bahasa jerman eigen dapat diterjemahkan sebagai sebenarnya atau karakteristik, oleh karena itu, nilai eigen dapat juga kita namakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent.
Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat dalam 2
3
R dan R . Jika
adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian bersesuaian dengan x, maka Ax = x,
sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai .
x = Ax
x
(a)
x x = Ax
(b) (a) Dilatasi (pembesaran)
x = Ax (c)
> 1. (b) Kontraksi 0 <
< 1. (c) Pembalikan arah n
<0
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam R dinamakan vektor
eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yaitu Ax = suatu skalar
. Skalar
x untuk
dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan .
3
Definisi 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol x di dalam n
R dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x: Ax =
dimana adalah suatu skalar dan x adalah vektor yang tidak nol. Skalar nilai Eigen dari matriks A.
dinamakan
Nilai eigen adalah adalah nilai karakteristik dari dari suatu matriks bujur bujur sangkar. Vektor x dalam persamaan di atas adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan di atas untuk nilai eigen eigen yang sesuai sesuai dan disebut dengan dengan vektor eigen. Jadi vektor x mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. tertentu. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, yaitu Ax =λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut: Ax = λx λx - Ax = 0 λIx - Ax = 0 (λI - A) x = 0 Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dar i sistem persamaan (λI-A) (λI-A) x = 0. Memi liki solusi nontrivial jika dan hanya jika det (λI– (λI– A) Memiliki A) = 0. Ini dsebut persamaan karateristik dari A. (λI--A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan Definisi 2.1.2 Persamaan det (λI karakteristik dari karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan persamaan ini (λI-A) ≡ f(λ) yaitu adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λI berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik . Teorema berikut ini adalah hasil-hasil yang telah kita peroleh dari penjelasan diatas.
4
Teorema 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan yang
berikut ekivalen satu sam lain.
λ adalah nilai eigen dari A
sistem persamaan (λI-A) (λI-A) x = 0 mempunyai penyelesaian penyelesaian yang tak trivial
ada sebuah vektor tak nol x di dalam R sehingga Ax = λx
λ adalah pemecahan real dari persamaan karateristik det (λI-A) (λI-A) = 0
n
Setelah kita memahami bagaimana mencari nilai-nilai eigen hubungannya dengan persamaan karakteristik, maka sekarang akan beralih ke masalah untuk mencari vektor
eigen. Menurut Menurut definisi terdahulu bahwa bahwa vektor vektor eigen dari matriks A yang
nol dan haruslah memenuhi bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor x yang tidak nol Ax = λx. λx. Dengan kata lain, secara ekuivalen tentunya vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor yang tak nol dalam ruang penyelesaian (λ I – A) – A) x = 0. Ruang penyelesaian ini kita namakan sebagai ruang eigen ( eigen space) dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Definisi 2.1.3 Ruang penyelesaian penyelesaian dari sistem persamaan linear:
(λ I – A) – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0 dinamakan ruang eigen eigen dari matriks A yang berukuran n x n.
Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:
a
a
a
a
A=
11
21
Persamaan
a11 a 21
12
22
AX X
dapat dituliskan:
x1 x1 x x a 22 2 2 a
12
Persamaan dikalikan dengan identitas didapatkan:
5
1 0
0
a 1 a
a
11
12
a
21
a a
11
21
a
12
a
22
a11 a 21
22
x1 x 2
=
1 0 x1 0 1 x2
x1 0 x1 x = 0 x 2 2 x1 =0 x2
a12 a 22
Persamaan dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: (a11 ) x1 a12 x2 0 a21 x1
(a22 ) x2 0
Persamaan di di atas adalah sistem sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang ruang R
n
yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.
2.2
DIAGONALISASI
Terdapat masalah diagonalisasi seperti berikut: “ Diberikan sebuah operator linear T: V
V pada sebuah ruang vektor berdimensi berhingga, apakah terdapat
sebuah baris untuk V terhadap terh adap matriks T diagonal diago nal ? ” Jika A adalah matriks untuk T : V
V yang bertalian dengan beberapa baris sebarang, maka hal ini ekivalen dengan
masalah diatas yaitu terdapat perubahan basis yang menghasilkan matriks baru untuk T -1
yang sama dengan P AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Bentuk Matriks dari Masalah diagonalisasi : “Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P -1
yang dapat dibalik dibali k sehingga P AP diagonal?”
6
Definisi 2.2.1 : Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi didiagonalisasi jika terdapat t erdapat matriks -1
P yang dapat dibalik sehingga P AP diagonal ; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema 2.2.1: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekivalen satu sama lain. a). A dapat didiagonalisasi b). A mempunyai n vektor eigen bebas linear. Bukti a)
b).
Karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat dibalik yaitu :
P
-1
-1
Sehingga P AP diagonal, anggaplah D = P AP dimana
D
Jadi dapat diperoleh AP = PD yaitu :
AP =
=
Dari pembuktian diatas dimisalkan P 1, P2,
....,
Pn menyatakan vektor-vektor kolom P,
maka bentuk kolom-kolom AP yang berurutan adalah
1P1,
2P2, ....,
nPn,
akan tetapi
kolom-kolom AP yang berurutan adalah AP 1, AP2, ...., APn. Jadi kita harus memperoleh
7
AP1=
1P1, AP2=
2P2, ....,APn=
nPn
Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya tak nol ; jadi nilai-nilai eigen A adalah
1,
2, ....,
n,
dan P1, P2, ...., Pn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena
P dapat dibalik maka P 1, P2, ...., Pn bebas linear, jadi A mempunyai n vektor eigen bebas linear. Bukti b)
a)
A dianggap mempunyai n vektor eigen bebas linear, maka P 1, P2, ...., Pn dengan nilai eigen yang bersesuaian
1,
2, ....,
n,
dan misalkan
P
Merupakan matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah P 1, P2, ...., Pn. Kolom-kolom dari hasil kali AP adalah AP 1, AP2, ...., APn tetapi AP1=
1P1, AP2=
2P2, ....,APn=
AP =
nPn
sehingga
= PD
Dimana D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai-nilai eigen
1,
2, ....,
n
pada
diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari P bbas l inier, maka -1
P dapat dibalik; jadi dapat dituliskan kembali sebagai P AP = D; yaitu A terdiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi Langkah 1 :
Carilah n vektor eigen bebas linier A, P 1, P2, ...., Pn
8
Langkah 2 :
Bentuklah matriks P yang mempunyai P 1, P2, ...., Pn sebagai vektor-vektor kolomnya Langkah 3 : -1
Matriks P AP akan diagonal dengan berurutan, dimana
i adalah
1,
2, ....,
n
sebagai entri-entri diagonalnya yang
nilai eigen yang bersesuaian dengan P i, i = 1,2,....,n.
Teorema 2.2.2 . Jika v1, v2, …., vk adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian
dengan nilai-nilai eigen yang berbeda himpunan bebas linier. Misalkan
1,
2,
….,
k adalah
2,
1,
….,
k ,
maka { v1, v2, …., vk } adalah
nilai-nilai eigen yang berbeda dan kita pilih himpunan
bebas linier pada masing-masing ruang eigen yang bersesuaian. Jika kita gabungkan semua vektor ini ke dalam himpunan tunggal, maka hasil tersebut masih merupakan himpunan bebas linier. Misalnya, jika kita memilih tiga vektor bebas linier dari sebuah ruang eigen dan dua vektor eigen bebas linier dari ruang eigen lainnya, maka kelima vektor tersebut bersama-sama membentuk sebuah himpunan bebas linier. Kita mengabaikan buktinya. Sebagai konsekuensi teorema ini, kita dapatkan hasil yang berguna berikut. Teorema2.2.3 . Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang
berbeda, maka A dapat didiagonalisasi.
Bukti. Jika v 1, v2, …., vn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda
1,
2,
….,
n,
maka menurut teorema 3, v 1, v 2, …., v n bebas linier.
Jadi, A dapat didiagonalisasi, oleh teorema 2.2.1 . Jika A adalah matriks n x n dengan nilai eigen yang lebih kecil dari n, maka kita memperoleh teorema-teorema yang akan kita telaah dalam pelajaran lebih lanjut yang dapat digunakan untuk menentukan apakah A dapat didiagonalisasi. Akan tetapi, teorema ini tidak dapat memberikan prosedur perhitungan yang sederhana untuk
9
membuat determinasi ini; sesungguhnya kita dapat melakukan perhitungan apabila diperlukan untuk melihat apakah A mempunyai n nilai eigen yang bebas linier.
2.3 DIAGONALISASI ORTOGONAL; MATRIK SIMETRIS
Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau yang pertama matriks-matriks manakah yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal dan yang kedua bagaimana kita mencari matriks ortogonal untuk melaksanakan diagonalisasi.
Definisi 2.3.1. Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika
terdapat matriks P yang ortogonal sehingga dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
diagonal; matriks P
Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita akan memerlukan definisi berikut : Definisi 2.3.2. Matriks A kuadrat kita namakan simetris jika A =
Contoh :
Jika A =
maka
=
dengan demikian A simetris.
Adalah mudah mengakui matriks simetris dengan pemeriksaan: entri-entri pada diagonal utama adalah sebarang, namun bayangan cermin dari entri yang melintasi diagonal utama adalah sama Teorema selanjutnya merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Dalam teorema ini dan untuk teorema selebihnya dari bagian ini, ortogonal akan berarti ortogonal yang bertalian dengan hasil n
kali dalam Euclidis pada R .
10
Teorema 2.3.1 . Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekuivalen satu
sama lain. a) A dapat didioagonalisasi secara ortogonal b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen c) A adalah simetris Bukti (a)
(b). Karena A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka terdapat
matriks P yang ortogonal sehingga
diagonal. Seperti yang diperlihatkan dalam
bukti Teorema 2.2.1 , maka vektor kolom ke n dari P adalah vektor eigen A. Karena P ortogonal, maka vektor-vektor kolom ini ortonormal sehingga A mempunyai n vektor eigen ortonormal. (a)
(b), anggaplah bahwa A mempunya mempunyaii himpunan ortonormal dari n vektor eigen
{ }
. Seperti yang diperlihatkan dalam bukti Teorema 2, maka matriks P
dengan vektor-vektor eigen ini sebagai kolom-kolom akan mendiagonalisasi A. Karena vektor-vektor eigen ini ortonormal, maka P ortogonal sehingga akan mendiagonalisasi A secara ortogonal. (a)
(c). Dalam bukti (a)
(b) kita menunjukan bahwa matriks A yang berukuran
nxn dapat didiagonalisasi oleh matriks P yang berukuran n x n secara ortogonal yang
kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal dari vektor-vektor eigen yang
berukuran A. misalkan D adalah matriks diagonal. D = karena P ortogonal, maka
, sehingga
, jadi
atau,
Teorema 2.3.2. Jika A adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang
eigen yang berbeda akan ortogonal. Bukti. misalkan
dan
adalah dua nilai eigen yang berbeda dari matriks A simetrik yang
berukuran m x n dan misalkan
11
adalah vektor-vektor eigen yang berssuaian. diperlihatkan bahwa (v1 . v2) = v1 . v’1 + v2 . v’2 + . . . + v n . v’n t
karena v1 v2 adalah matriks 1x1 yang mempunyai v 1 . v 2 sebagai satu-satunya entrinya, t
maka dapat melengkapi bukti tersebut dengan memperlihatkan bahwa v 1 v2 = 0. Karena v1 dan v2 merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen mempunyai : Av1 = Av2 = t
dan
, kita
(Av1) = ( atau t
t
v1 A = juga, karena A adalah simetris t
v1 A =
dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan ini pada bagian kanan menggunkan v 2 akan menghasilkan t
v1 Av2 =
dan dengan mengalikan kedua ruas pada bagian kiri menggunakan v1t menghasilkan t
v1 Av2 =
12
.
Jadi
atau
namun demikian membuktikannya.
(
, sehingga
yang manakah yang kita cari untuk
Sebagai konsekuensi konsekuensi dari teorema ini maka kita dapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi mendiagonalisa si matriks secara ortogonal.
Langkah 1
Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen dari A.
Langkah 2 :
Terapkanlah proses Gram-Schmidt ke masing-masing basis ini untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
Langkah 3
Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor Basis yang dibangun dalam langkah 2; matriks ini akan mendiagonalisasi mendiagonalisa si A secara ortogonal.
Pembetulan prosedur ini sudah seharusnya jelas. Teorema 2.3.1 menjamin bahwa vektor-vektor eigen dari ruang-ruang eigen yang berbeda akan ortogonal, sedangkan penerapan proses Gram-Schmidt menjamin bahwa vektor-vektor eigen yang didapatkan dalam ruang eigen yang sama akan ortonormal. Jadi, keseluruhan himpunan vektor eigen yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal. Kita simpulkan bagian ini dengan menyatakan dua sifat penting matrik simetr is Teorema 2.3.3.
persamaan karakteristik matriks A simetrik hanya mempunyai akar-akar riil.
13
jika nilai eigen
dari matriks simetrik A diulangi k kali sebagai akar persamaan
karakteristik tersebut, maka ruang eigen yag bersesuaian dengan berdimensi k.
14
adalah ruang
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Contoh soal nilai eigen dan vektor eigen
1) Carilah nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor x =
dari A =
adalah vektor eigen
Jawab :
Menurut definisi bahwa Ax =
Ax =
=3
=
=3 =3
= 3x
=3
2) Carilah nilai eigen yang bersesuaian dengan x =
adalah vektor eigen dari A =
Jawab:
Menurut definisi bahwa Ax = Ax =
=2
=2
=
=2 =2
=2x =2x
3) Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A= Jawab : Karena
15
Maka polinomial karakteristik dari A adalah
Det (
Dan persamaan karakteristik dari A adalah
(
4) Carilah basis-basis untuk ruang eigen dari sistem linier x 1+3x2 = =
x2
Jawab:
Menurut definisi Ax = =
=0
=0
=0
=0
(
Jika
=0
=0
16
x1 dan 4x1+2x2
( ) E21(1)
4x1-3x2=0, mis x2=t maka 4x1-3t=0 x1=
untuk
=0
E21(-
=0
)
3x1-3x2=0, mis x2=t 3x1-3t=0
x1= -t
3.2
Contoh soal Diagonalisasi
1) Diketahui matriks A =
Carilah : a) matriks P yang mendiagonalisasi A -1
b) matriks diagonal D = P AP
Jawab : det (λI-A) (λI-A) = 0 det (
)(
1=1dan
=0
)=0
2=
-1(nilai-nilai eigen A)
untuk 1=1 (λI-A) (λI -A) x = 0
17
=
-6x1 + 2x2 = 0 x1 = x2
x=
Jadi, basis ruang eigen yang bersesuaian
1=1
adalah P 1 =
Dengan demikian didapatkan bahwa (P 1,P2) adalah bebas linear, sehingga P =
akan mendiagonalkan matriks A.
-1
D = P AP = 3
=
= =
2) Persamaan karakteristik dari matriks A = det (λI-A) (λI-A) = det jadi
2
=(
) =0
= -1 adalah satu-satunya nilai eigen dari A; vektor-vektor eigen yang
bersesuaian dengan dari
adalah
= -1 adalah pemecahan-pemecahan dari (I - A)x = 0; yakni, 2x1 – 2x – 2x2 = 0
– 2x2 = 0 2x1 – 2x
18
Pemecahan Pemecahan sistem ini i ni adalah
Misalkan X2 = t => 2x 1 – 2 – 2 x2 = 0 2x1- 2(t) = 0 2x1 = 2t x1 = t
Maka ruang eigen tersebut terdiri dari semua vektor yang berbentuk :
Karena ruang ini berdimensi 1, maka A tidak mempunyai dua vektor eigen yang bebas linier, sehingga tidak dapat didiagonalisir.
3.3
* + Contoh soal Diagonalisasi Ortogonal; Matriks Simetrik
1. Carilah matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi mendiagonalisasi A = Pemecahan Pemecaha n : persamaan p ersamaan karakteristik A adalah : det (
=(
Jadi, nilai-nilai eigen A adalah
dan
Menurut metode yang digunakan
pada contoh soal diagonalisasi nomor 2, maka dapat diperlihatkan bahwa dan
membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian
dengan
Dengan menerapkan proses Gram-Schmid t terhadap vektor-vektor eigen ortonormal.
19
akan menhasilkan
√ √ √ √ [ ] √ dan
mempunyai
terhadap
ruang-ruang eigen yang bersesuaian dengan
sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt
*+
, maka akan menghasilkan
√ √ [ √ ]
√ √ √ √ √ √ [ √ √ ]
Akhirnya dengan menggunakan
dapatkan
20
.
sebagai vektor-vektor kolom maka kita
BAB III KESIMPULAN
1. Definisi Vektor Eigen: Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol x di dalam R
n
dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x: Ax =
2. Definisi persamaan karakteristik: Persamaan det (λI(λI-A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λI(λI-A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik . 3. Teorema 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sam lain.
λ adalah nilai eigen dari A
sistem persamaan (λI-A) (λI-A) x = 0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial
n ada sebuah vektor tak nol x di dalam R sehingga Ax = λx
λ adalah pemecahan real dari persamaan karateristik det (λI-A) (λI-A) = 0
4. Definisi 2.2.1 : Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika -1
terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P AP diagonal ; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. pernyataan-per nyataan 5. Teorema 2.2.1: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.
A dapat didiagonalisasi didiagonalis asi
A mempunyai n vektor eigen bebas beba s linear.
Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi
21
6. Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi
Langkah 1 :
carilah n vektor eigen bebas linier A, P 1, P2, ...., Pn
Langkah 2 :
bentuklah matriks P yang mempunyai P 1, P2, ...., Pn sebagai vektor-vektor kolomnya
Langkah 3 : -1
Matriks P AP akan diagonal dengan diagonalnya yang berurutan, dimana bersesuaian dengan P i, i = 1,2,....,n.
1,
2, ....,
i
n
sebagai entri-entri
adalah nilai eigen yang
7. Definisi 2.3.1. Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga
diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi mendiagonalisasi A secara ortogonal.
8. Teorema 2.3.1 . Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. a) A dapat didioagonalisasi secara ortogonal b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen c) A adalah simetrik
22
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1991. Aljabar Linier Elementer edisi 3.terj:Pantur Silaban, Jakarta: Erlangga
23
