VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Berny Pebo Tomasouw (Jumat, 23 Januari 2015) Matriks simetriks merupakan matriks yang spesial, sehingga sangat menarik untuk dibahas. Matriks ini selalu muncul dalam masalah Matematika terapan ataupun masalah dalam bidang lainnya. Sifat-sifat yang dimiliki matriks simetris juga istimewa. Jika pada tulisan sebelumnya saya telah membahas nilai eigen dari matriks simetris maka dalam tulisan ini saya akan membahas tentang vektor eigennya. Fakta yang diperoleh adalah vektor-vektor eigennya akan saling sali ng orthogonal. A. PENGANTAR Saya akan mulai dengan beberapa definisi dan fakta lain yang akan sangat membantu dalam memahami tulisan ini. Definisi 1 Diberikan v, w n , maka a. Panjang vektor v (disebut juga norma v) didefinisikan dengan persamaan v
v12 v22 vn2
b. Hasil kali titik (dot (dot product ) antara vektor v dan w didefinisikan dengan v w v1w1 v2 w2 vn wn
v1 v 2 Jika saya memandang vektor v sebagai matriks kolom, yakni v . Berdasarkan definisi vn di atas, maka dapat saya peroleh
w1 w 2 T v w v1 v2 vn wn v1w1 v2 w2 vn wn v w Jadi bentuk lain dari hasil kali titik v w adalah vT w . Definisi 2 Vektor v, w n dikatakan saling orthogonal (dinotasikan dengan v w ) jika berlaku vT w 0 .
Definisi 3 Diberikan S n dengan S x1 , x2 ,, xn . Himpunan S dikatakan orthogonal jika setiap
vektor yang berbeda di S saling saling orthogonal. Dengan kata lain, T xi x j 0 , untuk setiap i j .
Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan Definisi 3 di atas. Contoh 1 a. Jika S 1,1 , 1,1 maka himpunan S orthogonal. ,1,0 , 0,0,1 maka himpunan S juga orthogonal. b. Jika S 1,0,0 , 0,1,0
Definisi 4 Diberikan S n dengan S x1 , x2 ,, xn . Himpunan S dikatakan orthonormal jika
i. S adalah himpunan orthogonal. orthogonal. ii. Setiap vektor di S memiliki memiliki norma 1. Dengan kata lain, xi S xi 1 . Contoh 1 bagian b. di di atas merupakan contoh himpunan orthonormal. Sedangkan bagian a. bukan merupakan himpunan orthonormal karena norma dari vektor x1 1,1 tidak sama dengan satu. Untuk merubah himpunan ini menjadi himpunan orthonormal maka saya gunakan cara berikut : i. Hitung norma dari masing-masing vektor. ii. Bentuk vektor baru dengan cara membagi masing-masing vektor tersebut dengan normanya. Ingat bahwa bahwa untuk sebarang vektor v maka dapat dibentuk vektor baru yakni, x
1
v
v
yang sejajar dengan vektor v serta norma vektor tersebut sama dengan 1. Contoh 2 1,1 , 1,1 . Misalkan x1 1,1 dan x2 1,1 sehingga Diberikan S x1 2 dan x2 2 .
Jadi bisa dibentuk vektor yang baru yakni
1 1 , dan 2 2
1 1 , . 2 2
1
Selanjutnya, bisa dicek sendiri bahwa himpunan S
2
,
1 1 1 , , merupakan 2 2 2
himpunan orthonormal. Agar lebih yakin bahwa vektor yang baru tetap teta p saling orthogonal orthogonal maka saya sa ya berikan Teorema berikut. Teorema 1 Diberikan sebarang dua vektor v, w n yang tak nol dan saling orthogonal. Jika dibentuk vektor-vektor baru, yakni x
1
v
v dan y
1
w
w
maka vektor ini tetap te tap saling orthogonal.
Bukti : Cukup ditunjukkan bahwa xT y 0 .
xT y 0
v v
T
1 w w 1 T 1 v w w v 1 1 T v w v w 1 1 0 v w 1
Pada baris ketiga persamaan di atas, saya gunakan fakta bahwa v dan w saling orthogonal. Selanjutnya, telah saya tunjukkan bahwa xT y 0 maka terbukti bahwa x x dan y y juga saling orthogonal Berdasarkan Contoh 1 dan 2 maka saya dapat katakan bahwa sebarang himpunan orthogonal dapat diubah menjadi himpunan orthonormal. Terkahir saya ingatkan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks. Definisi 4. Diberikan matriks A M n . Skalar disebut nilai eigen dari matriks A, A, jika
terdapat vektor tak-nol x tak-nol x sedemikian sedemikian sehingga berlaku (1) Ax x Biasanya, vektor x vektor x disebut disebut vektor eigen ei gen yang berkorespondensi dengan nilai eigen .
B. PEMBAHASAN Saya akan langsung membahas Teorema tentang vektor eigen dan ditutup dengan contoh yang berkaitan. Teorema 2 Diberikan A M n adalah matriks simetris.
Jika A A memiliki n vektor eigen yang berbeda maka himpunan semua vektor eigen dari A adalah himpunan orthogonal. Bukti : Saya akan misalkan terlebih dahulu bahwa x1 , x2 ,, xn merupakan vektor eigen dari A yang A yang masing-masing berkorespondensi dengan nilai eigen
1 , 2 , , n .
Karena A Karena A memiliki memiliki n nilai eigen yang berbeda maka berlaku
i
j untuk setiap i j .
Selanjutnya saya bentuk himpunan S x1 , x2 ,, xn yaitu himpunan semua vektor eigen dari A dari A.. Tugas saya adalah menunjukkan me nunjukkan bahwa himpunan S orthogonal.
Ambil sebarang xi , x j S dengan i j . Cukup ditunjukkan bahwa xiT x j 0 . Jelas bahwa xi dan x j adalah vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen j
i dan
, sehingga dapat ditulis Axi i xi dan Ax j j x j .
Yang pertama saya gunakan persamaan Axi i xi sehingga bisa diperoleh Axi i xi x jT Axi xT j i xi x jT Axi xT j i xi
x
T j
T
T
Axi xT j i xi T
T
xiT AT xTj xiT i xTj xiT AT x j xiT i x j
xiT Ax j i xiT x j
(i)
Untuk hasil terakhir, saya gunakan fakta bahwa A bahwa A simetris simetris sehingga AT A . Yang kedua saya gunakan persamaan Ax j j x j sehingga bisa diperoleh Ax j j x j
x x
xiT Ax j xiT j x j
xiT Ax j
T i
j
(ii)
j
Selanjutnya persamaan (i) dikurangkan dengan persamaan (ii) sehingga diperoleh
0 x x atau x x 0 .
xiT Ax j xiT Ax j i xiT x j j xiT x j i
Catat
bahwa
karena
j
i j maka
T i
j
i
j
i
j atau
i
x x 0 hanya dipenuhi jika x i
j
T i
T i
j
T i
j
j 0 , sehingga persamaan
xj 0 .
Telah saya tunjukkan bahwa untuk sebarang se barang dua vektor yang dipilih dari himpunan S ternyata ternyata hasil kali titiknya sama dengan nol. Jadi terbukti bahwa S orthogonal. orthogonal. Lebih lanjut, saya bisa membentuk himpunan orthonormal dari himpunan S yakni yakni
x1
T
x1
,
x2 x2
, ,
xn
.
xn
Pertanyaan yang bisa muncul : x x x Apakah vektor-vektor 1 , 2 , , n juga tetap merupakan vektor eigen dari matriks A matriks A?? x1 x2 xn Jawabannnya adalah ya! Berikut ini buktinya.
Saya misalkan v
x1 x1
dan saya akan tunjukkan bahwa v merupakan vektor eigen yang
berkorespondensi dengan nilai eigen
1 sedemikian
sehingga berlaku Av 1v .
x1 x 1
Av A
1
Ax 1
x1 1
x 1
x1
1
1
x1 x1
1v Saya telah berhasil tunjukkan bahwa Av 1v . Untuk vektor-vektor
x2 x2
, ,
xn xn
dapat dilakukan dengan cara yang sama.
Contoh 3
0 1 . 1 0
Diberikan matriks sebuah matriks simetriks A
Dengan sedikit menghitung, saya peroleh bahwa nilai eigen dari matriks i ni adalah 1 dan -1.
1
Untuk nilai eigen 1 diperoleh vektor eigen , sedangkan untuk nilai eigen 1
1
1 . 1
diperoleh
1,1 , 1,1 . Saya bentuk himpunan dari dua vektor ini i ni yakni S Jelas bahwa S orthogonal.
1
Sedangkan himpunan orthonormalnya adalah T
2
,
1 1 1 , , . 2 2 2
C. PENUTUP Mohon maaf jika terdapat kekurangan kekurangan ataupun kekeliruan. kekeliruan. Saran dan kritik dapat dikirim ke email saya :
[email protected]
