Al j abarLi nearEl ement er 3 SKS Si l abus:
BabI Mat r i ksdanOper asi nya BabI I De t er mi nanMat r i ks BabI I I Si s t em Per sama maanLi near BabI V Vekt ordiBi dangdandiRuang BabV RuangVekt or BabVI RuangHasi lKal iDal am BabVI ITr ansf or masiLi near BabVI I IRuangEi ge n
1
RUANG EI GEN SubPokok Bahas an: 2
1. Ni l aidan VektorEi gen 2. Di agonal i sasi 3. Si st em Per sama maanDi f er ensi al Beber apaApl i kasiRuangEi gen Linear MA-1223 MA-122 3 Aljabar
Uj iKest abi l an dal am si st em di nam mi i k
4/11/16 07:20:54 PM
Op Opti masidenganSVD padapengol ahanCi t r a Si st em Tr ansmi si
NI LAIDAN VEKTOR OR EI GEN 3
Defini si: Mi sal kanA ma mat r i ksma mat r i ksbuj ursangkar nxn
v adal ah vekt ort ak noldiRn dan λadal ah skal arRi l l sehi ngga meme menuhi: A v
=
λ v
makaλdi nama makanni l aiei gendar iA, sedangkan
v
di nama makanvekt orei gendariA
4
Cont oh:
1 4
2 1
5 = 10 = 3 2
Vekt orei gen
1 5 2
Ni l aiei g en
Perhatikan !!! 5
A v
= λ v
− λ v = 0 A v − λ I v = 0 ( A λ I ) v
A v
−
=
0
I vngat…. mer upakanvektor t aknol Per samaan Kar akt eri st i k
I niBerarti
det ( A λ I )
0
6
1 A = 0 -1
2 0
0
-2
1 0
Contoh: Tent ukanni l ai ei gendar imat r i ks
1 0 - 1
0
-2
1
2
0
0
− λ
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=0
Per samaan Kar akt er i st i k det( A –λI )=0 1 - λ
0
-2
0
1 - λ
2
0
- λ
-1
=0
•
Denganekspansikopakt orse panj angkol om ke2 ( 1−λ)(( 1−λ)( −λ) −2)= 0 ( 1 −λ )(λ²−λ −2)= 0 ( 1−λ)(λ −2)(λ+1)=0
Jadi ,mat r i ksAmemi l i kit i gabuahni l aiei genyai t u: λ= −1,λ= 1,danλ= 2.
Cont oh: Tent ukanba sr u1ang1ei 2 si gendari:
A =
1
2
1
7
Jawab:
det ( λ I
Ni l aie i g e ndar iAdi pe r o l e hs aat λ - 2
-1
-1
-1
λ - 2
-1
-1
-1
λ - 2
( λ − 2)
λ - 2
-1
-1 λ - 2
=0
+
-1
-1
-1
λ - 2
−
-1
λ - 2
-1
-1
2 ( λ–2) { (λ–2) – 1}+( – λ+1)–( 1+(λ –2) )=0
( λ–2) {λ2 –4λ+3}–( λ–1)–( λ–1)=0
( λ–2) { (λ–3) (λ–1) }–2( λ–1)=0
( λ–1) ( (λ–2) (λ–3)–2)=0 ( λ
) (λ –5λ+ )
−A) =0
=0
8
9
Ni l aiEi gendar imat r i kst er sebutadal ah 1 dan 4. •
Untukλ=1
- 1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
x y z
1 DenganOBE di per ol eh 0 0 − − x s t − 1 − 1 = maka y s = 1 s + 0 t z t 0 1
=
0 0 0
1 1 0
0
0
0
di mana s,tadal ahpar ame t er
0
0 0
Jadibasi sr uangei genyangber sesuai andenganλ=1 adal ah
− 1 − 1 1 , 0 0 1 I ngatbahwa… Vekt orei genmer upakankel i pat andar i unsurbasi st ers ebut
10
11
•
Untuk λ=4
2 -1 -1
-1
-1
2
-1
-1
2
DenganOBEdi per ol eh
maka
x
y z
1
= 1 1
x y z
1 0 0 s
0 = 0 0 0
1
−1 −1
0
0
0
0
0
Jadibasi sr uangei genyangber sesuai andengan λ=4adal ah
1 1 1
Di agonal i sasi Defini si:Suat umat r i ksper segiAnxn di kat akan
dapatdi di agonal kan ( di agonal i zabl e) j i ka t er dapatmat r i ksPyangme mpunyaii nv er s –1 Pme sehi nggaD =P r upakanmat r i ksdi agonal . A
Mat r i ksPdi namakanmat r i ksy angmendi agonal kan ( pe ndi ag onal )dar iA. Vekt or v ekt or kol om dar imat r i ksP adal ah v ekt or v ekt orei gendar iA.
13
Cont oh:
1 A = 0 0
Tent ukanmat r i ksyangmendi agonal kan
0 0 1 1
1 1
Jawab: Per samaankar akt er i st i kdarimat r i ksAadal ah: λ . I
− A = 0
atau
λ det 0 0 MA-1223 Aljabar Linear
0 λ
0
0
1 0 − 0 λ 0
0
0
1
1 = 0
1
1
4/11/16 07:20:57 PM
0 0 ( λ − 1) ( λ − 1) − 1 = 0 det 0 0 − 1 ( λ − 1)
14
Denganmengg unakanekspansikof akt or: Pi l i hBar i sI
det { λ . I − A}
= a11c11 + a12 c12 + a13 c13 = ( λ − 1) ( ( λ − 1) −1) + 0 + 0 2
= ( λ − 1) ( λ ) ( λ − 2 ) Se hi ng g adi pe r o l e hni l aie i g e n λ
0
λ
1
λ
2
Unt uk λ = 0
15
Deng an OBEmaka
− 1 0 0 ( λ . I − A) ~ 0 − 1 − 1 0 − 1 − 1
1 0 0 1 0 0 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 0 − 1 − 1 0 0 0
x1 0 x ÷ = −1÷ t manat adal ahpar ame t ert aknol 2÷ ÷ ,di x ÷ 1÷ 3 Jadiv ekt orei genyangber sesuai andengan adal ah
0 ÷ P 1 = −1 ÷
= 0
λ
Unt uk λ = 1
16
Deng an OBE maka
( λ I . −
0 0 0 0 0 0 − 1 A) ~ ~ 0 0 − 1 0 0
0 0 1
0
1 0
0 ~ 0 0
1 0 0
1 0 0
x1 1 mana tadal ahpar ame t ert aknol x2 = 0 t ,di x 0 3 Jadiv ekt orei genyangber sesuai andengan λ = 1 adal ah
1 P 2 = 0
Unt uk λ = 2
17
Deng an OBE maka
1 0 0 ( λ . I − A) ~ 0 1 − 1 0 − 1 1
1 ~ 0 0
x1 0 mana x2 = 1 t ,di x 1 3
0 1 0
− 1 0 0
ahpar ame t ert aknol tadal
Jadiv ekt orei genyangber sesuai andengan λ = 2 adal ah
0 P 3 = 1
Per hat i kan k 1 P 1 + k 2 P 2
18
+ k 3 P 3 = 0
0 1 0 k 0 −1 0 1÷ k ÷ = ÷0 ÷ ÷ ÷ 1 0 1÷ k ÷ ÷0 DenganOBE 0 1 0 1 0 1 −1 0 1÷ ~ 0 1 0÷ ÷ ÷ 1 0 1÷ −1 0 1÷ 1
2 3
1 ~ 0 0
0 1
0 1
0 0
1
1
1
0
1 0 ~ 0 0 2
0
1 0 ~ 0 1 0
Jadi{ P 1 , P 2 , P 3 } mer upakanhi mpunanyang bebasl i near
0
0 1
Jadi ,Mat r i ksyangmendi agonal kanA adal ah:
0 P = −1 1
0
1
÷ 1÷
0 1÷ 0
Dapatdi hi t ungbahwa: 0 − 1 2 −1 P = 1 0 0 12
1
1
÷ ÷ 2
2÷ 0÷
0 0 0al Maka,mat r i ksd i a g o n yan hasi l kanadal ah: gdi −1 D = P AP = 0 1 0
19
20
Halyangper l udi per hat i kan,mat r i ks
1 0 P = 0 −1 0 1
÷ 1 ÷ ÷ 1 0
j ugamendi agonal kanA. Tapimat r i ksdi agonalyangt er bent ukadal ah:
1 − D = P AP = 0 0 1
0 0 0
0
0 2
Apl i kasi
21
Ji kaAmat r i ksnxndanPmat r i kspendi agonal ,maka 1 D =P A P
AP=PD A=PDP-1 Ji kaAk mat r i ksnxndanPmat r i kspendi agonal ,maka 1 k Dk =P A P
AkP=PDk Ak =PDkP-1
Di ket ahui: 1 0 0 A = 0 1 1 0 1 1
22
Car i l ahmat r i ksA1000 !
Jawab: 1 A1000 =PD1000P1000 0 0 1 0 ÷ A1000 = −1 0 1÷ 0 1 0 1÷ 0
0 11000 0
0 − 1 2 ÷ 0 ÷ 1 0 ÷ 1 21000÷ 0 2 0
1
2÷ 0÷
1
÷ ÷ 2
= ...
23
B di kat akan mat r i ksort ogonalj i kaB =B nx n
– 1
t
Per nyat aanber i kutadal aheki val en: •
B adal ahmat r i ksort ogonal . n x n
Vekt or v ekt orbar i sdar iB membent ukhi mpunanor t onor maldiR dal am RHD Eucl i des . •
n
Vekt or v ekt orkol om dar iB membent ukhi mpunanor t onor maldiR dal am RHD Eucl i des . Mi sal kan Pmer upakanmat r i ksor t ogonalmaka ber l aku: • PtP=I • Px = x ,unt ukset i apxdiRn •
n
Cont oh: Ber i kutadal ahcont ohmat r i ksor t ogonal:
12 A = 1 − 2 12 B = 0 1 2
0 1 0
2
1
2 1
− 12 0 1 2
Ter l i hatbahwase t i apv ekt orbar i s/kol om mer upakanv ekt orsat uan Danhasi l kal idal am ant arv ekt ort er sebutadal ahnol
24
Per hat i kanbahwa:
25
At A = I 2 x 2 dan B t B
= I 3 x3
Seentara it"
12 1 − 2
1 2 1 2
14 8 2 = 2 6 − 2
=
196
=
100
2
8 = 6
+
4 2
26
Defini si: Suat umat r i k s nxn di kat akandapatdi di agonal kansecar aor t ogonal A j i kat er dapatmat r i ksort ogonalP se demi ki anhi ngga –1 = A upakanmat r i ksdi agonal . D =P AP( Pt P)mer
27
Per hat i kanbahwa: – 1 P D =P A
at au
A=PD P–1
Mi sal kan Pmer upakanmat r i ksor t ogonal ,maka A=PDPt Sehi nggadi per ol ehhubungan t At =( PDPt)
=PDtPt =PDPt =A
A dapatdi di agonal kansecar aor t ogonal A mat r i kss i met r i j i kadanhanyaj i ka MA-1223 Aljabar Linear
4/11/16 07:20:59 PM
28
Mi salAnxn mat r i kss i me t r i s , Car amenent ukanmat r i ksor t ogonalPyangmendi agonal kanAsbb: •
•
•
Tent ukan ni l aiei gen Tent ukan basi sr uangei genunt ukse t i apni l ai ei genyangdi per ol eh Ubahset i ap basi sr uangei genpadaseti ap ni l ai ei genmenj adibasi sr uangei genyangor t onor mal ( I NGAT normal i sasidanGr amSchmi dt)
Bent ukmat r i ksPdi manave kt or ve kt orkol omnyaber upabasi s r uangei genyangor t onor mal . MA-1223 Aljabar Linear 4/11/16 07:20:59 PM •
Cont oh: Tent ukanmat r i ksyangmendi agonal kansecar a ort ogonalmat ri ks
Jawab: Basi sr uangei gen: •
Unt uk
λ
λ •
adal ah
Unt uk
0 0
1 1
1 1
0 −1÷ ÷ 1÷
adal ah
1 0 0
adal ah
0 1 1
=1
Unt uk λ
•
=0
1 A = 0 0
=2
0 ÷ 1 − 2÷ 1 ÷÷ 2 1 0 0
0 1 2 1
Dengandemi ki an,se car aber ur ut an basi sr uangei genyangor t onor malmat r i kst er sebut 0 ÷ 1 − 2÷ 1 ÷÷ 2
1 0 dan 0
0 1 2 1 2
"
Sehi nggamat r i ksor t ogonalyangmendi agonal kanA adal ah:
0 P = − 1 2 1 2 "
1
0
0
1
0
1
÷ ÷ 2 ÷ ÷ 2
30
Contoh: 31
Carisuat umat r i ksor t ogonalPyang
A = 2 2
mendi agonal kan 4
2
2
4
2÷
2
÷ 4÷
Jawab:
− 1 2 − 1 6 P = 1 2 − 1 6 2 0 6
1
÷ ÷ 3 ÷ ÷ 3 3
1 1
Si st em Per samaan Di f er ensi al
32
I ngatKembal iPer s.Di f er ensi al y (t ) = ce at
dy (t ) dt
= a y (t )
Ji kasekumpu l anPD or de1di t ul i s: dr 1 (t ) dt dr 2 (t ) dt dr 3 (t )
= 2 r 1 (t )
= −3 r 2 (t )
= r 3 (t ) dt dengan r1 (0) = 1, r2 (0) = 2, r3 (0) =3
r 1 ' 2 0 r 2 ' = 0 − 3 r 3 ' 0 0
r 1 0 r 2 1 r 3 0
2t e r 1 isi em PD t ol s Denganmudahs u t er se butadal ah: t −3s r = 2e
33
dak sel al u member Masal ahnya,si st em per samaandi f er ensi alti i kanmat r i kskoe fisi en y angber bent ukmat r i ksdi agonal . Bent ukUmum SPD or de 1 ' a11 x1:
x2 ' = a21 xn ' an1
a12
an1 x1
a22
an 2 x2
an 2
ann xn
Langkahl angkahmenyel es ai kanSPD or de1l i near: •
•
A. Menent ukanmat r i ksP yangmendi agonal k an U ' = DU
1a ummy T ul i sSPD d l am bent uk D = P − d AP
di mana •
•
Tent ukansol usiSPD dummy X = PU Sol usiSPD adal ah
U ' = DU
Cont oh6:
34
Tent ukansol us idar isi s t em per samaandi f er ensi al dx1 = 4 x1 − 2 x2 dt dx2 = x1 + x2 dt
Jawab: Tul i sSPD dal am be nt uk:
x1 ' 4 − 2 x1 = x2 ' 1 1 x2
DenganPK
Ni lie i
dr i
−4 −1
λ
2
−
λ 1
t r i ksk fis i
=0
λ # 2 $an λ # 3
•
BREy angber se suai andenganλ =3
2 1
•
BREy angber se suai andenganλ =2
1 1
Se hi ng g adi pe r o l e h Kar e na
2 P = 1 3 0
D = P −1 AP =
1
0
1
2
makaSPD dummybe r be nt uk:
Sol usiSPD dummyadal ah
u1 = c1e3t
dan
u2
u1 ' 3 = u2 ' 0
= c2e2t
0 u1
2 u2
Sol usidariSPD X = PU
atau
36
x1 2 = x2 1
x1
= 2c1e3t + c2e 2t
x2
= c1e3t + c2e 2t
1 c1e 3t
2t 1 c2e
Cont oh 8. 9: Tent ukansol usidar imasal ahni l aiawal dp dt dq dt
%
= 2 p( t ) + q( t )
= p( t ) + 2q(t )
dengan kondi si awal p ( 0) = 1 dan q ( 0) = 3
37
Jawab: 2 1 Ki t apunya A =
1
38
2
Maka Per samaan Kar akt er i s t i knyaadal ah det { λ I . − A}
=0 ⇔
0=
( λ − 2)
−1
−1 ( λ − 2)
⇔
0 = ( λ − 2 )( λ − 2 ) − 1
⇔
0 = λ 2
⇔ ⇔
0 = λ 2
− 4λ + 4 − 1
− 4λ + 3
0 = ( λ − 1) ( λ − 3)
Unt uk
λ
=1
− 1 − 1 1 . − A) ~ ( λ I ~ 0 − − 1 1
39
1
0
x1 + x 2
=0
= − x2 x 2 = t x1
Jadiv ekt orei genyangber sesuai andengan
λ
=1
adal ahve kt ort aknolyangber bent uk
x x
1
2
− 1 ,di mer upakan par ame t er . t mana t = 1
Jadibasi sr uangei genyangber sesuai andengan λ adal ah
− 1 P =
=
1
Unt uk λ = 3
1
( λ I . − A) ~ − 1
40
− 1 1 − 1 ~ 1 0 0
x1 − x 2
=0
= x2 x 2 = t x1
Jadiv ekt orei genyangber sesuai andengan
λ
=3
adal ahve kt ort aknolyangber bent uk
x x
1
2
1 mana t mer upakan par ame t er = 1 t , di
Jadibasi sr uangei genyangber sesuai andengan λ = 3 adal ah P 2
1 = 1
Sehi nggaSol usiUmum SPD U’=D U adal ah c1e t U = c e3t ÷÷ 2 Dengandemi ki ansol usiSPD ki t aadal ah: a t au
X = PU
p − 1 = 1 q
1 c1et
3t 1 c2 e
s e hi n gga
p = −c1et + c2 e 3t t
3t
41
p ( 0 )
Unt uk t = 0
1 − C + C = C + C 3 1
1
2
2
=1
dan q ( 0 ) = 3 sehi ngga
DenganEl i mi nasidi dapat C 1 = 1 ; C 2 = 2 Jadi sol usimasal ah ni l aiawal t er sebut adal ah p (t ) = 2e3t − et q(t )
= 2e3t + et
42
43
Lat i hanBab8 1. Te nt ukan basi sr uangei ge ndari 2. Di ke t ahui:
3 − 2 B = 0 1 − 4 4
0
0
− 1 A = 0 −1
1
ApakahB mat r i ksdapatdi di agonal kan,j el askan 3. Suat uMat r i ksA2x2 memi l i kibasi sr uangei gen : •
λ=–3
•
λ= 1
Tent ukan mat r i ksA!
1 3 − 1 2
0 2 0
0 3 3
