Diagonalisasi Orthogonal dan Matriks Simetrik Jika
T : V → V adalah
operator linear pada sebuah ruang hasil kali dalam maka
masalah diagonalisasi dapat terjadi dalam cara berbeda. Ketimbang memandang penyederhanaan untuk sebarang basis yang menghasilkan matriks diagonal untuk T , kita dapat berpaling untuk sebuah basis ortonormal yang menghasilkan matriks diagonal untuk T . Agar lebih jelas, kita akan memperhatikan masalah berikut.
Masalah diagonalisas diagonalisasii orthogonal orthogonal
Diberikan sebuah operator linear
T : V → V
pada sebuah ruang hasil kali dalam
berdimensi berhingga adakah basis ortonormal untuk yang bertalian dengan matriks untuk T dimana diagonal?
Jika A adalah matriks untuk
T : V → V
yang bertalian dengan beberapa basis
ortonormal maka masalah ini ekivalen untuk pertanyaan jika ada perubahan basis terhadap basis ortonormal baru seperti halnya matriks baru untuk T maka T diagonal. Menurut teorema 32 dalam bagian 4.10 matriks transisi untuk perubahan basis ini akan menjadi orthogonal. Jadi kita berpedoman terhadap bentuk matriks berikut dari masalah diagonalisasi orthogonal tersebut. Bentuk matriks matriks dari masalah diagonalisasi diagonalisasi orthogonal orthogonal -1
t
Diberikan matriks A kuadrat apakah matriks P orthogonal seperti halnya P AP( = p AP) diagonal?
Masalah ini mendorong kita membuat definisi berikut.
Definisi Matriks kuadrat A dikatakan dapat diagonalisasi secara orthogonal jika terdapat matriks P yang orthogonal sehingga P
-1
t
AP = ( P AP ) diagonal; matriks P dikatakan
mendiagonalisasi A secara orthogonal.
Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau : 1. Matriks-matriks manakah yang dapat didiagonalisasi secara orthogonal? 2. Bagaimana kita mencari matriks orthogonal untuk melaksanakan diagonalisasi? Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita akan memerlukan definisi berikut.
Definisi t
Matriks kuadrat A kita namakan simetrik jika A = A
Contoh 1.
1 4 Jika A 4 3 5 0
maka
A
t
5
7 0
1 4 4 3 5 0
5
A 7 0
dengan demikian A simetrik. Untuk menentukan suatu matriks A simetrik, kita lakukan pemeriksaan berikut. Entri-entri pada diagonal utama adalah sebarang namun “bayangan cermin ” dari entri yang melintasi diagonal utama adalah sama. Perhatikan gambar 1 di bawah ini.
1 4 4 3 5 0
5
7 0
Gambar 1.
Teorema selanjutnya merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks dapat didiagonalisasi secara orthogonal. Dalam teorema ini dan untuk teorema selebihnya dari bagian ini, orthogonal akan berarti yang bertalian dengan hasil kali n
dalam Euclidis pada R .
Teorema 5 Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain (a) A dapat didiagonalisasi secara orthogonal (b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen (c) A adalah simetrik
Bukti (a) (b) Karena A dapat didiagonalisasi secara orthogonal maka terdapat matriks P -1
-1
-1
t
yang orthogonal sehingga P AP diagonal atau P AP = D. P orthogonal berarti P = P . Seperti yang diperlihatkan dalam bukti teorema 2, maka vektor kolom ke n dari P adalah vektor eigen A. Karena P orthogonal maka vektor-vektor kolom ini ortonormal (teorema 3.3 dari bagian 4.10) sehingga A mempunyai n vektor eigen ortonormal.
(b) (a) Anggaplah bahwa A mempunyai himpunan ortonormal dari n vector eigen
{ p1 , p2, …, pn}. Seperti yang diperlihatkan dalam bukti teorema 2 maka matriks P dengan vector-vektor eigen ini sebagai kolom-kolom akan mendiagonalisasi A secara ortogonal
(a) (c) Dalam bukti (a) (b) kita menunjukkan bahwa matriks A yang berukuran
n x n dapat didiagonalisasi oleh matriks P yang berukuran n x n secara orthogonal yang
kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal dari vector-vektor eigen yang
berukuran A. misalkan D adalah matriks diagonal
Dengan mengalikan kedua ruas dengan P pada bagian kiri, diperoleh
atau
Kemudian, dengan mengalikan kedua ruas dengan
atau
pada bagian kanan, diperoleh
-1
t
Jadi, A = PDP atau karena P orthogonal maka A = PDP . t
t t
t t
t
Sehingga A = (PDP ) = PD P = PDP = A yang menunjukkan bahwa A simetrik.
Teorema 6. Jika A adalah matriks simetrik, maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orthogonal.
Bukti
Akan ditunjukkan vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orthogonal. Misalkan berukuran
dan
adalah dua nilai eigen yang berbeda dari matriks A simetrik yang
, dan misalkan
dan
adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Kita ingin memperlihatkan bahwa
Karena
adalah matriks
yang mempunyai
sebagai satu-satunya
entrinya, maka kita dapat melengkapi bukti tersebut dengan memperlihatkan bahwa .
Karena
dan
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
, dari drfinisi pada bagian 6.1 kita mempunyai
(i) (ii)
dan
Dari persamaan (i)
adalah simetrik, maka
.
Dengan mengalikan kedua ruas dengan
di bagian kanan akan menghasilkan
dan dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (ii) dengan menghasilkan
(iii) di bagian kiri akan
(iv)
Jadi, dari persamaan (iii) dan (iv) diperoleh
atau
Karena
maka
, sehingga
.
Sebagai konsekuensi dari teorema 6 ini maka kita dapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi matriks simetrik secara orthogonal. Langkah 1. Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen dari A. Langkah 2. Terapkanlah proses Gram-Schmidt ke masing-masing basis ini untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Langkah 3. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang dibangun dalam langkah 2; matriks ini akan mendiagonalisasi A secara orthogonal.
Teorema 6 menjamin bahwa vektor-vektor eigen dari ruang-ruang eigen yang berbeda akan orthogonal, sedangkan penerapan proses Gram-Schmidt menjamin bahwa vektorvektor eigen yang didapatkan dalam ruang eigen yang sama akan ortonormal. Contoh 2.
Carilah matriks orthogonal P yang mendiagonalisasi
A=
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik A adalah
4
det( I A ) = det
4
4
= ( 4) 3 = ( 4)
3
= ( 4) 3 3
=
=
3
(2)
3
(2)
3
2
2
16 (4 16 ) (4 16 ) (4 16 )
16 4 16 4 16 4 16
2
12
12
2
2
( 2) ( 4) (2) ( 4) (2) ( 4)
48 64 12 32
36 32
= ( 2) 2 ( 8) = 0 Jadi, nilai-nilai eigen A adalah = 2 dan 8 . Dengan mensubstitusi nilai
sehingga diperoleh,
u1 =
dan
u2 =
ke
membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 2 . Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap {u 1 , u 2 } akan menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal (buktikan)
1 2
v1 =
dan
1
[] 2
v2 =
√ √
[ √ ]
Ruang eigen yang bersesuaian dengan 8 mempunyai
u3 =
sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap {u 3 } maka akan menghasilkan
v3=
√ √ [√ ]
Akhirnya dengan menggunakan v 1 , v 2 , v 3 sebagai vektor-vektor kolom maka kita dapatkan
P=
√ [ 1
1 6
1
2
6 2 6
1 3 1 3 1 3
]
Yang akan mendiagonalisasi A secara orthogonal. (Sebagai pemeriksaan, anda mungkin ingin membuktikan bahwa P t AP adalah matriks diagonal).
Contoh 3.
Carilah matriks yang mendiagonalisasi secara orthogonal
* +
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik dari
* + ( ) √ * +*+*+ * +*+*+ adalah
sehingga
Untuk
Misal x2 = t maka
dimana
*+ *+ *+ * +*+*+ * +*+*+ * +* + *+ *+ *+ || √ √ √ || √ √ √ √ √ √ √ Ruang eigen
Sehingga basis Untuk
Misal x2 = t maka
Ruang eigen
Sehingga basis
Basis-basis ortonormalnya yaitu :
Jadi matriks
P mendiagonalisasi A
[√ √ ] √ √ [√ √ ] √ √ [√ √ ] * + [ √ √ ] √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ [ ][ ] √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ [ ][ ] √ √ √ √ * +
Berikut dua sifat penting dari matriks simetrik. Teorema 7 a) Persamaan karakteristik matriks A simetrik hanya mempunyai akar-akar riil. b) Jika nilai eigen
dari matriks simetrik A diulangi k kali sebagai akar
persamaan karakteristik tersebut, maka ruang eigen yang bersesuaian dengan
adalah ruang berdimensi k.
Contoh 4.
Cari dimensi ruang eigen dari matriks simetri
Penyelesaian :
Persamaan simetrik dari
adalah
.
Maka,
sehingga, nilai-nilai eigen matriks A adalah diulang dua kali dan dengan dengan
, dimana
terjadi sekali. Jadi ruang eigen yang bersesuaian
adalah ruang berdimensi 2 dan ruang eigen yang bersesuaian
adalah ruang berdimensi 1.
Contoh 5.
√ √
Cari dimensi ruang eigen dari matriks simetri berikut
Penyelesaian :
Persamaan simetrik dari matriks
adalah
.
sehingga,
0
dan diperoleh
,
.
skalar yang merepresentasikan nilai eigen yang berarti Sehingga A tidak memiliki nilai eigen.
Contoh 6.
[
Carilah dimensi ruang eigen dari matriks simetri
]
Karena
merupakan
haruslah bilangan riil.
Penyelesaian :
Persamaan karateristik matriks simetrik
2
adalah
2
( 4) ( 1) ( 2) 0
sehingga nilai-nilai eigen adalah diulangi da kali dan
[
]
4, 1, dan 2, dimana 4, dan 1
2 terjadi sekali. Jadi ruang-ruang eigen yang bersesaian
dengan
4, dan 1 adalah ruang berdimensi 2 dan ruang eigen yang bersesuaian
dengan
2 adalah ruang berdimensi 1.
Keserupaan Matriks Ortogonal Dua matriks
, A, dan B, dinamakan serupa secara ortogonal jika terdapat matriks
P yang orthogonal sehingga
. Perlihatkanlah bahwa jika A simetrik dan A
serta B serupa secara orthogonal, maka B simetrik. Penyelesaian : Dua matriks
, A, dan B, dinamakan serupa secara ortogonal jika terdapat matriks
P yang orthogonal sehingga
Karena A simetrik maka,
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
(i)
(ii) . Jadi, B simetrik.
