NILAI EIGEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Berny Pebo Tomasouw (Kamis, 13 Februari 2014)
A. PENGANTAR Dalam tulisan kali ini, saya akan membahas bentuk nilai eigen dari sebuah matriks khusus, yakni matriks simetris yang semua elemennya berupa bilangan real.
Jika sebarang matriks A M n maka nilai eigen dari matriks tersebut bisa berupa bilangan real ataupun bilangan bil angan kompleks. Hal lain yang juga perlu diketahui adalah jika nilai eigennya berupa bilangan kompleks maka konjugat kompleksnya juga merupakan nilai eigen dari matriks tersebut. Dengan kata lain, jika a ib adalah nilai eigen dari matriks A matriks A maka maka matriks A.. a ib juga merupakan nilai eigen dari matriks A Pasangan konjugat kompleks ini bisa muncul karena polinomial karakteristik dari matriks A, A, yakni det I A memiliki koefisien berupa bilangan real. Akibatnya, jika polinomial tersebut mengandung akar kompleks, maka ma ka akar-akar kompleks ini i ni muncul dalam pasangan konjugat. Namun hal yang berbeda akan kita peroleh jika j ika A M n adalah matriks simetris. Dalam tulisan ini, saya akan membuktikan teorema yang menjamin bahwa semua nilai eigen dari sebarang matriks simetris selalu bernilai real. B. PEMBAHASAN Sebelum saya masuk ke teorema utama, ada baiknya jika saya perlihatkan beberapa sifat dari bilangan kompleks yang akan menolong dalam pembuktian teorema utama. Definsi 1 Diberikan
z .
Jika
z
z
Teorema 1 Diberikan
a ib maka
a
2
b
modulus dari z dari z didefinisikan sebagai
2
z .
Jika z adalah konjugat kompleks dari z dari z maka maka berlaku z z jika dan hanya jika z jika z bilangan bilangan real.
Bukti : ). Misalkan z a ib , maka konjugat kompleksnya adalah z Selanjutnya, z
z
a ib
ib
b
b
a ib .
a ib
ib
b
0 Hasil terakhir memperlihatkan bahwa b 0 , ini berarti terbukti bahwa z bahwa z adalah adalah bilangan real. bahwa z adalah adalah bilangan real, maka z a i0 . ). Misalkan bahwa z Selanjutnya,
z
a atau
dengan kata lain
z
a i0 a a i0 z
Terbukti bahwa Teorema 2 Untuk setiap
a.
z
b.
z z
0 jika
z
z
z .
z berlaku
z 0 .
2
Bukti : (mudah untuk dibuktikan) Definsi 2 Diberikan v, w n . a. Hasil kali dalam (inner (inner product ) antara vektor v dan w didefinisikan dengan v, w
T
v w
v1w1 v2 w2
v
n
wn
b. Norma (panjang) vektor v didefinisikan dengan v
T
v v
Catatan :
v1 v 2 n Dalam tulisan ini saya memandang vektor v sebagai matriks kolom v . v n
Persamaan
v
T
v v
dapat ditulis juga sebagai
T
v v
v
2
yang mana sangat berguna dalam
pembuktian teorema utama. Teorema berikut ini merupakan inti dalam tulisan saya kali ini. Teorema 3 Jika A M n adalah matriks simetris maka semua nilai eigennya eigennya bernilai real. Bukti :
Misalkan adalah nilai eigen dari mariks A A dan x x adalah vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen , sehingga berlaku Ax x (1) Karena pasangan konjugat muncul sebagai nilai eigen dari matriks A, A, maka juga merupakan nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan serta berlaku Ax x (2) Selanjutnya, dari Persamaan (2) diperoleh
T
T
Ax
x
T
T
x
x
A
x x x x Ax x x x x x x x x x x T
T
T
A
T
T
T
T
T
T
x
T
x
2
x
2
Karena vektor eigen x x adalah vektor tak-nol maka
x
2
0 , sehingga persamaan
terakhir akan menjadi . Karena dan dengan menggunakan Teorema 1 di atas, maka terbukti bahwa adalah bilangan real. C. PENUTUP Mohon maaf jika terdapat kekurangan kekurangan ataupun kesalahan. Saran dan kritik dapat dikirim ke email saya :
[email protected]
