Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 1.0 Nilai Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mewakilkan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vector. Ia dapat ditulis sebagai:

di mana A suatu matriks iatu nxn, x merupakan vektor yang tidak nol, dan  λ merupakan satu scalar atau nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan

 IAX  

=

 I    X    

 AX  

=

  IX  

  I    AX    0 Oleh itu, det

  I    A = 0

persamaan di atas dipanggil persamaan karakteristik A. Cara khusus untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah: 

2x2 -> det(A) -  λ.trace(A) +  λ2



3x3 -> det(A) -  λ.(M11 + M22 + M33) +  λ2.trace(A) -  λ3

Contoh mencari nilai eigen:

Contoh 1(a):

2 1 0   Carikan nilai eigen dari A = 3 4 0   0 0 2 Penyelesaian: det

  I   A  0

; dimana I adalah matriks identiti.

   2  det  3  0

1    4

0

0 

0     2  0

(   2)(   4)(   2)  3(   2) = 0 (   2)(   4)(   2)  3  0

Faktorkan persamaan linear  (   2) 2  6   8  3  0 (   2)

2

 

 6   5  0

(   2)(   1)(   5)  0

Penyelesaian persamaan adalah:    2   

0

2

   1  0    1

dan

untuk mendapatkan nilai

 

   5 

0

   5

2 1 0    Jadi nilai eigen yang bersesuai untuk matriks 3 4 0 adalah:   0 0 2  1

 2,

 2

 1 dan

 3

 5.

2.0 Vektor Eigen

Vektor eigen( x) merupakan penyelesaian dari matriks (A- λ) untuk setiap nilai  λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga.

Untuk mencari nilai eigen seperti contoh 1, nilai eigen dapat diselesaikan dengan kaedah penghapusan Gauss atau Gauss-Jordan. Kaedah peraturan Crammer tidak dapat digunakan kerana matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c .

Contoh pengiraan dengan matriks A (2x2):

 a11

a12 

a 21

a 22 

 A = 

Persamaan

 a11 a  21



 AX     X  

dapat dituliskan:

a12 

 x1   x1         x  a 22   x2   2

Persamaan (2.1) dikalikan dengan identiti maka menghasilkan:

(2.1)

1 0  a11 0 1   a    21  a11 a  21

a12 

 x1     a 22   x2 

=

1 0  x1     0 1  x2 

 

a12 

 x1    0   x1     = 0    a 22   x2     x2  

a11     a  21

  x1  =0     x2 

a12 a22

(2.2)

Persamaan (2.2) dalam bentuk sistem persamaan linier ditulis: (a11   ) x1  a12 x2  0 a21 x1

 (a22   ) x2  0

(2.3)

Persamaan (2.3) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang R

n

yang

tidak nol terhasil jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Contoh untuk mencari vektor eigen daripada nilai eigen:

Contoh 2(a):

2 0 0    Dapatkan vektor eigen dari A = 2 1 0  0 0 2 Penyelesaiannya:

Mencari nilai eigen matriks: det  I  

 0

A

0 0  (   2)  2 0 det (   1) 0    0 0 (   2) (   1)(   2) 2  0

Nilai eigennya adalah:    1  0    1

   2    

0

2

Vektor eigen yang terhasil daripada persamaan di atas: 0 0   x1  0 ( 2   )  2   x   0 (1   ) 0   2     0 0 ( 2   )   x3  0

Untuk

   1

Sistem persamaan liniernya dapat ditulis seperti:

00  0 2 x1  0  0  0 0  0   x3  0  x1

Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, maka vektor eigen tidak terdefinisikan. Untuk

  

2

Sitem persamaan liniernya adalah: 000  0 2 x1   x2  0  0 000  0

Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: 2 x1   x3

x2

0

Vektor eigen yang sesuai adalah:

  x1     X   2 x1    0  Misalkan

 x1

 t  maka vektor eigennya menjadi:

 t      X   2t  dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.    0 

INTERPRETASI GEOMETRIK DARI VEKTOR EIGEN

DEFINISI: Jika adalah suatu operator linear  T: Rn n

 jika terdapat taknol x di R sehingga eigen dari T 

Rn, maka skalar 

() 

 

  disebut

nilai

().

Vektor taknol x yang memenuhi disebut vektor eigen dari T yang berkaitan dengan

  .

INTERPRETASI: perkalian A memetakan vektor eigen x  pada suatu vektor yang terletak di garis yang sama dengan x .

DIAGONALISASI

Definisi: Sebuah matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A.

Diagonalisasi Ortogonal

Definisi: Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka: (a) Nilai eigen matriks  A semuanya adalah bilangan real. (b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeza saling ortogonal.