Peng Pe ngant antar ar Vek ekto torr Besaran
Skalar
Vektor
(Tidak mempunyai arah)
(Mempunyai Arah)
Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan , mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.
Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor.
Ujung panah disebut titik ujung vektor.
Vektor ditulis dalam huruf kecil tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil , , ,
,
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang
ū =
, panjang
B vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan
Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda. Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w
A
Vektor AB
Vektor-vektor yang ekuivalen
Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :
Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v . Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v . w v+w=w+v v v+w
Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. v
-v
Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0
Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)
v
v-w w
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan k v = 0 jika k = 0 atau v = 0
VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3
Vektor-vektor Vektordalam sistem koordinat Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang)
Koordinat v1 dan v2 dari titik ujung v disebut komponen v , dan kita tuliskan : y v = (v1, v2) (v1, v2) v
y
w = (w1, w2)
v + w =(v1 + w1 , v2 + w2)
v+w
v
v = (v1, v2)
v - w =(v1 - w1 , v2 - w2)
k v = ( k .v k .v )
x
CONTOH : Sketsa kan vektor-vektor berikut ini dengan titik pangkal pada titik asal : (a) v1 = (3,6)
(b) v2 = (-4, -8) (c) v3 = (5,-4)
Hitunglah ! (i) v1+v2 dan v2+v3 (ii) v1-v2 dan v3-v2
(iii) k.
k , dan k jika k = 3
CONTOH : Sketsakan u=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan carilah, (a) u-v
u+2v (c) 5(v-4u)
Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang)
z Z P Y X
y
0
(v1,v2,v3) v y
x x
Jika vektor P 1 P 2 mempunyai titik pangkal P1(x1,y1,z1) dan titik ujung P2(x2,y2,z2), maka P 1 P 2
= (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
Dengan kata lain
P 1 P 2 OP 2 OP 1
CONTOH : Sketsakan u=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan carilah, (a) u - v (b) 6u + 2v
Jika x, y dan z adalah suatu vektor dalam ruang berdimensi-2 dan ruang berdimensi-3. dan β adalah skalar, maka berlaku hubungan berikut : 1. x + y = y + x
Sifat Komutatif
2. (x + y) + z = x + (y + z)
Sifat Asosiatif penjumlahan
3. x + 0 = 0 + x = x 4. 0x = 0 atau x0 = 0
6. Untuk suatu skalar , (x + y) = x + y sifat distributif
7. ( +) x = x + x, untuk suatu skalar dan sifat distributif uv u v
.
=
,
9. 1 . x = x 10.|mu| = |m| |u| 11.Jika mu = 0, maka m = 0 atau u = 0 12.Ketidaksamaan segitiga :
PERGESERAN SUMBU Ketika kita menggeser sumbu –XY sehingga mendapatkan –X’Y’. O’ Titik awal baru berada pa a x,y = , , se an u nya er apa : O' P
= (x’, y’) ,
maka : x’ = x – k dan y’ = y - l
BIDANG PADA RUANG DIMENSI 3 Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat ditentukan jika kemiringan dan salah satu titik yang terletak pa a ang terse ut eta u . Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat digambarkan dengan menggunakan suatu vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang.
z
.
P(x,y,z)
n
. x
P0(x0,y0,z0)
Misalkan n =(a,b,c) adalah vektor normal dari bidang yang melewati titik P0(x0,y0,z0) dan P(x,y,z) dimana P0P adalah vektor y ortogonal terhadap n n . P0P = 0
( a, b, c ) . ( x-x0, y-y0, z-z0) = 0 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
--- --- (i)
Persamaan (i) disebut sebagai bentuk NORMAL – TITIK dari persamaan suatu bidang
BENTUK UMUM PERSAMAAN SUATU BIDANG DALAM DIMENSI 3 TEOREMA :
Jika a, b dan c adalah konstanta tidak nol, maka Grafik dari persamaan : ax + by + cz + d = 0 adalah suatu bidang yang memiliki vektor : n = ( a, b, c) Sebagai normalnya.
GARIS PADA RUANG DIMENSI 3 z l P(x,y,z) P0(x0,y0,z0)
.
.
v =(a, b, c)
y
x
Berdasarkan gambar sebelumnya, diketahui bahwa garis l melalui titik P 0 dan P serta sejajar dengan vektor v . Jika terdapat suatu skalar T, maka diperoleh persamaan berikut :
P0P
= t v
dan; (x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc ) x-x0 = ta y-y0 = tb z-z0 = tc
x = x0 + ta …..(i) y = y0 + tb …..(ii) z = z0 + tc …..(iii)
persamaan (i), (ii), (iii) disebut persamaan parametrik
JARAK ANTARA TITIK DENGAN BIDANG Jika D adalah jarak antara titik P 0(X0, Y0, Z0 ) : ax + by + cz + d = 0 maka
D
ax0 by 0 cz 0 d 2
2
a b c
2
Bila terdapat P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) yang merupakan dua titik dalam ruang berdimensi-3, maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah:
P 1 P 2 x2 x1 , y2 y1 , z 2 z 1 d x2 x1 y2 y1 z 2 z 1 2
2
2
Panjang & Jarak Vektor
Panjang suatu vektor u dinyatakan dengan |u|. Untuk ruang berdimensi 2. u = ( u1, u2) 2
u u1 u 2 Untuk ruang berdimensi 3. u = ( u1, u2, u3) . 2
2
2
u u1 u 2 u 3
2
Misal ada P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah dua titik dalam ruang berdimensi-3, maka jarak d antara kedua titik tsb adalah
P P x x , y y , z z
d x2 x1 y2 y1 z 2 z 1 2
2
2
