II OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA
JUEGOS Y PROBLEMAS 2013 QUINTO DE SECUNDARIA
Tiempo: 80 minutos
Problema 1. Dada la progresión aritmética de números enteros positivos Si a1
10 y aa
2
100 . Calcule aa
a1, a2, a3, a4, ... .
a3
.
Notación: an denota el término de lugar n de la progresión aritmética. (A) 820
(B) 816
(C) 136
Problema 2. Considere el conjunto S todos los números de la forma (A) 86
{(a, b)
18! , (a,b) a !b !
(B) 9!
(D) 85 0
0
:a
(E) 22 b
18} . La suma de
S , es:
(C) 96
(D) 126
(E) 12!
Problema 3. Sabiendo que x, y y z son números reales que satisfacen que: 2x 2y 2
2y 2
53
y2
z2
67
2z 2
x2
89
x2
2y 2z 2 Determine el valor de (xyz)
2
(A) 225
2z 2x 2
(B) 144
(C)140
(D)64
Problema 4. Si: cos12
cos 24
cos 48
cos 96
(E) 20
a b
donde a y b son números enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de a+b? (A) 3
(B) 8
(C) 17
II Olimpiada Recreativa de Matemática
(D) 20
(E) 24 1
Quinto de Secundaria .
Problema 5. Dada la sucesión: T1
Tn Por ejemplo, T3
5 2
T2 T1
2, T2
Tn
1
10, T4
5 y Tn
2
( n
T3 T2
3)
10 5
50.
Encuentre el valor de k tal que Tk termina en exactamente 987 ceros. (A) 20
(B) 18
(C) 17
(D) 16
(E) 15
Problema 6. Dado un hexágono regular de lado 1 cm, calcule el promedio de las áreas de los 20 triángulos cuyos vértices son vértices del hexágono. (A)
9 3 20
(B)
7 3 10
Problema 7. Dada la función f :
(C)
7 3 20
®
(D)
9 3 10
(E)
19 3 20
que satisface:
f (m + n ) + f (mn - 1) = f (m ) f (n ) + 2
para todo m, n Î (A) k – 1
. Calcular el valor de f(2014) + f(2012), siendo f(2013)=k (B) k + 1
(C) 2k – 1
(D) 2k + 2
(E) 2k+1
Problema 8. Sobre una circunferencia de radio unitario se colocan en sentido
horario n ( n ³ 2 ) puntos distintos consecutivos A1, A2 , ... , An , de tal manera que las longitudes de los arcos A1A2 , A2A3 , ..., An -1An , forman una progresión geométrica. Si el
1 , encuentre la suma de los 2 p . valores que puede tomar n para que la longitud del arco AnA1 sea mayor que 256
primer término de dicha progresión es p y la razón es
Aclaración: Para todo arco Ak Al la longitud del arco se mide entre el punto Ak y el
punto Al en sentido horario. (A) 41
(B) 42
(C) 43
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(D) 44
(E) 45
2
Quinto de Secundaria .
Problema 9. Sabiendo que la ecuación x3
px 2
q m ; p, q
0, q
1, m
,
tiene 3 raíces reales a, b y c, el valor de: logq [abc(a 2
c 2 )a
b2
b c
]
es: (A) 2m (D) m
p logq p p logq p
(B) m
2p logq p
(E) m
2p logq p
(C) m
p logq p
Problema 10. En el triángulo ABC los lados
AB, BC y AC miden 5 cm, 6 cm y 7 cm respectivamente. Si PA + AQ es igual a la mitad del perímetro del triángulo ABC, y el área del triángulo APQ es la mitad del área del triángulo ABC, entonces la longitud del segmento PB es:
9
(A)
(D) 2
2
11
(B)
1
(E) 3
2
11
(C)
7
2
11
Problema 11. Determine cuántos pares de enteros positivos (m; n) existen tales que:
(m + 1)! + (n + 1)! = m 2n 2
Recuerde: k ! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ k (A) Ninguna
(B) 1
(C) 2
(D) 3
Problema 12. Calcule el valor de: 1 cos x cos 2x
Para
x
(A) 0
1
cos 2x cos 3x
...
(E) 5
1
cos 2013x cos 2014x
2013 (B) - 1
(C)
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1 2
(D)
2 2
(E)
2 3
Quinto de Secundaria .
Problema 13. En un triángulo ABC obtuso en B, se traza la altura BH (H en
AC), si AC = 8,5. Cuál es el mayor valor entero que puede tomar BH. (A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 7
(E) 8
Problema 14. Dado un cuadrado ABCD con lados de longitud 1cm. Se ubica un
punto X en BC a una distancia d de C, y un punto Y en CD a una distancia d de C. Las prolongaciones de: AB y DX se cortan en P, AD y BY se cortan en Q, AX y DC se cortan en R, y AY y BC se cortan en S. Si los puntos P, Q, R y S son colineales, encuentre el valor de d. (A)
3- 5 2
(B)
3+ 5 2
(C)
3 2
(D)
5 3
(E)
1 2
Problema 15. Dentro del tablero de ajedrez de 8×8, formado por 64 cuadraditos de lado 1 cm, se desea dibujar circunferencias de modo que ninguna pase por algún punto interior de un cuadradito negro, con diámetro de al menos 1 cm. ¿Cuál es la máxima cantidad de circunferencias que se pueden dibujar?
(A) 80
(B) 79
(C) 63
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(D) 58
(E) 50
4
