RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
8
(Elementos de geometría)
10
1. Triángulo.- Se llama triángulo a la figura formada por la
-
reunión de los segmentos determinados al unir tres puntos no colineales.
12
B
13 ángulo exterior
ángulo interior
A -
C
lado AC
ABC:
AB
3. Líneas notables en un triángulo a. Mediana B
BC AC
Perímetro: 2p = AB + BC + AC Suma de ángulos interiores = 180
-
Triángulo rectángulo.- Es aquel que tiene un ángulo recto y los lados que determinan dicho ángulo se llaman catetos; mientras que el lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa. C
b
A
M
C
AM = MC;
BM
es mediana
b. Altura
B
a
c
A
B
AB y BC : catetos AB y BC AC AC : hipotenusa
-
= 90°
-
Teorema de Pitágoras: a2 + c2 = b2 “Suma de cuadrados de catetos igual al cuadrado de la hipotenusa”.
A
H AC BH
;
BH
C
es altura
c. Bisectriz interior B
Por ejemplo, complete la longitud del lado faltante.
2 A
3
D
A BD
-
ˆ
= DBC ; BD ˆ
C
es bisectriz interior
d. Bisectriz exterior
1
E B
3
-
A
C
D
CBD = DBE ; BD es bisectriz exterior ˆ
ˆ
13 5
e. Mediatriz
B
L
12
Luego: sen = 5/13 cos = 12/13 A
M
AC AM MC
C
tan = 5/12 cot = 12/5
sec = 13/12 csc = 13/5
Usted complete ahora:
17
L
8
L es mediatriz de AC .
Definición de las razones trigonométricas de un ángulo agudo Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí los lados de un triángulo rectángulo. Cada uno de estos resultados asumirá un nombre que dependerá de la posición que guarden los lados que se dividen respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. En el gráfico, respecto al ángulo “”:
C
15
sen = cos =
tan = cot=
sec = csc =
Consideraciones: Debemos
familiarizarnos con la terminología que nos vá a acompañar hasta fin de año, así que vayamos eliminando algunas incorrecciones que se tienden a efectuar con las razones trigonométricas. Por ejemplo: - sen + sen sen
b
sen.sen sen() - (sen)2 sen22 sen2 - (sen)2 = sen2: es elevar el sen al cuadrado.
a
A
-
c
B
BC : Cateto opuesto (C.O.)
sen
-
AB : Cateto adyacente (C.A.)
AC : Hipotenusa (H.)
seno de “”:
-
cosecante
de
“”:
sen = -
C.O
-
-
C.A
cos =
8
-
cotangente
2. Del gráfico, calcular "ctg" de
“”:
tan =
secante de “”:
sec = .
H
tangente de “ ”:
17
csc = .
H
coseno de “”:
sen
sen
TALLER 1. De la figura, calcular "sen"
Luego se define:
-
Se supone que con las otras razones trigonométricas se deben tener los mismos cuidados. sen2 2sen
C.O C.A
Por ejemplo, en el gráfico, para “ ”: - C.O. = 5 - C.A. = 12 - H = 13
10
cot =
1
C.A C,O
3. Del gráfico, hallar: sen2 + cos2 2
7
4. En un triángulo rectángulo ABC (C=90°). Calcular: E = senA . secB
P R A C T I C A N DO E N C L A S E
1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en “B”. Calcular:
sen2 A sen2 C a2 . 2 2 2 2 tan A cot C c
A
5. En un triángulo ABC (C=90°), reducir:
a) 1/2 d) 2/3
b) 1/3 e) 1/5
c) 1/4
2. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), reducir: E = senA.secC + senC.secA ˆ
E = c.cosA - a.tanB + b.secA
a) a + c d) 2
6. En un triángulo ABC, recto en "C", reducir: E = cos2 A + cos2B
b) ac e) 2ac
c) 1
3. En un triángulo rectángulo ABC ( B= 90°), reducir: E = a tanC + b cosA a)c d)2(a + b)
b)2c e)4c
c)a + b
4. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), reducir: E = (b - asenA)cscC ˆ
b) c2
a) c
7. En el gráfico, hallar: tan
c
d) 2c2
5
e)
c) 2c
2
2
5. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), reducir: E = (tanA + tanC)senA
2
ˆ
a) senC d) cscC
b) cosC e) cotC
c) secC
6. Calcular el valor de: 1- tan A. tanB 8. En un triángulo ABC, recto en "A", reducir :
tanA tanB Sabiendo que "A" y "B" son complementarios.
E = tanB.tanC + 2senB.secC a) -2 d) 1
b) -1 e) 2
c) 0
7. Del triángulo mostrado, calcular el valor de:
E = cot + 9. Si:
5
cos 2
sec=3 ("" es agudo), hallar: tan.
5
x-1
x +1 a) 2 d) 0
b) 4 e) -2
c) -1
8. Calcular “cot” 10. En el gráfico, halla: tan.tan.
2 28
5 3
5
1
a)
2
b)
3
c)
4
6
d)
5
e)
9. Del gráfico, calcular: C =
17
tan.cot
15
C a) 1 d) 4
A
c) 3
3. A partir del gráfico, calcular: E =
D
3
b) 2 e) 6
B
2
6 a) 0,2 d) 0,5
b) 0,3 e) 0,6
10. Del gráfico, calcular: C
2sen + cos
8
c) 0,4
= tan.tan C
a) 1 d) 3/2
b) 2 e) 3/4
c) 1/2
4. A partir del gráfico, calcular: E =
3cos2 - sen2
A
D 4 b) 4/3 e) 7/3
a) 3/4 d) 3/7
2
B c) 4/7
3
3 11. Del gráfico, calcular: C = csc +
cot a) 1/6 d) 2/3
C 2x + 1
A
a) 1 d) 3
3
B
2x - 1
b) 2 e) 6
c) 4
12. Del gráfico, calcular: C =
c) 1/3
5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 5. Calcular el coseno del menor ángulo agudo del triángulo.
8
b) 1/2 e) 1/9
a) 3/8
b) 5/8
3
5
d)
34
c)
29
34
e)
6. En un triángulo rectángulo los lados de mayor longitud miden 4 y 3 cm. Calcular la tangente del menor ángulo agudo del triángulo.
2sen + cos
B
3 x - 1
a) 2/3
x
b) 3/4
7
A
x + 1
C
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/2 1. En el gráfico mostrado, calcular: E = sec + tan
5
7
7
d) 3 e) 4 7. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se sabe que la altura relativa al lado desigual es el triple de dicho lado. Calcular “sen” ( = BAC ˆ
6
)
1
37
b)
d) 6/7
e)
a) 13
c)
37
c) 1/7
7 4
a) 1 d) 2/3
b) 2 e) 3/2
2. Del gráfico mostrado, calcular: E =
c) 3
8. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se sabe que los lados congruentes son iguales al triple del desigual.
Si: BAC = ; calcular: E = 2tan2 - 7 ˆ
csc + cot
a) 70 d) 63
b) 73 e) 67
c) 69
4. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es la cuarta parte de la hipotenusa. Si el mayor de los ángulos agudos mide ”, señale el valor de:
9. Del gráfico, calcular “tan”. C
1
C=
5
tan +
3
sec
7
A
a)
1
D
3 2
b)
3 6
d)
B
2
e)
3
a)
3
d) 4 3 3
c)
3 4
b) 2
3
e) 5
3
3
c) 3
5. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: senA = 4 senC. Calcular: E = sen2 A - cos2 A ˆ
3 9
a) 1 d) 15/17
10. Del gráfico, calcular “tan”.
b) -1 e) 8/17
c) 5/17
C 17
A
2 2
a) d)
2 5
2
ˆ
3
D
a) 1 d) 4
B
2 3
b) e)
6. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: cosA = 2cosC. Calcular: E = 5cos2 A + 1
c)
2 4
b) 2 e) 5
c) 3
7. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: tanA = 9tanC. Calcular: E = 2sen2 A - 3sen2C ˆ
2 6
11. Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( A = 90°). Calcular: P = b.tanC + c.tanB - c
a) 1 d) 0,5
b) 2 e) 2,5
c) 1,5
ˆ
8. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: cotA = 4cotC. Calcular: E = 7cos2 A + 2cos2C ˆ
a) a b) b c) c d) 2a e) 2c 1. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es igual al doble del otro. Si el menor de los ángulos agudos mide “ , calcular:
C=
5
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
sec + tan 9. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: senA = 2/3. Calcular “senC”. ˆ
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
5
2. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es igual al triple del otro. Si el menor de los ángulos agudos mide calcular:
C=
10
sec - tan
a) 3/2
b)
2
c) 1/3
5
d)
3
e) 1/2
10. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: tanA = 3/2. Calcular “secC”. ˆ
a) 1 d) 3
b) 2 e) 1/3
c) 1/2
13
3. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es la tercera parte de la hipotenusa. Si el mayor de los ángulos agudos mide ”, calcular:
C=
2
a) 5/2
b) 5/3
13
13
d)
2
e)
c)
3
6
tan + sec 11. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: senA = 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si: ˆ
a) 2 d) 5
b) 4 e) 7
c) 6
AB = 8 cm. a) 12 cm d) 24
b) 16 e) 30
c) 18
8. Sabiendo que “” es agudo, además:
12. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: tanA = 2,4. Calcular el perímetro del triángulo, si: AB = 15 cm. ˆ
5
3
tan
8tan
243
=
Calcular: a) 120 cm d) 30
b) 90 e) 45
C = sen 2 - cos2
c) 60
1. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: secA = 2,6. Si el perímetro del triángulo es 60 cm, ¿cuál es su área? ˆ
a) 120 cm2 d) 90
b) 60 e) 45
a) 17/29 d) 23/29
b) 19/29 e) 25/29
9. Del gráfico, calcular: C =
c) 30
c) 21/29
tan.tan C
2. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: cotC = 0,75. Si: AC - AB = 3 cm, ¿cuál es el área del triángulo? ˆ
a) 27 cm2 d) 36
b) 54 e) 18
E= a) 1 d) 4
A
c) 108
3. Siendo un ángulo agudo, tal que: calcular: 5
sen = 0,666...;
M
a) 1 d) 1/2
B
b) 2 e) 1/3
10. Del gráfico, calcular: C =
cot + csc
b) 2 e) 6
c) 3
tan.cot C
c) 3
M
4. Siendo “ ” un ángulo agudo, tal que: calcular:
tan = 0,333...; A
C = 4cos2 - sen2 a) 1 d) 3,5
b) 1,5 e) 4
B
a) 1 d) 1/2
c) 3
5. Siendo “ un ángulo agudo, tal que: calcular: C = 9cos - 11sen
cot = 1,222...;
b) 2 e) 1/3
11. Del gráfico, calcular :
c) 3
C = tan.tan
A
1
a) 0
b) 1 17
202
B
17
202
d) -
c)
e)
202
a) 1 d) 1/2
6. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 1,2; calcular: C = 5sen - 6cos
b)
c)
71
4
e) -
71
B
“ es agudo, además:
calcular:
C = csc + cot a) 1 d) 3/2
12. Del gráfico, calcular:
c) 3
C = tan.cot + tan.cot
71
3
7. Sabiendo que 4 5
b) 2 e) 1/3
1
5
d)
71
C
2
A
3
1
a) 0
D
1
b) 2 e) 4/3
c) 2/3
2
M
N
C
co s
=
a) 1,5 d) 4,5
b) 2,5 e) 5,5
c) 3,5
2. Calcular:
P R O B L E MA S P A R A C L A S E
E= .sec45°.tan30° - 1
1. Calcular:
C = 2sen30° + tan260° a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2. Calcular: 3. Hallar "x": 2x.sen30°
C = sec245° + 3tan230°
- tan45° = sec60° - x a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Calcular:
C = (sec37° + tan37°)(sec245° + 1) a) 1 d) 4 4. Si:
sen = tg37º, calcular : cos
b) 2 e) 6
c) 3
4. Calcular:
C = (csc16° + cot16°)(2sen30° + sec245°) a) 14 d) 28 5. Calcular:
b) 21 e) 12
c) 7
(2 tan 45 sen30 2 cot 53)(sec 53 - tan 53) sec 2 30 - 3 tan2 30 5. Si:
tg = sen60º, hallar: sen
a) 4 d) 5
b) 2 e) 1
c) 3
6. Calcular :
(3 sec 2 45 cos 60 12 tan16)(sen37 sen53) 6 csc 74 tan 37 a) 1 d) 4
6. Evaluar: P = (sec53º + tg53º) sen30º
b) 2 e) 6
7. Siendo
“ ”
un
c) 3
ángulo
agudo,
tan = sen 3 sen6 Calcular:
1 C = 10sen2 +2 cos2
a) d)
1 2
8. Siendo “ ”
b)3/2 e)3
c)2/3
un ángulo agudo, tal que:
tan = 2sen37° + sen53° 5
Calcular: a) 5 d) 20
C = 2csc2 + b) 10 e) 25
2
sec2 c) 15
tal
que:
9. De acuerdo al gráfico, calcular “cot”. A
a) 1/6 d) 2/5
b) 1/3 e) 2/9
c) 2/3
O
2. Del gráfico, calcular “tan”.
60º
P
D C
M B 3
3
a)
3
b) 3
d)
c)
2
4
30º
3
3
A
6
e)
HO
3
10. De acuerdo al gráfico, calcular “tan”
si: BC = 2PC.
a)
2
d)
5
b)
O
e)
c)
3
4
6
3. Del gráfico, calcular “tan”.
106º
A
P
a) 5/8 d) 7/16
3
3
3
A
B
3
C
B
b) 5/16 e) 9/8
8
c) 7/8
120º B
C
3
11. “M” y “N” son puntos medios, calcular “tan”. B
3
a)
N
2 3
7
b)
4 3
d)
37º
A
M
C
b) 21/43 e) 16/43
c)
7
e)
7
7
= 8cot + 1 C
c) 24/43
12. Si en el gráfico “M” y “N” son puntos medios de BM
7 5 3
4. Del gráfico, calcular: E a) 17/63 d) 18/43
3 3
AC
y
; calcular “tan
10
B
127º A
N 18º30'
A
M
a) 1/2 d) 1/4
C
b) 1/3 e) 1/8
c) 1/6
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
D
B
C
D
A
M
H
C
si además: BD = 3DC
37º A
c) 14
5. Si el triángulo ABC es isósceles (AB = BC), calcular: E = tan.cot
TAREA DOMICILIARIA 1. Del gráfico, calcular “tan.
B
7
O
B
a) 2/7 d) 1/7
b) 1/5 e) 4/7
c) 2/5
6. Del gráfico, calcular “tan”. T A
16º
O
B a) 3/16 d) 9/16
a csc b c cos sec b a tan cot c sen
M b) 5/16 e) 11/16
b sen. csc 1 debes notar a b que se trata cos . sec 1 c del mismo c tan . cot 1 ángulo a
C c) 7/16
Por ejemplo, si se tuviera:
sen4x.csc(x + 30º) = 1 7. Del gráfico, calcular “tan. B
estos ángulos deben ser iguales
4x = x + 30° 3x = 30°
M
x = 10°
II. R. T. de ángulos complementarios
A
45º H
C
En el gráfico adjunto, podemos notar que: C
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
b
c) 4
8. Del gráfico, calcular: G = cot - tan
A
D
c
37º
B
M
a) 1 d) 4
b) 2 e) 3/2
C
c) 3
Es decir, si: + =
P R O P IE D A D E S D E L A S R A ZO NE S TRIGONOMETRICAS
a
90° sen = cos tan = cot sec = csc
Por ejemplo:
sen20° = cos70° tan10° = cot80°
Propiedades R. T. recíprocas
sec40º = csc50º
Cuando se definen las razones t rigonométricas de un ángulo agudo, se puede notar claramente que tres de ellas son las recíprocas de las otras, por lo que sus productos serán iguales a 1. Estas parejas son:
C b
A
B
cos b a note que : tan cot c 90 b sec csc c sen
A
a
a
c
B
suman 90º
También, si:
sen4x = cosx 4x + x = 90° 5x = 90° x = 18° tan3x = cot6x 3x + 6x = 90° 9x = 90° x = 10°
TALLER 1. Calcular ‘‘x’’, si:
sen(x+10°) = cos(x+20°)
6. Si: cos = sen37º, calcular: tg
2. Calcular ‘‘x’’, si:
tan (4x+20°).cot(x+80°) =1
7. Si: tanx = coty, calcular: xy xy E 4tan 2sen
2
3
3. Si: senx.csc(3x - 40°) = 1, calcular: tan3x
8. Calcular: (sen20° + cos70°) csc20°
4. Reducir: R
sen20º cos70º
tg50º ctg40º
9. Si: sen4x.csc(x + 30°) = 1, calcular: tan6x
5. Calcular: E = sen(x + 20º)sec(70º - x) 10. Si: sen3x = cos2x, calcular "x"
PROBLEMAS PARA CLASE
8.
1. Calcular: C = 3sen20°.csc20° + 2tan10°.cot10° a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
sen7x.csc(x + 36°) = 1 Calcular: C = sen10x.cos (8x - 3°) 6
a)
c) 3
Siendo:
6
4
b)
2
e)
4
3
d)
3
c)
4
2
2
2. Calcular: 2 cos 10. sec 10 1
9.
5 tan 40. cot 40 1
a) 1 d) 1/2 e)
b) 2 2/3
c) 1/3
sen20 . csc 20 1
c) 5
Siendo “x” un ángulo agudo.
b) 5/13 e) 8/13
a) 18 d) 24
c) 6/13
11. Calcular: C =
b) 16 e) 20
3 tan 23. cot 23
cot = 3 cos 48. sec 48 1 Calcular : C = sec - tan
c) 14
2tan10°.tan80° + 3tan20°.tan70°
a) 1 d) 4
4. Siendo “” un ángulo agudo, tal que:
b) 2 e) 2/3
b) 7 e) 6
(tanx).sec(cotx + 4) = 1 Calcular : C = tan 2x + cot2x
C = cos2 - sen2
a) 1 d) 1/3
Siendo “x” un ángulo agudo.
10. Sabiendo que: cos
2 co s 42. sec 42 1
Donde “” es agudo, calcular:
a) 4/13 d) 7/13
sen (tanx).csc (3 - cotx) = 1 Calcular : C = tan 2x + cot2x a) 9 d) 8
3. Sabiendo que:
tan =
Sabiendo que:
b) 2 e) 5
c) 3
12. Calcular :
C=sen20°.sec70°+2cos10°.csc80° + 3tan40°.tan50°
c) 1/2
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
5. Sabiendo que:
sen2x.csc
x 2 18 =
13. Sabiendo que: sen3 =
1
a) 9° d) 18°
¿Cuál es el valor de “x”? a) 5° d) 20° 6. Sabiendo que:
b) 12° e) 25°
b) 12° e) 36°
14. Sabiendo que:
sec4x = csc(x + 10°) ¿Cuál es el valor de “x”?
cos4x.sec(2x + 16°) = 1 a) 2° d) 24°
b) 8° e) 16°
b) 8° e) 30°
x 2 15 tan3x.cot
15. Si: sen20°.cos4x =
cos70°.sen5x Calcular: C = tan4x.tan5x.tan6x a) 1
=1
2
d)
4
d)
3
b)
4
e)
8
2
2
2
c)
b) 3
Calcular: C = sen5x.sen(7x + 3°) 3
c) 16°
c) 6°
7. Sabiendo que:
a)
c) 15°
c) 18°
¿cuál es el valor de “x”? a) 4° d) 12°
cos2 ¿cuál es el valor de “”?
2
3
e) 9
3
c) 3
T A R E A D OMI C I LI A R I A
tan2 (3x 6) 4 tan(2x 1)
1. Si: tan26°.sen3x = cot64°.cos(x + 10°) Calcular: C =
d) 3
a) 1 d) 4
tan (2x + 5°) tan23x
a) 1
b) 3 3
7. Sabiendo que: sen4x.sec2y = 1; calcular el valor de:
c) 6 3
e)
2. Si:
C = tan (2x + y).tan (3x + y).tan(x + y)
a) 1
sen(6 ) = cos(6 ¨) Calcular: C = tan2x + cot2x a) 7 d) 5
sen(2x - 6) 2 cot(3x - 1) b) 2 c) 3 e) 5
b) 9 e) 3
d)
b) 2 3
e) 3
8. Sabiendo que: + =
c) 11
3
90°; además:
4
m=
3. Si:
c) 3
Calcular: 2
tan x
a) m = 2n d) m = n
2
cot x - 3
5 sec 2 csc
;n=
7
se puede afirmar que:
tan(10 ) = cot(10 ) tan x
3sen cos
b) mn = 7 e) m = 4n
c) mn = 14
cot x
9. Reducir: a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
C = sen 21° - cos21° + sen22° - cos22° +... ... + sen289° - cos289°
c) 3
4. Si en el gráfico: sen3 = cos (2 + 10°); calcular “tan”. C
a) 1 d) 0
b) 2 e) 89
c) 3
/2
M
10. Si el producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo agudo es igual a 1/3, calcular la tangente de dicho ángulo.
2 - 3º
A a) 4/3 d) 8/5
D
B
b) 1/6 e) 8/3
c) 1/3
2
a) 4 b) 2 2 c) 1/3 d) 3 e) Todas las anteriores son respuesta 11. Reducir:
5. Si en el gráfico:
tan = cot
P = (5cos20º - 3sen70º) csc70º
2 3 Calcular “tan”; si además: AD = 2DB
a) 1 d) 4
- 2º
C
b) 2 e) 5
c) 3
12. Si:
sen4x = cos (x + 10°) ¿Cuál es el valor de “x”?
A a) 7/5 d) 8/9
D b) 7/8 e) 9/8
B
c) 8/7
6. Sabiendo que: tan3x.tan2x = 1; señale el valor de:
a) 12° d) 18°
b) 14° e) 20°
c) 16°
