Geometria-3bim y 4bim-5to Sec

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA

Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista

CIRCUNFERENCIA I PROPIEDADES

1.

2.

3.

“El123 5to año

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA




Teorema de Poncelet:



Teorema de Pitot:

OBSERVACIONES:

“El124 5to año

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El125

GEOMETRÍA 5to año


PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular: x + y + z, si el perímetro de  ABC es 126. B

4. Hallar “PC”, si: AB = 9, BC = 15 y AC = 18. P

z

B R y

C T

A

A

C x

5. Calcular “x”, si las circunstancias son ortogonales.

2. Hallar “x”, si “O” es centro.

x 2x

x O 6. Calcular “x” si “O” es centro.

3. Se tiene un triángulo rectángulo de semiperímetro 16 cm y de inradio 4 cm. Calcular la longitud de su hipotenusa.

a

T

b

x°

R

25° A

c

O a) 100° d) 130°

B b) 110° e) 140°

C c) 120°

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En el triángulo, AB = 8; BC = 7 y AC = 6. Hallar “AM” A

C a) 2,5 d) 4

M

P

B

b) 3 e) 1,5

c) 3,5

Q 2. En un triángulo rectángulo de catetos AB = 12 y BC = 16, hallar el inradio del triángulo.

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA 5to año


a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

P A

3. En el trapecio isósceles: AD = BC = 8 cm. Calcular la mediana del trapecio. A

“El126

B

C

B 7. Del gráfico: R = 3 y r = 1, hallar “BE” B

D 4. Hallar “x” si “O” es centro.

4x A

C

r R

a) 18° b) 15° c) 12° d) 10° e) 9°

T

A

B

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

x° O

B

C

5. Hallar “x”, si “T” es punto de tangencia, AO = OB = BP = 1. a) 60° b) 53° T c) 45° d) 30° e) 37° x° A

C

O

B

R

a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 18 10 B A

P

6. Hallar “R”, si AB = 9 y BC = 12.

8. Calcular el perímetro del triángulo ABC.

4

C 1

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El127

GEOMETRÍA


5to año

CIRCUNFERENCIA II I.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO CENTRAL:

................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

2. ÁNGULO INSCRITO:

................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

3. ÁNGULO INTERIOR:

................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

4. ÁNGULO SEMI INSCRITO: ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El128

GEOMETRÍA 5to año


5. ÁNGULO EXTERIOR:

................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

a. Por: 2 secantes

b. Por: 1 tangente y 1 secante

c.

Por: 2 tangentes

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si: TM = OM, hallar: m MBA, “O” es centro y “M” punto de tangencia. 2. En el gráfico: m DEF = 100° y m ACD = 30°. Hallar: m ABD.

M

T

B

O

B

A A

C

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El129

GEOMETRÍA 5to año




F E

6. En una circunferencia de centro “O”, se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, Si: m AB = 120°, m OBC = 45°, hallar: m OAC.

D 3. En una circunferencia de centro “O” se inscribe el cuadrilátero ABCD,m tal que AB es diámetro y m BCD = 125°. Hallar: m ADB + m DAB.

a) 30° d) 5°

b) 15° e) 45°

c) 75°

7. Si “O” en centro, m BD = 30° y PC = OB, hallar: m P. D C 4. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Hallar la: m HBC, si: BH  AC y m APB = 70°.

  5. En la figura, “x”, si L 1 y L2 son tangentes a la circunferencia.

P A a) 10° d) 25°

8.

b) 20° e) 30°

O

B c) 15°

AB y CD son dos cuerdas de una

circunferencia que se cortan perpendicularmente tal que: m BAC = 35°, hallar la medida del ángulo ABD.

L1 a) 70° d) 55°

b) 35° e) 60°

c) 45°

L2 x 

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Las tangentes de “A” y “B” a una circunferencia forman un ángulo que mide 54°. “C” es un punto cualquiera del menor arco AB. Hallar: m ACB. a) 108° d) 117°

b) 124° e) 110°

c) 126°

2. En una circunferencia se tienen los puntos consecutivos: “A”, “Q”, “B” y “P” tal que: m AP = 50°, AB y PQ forman un ángulo de 30°. Hallar: m BQ.

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA 5to año


a) 10° d) 30°

b) 15° e) 18°

“El130

c) 25°

5. Si “B” es punto de tangencia, hallar:

3   2  

3. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) m BFE = 32°, siendo “E” y “P” los puntos de tangencia sobre los lados AB y AC determinados por la circunferencia inscrita. Hallar: mB. a) 42° d) 62°

b) 36° e) 50°

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

A B



c) 52° 

C 4. Circunferencias concéntricas de centro “O” m BOA = 120° y m OBA = 20°. Hallar m FG.

A F B G

O

a) 20° b) 10° c) 18° d) 15° e) 30°

6. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Hallar la m HBC, si BH  AC y m APB = 70°. a) 25° d) 35°

b) 30° e) 45°

c) 40°

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA


PROPORCIONALIDAD

Teorema de Thales:

Observación:

Teorema de la Bisectriz Interior:

Teorema de la Bisectriz Exterior:

“El131 5to año

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El132

GEOMETRÍA 5to año


PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En la figura: AB // CD , determinar “AC” C 4–x A

A

x–2

C R

x+1 B 7–x

D

2. Si: BP // RQ y AB // PR , calcular “x”

4. Calcular:

PE  EF , si: “G” es baricentro PE

del  PQR.

B

P R

A

C P x

Q 2



E

3

 Q

3. Hallar “CR – AR”, si: AB = 5, BC = 7 y AC = 6.

R

5. En la figura: PQ // MN , 5(AP) = 3(PB), MC = 4(BM), AQ = 6 y NC = 12. Calcular “QN” B

B  

M

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El133

GEOMETRÍA 5to año


P

A

C Q

7. Calcular “AR”, si: AB = 10, BC = 14 y AC = 12

N B  

AB 2  ; si DE = 3, calcular: BC 5

6. En la figura:

a) 10 b) 6,5 c) 2 d) 5 e) 3

“2EF”, si L1 // L2 // L3 A

D L1

B

E L2

C

A

R

C

8. Hallar “CP”, si: AC = 12 y AB = 3BC. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12

F L3

B 

a) 4,5 d) 15

b) 8 e) 12



c) 10 A

C

P

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En la figura: m ABE = m EBD, AD = 5 y EC = 12, calcular “AC”

3. Si: AB = 4, BC = 3, CD // EH . Hallar “CH”. Si: HF = 4,5 y L1 // L2 // L3.

a) 2 b) 10 c) 12 d) 8 e) 15

B

A

D

B

L1 E L2

C A

E

D

C

F

L3

H

2. Calcular “QC”, si AP = 5 y PQ = 3 B

a) 4,5 b) 6 c) 6,5 d) 8 e) 7

a) 6 b) 7,5 c) 9 d) 7 e) 5 4. En el gráfico mostrado L1 , L2 , L3 y L4 son rectas paralelas. Hallar “y – x”

L1 A

P

Q

C x+1

x+y

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El134

GEOMETRÍA 5to año


L2 3

7,5

L3 L4

6. Hallar “EM”, si BM es mediana, BD = 3, y

DE = 2, siendo:

2(x+y)

AB 1  BC 3

B

a) 2 d) 3

b) 2,5 e) 1

c) 4

5. En un  ABC se ubica el incentro “I” sobre la bisectriz BM , de tal manera que: 3IB = 2BM. Calcular “AC”, si: AB + BC = 24. a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

c) 10

D  



E 

A

M a) 1 d) 4

b) 3 e) 3

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO I. PROYECCIONES

II. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

C c) 2,5

Carmelo”

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Educativo

“El135

GEOMETRÍA 5to año


Propiedad: (Tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores)

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar “AC” si AH = 9 y HB = 16.

d) 3,5 e) 4

a C 1

A

H a) 14 d) 15

O b) 12 e) 18

B c) 10

8

4. Calcular la suma de los catetos de un triángulo rectángulo con la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa miden 9 y 16.

2. Los lados de un triángulo miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud “x” se debe restar a cada lado para que el triángulo resultante sea triángulo rectángulo? b a) 2 d) 4

b) 1 e) N.A.

c) 3

a

a) 50 b) 52 c) 47 d) 47 e) 40

h 3. Hallar “a” en: a) 2 b) 2,5 c) 3

5. Hallar “d” a) 24

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA 5to año


b) 10 c) 20 d) 9 e) 12

8 18

7. Calcular la longitud del menor cateto de un triángulo rectángulo, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 6 cm.

d

6. Se tiene un trapecio de diagonales perpendiculares las cuales miden 12 y 9. Calcular la mediana de dicho Trapecio. a) 12 d) 5,5

“El136

b) 8 e) N.A.

a) 3

b) 2

3

2 d) 4

e) 2

6

c)

3

8. Calcular la altura relativa a la hipotenusa, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 12 y 27 m.

c) 7,5

a) 18 d) 16

b) 20 e) 15

c) 21

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar “h” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

h 4

9

2. Si: AN = 8 y MN = 12, hallar “NB” M

A

a) 16 b) 18 c) 20 d) 21 e) 25 O

B

3. Lee suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 cm 2. Calcular la longitud de la hipotenusa. a) 15 d) 10

b) 18 e) 10

5. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.

6. El lado de un cuadrado ABCD inscrito, en una circunferencia mide 4. “M” es punto del arco AB de modo que: MD = 5, hallar “MB” a) d)

6 7

b) 5 e) 3

c) 2

7. Hallar “BD”, si: AD = 8 cm y DC = 10. B

c) 20

2 

A 4. Los lados de un  miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo?

2

D E



Carmelo”

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“El137

GEOMETRÍA 5to año


a) 6

b) 6

2

e) 9

3

c)

4

B

6

d) 9

C 8. En el gráfico: AB = 6 y BC = 8. Hallar la distancia de “O” a AC A

O a) 23 d) 3 23

b) 33 e) 2 5

c) 4

3

Carmelo”

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Educativo

“El138

GEOMETRÍA


5to año

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1. 1er. TEOREMA DE EUCLIDES

2do. TEOREMA DE EUCLIDES

2. TEOREMA DE LA MEDIANA

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El139

GEOMETRÍA


3. TEOREMA DE HERÓN (Cálculo de la Altura)

4. 2do TEOREMA DE LA BISECTRIZ 

Bisectriz Interior



Bisectriz Exterior

5to año

Carmelo”

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“El140

GEOMETRÍA 5to año


PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Los lados de un triángulo miden 9, 10 y 13 m. Calcular la longitud de la mediana relativa al lado medio. B a) 13 b) 11 c) 10 d) 12 e) 14

5. Hallar “x” en: x

5

2 A

4

C a) 8 d) 11

2. En un triángulo ABC: AB = 9, BC = 10, AC = 13, calcular la proyección de la mediana AM sobre AC .

110 a) 3

122 b) 13

d) 15

e) N.A.

b) 20 e) 10

c) 13

6. Según el gráfico, hallar “r” si AB = 6, AC = 8 y CD = 4. D

c) 20

C A

B

O r

3. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 9, BC = 10 y AC = 17. Hallar la altura relativa al lado AB. C

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

7. Hallar “x” en:

9 7 A

B a) 14 d) 6

b) 10 e) 12

4

c) 8

x a) 3 d) 10

4. Hallar “x” en: a) 2 b) 3,2 c) 1,2 d) 4,2 e) 2,5

x

b) 4 e) 12

c) 6

8. Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17. Hallar “R” T A

12 6

10

O

R

B

Carmelo”

Consorcio

Educativo

GEOMETRÍA 5to año


a) 6

b) 8

“El141

c) 9

d) 10

e) 5

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 10, hallar la longitud de la proyección del lado menor sobre el lado mayor. a) 1,5 d) 2,75

b) 0,75 e) 1,25

6. Hallar “x” en:

c) 2,25 10

2. Dado el triángulo ABC: AB = 2 mc, BC = 4 y AC = 3. Calcular la proyección de AB sobre AC . a) 1 d) 0,25

b) 1,5 e) 0,75

c) 0,5

b) 9 e) 4

x a) 3,6 d) 3,4

3. En el triángulo PQR: PQ = 10, QR = 17 y PR = 21. Hallar la longitud de la altura QH . a) 8 d) 7

7 5 b) 2,6 e) 2,7

7. Hallar “x” en: 9

c) 6

6

2

4. En el triángulo de lados que miden 6, 8 y 12, calcular la longitud de la menor mediana del triángulo. a)

11

b)

13

14

e)

17

a) 12/4 d) 12/4

5. En un triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15, calcular la altura relativa al lado intermedio. a) 10 d) 9

b) 11 e) 8

x 10

c)

15

d)

c) 2

c) 12

b) 13/12 e) N.a.

c) 11/4

8. Dado el triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15, calcular el menor ángulo interior del triángulo. a) 37° d) 53°

b) 45° e) 30°

c) 60°

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El142

GEOMETRÍA


RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. TEOREMA DE LAS CUERDAS

2. TEOREMA DE LAS SECANTES

3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE

4. TEOREMA DE PTOLOMEO (Cuadrilátero Inscrito o Inscriptible)

5to año

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El143

GEOMETRÍA


5to año

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El144

GEOMETRÍA 5to año


PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Siendo “O” y “O1” centros, PQ = 4 y QS = 9, hallar “AQ” 4. En la figura: AB = 4; BC = 2; AQ = 3, hallar QP C

T P Q

A

B

O a) 3 d) 8

O1

B

b) 10 e) 7

C

Q

P

c) 6 a) 2 d) 5

2. Si: AC = 6 y DQ = 4, hallar “CD”, si además “B” y “Q” son puntos de tangencia. A

A

D

b) 3 e) 6

c) 4

5. Calcular el perímetro del  ABC. Si: r = 8.

B

Q

r

O a) 3 d) 2

A

B b) 6 e) 1

c) 7

3. Hallar “CM”, si AE = 16, EB = 6 y la relación entre CE y EM es de 2 a 3. C

c) 16

b) 9 y 3 e) 18 y 6

c) 12 y 4

7. En una circunferencia de 13 m de radio calcular la longitud de la flecha correspondiente a una cuerda de 24 m. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

E B M b) 18 e) 26

b) 14 e) 20

6. Los segmentos de una de dos cuerdas que se cortan miden 16 cm y 3 cm. Hallar la medida de los segmentos en que se divide la otra cuerda, sabiendo que uno es el triple del otro. a) 6 y 2 d) 15 y 5

A

a) 16 d) 24

a) 12 d) 18

C

8. Hallar “x” si: R = 9 y r = 4. c) 20 x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El145

GEOMETRÍA 5to año


R

r

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Si: CD = 12, AB = AC + 5. Calcular “AC”

d) 11

e) 6

B

A

C

D

5. Si AQ = 2, PQ = 4; calcular “r” a) 2 P b) 1 c) 4 d) 5 e) 7 A

a) 12,5 d) 18,5

b) 13 e) 14

B

c) 6,5

Q

r

2. Si AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP” C

a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2

B A

P

6. La figura muestra dos circunferencias secantes de radios 7 y metros respectivamente. La distancia entre los centros es 5 m. Hallar X. a) 2 b) 3 c) 4 x d) 5 e) 6 O

D

O’

3. Si EF = 6, AB = 4, hallar AE F a) 8 b) 7 c) 5 d) 2 e) 4 E

7. Si PQ = QR; SR =1, hallar “US” P Q

A B

U

r R

T

S

b) 4 e) 7

c) 3

4. Hallar “x” en: M

a) 2 d) 6

x N

8. Calcular “OD”. Si AD . DB = 200

8 2

A D 15

a) 10

b) 12

c) 8

B O

Carmelo”

Consorcio

Educativo

“El146

GEOMETRÍA 5to año


a) 6 d) 7

b) 5 e) 3

c) 4

Geometria-3bim y 4bim-5to Sec

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