PROLOGMÁTICA 2009
Quinto Año
Quinto Año 1.
Sean r , s, t, p i, q i
( i=1; 2; ...; n)
4.
Si se selecciona al azar un número de 4 cifras del
proposiciones tales que
sistema decimal, ¿cuál es la probabilidad que el
p i ∧ t es falsa para todo i=1; 2; ...; n
complemento aritmético del complemento aritmético
p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ ... ∨ p n es verdadera
de dicho número sea un número de 2 cifras?
r ≡ ( p1 ∧ t) ∨ ( p2 ∧ t) ∨ ... ∨ ( p n ∧ t) q i= p i ∨ t es falso para i par y verdadero para i impar
Indique los valores de verdad de
I.
( p5 ∨ t) ↔ ( q2 ∧ p1)
II.
∼( q1 ∧ q2) ∨ ( p3 ∧ t)
A) 0,018
B) 0,019
D) 0,021
5.
C) 0,020 E) 0,030
Cristiano tiene tiene un dado en el cual la probabilidad probabilidad de
A) FV
obtener un puntaje es proporcional a dicho puntaje y
B) FF
Roberto tiene otro dado en el cual la probabilidad de
C) VV
obtener un puntaje es inversamente proporcional a
D) VF
dicho porcentaje. Si cada uno lanza simultáneamente
E) falta información
su dado, ¿cuál es la probabilidad que el puntaje de Cristiano sea mayor que el doble del puntaje de
2.
De un grupo de personas, se sabe que se pueden
Roberto?
formar 462 grupos diferentes de al menos 2 varones y al menos 3 mujeres. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse estas personas alrededor de una
A)
1014 3087
D)
450 1029
mesa circular si las mujeres deben estar juntas?
A) 2880
B) 4320
E) 17 280
6.
C)
470 1029
E)
471 1030
Calcule la suma 99
∑ k
Una muestra consiste en en las notas obtenidas por los
k=1
alumnos de un salón. Indique si es verdadero (V) o si es falso (F). I.
1024 3087
C) 7200
D) 14 400 3.
B)
1 k + 1 + ( k + 1) k
A) 0,1
Si al 50% de los alumnos se les aumenta 1 punto
B) 0,9
D) 1,1
y al resto se le disminuye 1 punto, entonces la
C) 0,8 E) 0,88...
varianza no se altera. II.
Si la desviación estándar de las notas de las mujeres es menor que la de los varones, entonces el promedio de notas de las mujeres es menor
7.
Sean f y y g dos funciones definidas por
f ( x)=– x; x ∈ −1;
que de los varones. III. Si todos los varones hubieran obtenido nota 16
g( x)=–
5 2
1 1 17 ; x ∈ ; x 3 4
y todas las mujeres 15, entonces ambos grupos halle la longitud de la gráfica de la función f · g.
tendrían la misma varianza. A) VVV D) FFV
B) FFF
C) VFF
A) 1 u
E) FVV
D) 17/6 u
B) 13/6 u
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C) 21/4 u E) 47/12 u
1
1. er Concurso Nacional de Matemática 8.
Determine el número de soluciones reales que
PROLOGMÁTICA 2009
12.
Las caras laterales de la pirámide regular mostrada mostrada son
presenta la ecuación
triángulos equiláteros. En dicha pirámide está inscrito
4 x2 – 40 x +51=0
un prisma triangular regular, de modo que dos de sus vértices son los centros de dos caras laterales de la
: denota al mayor número entero menor o igual a x.
x
pirámide y una cara lateral del prisma descansa en la A) 1
base de la pirámide. Calcule la razón de volúmenes de
B) 2
la pirámide y el prisma.
C) 3 D) 4
9.
E) 8
Halle todos los valores reales de x que satisfacen la desigualdad x 2
( x + 1 −
10.
x + 1)
< 2
x 2 + 3 x + 18 ( x + 1) 2
A)
3 1 − 4 ; 0 ∪ 4 ; 2
C)
〈–1; 0〉 ∪ 〈0; 3〉
D)
〈–1; 0〉 ∪ 〈2; ∞〉
B)
1 2 ; 3 A) 4 3
E)
〈–1; 0〉 ∪ 〈0; ∞〉
B) 9 6
D) 3 2
C)
9 6 2
E)
5 6 2
La función polinomial f ( x)= x4 – 2 x2+ax+b
13.
En el gráfico mostrado, C , E y G son puntos de tangencia. Si DE =4 =4 y EF =3, =3, calcule FB.
tiene cuatro raíces reales distintas, luego el valor absoluto de las raíces es menor que
C
A) 6
E
B) 5
F
7
C)
G
D) 2
11.
D
E)
3
En el gráfico mostrado, AB es diámetro y T es es punto de
A
B
O
tangencia. Calcule S x en función de S1 y S2. T
A) 7 S2
C) 12
D) 2 7
E) 9
S1
14.
Exteriormente a un octaedro regular, regular, P – ABCD – Q se construye el tetraedro regular M – PCD. Si la arista
S x
A
B) 14
B
del octaedro mide a, calcule la longitud de la menor
distancia entre las rectas MC y AB. A) C) D)
2
(
S1
−
S2
)
2
B)
(S1 − S 2 )2 2S 2
A)
a 2 3
D)
a 6 2
S1 ⋅ S 2 S1 – S2
E)
S1 ⋅ S 2 S1 + S 2
B)
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a 3 2
C)
a 13 5
E)
a 6 3
PROLOGMÁTICA 2009
15.
Quinto Año
Halle las coordenadas del punto P.
18.
Forme Fo rme la ecuación, cuyas raíces son
cos
Y
2p 4p ; cos ; 7 7
6p 7
cos
A) x3+4 x2 – 4 x+1=0 P
B) x3 – x2+ x+1=0
C) 8 x3+4 x2 – 4 x+1=0 D) 8 x3+4 x2 – 4 x –1=0
X
C.T.
19.
E) x3+ x2+ x+1=0
Halle el rango de la función tan2 x+tan x+4 f ( x)= tan x+1
A)
1 tan q; tan q − 1
B)
1 1 ; tan q − 1 tan q + 1
C)
1 ; tan q tan q − 1 tan q − 1
20.
〈– ∞; – 5] ∪ [3; +∞〉
C)
〈– ∞; – 3] ∪ [5; +∞〉
D)
〈– 3; 5〉
4
asen x+ bcos x
A) a+b
17.
〈– ∞; +∞〉
Resuelva en
A)
p − ;0
D)
3p ; 2p 2
valor de la expresión
D)
E)
Indique el intervalo que no cumple.
Siendo a y b constantes positivas, calcule el mínimo
C)
〈3; 5〉
tan x – sen x < 0
1 ; −1 E) tan q + 1 tan q
4
B)
– p < x < 2p
D) (tanq; – tanq)
16.
A)
B) ab
21.
2
B)
p 3p 2
;
4
C)
2p ; 3
E)
0;
p
p 2
Dada la hipérbola 9 x2 – 16 y2=144
ab a+b
halle su distancia focal.
a+b
a+ b
E)
ab
A) 5 D) 10
En el gráfico, gráfico, halle la ordenada del punto punto P. 22.
Y
B) 16
y=csc x
C) 8 E) 6
Calcule n para que la recta y=2 x+n sea tangente a la elipse 9 x2+4 y2=36.
y=tan x
A) 2
P
D) 5
1
y=cos x 0
x1
23.
X
5 −1 2
C) 4 E) 6
Las nuevas coordenadas de un punto son
3 3 − 4 −3 − 4 3 ; 2 2
2
A)
B) 3
Halle las coordenadas originales, si los ejes han sido B) 4
girados un ángulo de 30º.
C) 2 5 D)
5 −1
E)
5 +1 2
A) (3; 4)
B) (3; – 4)
D) (4; – 4)
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C) (3; 3) E) (4; – 3)
3
1. er Concurso Nacional de Matemática 24.
La recta y – x –1=0 mediante una rotación adecuada se
PROLOGMÁTICA 2009
27.
Karina es amiga de Gilber, Gilber, Luis y 9 amigos más; más; ¿de
convierte en el sistema x'y' en una recta paralela al eje
cuántas maneras diferentes puede seleccionar un
x'. Halle la ecuación de dicha rect a.
grupo de 5 para cenar si Gilber y Luis no pueden estar en el mismo grupo?
A) y'= 2
B) y'=
2 2
A) 252 D) 276
C) y'=– 2 D) y'=
B) 378
28.
1 2
E) y'=1
C) 384 E) 126
Si M representa representa el número de segmentos en la figura (I) y N representa el número de triángulos en la figura (II); halle M – N .
25.
Ximena escribió k filas de números. La primera fila es 1; 2; 3; ...; 50, y cada una de las filas siguientes se obtiene a partir de su fila anterior de la siguiente manera: los cuatro últimos números de la fila anterior son movidos al inicio de la fila, pero en orden inverso al que se encontraban. Por ejemplo, la segunda
(I)
(II)
fila es 50; 49; 48; 47; 1; 2; ...; 46, la tercera fila es 46; 45; 44; 43; 50; 49; 48; 47; 1; 2; ...; 42 y así sucesivamente. s ucesivamente. Si
A) 2
entre las filas que escribió Ximena no hay dos iguales,
D) 0
B) 4
C) 3 E) 1
determine el mayor valor posible de k. 29.
A) 150
En un torneo peruano de vóley jugaron 9 equipos más de Lima que de provincia. Cada pareja de equipos
B) 50
jugó exactamente una vez, en total los equipos de
C) 280
Lima ganaron 9 veces tantos partidos como ganaron
D) 312
E) 198
los equipos de provincia. ¿Cuál es el máximo número de partidos que un solo equipo de provincia pudo
26.
Se define
haber ganado?
2 n+3 =6 n+4
Nota: En
un torneo de vóley no hay empates.
A) 8
5 n –2 =10 n – 3
B) 5
D) 11
C) 10 E) 12
Calcule el valor de x en 30.
Si un número N es es de la forma x( x+y – 3) y(6 – x)(9 – x – y)(6 – y)
2 x+1
=58
Se cumple que todos los números N son múltiplos de " d d . Halle el máximo valor de d , indique como " "
respuesta la suma de los cuadrados de las cifras de A) 1
este máximo.
B) –1
C) 0 D) 1/3
A) 9 E) 1/2
B) 18
D) 90
Departamento Departa mento de Publicacione Publicaciones s Villa María, 28 de noviembre de 2009
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C) 162 E) 81
