II OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA
JUEGOS Y PROBLEMAS 2013 TERCERO DE SECUNDARIA
Tiempo: 80 minutos
Problema 1. Determine el número de parejas (x ; y ) de enteros que satisfacen:
22x (A) Ninguno
(B) 1
3 2y
55
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Problema 2. ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a S = 20132 (A) 5×105
20122
(B) 1×106
20112
20102
...
(C) 2×106
52
42
(D) 5×106
Problema 3. ¿Cuántos enteros positivos n, cumplen que n 5 (A) Ninguno
(B) Infinitos
(C) 5
Problema 4. Ordene los números p (A) p (D) q
q t
t p
(B) t (E) p
22 ?
32
n
(E) 2×107 1 es primo?
(D) 2
2
2
q t
,q
3 ,t
1
2
p q
(E) 1 1 2
de menor a mayor.
(C) q
p
t
Problema 5. En una hoja de papel se escribe la edad de Beto y a continuación la edad de Ana, obteniéndose un número de cuatro cifras que es un cuadrado perfecto. Si se hiciera lo mismo dentro de 23 años, se tendría de nuevo un cuadrado perfecto de cuatro cifras. Hallar la suma de las edades actuales de Beto y de Ana. (A) 25
(B) 31
(C) 36
II Olimpiada Recreativa de Matemática
(D) 45
(E) 46
1
Tercero de Secundaria .
Problema 6. Sea p un número primo. Encuentre cuántos pares de enteros positivos (x, y) satisfacen que:
x3 (A) 0
(B) 1
y3
3xy
p 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Problema 7. Ana y Beto tienen que escribir cada uno una lista ordenada de
fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Ana y la suma de todas las fracciones de la lista de Beto sea mayor que 123.
12 22 32 42 52 Las fracciones de la lista de Ana son: ; ; ; ; ;... 1 3 5 7 9 12 22 32 42 52 Las fracciones de la lista de Beto son: ; ; ; ; ;... 3 5 7 9 11 Hallar la menor cantidad de fracciones que deben escribir cada uno para lograr el objetivo. (A) 240
(B) 243
(C) 245
(D) 246
(E) 247
Problema 8. Encuentre un número natural N menor que 1000, tal que N posee la máxima cantidad de divisores posibles. Indicar como respuesta la cantidad de divisores de N. (A) 36
(B) 35
(C) 32
(D) 30
(E) 27
Problema 9. Si la ecuación x - a - b = 2013 tiene 3 raíces reales y diferentes, para todo a ¹ 0 . Cuántos valores reales puede tomar b. (A) Ninguno
(B) Infinitos
(C) 2013
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(D) 2
(E) 1
2
Tercero de Secundaria .
Problema 10. Si 0
1 . ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar
t
f (t ) (A)
3 3 8
(B) 1
(C)
t t3 ? 3 8
(D)
4 3 9
(E)
2 3 9
Problema 11. Esther y Fernando llenan, cada uno, un tablero de 10 × 16, con los
números del 1 al 160. Esther lo hace por filas, es decir en la 1° fila los números 1, 2, 3, ..., 16; en la 2° fila los números 17, 18, ..., 32 y así sucesivamente. Fernando eligió hacerlo por columnas, es decir en la 1° columna los números 1, 2, ..., 10; en la 2° columna los números 11, 12, ..., 20 y así sucesivamente. 1
2
3
... ...
16
1
11
21
... ...
151
17
18
19
... ...
32
2
12
22
... ...
152
... ...
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
160
10
20
30
... ... ... ... ... ...
... ... 160
145 146 147
Esther
Fernando
Si superponemos (uno encima de otro) los tableros de Esther y Fernando, observamos que, por ejemplo, los números 1 y 160 coinciden en la misma casilla. Encuentre la suma de aquellos números que coinciden en las mismas casillas en ambos tableros. (A) 319
(B) 320
(C) 321
(D) 322
(E) 323
Problema 12. Dada la sucesión de polinomios P0, P1, P2,.. definida como:
P0 (x ) y
Pn (x )
x3
Pn 1(x
213x 2
n)
67x
2013
para n = 1, 2, 3, ...
¿Cuál es el coeficiente de x en P21(x)? (A) 61610
(B) 61010
(C) – 96160
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(D) – 40260
(E) 16610 3
Tercero de Secundaria .
Problema 13. Sean a, b y c números tales que: a3
2a
1 ,
Encuentre el valor de a 6
b6
c6
(A) 27
(B) 24
b3
2b
(C) 23
1 , c3
2c
1
(D) 21
(E) 19
Problema 14. Sean a, b, c y d las raíces reales del polinomio x 4
6x 2 4x 2 , sea P(x) un polinomio de grado 4, cuyas raíces son a 2 ,b 2 ,c 2 y d 2 . Encuentre P(-1).
(A) 15
(B) 20
(C) 23
(D) 24
(E) 25
Problema 15. Para cada entero positivo n, se denota por D(n) al número de
parejas formado por dígitos adyacentes y diferentes en la representación binaria de n (base 2). Por ejemplo: D(3)=D(112)=0, D(21)=D(101012)=4 y D(97)=D(11000012)=2. ¿Para cuántos enteros positivos n menores o iguales a 97, se tiene que D(n)=2? (A) 16
(B) 20
(C) 26
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(D) 30
(E) 35
4
