Física General
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Cap. 1 ANÁLISIS VECTORIAL CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Demostramos los procesos matemáticos que sustentan como herramienta a la física estudiando y analizando las características y sus aplicaciones en el manejo de los vectores para el desarrollo y generación de recursos productivos, en beneficio de la sociedad plurinacional de Bolivia
SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA Descargue el software GEOGEBRA, un pequeño manual de uso y practique suma, resta, productos con vectores en dos y tres dimensiones.
¿Qué es GEOGEBRA?: GeoGebra es un software matemático interactivo libre que está lleno de funcionalidades tendientes a simplificar las construcciones geométricas. Está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas. Es un recurso educativo que se utiliza en como una herramienta didáctica en la enseñanza de las Matemáticas. Los usuarios pueden hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas, que pueden ser modificados posteriormente, de manera dinámica. Con este programa, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la capacidad de operar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un amplio repertorio de comandos propios del Cálculo, para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Posee cinco características distintivas: En relación a las ecuaciones y el sistema de coordenadas, se cuenta con una gran cantidad de funcionalidades, como por ejemplo, la gráfica de ecuaciones (de una manera muy similar a un graficador), trazado de tangentes, áreas inferiores, etc.
Física General
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Vector.- El vector es una representación gráfica de una magnitud física vectorial, posee cuatro elementos:
L A
Suma de vectores.Consiste en determinar en forma gráfica y analítica un vector resultante que produzca los mismos efectos de los vectores componentes actuando juntos y simultáneamente. a) Vectores paralelos y colineales.- Todos los vectores tienen la misma dirección, solo se diferencian en los sentidos, pueden ser positivos o negativos.
O 1. Módulo.- Es el valor numérico del vector, geométricamente es el tamaño del vector.
OA V V = Vector OA V V Módulo 2. Dirección.- Es la línea de acción del vector o las líneas rectas paralelas a él ( L ). La dirección queda definida por el ángulo (θ) 3. Sentido.- Es la característica del vector que nos indica hacia donde se dirige. Está determinado por la punta de la flecha (A) 4. Punto de aplicación.- Es el origen del vector (O)
Expresión de un vector como par ordenado.- En el plano cartesiano los vectores tienen dos componentes, donde el origen del vector se encuentra en el origen de coordenadas.
A 2 u
C 4 u
B 3 u
La resultante es:
R A B C (2) (3) (4) 3 u La resultante tiene módulo 3 unidades, dirección horizontal y sentido hacia la derecha. b) Método del paralelogramo.- Válido para dos vectores concurrentes. Se dibujan los dos vectores componentes haciendo coincidir sus orígenes, luego se trazan paralelas para formar un paralelogramo, el vector resultante estará en una de sus diagonales y su punto de aplicación coincidirá con el origen de los vectores.
Ejemplos:
N
M
O
Módulo de R : Aplicando teorema de los cósenos al triángulo OMN:
A (5 , 5)
B (7 , 6)
C (4 , 7)
R 2 A2 B 2 2 A B cos (180º ) Por identidad:
cos(180º ) cos
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Física General
R 2 A2 B 2 2 A B cos
Entonces:
R
A2 B 2 2 A B cos
Dirección de R : Aplicando teorema de senos al triángulo OMN:
sen sen(180º ) B R Reemplazando: sen(180º – ) = sen
Ejem. 1.1.- Calcular el vector resultante (módulo y dirección), de dos vectores de 80 N y 60 N que forman un ángulo de 120º. Datos: Incógnitas: A = 80 N R = ? B = 60 N θ = ?
sen sen B R sen
B sen R
Dónde: R = Módulo del vector resultante A y B = Módulos de los vectores sumandos
= Ángulo entre los vectores A y B = Angulo del vector resultante con uno de sus componentes
c) Método del triángulo.- Válido solo para dos vectores concurrentes. Se trazan los vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá el origen del primer vector. Ejemplo:
120º
Solución: Módulo de R:
R R
A2 B 2 2. A.B.cos (80 N )2 (60 N )2 2(80 N )(60 N )(cos120º ) 72.11 N
Direcciòn de R:
sen B
sen (180º 120º ) R
sen sen
B sen 60º R
60 N sen 60º 72.11 N
0.72
Sumar los siguientes vectores:
arcsen 0.72 46.1º d) Casos particulares.- Para el ángulo de dos vectores.
Aplicando el método del triángulo:
Resultante máxima.- La resultante de dos vectores es máxima cuando estos se encuentran en la misma dirección y sentido ( θ = 0º )
Módulo de R :
R A B
Física General
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Resultante mínima.- La resultante de dos vectores es mínima, cuando estos se encuentran en la misma dirección; pero de sentidos contrarios (θ= 180º )
R A B
Módulo de R :
Resta de dos vectores.- Es un caso especial de la suma de vectores, se toma en cuenta al vector opuesto de uno de los sumandos y se procede de la misma forma que la suma: Ejem. 1.3.- Hallar el vector resultante: R = A – B
e) Vectores ortogonales.- Cuando dos vectores forman 90º son perpendiculares u ortogonales.
En este caso usaremos el vector opuesto de B:
Módulo de R : Teorema de Pitágoras:
R
Dirección de R :
A2 B 2
tan
cat .opuesto cat .adyacente
tan
B A
Vectorialmente:
R A B
Ejem. 1.4.- Hallar el vector resultante: R = B – A
Ejem. 1.2.- La resultante de dos vectores, varía al hacer girar uno de ellos. El mínimo módulo de la resultante es 2 y el máximo 14. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores forman ángulo recto. R mínima:
A–B=2
R máxima:
A + B = 14
En este caso, el vector opuesto de A
Resolviendo ambas ecuaciones, se tiene: A=8
y
B=6
Cuando forman ángulo recto, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
R A 2 B 2 8 2 6 2 100
Vectorialmente:
R B A
R 10 Para tomar en cuenta: La sustracción de vectores no es conmutativa.
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Física General
Ejem. 1.5.- Determinar una expresión vectorial, de
manera que el vector A esté en función de los vectores B , C y/o D . a)
B
b)
A
A
A
Trazamos el vector D para facilitar el ejercicio:
C
Trazando A
B C A
se tiene:
B
A
D
C
D
Despejando: A C B b)
C
B
C D
A
Trazando los vectores opuestos D permite plantear dos ecuaciones:
D B A
C D 12 B
B
C D B A
B C A 12 B
y D , nos
s/m/m ambas ecuaciones
A C 12 B
A C D B
Despejando:
B
Método del polígono.- Es una continuación del método del triángulo, válido para dos o más vectores concurrentes y coplanares.
De donde se despeja:
c) A
C
C A B De donde se despeja:
AC B
Este método gráfico se utiliza tanto para la suma como para la resta de vectores. Se trazan los vectores uno a continuación de otro y luego formar un polígono con una recta, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
Ejem. 1.6.- Hallar el vector A en función de los vectores B , C
Ejem. 1.7.- Sumar los siguientes vectores:
a)
A
B
C
Diagonal mayor: 2 A . Se tiene: 2 A B C Despejando:
A 12 ( B C )
Aplicando el método del polígono:
Física General
-7Procedimiento: -
Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares.
-
Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método de vectores colineales.
-
Hallar el módulo del vector resultante aplicando el teorema de Pitágoras.
Nota: El ángulo de la resultante deberá medirse con un transportador de ángulos Para tomar en cuenta: En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema de vectores se encuentra en equilibrio.
R
-
V
x
2
Vy
2
Hallar la dirección de la resultante con la función tangente:
tan
V V
y
x
Componentes rectangulares de un vector.- Se denominan así a las proyecciones rectangulares de un vector sobre los ejes coordenados.
Ejem. 1.8- Hallar la resultante.
Y
X
O
Se puede expresar un vector en función de otros dos ubicados sobre los ejes X e Y.
R Rx R y
A = 30 N D = 60 N
Los módulos de éstas componentes se obtienen a partir de las funciones trigonométricas:
cos sen
Ax A Ay A
Ax
Ay
Componente horizontal
Ax A cos
A cos
Datos:
A sen
B = 50 N E = 40 N
C = 25 N
Solución: 1º) Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares: 2º) Determinar la resultante horizontal y vertical, por la suma de vectores componentes colineales, horizontales y verticales:
Vx = Acos70º + Bcos150º + Ccos0º + Dcos(–30º) + Componente vertical
Ay Asen
Ecos270º
V y = Asen70º + Bsen150º + Csen0º + Dsen(–30º) + Esen270º
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Física General
Vx = 30xcos70º + 50xcos150º + 25xcos0º + 60xcos(–30º) + 40xcos270º
V y = 30xsen70º + 50xsen150º + 25xsen0º + 60xsen(–30º) + 40xsen270º
Componente horizontal:
Vx = 43.92 N
Componente horizontal:
V y = –16.81 N
CUADRO RESUMEN
V
Vx V cos
A = 30
70º
B = 50
150º
C = 25
0º
D = 60
–30º
E = 40
270º
Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos.
Los vectores cartesianos son: V y V sen
i
= Tiene dirección del eje X positivo
i
= Tiene dirección del eje X negativo
j
= Tiene dirección del eje Y positivo
j = Tiene dirección del eje Y negativo
V
x
43.92
V
y
–16.81
3º) Graficando las sumatorias horizontal y vertical, se tienen dos vectores perpendiculares: Y
i i j j 1 Representación de un vector en función de los vectores unitarios:
V Vx ; V y
Vx
Vy
El módulo es igual a la unidad:
V Vx i V y j
X
R
Modulo:
V Vx2 V y2
Dirección:
tg
Vy Vx
4º) Con Pitágoras se obtiene el módulo de R:
R
Vx V y 2
2
Ejemplos:
43.92 16.81 2
R 47.03 N La dirección de la resultante:
tg
Vy Vx
16.81N 0.3827 43.92 N
20.9º
2
A 4 ; 5
A 4 i 5 j
B 6 ; 2
B 6 i 2 j
C 4 ; 0
C 4i
Suma de vectores aplicando los vectores unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar o restar cada uno de los componentes unitarios de cada vector:
Física General Ejem. 1.9- Sumar:
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A 4 i 5 j ; B 2 i 3 j
R A B (4 2) i (5 3) j R 6i2 j
Módulo de la resultante:
R 24 2 7 2 25 Multiplicación de vectores.- Además de la suma y la resta de vectores, existe la multiplicación entre vectores. a) Producto de un escalar por un vector.- Una cantidad escalar es todo número real, positivo o negativo, entero o fracción. El producto de una cantidad escalar por un vector, se escribe como kA , es un nuevo vector cuya magnitud es k veces la magnitud de A , tiene la misma dirección, mantiene su sentido si k es positiva y tiene sentido opuesto si k es negativa. Ejemplos: k
Ejem. 1.10- Sean los vectores: A= 2i+2j
= 2 k
= 0.5
k
= –2
B= 2i+j
Hallar el módulo de: A + B
b) Producto escalar de dos vectores.- Dos
Vector resultante:
vectores A y B que forman un ángulo entre sí, se pueden multiplicar escalarmente, se lo representa con un punto:
R = A + B = (2 + 2) i + (2 + 1) j
Vector A multiplicado escalarmente con el vector B:
Solución:
A B
R=4i + 3j Módulo de la resultante:
Da como resultado un escalar. Su valor se obtiene multiplicando la magnitud de un vector por la magnitud de la componente del segundo vector en la dirección del primero.
R 4 2 32 5 Ejem. 1.11- Sean los vectores: A = 15 i + 2 j
B= 9i+5j
Hallar el módulo de: A + B Solución: Vector resultante: R = A + B = (15 + 9) i + (2 + 5) j R = 24 i + 7 j
B cos
A. B A B cos El producto escalar de dos vectores es una cantidad escalar.
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Física General
Propiedades del producto escalar.- Tiene las siguientes: A. B B . A
1.
Es conmutativa:
2.
Distributiva respecto a la adición: A.( B C )
3.
A. B A.C
Asociativa de la ponderación: k A. B
4.
Regla de la mano derecha: El índice debe ubicarse sobre el primer vector (en esta caso A); el deo mayor sobre el segundo vector (en este caso B), tomando en cuenta el menor àngulo. El pulgar extendido señala dirección y sentido del vector producto vectorial (C)
k ( A. B)
Definición de módulo: A. A
A. k B
2 A Propiedades del producto vectorial.- Tiene las siguientes:
c) Producto vectorial de vectores.- Dos vectores
A y B
que forman un ángulo entre sí, se pueden multiplicar vectorialmente, se lo representa con un aspa:
1.
No es conmutativa: A B B A
2.
Distributiva respecto a la adición: A ( B C )
Vector A multiplicado vectorialmente con el vector B:
AB
3.
Asociativa con la ponderación: k A B k ( A B)
Da como resultado otro vector C . La dirección y el sentido se obtienen con la regla del tornillo de la mano derecha.
=
A B AC
4.
A k B
Absorbente consigo mismo: A A 0
Ejem. 1.12.- El vector resultante de dos vectores mide 30 m y hace ángulos de 45º y 30º con cada uno de ellos. Calcular el valor de los vectores componentes. Datos: Incógnitas: R = 30 m A = ? β = 45º B = ? γ = 30º
x
Para calcular el módulo del vector A B se utiliza la siguiente relación:
30º
C A B sen 30º
El producto vectorial cantidad vectorial.
de dos vectores es una
45º
105º 45º
La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y B , cuyo sentido es el que avanza un tornillo derecho siguiendo el ángulo de los vectores.
El ángulo interno opuesto a la resultante es 105º y su suplemento es 75º, luego:
Física General
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sen 105º R
Módulo de B:
B
Módulo de A:
A
sen 45º B
sen 105º R
R sen 45º sen 105º
sen 105º R
R sen 30º sen 105º
sen 30º A
sen 45º B
sen A sen
30 m sen 45º sen 105º
21.96 m
sen 30º A
30 m sen 30º sen 105º
La dirección de R por el teorema de los senos:
15.53 m
Ejem. 1.13.- Un aeroplano vuela con rumbo suroeste la distancia de 250 km. Después vuela 400 km rumbo al norte. Encuentre la distancia del aeroplano desde su punto de partida y la dirección del destino final también desde el punto de partida. Datos: Incógnitas:
sen 45º R
A sen 45º R
250 km sen 45º 284.74 km
38.4º
Ejem. 1.14.- Dos vectores, A de 20 unidades y B de 40 unidades hacen un ángulo de 120º. Determinar la diferencia B – A de los dos vectores. Datos: Incógnitas: A = 20 u B = 40 u φ = 120º
R = ? θ = ?
60º
A = 250 km B = 400 km
R = ? α = ?
120º
–
- Primer vuelo S 45º O - Segundo vuelo, al norte. - El vector posición final forma un ángulo N O. - Para el módulo de la resultante, el teorema de los cosenos:
Aplicando la fórmula de los vectores para cualquier ángulo, teniendo en cuenta de que el signo de –A, no interviene en la fórmula, puesto que solamente sirve para conocer su sentido:
N Su módulo:
R A2 B 2 2 A B cos R 20 2 40 2 2 20 40 cos 60º O
E
R
52.92 u
45º 45º Su dirección:
S
R2
A2 B 2 2 A B cos 45º
sen B
sen 120º R
sen
B sen 120º R
40 u sen 120º 52.92 u
R 2 (250 km) 2 (400 km) 2 2 (250 km)(400 km) cos 45º
R R
2
81078.6 km
40.9º Con –A
2
81078.6 km2
0.62
También: 180º – 40.9º = 139.1º con +A
284.74 km
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Física General
Ejem. 1.15.- Una lancha va hacia el norte cruzando un lago. Después de haber cubierto una distancia de 2.0 km, la lancha cambia su dirección; y habiendo avanzado 3.0 km más está exactamente al noroeste de su punto de partida. Encuentre la dirección de la lancha cuando cambió su rumbo y la distancia total desde el punto de partida. Datos: Incógnitas: A = 2.0 km R = ? B = 3.0 km α = ?
La distancia total, es la magnitud del vector resultante (R), por el teorema de los cosenos: R 2 A 2 B 2 2 A B cos R 2 (2.0) 2 (3.0) 2 2 (2.0) (3.0) cos 106.9º R 2 16.5
R 16.5 4.1 km
Ejem. 1.16.- Según la figura.
N
Hallar A B , si
A B 4u
45º O
E 60º
S
Para calcular la dirección de la lancha (α), inicialmente calculamos el ángulo (β) aplicando el teorema de los senos:
sen A
30º
Dibujar el vector B a continuación de A , luego trazar su resultante:
–
sen 45º B
90º
sen
A sen 45º 2.0 km sen 45º 0.4714 B 3.0 km
arcsen 0.4714
60º
30º
β = 28.1º
La suma de los tres ángulos interiores en un triángulo, da 180º:
El vector resultante proviene de dos vectores perpendiculares; para encontrar su módulo aplicamos el teorema de Pitágoras.
45º + β + γ = 180º Despejando el ángulo “γ” se tiene:
R
A B
2 2 A B
R
A B
32 u 2
γ = 180º - 45º - β = 180º - 45º - 28.1º γ = 106.9º α es el suplemento de γ: α = 180º - γ = 180 º - 106.9º α = 73.1º El cambio de dirección fue: Norte 73.1º Oeste
4 2u
(4 u ) 2 (4 u ) 2
Física General
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TRABAJO PRÀCTICO DE FÌSICA TEMA: ANÀLISIS VECTORIAL
1. Hallar el vector resultante (ABCD: paralelogramo) B
4. Exprese x en función de los vectores (O: centro de la circunferencia)
A y B
C
x O
A
a)
D
S
b)
N
c)
2S
B
A
d)
S
2. Hallar la resultante. B
a)
A B 2
b)
2A B 2
c)
BA 2
d)
2( A B) 3
A C F
E
D
5. Determinar el módulo de la resultante: a)
F
b)
2F
c)
3F
d)
2F
a
1u 1u
3. Hallar
x
en términos de
A y B (G: baricentro) b Q
c b
a
x P
G
M
R
a)
2a b 3
b)
a 2b 6
c)
ab 6
d)
ab 3
a)
5
b)
2 5
c)
3
d)
2 3
- 14 -
Física General
6. Calcular el módulo de la resultante:
A 2u
9. Determine el módulo de la resultante:
b A
B
30º
30º
a)
7
b)
2 7
5
c)
d)
a
2 5 2 3
7. Determinar el vector resultante: a) 1 u
1u
A
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
1u
10.Determine la dirección de la resultante: Y
C
10 u
B 5u
37º
X
3u
b) – 2 i
a) 2 i
d) – 4 i
c) 4 j
a) 15º
b) 30º
c) 45º
8. Sabiendo que:
a 5u
b 6u
y
Determine el módulo de la diferencia entre vectores:
CLAVE DE RESPUESTAS
a
b 150º
83º
a) 3 u
1. 2. 3. 4. 5.
b) 5 u
c) 7 u
d) 11 u
a c c c b
6. b 7. c 8. b 9. c 10. c
d) 60º
Física General
- 15 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Calcular la resultante de los siguientes vectores aplicando el método del paralelogramo y en forma analítica: Escala: 1 cm : 50 m
7.
A = ( 150 m, 180º) y B = ( 300 m, 35º ) Resp: R = (196.9 m ; 60.9º)
2.
Calcular el vector suma aplicando el método del triángulo y en forma analítica. Escala: 1 cm : 20 kp
Resp: norte 73.1º oeste; R = 4.1 km
8.
A = (60 kp , 0º) y B = (90 kp, 35º) Resp: 143.4 kp
3.
Determine el módulo de la resultante de dos vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulo de 53º.
4.
Un automóvil viaja 7.0 km hacia el norte. Cambia entonces de dirección en su viaje y al final se detiene cuando está a 17.0 km al suroeste de su punto de partida. Encuentre el desplazamiento del automóvil en la segunda parte del viaje. Solución gráfica y analítica. Resp: 22.5 km
9.
Resp: 20 unidades
Una lancha va hacia el norte cruzando un lago. Después de haber cubierto una distancia de 2 km, la lancha cambia su dirección; y habiendo avanzado 3 km más está exactamente al noroeste de su punto de partida. Encuentre la dirección de la lancha cuando cambió su rumbo y el desplazamiento total desde el punto de partida. Solución analítica.
Encuentre el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud sabiendo que su resultante tiene 20 unidades de longitud.
Determinar el vector resultante del sistema de vectores mostrado en la figura (En función del vector A ) Resp:
R 3A
Resp: 75.5º
5.
Dos vectores A y B tienen magnitudes iguales (10 unidades) y están orientados como muestra la figura. Encontrar la magnitud del vector resultante (Solución gráfica y analítica) Resp: 12.17 u
10.
Resp:
6.
Hallar el vector X en términos de A y B sabiendo que P es punto medio. A B X 2
Calcular la resultante y dirección analíticamente del sistema de vectores: (ver figura) Resp: 29.15 kp ; 25º
11.
Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m. Resp: 10 2 m
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Física General EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
De acuerdo a la figura la componente del vector A sobre el eje “Y” es igual:
a) 240 dyn c) 120 dyn 9.
a) 6 u. 2.
d) 0º
b) 13 kp
c) 10 kp
d) 14 kp
b) 180º
c) 45º
d) 0º
El módulo de la suma de dos vectores A y B es máximo, cuando los vectores: a) b) c) d)
6.
c) 45º
La suma de dos vectores A y B es mínima cuando el ángulo entre ellos es de: a) 90º
5.
b) 180º
Son perpendiculares entre sí Tienen la misma dirección y sentido contrario Tienen la misma dirección y el mismo sentido Tienen diferente dirección y sentido contrario
La suma de dos vectores A y B que aparecen en la figura es igual a:
A= 3u B =4u
a) 3 u. 7.
c) 5 u.
d) 7 u.
Se tiene un vector de 4 unidades hacia el norte, uno de 8 unidades hacia el sur y otro de 3 unidades hacia el oeste. El vector resultante mide: a) 9 u
8.
b) 4 u.
b) 8 u
c) 5 u
De acuerdo a la figura la componente del vector A sobre el eje “X” es igual:
d) 5.2 u.
Dos vectores de módulos iguales a 4 kp y 8 kp, ¿cuál de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) 3 kp
4.
c) 3 u.
La suma de dos vectores A y B es máxima cuando el ángulo entre ellos es: a) 90º
3.
b) 4.8 u.
b) 200 dyn d) 160 dyn
a) 6 u.
b) 4.8 u.
c) 3 u.
d) 5.2 u.
10. Calcular la resultante de dos fuerzas de 10 y 30 kgf si forman un ángulo de 60º. a) 36.06 kgf c) 40 kgf
b) 10 kgf d) 50 kgf
11. Se tiene 2 fuerzas colineales en el mismo sentido cuya resultante es 7 lbf, al girar uno de ellos 90º su resultante es 5 lbf. Calcular el valor de las fuerzas. a) 8 y 7 lbf c) 4 y 9 lbf
b) 3 y 2 lbf d) 3 y 4 lbf
12. Los módulos de dos vectores perpendiculares son 8 cm y 6 cm respetivamente. El vector resultante de ambos es: a) 3 cm
b) 13 cm
c) 10 cm
d) 14 cm
13. Si a un desplazamiento de 45 m al Norte se le añade uno de 60 m al Sur; el vector resultante es: a) 15 m al N c) 15 m al S
b) 105 m al S d) 105 m al S
14. Si a un desplazamiento de 30 m al Este se le añade uno de 15 m al Oeste; el vector resultante es: a) 45 m al N c) 15 m al E
b) 15 m al O d) 45 m al E
15. Hallar la resultante de los siguientes vectores, sabiendo que: A = 6 N y B = 8 N
d) 15 u
La resultante y una de las fuerzas rectangulares aplicadas a un mismo punto miden 200 y 120 dinas. Hallar la otra fuerza: a) 15 N
b) 10 N
c) 14 N
d) 20 N
Física General
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16. La resultante máxima de dos vectores es 14 u y la mínima es 2 u. hallar la magnitud de la resultante cuando dichos vectores sean ortogonales. a) 10 u
b) 12 u
c) 14 u
d) 13 u
17. Dados los vectores A = 50 u y B = 30 u, determine el valor de su resultante, cuando los vectores, formen entre sí, un ángulo de 60º. a) 40 u
b) 80 u
c) 20 u
d) 70 u
18. Dos vectores de módulos A = 10, y B = 20 forman 60º entre sí. ¿Cuál es el módulo del vector diferencia? a) 26.4
b) 30.5
c) 17.3
d) 40.2
19. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7 respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo módulo es 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos vectores? a) 127º
b) 53º
c) 37º
b) 6
c) 4
b) 2
c) 4
d) 5
23. La máxima resultante de dos vectores es 8 u y es 7 u cuando forman 60º. Calcule la mínima resultante que podría obtenerse entre los vectores. a) 1 u
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
24. Calcular el módulo de la diferencia; de los vectores mostrados, si se sabe que A = 16, y B = 12.
d) 45º
20. Dos fuerzas de valores consecutivos interactúan sobre un cuerpo formando un ángulo de 60º entre sí, dando por resultante 61 . Calcule el módulo de la menor de las fuerzas. a) 2
a) 1
d) 5
a) 15
b) 21
c) 18
d) 20
25. Dado el sistema de vectores en la figura, calcular la magnitud de la resultante:
21. Determinar la resultante del grupo de vectores mostrado.
A = 6, B = 2, C = 2 3
A = 10, B = 16, C = 12.
a) 4
b) 10
c) 6
d) 8
26. Dados los vectores: A = 200 km, SE y B = 300 km, SE; entonces el vector resultante al sumar ambos vectores es: a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
22. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si: A = 4, B = 8, C = 5.
a) R = 100 km, SE c) R = 500 km, SE
b) R = 200 km, SE d) N. A.
27. Determine el modulo del siguiente sistema de vectores:
- 18 -
Física General 31. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 27 N y 45 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 63 N? a) 30º
b) 45º
c) 37º
d) 60º
32. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 3 N y 5 N para que su resultante sea de 7 N? a) 30º a) 60 N
b) 80 N
c) 50 N
d) 100 N
28. En la figura mostrada el módulo de los vectores es A = 12 u; B = 5 u. Determine el módulo del vector resultante.
b) 45º
c) 37º
d) 60º
33. ¿Qué ángulo deben formar dos vectores de módulos 6 N y 10 N para que su resultante sea de 14 N? a) 30º
b) 45º
c) 37º
d) 60º
34. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 15 N y 20 N para que su resultante sea de 7 N? a) 164º a) 26 u
b) 14 u.
c) 16 u.
d) 13 u.
29. En la figura mostrada, determine el módulo del vector resultante.
b) 135º
c) 127º
d) 143º
35. Se muestra tres vectores, donde A = 5, B=3 y C = 8. Determine el módulo del vector resultante.
a) 5 u
b) 10 u.
c) 12 u.
d) 0.
36. Determine el módulo de la resultante de dos vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulo de 53º a) 32 u a) 20 u
b) 70 u.
c) 80 u.
d) 100 u.
30. Determine el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores:
b) 28 u.
c) 20 u.
d) 40 u.
A 6i 8 j 1 Hallar el módulo del vector: A 5
37. Conociendo el vector:
a) 5
b) 4
c) 6
d) 2
A 9i 12 j 2 Hallar el módulo del vector: A 5
38. Conociendo el vector:
a) 5
a) 12 N
b) 6 N
c) 18 N
d) 10 N
b) 4
c) 6
d) 12
Física General
- 19 -
Cap. 2 CINEMÁTICA I MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M. R. U.) CONTENIDO:
- 20 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos los procesos de movimiento estudiando y analizando las características y propiedades de la cinemática: rapidez, velocidad, distancia, desplazamiento y tiempo, que permitan asumir con responsabilidad el buen uso de los instrumentos de medida en la unidad educativa y la comunidad.
CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.
Física General Mecánica.- Es una especialidad de la física que se ocupa de estudiar el movimiento de los objetos.
- 21 Trayectoria circular: Una silla de un carrusel en movimiento
La mecánica se divide en tres partes: cinemática, dinámica y estática. Cinemática y dinámica.- La cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características sin relacionarlo con las causas que los producen. Mientras que la dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y el movimiento de los cuerpos. Movimiento es el cambio de posición continuo que experimentan los cuerpos con respecto a un sistema o punto de referencia.
Distancia recorrida.- Magnitud escalar, es la medida de la longitud de la trayectoria. Desplazamiento.- Magnitud vectorial, se define como el vector que une dos posiciones de un movimiento.
Elementos del movimiento.A continuación citaremos magnitudes relacionadas al estudio de la cinemática. Móvil.- Es el objeto o partícula que realiza el movimiento. Trayectoria.- Es la línea recta o curva que dicho móvil describe durante su movimiento. Según la trayectoria descrita por un móvil, los movimientos se clasifican en:
El desplazamiento a lo largo del eje X, está dado por: Desplazam. = posición final – posición inicial
x x2 x1
a) Movimientos rectilíneos: Movimiento de un ascensor cuando sube y baja, etc. b) Movimientos curvilíneos.- Cuya trayectoria es un arco de curva, se pueden indicar los siguientes:
Donde x1 y x2 son las posiciones inicial y final respectivamente. El símbolo ∆ (delta) significa diferencia o cambio.
Elípticos: Movimiento de los planetas alrededor del Sol, etc.
Distancia y Desplazamiento.- En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente.
Parabólicos: Movimiento de los proyectiles.
El vector desplazamiento no depende de la trayectoria seguida por el móvil sino sólo de los puntos donde se encuentre en los instantes inicial y final.
Si un móvil regresa al punto de partida, su desplazamiento será nulo aunque no lo sea el espacio recorrido.
Si un móvil se desplaza en línea recta y sin cambiar el sentido de su movimiento, el módulo del vector desplazamiento coincide con la distancia recorrida.
En caso contrario, la distancia siempre es mayor que el desplazamiento.
Circulares: Movimiento de un carrusel, etc.
Los movimientos según su trayectoria estudiadas en este libro, son: Trayectoria rectilínea: Un automóvil viajando en una carretera plana y recta.
Trayectoria parabólica: Una pelota lanzada en una cancha.
- 22 -
Física General
Observa el gráfico de un circuito de Formula-1 Circuito F1.
BARHEIM (QATAR)
Resumiendo: Distancia: Es magnitud o valor numérico Desplazamiento: Es magnitud y dirección
Ejem. 2.2.- Un automóvil avanza 300 km al este y retorna 100 km. La distancia recorrida es de 400 km, mientras que el desplazamiento es de 200 km dirigido hacia el este.
Para una vuelta, el final del recorrido coincide con el inicio: El desplazamiento es cero La distancia recorrida es de 5412 m Ejem. 2.1.- Trazar desplazamientos y distancias:
Distancia = desplazamiento
Distancia recorrida = 300 km + 100 km = 400 km Desplazamiento = posición final – posición inicial ∆x = x2 – x1 = 300 km – 100 km = + 200 km
Magnitudes del movimiento.- Desde el punto de vista cinemático, el movimiento se expresa en función a la rapidez de cambio de posición, la velocidad y la aceleración. Rapidez.- Magnitud escalar que distancia recorrida con el tiempo.
Ejemplo: Cuando el movimiento es rectilíneo en una dirección y un solo sentido
relaciona
la
Rapidez media.- Es la relación entre la distancia total que recorre un móvil y el tiempo que tarda en recorrerla.
Distancia > desplazamiento
Ejemplo: En el caso del movimiento de proyectiles, movimiento parabólico
Rapidez media
Distancia = 2πR
v
Desplazamiento = 0 Sus unidades:
Ejemplo: Cuando el movimiento es circular, al completar una vuelta
dis tan cia recorrida tiempo empleado x t
m cm ft km s s s h
Por ejemplo, si la rapidez de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora.
Física General
- 23 -
Rapidez instantánea.- Es la rapidez en cualquier instante del movimiento. Velocidad.- Magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento con el tiempo.
Ejemplos: 1) Un avión vuela a una velocidad de 800 km/h en una dirección que se muestra en la figura:
N
Velocidad media.- Es la relación entre el vector desplazamiento y el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.
45º 45º
O
Velocidad media
v
desplazamiento efectuado tiempo empleado v
x t
x t
S
Magnitud 800 km / h ( Mòdulo ) Rapidez Velocidad Direcciòn Orientaciò n N 45º E Sentido
x x0 t t0
2) Un automóvil viaja por una carretera con una velocidad de 20 m/s rumbo al norte:
x0 , t0 = Posición y tiempo iniciales x,t
E
= Posición y tiempo finales
Rapidez: solo módulo Tomando los valores iniciales:
x0 = 0 y t0 = 0
V 20 m / s al norte
La ecuación anterior se convierte en:
Velocidad: módulo, dirección y sentido
v
x t
Velocidad instantánea.- Es la velocidad en cualquier instante del movimiento. Nos indica qué tan rápido y en qué dirección, va un móvil en un momento dado. Rapidez y Velocidad.- Rapidez y velocidad son magnitudes cinemáticas que suelen confundirse frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida desplazamiento efectuado por un móvil son magnitudes diferentes. -
dos con y el dos
La rapidez es una magnitud escalar, relaciona la distancia con el tiempo.
Ejem. 2.3.- Un hombre que viajaba con su coche, recorre 150 m al Este y luego 70 m hacia el Oeste. Calcular la rapidez y velocidad del vehículo si el viaje toma 20 segundos. Rapidez: Distancia recorrida = 150 m + 70 m = 220 m Tiempo = 20 segundos
Rapidez
dis tan cia 220 m 11 m / s tiempo 20 s
Velocidad:
-
La velocidad es una magnitud vectorial, relaciona el desplazamiento con el tiempo.
Desplazamiento =
-
La rapidez es el escalar de la velocidad
Desplazamiento = 150 m – 70 m = 80 m
Vector que del punto inicial al punto final
- 24 -
Física General
Tiempo = 20 segundos
desplazamiento 80 m Velocidad 4 m / s al Este tiempo 20 s
La rapidez es el módulo de la velocidad, cuando el movimiento se lo realiza en una dirección y en un solo sentido.
Este ejemplo muestra la diferencia de rapidez y la velocidad con claridad.
Gráficas del movimiento uniforme.- Existen dos tipos de representaciones gráficas para el movimiento uniforme:
Resumiendo: a) Desplazamiento -vs- tiempo.- Es una recta:
Rapidez: Es magnitud o valor numérico
La pendiente de la recta, se conoce como la rapidez media del móvil:
Velocidad: Es magnitud y dirección
Clasificación del movimiento según la rapidez.Tomando en cuenta la rapidez, el movimiento de un objeto se clasifica en: -
tan
Movimiento rectilíneo uniforme (M: R. U.)
v -
Movimiento rectilíneo (M: R. U. V.)
uniformemente
variado
Movimiento Rectilíneo Uniforme (M. R. U.).- Este tipo de movimiento se caracteriza por:
-
Su trayectoria es una línea recta
-
El móvil recorre distancias iguales en intervalos de tiempos iguales
-
Se considera la velocidad constante (en módulo y dirección)
-
La velocidad instantánea es igual a la velocidad media
-
La aceleración del móvil es nula (a = 0)
v
x t
Algunas situaciones son:
x t
x t
Física General
- 25 -
b) Velocidad -vs- tiempo.- Siendo la velocidad constante, su gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos: v
Ejem. 2.5.- Se ha estudiado el movimiento de un cuerpo obteniéndose como resultado la gráfica que se muestra. a) ¿Cuáles son las ecuaciones que describen su movimiento? b) ¿A qué distancia del origen se encuentra cuando pasan 4.5 s?
t
El área comprendida entre “v” y “t”, representa la distancia recorrida por el móvil.
A vt
x vt Solución:
v
Ecuaciones generales para el M. R. U. v = cte.
v
x = x0 + v t
Valores de x0 y v para este caso:
t
t
Punto de corte con el eje vertical: x0 = 10 m Para la velocidad se calcula la pendiente de la recta. Para ello se toman dos puntos de lectura fácil (ver gráfica) y se calcula la pendiente:
NOTA.- Para efectos de cálculo en éste texto trabajaremos con movimientos rectilíneos donde la velocidad puede mantenerse constante (tanto en valor como en dirección), lo que significa que también la rapidez es constante; en ese caso la rapidez y la velocidad significan lo mismo y se usará una sola ecuación para representar a ambas magnitudes y cuando sea necesario nombrar a la velocidad habrá que indicar su sentido mediante el uso de los signos (+) y (–).
Pendiente:
v
x 20 m 10 m m 6.67 t 15 s 0 s s
a) Ecuaciones particulares para este movimiento: v = cte. v = 6.7
b) Valor de x cuando:
x = x0 + v t x = 10 + 6.7 t
t = 4.5 s
x = 10 + 6.7( 4.5) = 40.2 m
- 26 -
Física General
Ejem. 2.6.- El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: x = – 12 + 5 t
Ejem. 2.7.- Con los siguientes datos de dos móviles: a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los móviles considerados. b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?
a) Indica el tipo de movimiento del cuerpo y haz un esquema de su trayectoria. b) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas x = f(t) y v = f(t) c) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen? Solución:
Solución:
a) El cuerpo se mueve con M.R.U. ya que la ecuación x = f(t) es del tipo s = s0 + v t.
a) Para el móvil A:
Siendo los valores de las constantes: x0 = –12 m .
Luego:
El signo menos indica que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen: v = 5 m/s.
Para el móvil B:
El signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.
Luego:
x0 = -10 m; v = -3 m/s
xA = - 10 – 3 t x0 = 30 m; v = - 7 m/s
xB = 30 – 7 t
b) Cuando se encuentren, ambos estarán situados a la misma distancia del origen. Es decir: xA = xB Igualando por tanto ambas expresiones: -10 – 3t = 30 – 7t
t = 10 s
b) Gráficas: Se encuentran al cabo de 10 s. Para saber a qué distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las ecuaciones: xA = – 10 – 3(10) = –40 m
c) Cuando pase por el origen se cumplirá: x = 0.
Luego : 0 = -12 + 5 t
t = 12/5 = 2.4 s
(40 m a la izquierda)
Física General
- 27 -
Ejem. 2.8.- Un auto recorre, desde Sucre 580 km rumbo hacia La Paz, a la rapidez de 65 km/h. Llega a su destino a las 6:30 a.m. ¿A qué hora partió de Sucre? ¿Dónde estaba a media noche? Datos: v = 65 km/h x = 580 km t = ?
v
x t
t
x v
Ejem. 2.9.- Un motociclista maneja 125 km de una ciudad a otra en 2.0 h, pero el viaje de regreso lo hace en sólo 1.5 h. ¿Cuál es la rapidez promedio para (a) cada mitad del viaje redondo y (b) el viaje total? Datos: = 125 km = 2.0 h = 1.5 h vm = ? (para cada viaje) vm = ? (para el viaje redondo)
a) El viaje de ida, tendrá una rapidez de:
v1
x t
125 km 2.0 h
x t
125 km 1.5 h
83.3 km / h
b) En el viaje redondo de ida y vuelta:
v
x t
v1 80
vm = ?
El movimiento está compuesto por dos tramos de recorrido x1 y x2, debemos calcular las longitudes de estos dos tramos y luego determinar la velocidad media en todo el recorrido:
v1
x1 1t 2
x1 v1 2t
;
x2 v2
t 2
Sumando ambas ecuaciones: x x1 x2
v1 2t v2
t 2
(v1 v2 ) 2t
Reemplazando en la ecuación de la velocidad media:
x v t
v1 v 2 t t
v 65
2 v1 v 2 80 km / h 50 km / h 2 2
km h
62.5 km / h
En el viaje de retorno, la rapidez es:
v2
km h km v2 50 h
t 2 t t2 2 t1
580 km 8.92 h 8 h 55 min 65 km / h
Como llega a su destino a horas 6.30 de la mañana eso significa que partió a horas: 6 h 30 min. – 8 h 55 min; desde horas 24:00 hasta 6:30 transcurrieron 6 h 30 min; faltando 2 h 25 min, lo que significa que 24 h – 2 h 25 mi = 21 h 35 min; significa entonces que el auto partió de Sucre a horas 21:35 de la noche anterior.
x t1 t2 a) b)
Datos:
250 km 3.5 h
Ejem. 2.11.- Dos móviles parten de un punto en sentidos diferentes con rapideces de 50 km/h y 30 km/h. ¿Qué distancia los separará al cabo de 2 horas? Datos: v1 = 50 km/h v2 = 30 km/h t = 2h x = ?
71.4 km / h
Ejem. 2.10.- Un automóvil durante la primera mitad del tiempo que estuvo en movimiento llevó la velocidad de 80 km/h y durante la segunda mitad del tiempo llevó la velocidad de 50 km/h. ¿Cuál es la velocidad media de éste automóvil?
Se tiene una ecuación para cada móvil:
v1
x1 t
x1 v1 t
- 28 -
Física General
v2
x2 t
x2 v2 t
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones:
x1 x 2
v1 t v2 t
x t (v1 v 2 )
Reemplazando valores:
Ejem. 2.13.- Dos corredores se aproximan uno al otro sobre una pista recta; tienen rapideces constantes de 4.5 m/s y 3.5 m/s, respectivamente, cuando están separados por 100 m. ¿Cuánto les tomará encontrarse y en qué punto? Datos: v1 = 4.5 m/s v2 = 3.5 m/s d = 100 m x = ? t = ?
x 2 h (50 km / h 30 km / h) 40 km
Ejem. 2.12.- Dos móviles pasan simultáneamente por un punto en el mismo sentido, con velocidades de 40 km/h y 25 km/h. ¿Después de que tiempo estarán separados 300 m? Datos: Se tiene una ecuación para cada corredor: v1 = 40 km/h = 11.11 m/s v2 = 25 km/h = 6.94 m/s x = 300 m t = ?
v1
x1 t
x1 v1 t
v2
x2 t
x2 v2 t
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones: Se tiene una ecuación para cada móvil:
v1
x1 t
x1 v1 t
v2
x2 t
x2 v2 t
v1 t v 2 t
t
x t (v1 v 2 )
Despejando el tiempo:
2 2 71.94 s v1 v 2 11.11m / s 6.94m / s
t 1 min 12 s
d
t (v1 v 2 )
d v1 v 2
100 m 4.5 m / s 3.5 m / s
12.5 s
La distancia medida a partir del primer corredor, se obtiene reemplazando el tiempo en la ecuación (1):
t
v1 t v2 t
Luego:
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones:
x1 x 2
x1 x 2
x1 v1 t 45
m 12.5 s 56.25 m s
Física General
- 29 PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
1. Objetivo General: -
Describir las características del movimiento rectilíneo uniforme.
2. Objetivos específicos: -
Construir e interpretar la gráfica de la posición en función al tiempo. Relacionar la pendiente de la gráfica distancia vs. tiempo, con la rapidez media. Calcular la rapidez media para diferentes distancias de un tipo de movimiento.
3. Fundamento teórico: Cuestionario: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
¿Qué es movimiento? ¿Cuántas clases de movimiento existen? Indique un ejemplo por cada uno. ¿Qué es trayectoria? ¿Qué es desplazamiento? ¿Qué es movimiento rectilíneo uniforme? ¿Qué representa el área bajo la curva velocidad vs. tiempo? ¿Qué es la velocidad media?
Resumen: -
La cinemática se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce. El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por mantener la velocidad constante. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se define como:
Rapidez media -
dis tan cia tiempo
v
x t
La distancia recorrida por un móvil con una velocidad constante es una función lineal:
x vt
4. Material: -
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet o del CD (Teoría del error) Cronómetro
5. Procedimiento:
- 30 -
1. 2. 3. 4.
Física General
Inicie el programa de M.R.U. creado o el disponible en el software. Ponga a funcionar el experimento virtual, mida el tiempo tres veces para cada tramo. Halle el promedio. Proceda para distancias de: 6.0, 8.0, 10.0, 12.0 y 14.0 m Anote los resultados en la tabla I. TABLA I Ensayo
Tiempo para: x=6
Tabulación de tiempos y distancias Tiempo para: Tiempo para: x=8 x = 10
Tiempo para: x = 12
Tiempo para: x = 14
1 2 3 Tiempo promedio 5. Traslade los datos a la tabla II 6. Calcule los valores de la rapidez en cada tramo. Halle el promedio de ellos y anote en la tabla III (medida experimental) 7. Grafique los pares de datos distancia (x) vs. tiempo (t). de la tabla II. 8. Corrija la curva aplicando regresión lineal. 9. Obtenga la pendiente de la curva. 10.La pendiente representa a la rapidez del móvil. Anote su valor en la tabla III (medida teórica) 11.Compare resultados. Determine el error porcentual, considerando como VMP la pendiente. TABLA II Distancia: x (m)
Tabulación de datos experimentales 6
Tiempo:
t (s)
Rapidez:
v
8
10
12
14
x (m/s) t
Velocidad experimental promedio: vexper.= ………………
TABLA III Rapidez:
Tabulación de resultados Resultados Resultados analíticos experimentales
Er
E%
v (m/s) 6. Discusión y análisis de resultados: (El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.) 1. ¿Qué factores influyen para una toma mejor de tiempos? 2. ¿Cómo son las rapideces obtenidas en la tabla II? ¿Existe mucha dispersión? 3. Para la construcción de la gráfica y posterior corrección mediante regresión lineal de los pares de datos x vs. t ¿Cómo hizo el trabajo? (manualmente, con RL de la calculadora o Excel) ¿Cuál cree es más conveniente por la facilidad? 4. La pendiente de la gráfica ¿qué representa? 5. ¿Estos dos valores finales difieren mucho? 6. ¿El error porcentual es aceptable o no? 7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
Física General
- 31 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un automóvil se mueve con rapidez constante a 72 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 40 s? Resp: 800 m
2. Calcula la rapidez media de un nadador que recorre a nado libre una distancia de 100 m en un tiempo de 50 s. Resp: 2 m/s
3. Calcular cuánto tiempo necesitará un móvil, a 60 km/h, para recorrer 3500 m.
desde que penetró al túnel el primer vagón hasta que salió el último? Resp: 2.13 segundos
12. Un automóvil recorre una distancia de 150 km y desarrolla en los primeros 120 km una rapidez media de 80 km/h, en tanto que en los últimos 30 km tiene una rapidez media de 60 km/h. a) ¿Cuál fue el tiempo total recorrido? b) ¿Cuál fue la rapidez media del automóvil en el recorrido total? Resp: a) 2 h; b) 75 km/h
Resp: 3 min 30 s
4. Calcula el tiempo que tarda la luz para viajar del Sol a la Tierra (d = 1.5x1011m) sabiendo que su rapidez es constante = 3x108 m/s Resp: 500 s
5. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad constante de 0.60 km/h, calcule el desplazamiento que hace en 3.0 segundos. Resp: 0.50 m
6. La velocidad de un avión es 980 km/h y la de otro es 300 m/s. ¿Cuál es más veloz? Resp: El segundo
7. ¿Cuántas horas tarda un vehículo en recorrer 1200 km a una velocidad constante de 18.0 m/s? Resp: 18.5 h
13. Un coche se mueve a 100 km/h y en un determinado momento le pasa otro a 120 km/h. ¿Después de cuánto tiempo el segundo coche le habrá sacado 10 km de ventaja? Resp: 30 minutos
14. Dos ciclistas viajan con rapidez constante por una carretera. El primero (A) corre a 25.0 km/h, el segundo (B) hace 32.0 km/h. Exactamente al mediodía A está 17.5 km delante de B. ¿A qué hora B rebasa a A, y qué distancia ha recorrido cada uno desde el mediodía? Resp: Hora de encuentro: 14:30; 62.5 y 80 km
15. Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren? Resp: L = 300m
8. Un cuerpo se mueve con M.R.U. y se desplaza 100 metros en 20 segundos. Calcule la velocidad del cuerpo. Resp: 5.0 m/s
9. Un corredor de maratón completa la distancia de 41.82 km en 2 horas y 9.0 minutos. ¿Cuál es su velocidad media en millas por hora y en metros por segundo? ¿Cuánto tiempo necesitó en promedio para recorrer una milla? Resp: 12.1 millas/h, 5.40 m/s, 4 minutos y 57.5 segundos
16. Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura. Resp: 10 s
10. Una estrella del atletismo corre los 100 m en 9.85 s. ¿Cuál es su velocidad media en kilómetros por hora y en millas por hora? Resp: 36.55 km/h ; 22.71 millas/h
11. Un tren de 65 m de largo se mueve a una rapidez constante de 144 km/h y atraviesa un túnel que mide 20 m. ¿Cuánto tiempo transcurrió
17. Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a
- 32 una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante de “B”? Resp: 10 s
Física General Resp: A las 4 horas 54 minutos 43 segundos; 65.67 km, 59.32 km
23. Dos pueblos distan entre sí 180 km. Simultáneamente salen de cada uno de ellos dos ciclistas con rapidez de 20 km/h y 40 km/h. ¿En qué punto de la carretera se encontrarán y cuánto tiempo transcurrió hasta el encuentro? Resp: A 60 km de uno de los pueblos; 3 h
18. Dos estudiantes corren en una pista. Uno mantiene una rapidez constante de 4 m/s. El otro, que es más rápido, arranca 6 s después que el primero y lo alcanza 20 s después ¿Cuál fue la rapidez media del corredor más rápido, y qué tan lejos llegó cada corredor en el momento del rebase? Resp: 5.2 m/s, 104 m
19. Dos estudiantes son corredores de fondo. Uno puede mantener una rapidez de 5.20 m/s, y el otro de 4.50 m/s. Ambos corren una distancia de 1.60 km, el corredor más rápido da una ventaja al más lento; podrá arrancar sólo después de que el más lento pase por cierto punto marcado en la pista. ¿A qué distancia debe estar ese punto de la línea de salida para que ambos corredores alcancen la meta al mismo tiempo? Resp: 215.4 m
20. Dos móviles están a una distancia, uno del otro, de 150 km. Salen al encuentro, llevando velocidades de 40 y 60 km/h, respectivamente. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse y qué espacio habrán recorrido cada uno de ellos? Resp: 1.5 horas; 60 y 90 km
21. Desde un mismo punto parten dos automovilistas con movimiento rectilíneo uniforme y en el mismo sentido. El primero se mueve con una rapidez de 24 km/h y el segundo sale media hora después con una rapidez de 72 km/h. ¿Qué distancia los separa después de hora y media de haber iniciado el primero su movimiento? Resp: 36 km. El segundo automóvil se encuentra adelante.
22. Dos ciudades distan 125 km. De la ciudad A sale un vehículo, hacia B, a las 4:00 de la tarde, a una velocidad de 72 km/h. Media hora después, sale de B otro coche, en dirección a A, con una velocidad de 144 km/h. Calcular la hora a la que se encuentran ambos vehículos y la distancia recorrida por cada uno de ellos.
24. Dos móviles marchan en sentido contrario, dirigiéndose el uno al encuentro del otro, con velocidades de 6 y 4 cm/s, respectivamente. Si el encuentro tiene lugar a 1.52 m del punto de partida del primero, calcular la distancia de partida de los móviles, y el tiempo transcurrido hasta encontrarse. Resp: 2.53 m; 25.33 s
25. Dos autos salen de una ciudad al mismo tiempo, uno (A) con una velocidad de 40 km/h y el otro (B) a 20 m/s. ¿Cuántos kilómetros le habrá sacado de ventaja el coche (B), trascurrido un tiempo de 1 h 22 m 30 s. Resp: 44 km
26. Un trabajador parte de su casa todos los días a la misma hora y realiza un movimiento uniforme, llegando a su destino a las 10:30 a.m. Si se duplicara su velocidad llegaría a las 9.30. ¿A qué hora parte de su casa? Resp: 8:30 a.m.
27. Dos móviles parten desde un mismo punto siguiendo trayectorias rectilíneas, perpendiculares entre sí, con velocidades de 6 m/s y 8 m/s. ¿Después de qué tiempo ambos móviles estarán separados 200 m? Resp: 20 s
28. Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre sí 600 km, con velocidades de 80.0 km/h y 100.0 km/h respectivamente, pero A sale dos horas antes. ¿Qué tiempo después de haber salido B y a que distancia de A se encontrarán? Resp: 2.44 h; 355 km
29. Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes. ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2000 m? (Velocidad de los autos 40 m/s y 60 m/s). Resp: 20 s
Física General
- 33 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Para una velocidad constante, la rapidez es: a) Continuamente cambiante b) Igual a la magnitud del vector velocidad c) Menor que la magnitud de la velocidad d) Mayor que la magnitud de la velocidad
2.
Un movimiento es uniforme y rectilíneo, cuando se cumple: a) Velocidad constante y trayectoria recta b) Velocidad variable y trayectoria recta c) Velocidad constante y trayectoria curva d) Velocidad variable y aceleración nula
3.
Si a v 0 , se trata de un movimiento: t a) Circular b) Uniformemente acelerado c) Uniformemente variado d) Rectilíneo uniforme
4.
Un ciclista que se mueve a razón de 6 m/s, en un cuarto de hora recorre una distancia: a) 5400 km c) 90 km
b) 90 m d) 5400 m
5.
Un auto que viaja en línea recta 200 km; luego regresa 100 km empleando un tiempo de 5 horas en todo el recorrido, se movió con velocidad media de: a) 60 km/h b) 20 km/h c) 40 km/h d) 30 km/h
6.
La rapidez media del auto del problema anterior fue: a) 60 km/h c) 40 km/h
7.
Un micro parte de Sucre a las 7:30 de la mañana y llega a Potosí a las 12:30. Si la distancia es de 160 km, su velocidad media es: a) 40 km/h c) 32 km/h
8.
b) 20 km/h d) 30 km/h
10. Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando: a) Su rapidez es constante y además su trayectoria es una recta b) Su trayectoria es una recta y además su rapidez varía de manera uniforme c) Su rapidez es constante d) Su trayectoria es una recta 11. Un auto recorre 50 km en 30 minutos. ¿Cuál es su rapidez media? a) 25 km/h c) 80 km/h
b) 50 km/h d) 100 km/h
12. Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su velocidad. a) 2 m/s
b) 6 m/s
c) 8 m/s
d) 7 m/s
13. Para el movimiento de la partícula con M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es:
a) 4/5 m/s c) 12/5 m/s
b) – 8/5 m/s d) – 4 m/s
14. Para el movimiento de la partícula con M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es:
b) 60 km/h d) 50 km/h
La pendiente en un gráfico posición en función del tiempo representa: (M.R.U.) a) Aceleración c) Desplazamiento
b) Aumenta su velocidad 2 m cada segundo al cuadrado c) Aumenta su velocidad 2 m/s d) Aumenta su distancia 2 m cada segundo
b) Velocidad d) Posición
a) –5 m/s c) +20/6 m/s
b) +5 m/s d) –10/6 m/s
15. Marque la proposición correcta: 9.
Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando: a) Disminuye su velocidad 2 m/s cada segundo
a) En el M.R.U. el vector velocidad cambia continuamente
- 34 -
Física General
b) En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una línea recta c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero d) El espacio recorrido es una magnitud vectorial 16. Los móviles “A” y “B” parten de las posiciones mostradas simultáneamente con VA = 3 m/s y VB = 4 m/s. ¿Qué podemos opinar?
a) 100 m b) 200 m
“A” llega primero a P “B” llega primero a P Ambos llegan simultáneamente Falta precisar información para decidir que responder
d) 400 m
21. Dos autos se mueven en sentidos opuestos con velocidades constantes ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2000 m? (velocidades de los autos 40 m/s y 60 m/s) V B = 60 m/s
V A = 40 m/s
a) 15 s a) b) c) d)
c) 300 m
b) 10 s
c) 20 s
d) 25 s
22. Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al otro? V B = 40 m/s
V A = 60 m/s
17. De un punto parten simultáneamente dos movilidades en el mismo sentido con rapideces de 3 m/s y 4 m/s. Al cabo de 15 s estarán separados: a) 10 m
b) 15 m
c) 20 m
d) 25 m
18. Una persona recorre 10 metros en línea recta y luego retrocede hasta el punto de partida. ¿Cuánto vale el desplazamiento? a) 10 m
b) 20 m
c) 30 m
d) 0 m
a) 15 s
b) 10 s
c) 20 s
d) 25 s
23. Se muestra la posición inicial de los móviles que tienen velocidad constante. ¿Qué distancia estarán se parados después de 3 horas?
19. ¿Cuántas horas dura el viaje mostrado en la figura, haciendo un recorrido de 540 km y el automóvil marcha a razón de 45 km/h?
a) 13 km
a) 10 h
b) 11 h
c) 12 h
d) 13 h
b) 26 km
c) 15 km
d) 39 km
24. Dos móviles A y B salen del mismo punto con rapidez constante de 70 m/s y 50 m/s. ¿Después de cuántos segundos equidistan del poste?
20. Un tren de 200 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 8 s y en atravesar el túnel 24 s. Determine el largo del túnel. a) 10 s
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
Física General
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Cap. 3 CINEMÁTICA II MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M. R. U. V.) CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos los procesos de movimiento acelerado estudiando y analizando las características y efectos de los cambios de velocidad, recurriendo al trabajo práctico de laboratorio y solución de problemas numéricos, que permita a los estudiantes aplicar a situaciones creativas en el contexto que les rodea.
CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.
Física General
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Aceleración.- Como ya se indicó en el tema anterior, la aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo.
Aceleración debido al cambio en la dirección de la velocidad: v 10m / s
Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!
ac ac
- Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente. - Una aceleración pequeña significa velocidad cambia lentamente.
que
la
- Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia. Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en la dirección.
v 10m / s
ac v 10m / s
La rapidez permanece constante. La dirección continuamente.
de
la
velocidad
varía
Aceleración media.- Es el cociente entre el vector cambio de velocidad y el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.
¡El volante de un coche también es un acelerador!- Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad. Observa que esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando la dirección de la velocidad. La aceleración centrípeta nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil. Resumiendo se tiene:
aceleración
a
“La aceleración es una magnitud vectorial, se define como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo” “Se dice que un objeto se acelera cuando su rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando cambia la dirección de movimiento” Aceleración debido al cambio en la magnitud de la velocidad:
La dirección permanece constante. La rapidez (módulo de la velocidad) varía en forma uniforme.
var iación de velocidad var iación de tiempo v v v0 t t t 0
a
v v0 t
v0
= Velocidad inicial, (m/s)
v
= Velocidad final, (m/s) = Tiempo empleado, (s) = Aceleración, (m/s2)
t a
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Física General
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.).- Se caracteriza porque:
a) Velocidad en función del tiempo: De la definición de la aceleración:
v v0 t
a
a cte.
v v0 a t
b) Velocidad en función del desplazamiento: Cuando la aceleración es constante, la velocidad media es:
v
De la velocidad media: v
-
Su trayectoria es una línea recta.
-
Los cambios de velocidad son iguales en intervalos de tiempos iguales.
-
El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.
-
El cuerpo se mueve uniformemente variable.
-
La aceleración del móvil es constante.
con
v v0 2
velocidad
Ecuaciones del M.R.U.V.– Las ecuaciones del movimiento rectilíneo, son de tipo vectorial (velocidad, aceleración y desplazamiento son magnitudes vectoriales).
Se tiene:
v v0 x 2
De la aceleración:
-
Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos, el móvil desacelera, va frenando.
-
Si la velocidad y la aceleración tienen igual sentido, el móvil acelera, aumenta su rapidez.
t
t
(1)
v v0 a
(2)
De las ecuaciones (1) y (2), se tiene:
v v0 x 2
v v0 v v0 t 2 a
Despejando: Lo que significa que se debe tener en cuenta los sentidos para establecer los signos al reemplazar sus valores en cada variable.
x t
2 2 v v0 2a
v2 v02 2 a x
c) Desplazamiento en función del tiempo: De la velocidad media:
v
x t
-
Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial es cero.
Cuando la aceleración es constante, la velocidad media es: v v0 v 2
-
Si el móvil va frenando y se detiene, la velocidad final es cero.
Igualando ambas ecuaciones:
v v0 x 2 v0 = Velocidad inicial a = Aceleración
v = Velocidad final x = Desplazamiento
Ordenando:
x v v0 t 2
v0 a t v0 t 2
x v0 t 12 a t 2
2 v0 t a t 2 t 2
Física General
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También es importante considerar la ecuación:
v v0 x 2
t
d) Velocidad media o promedio: Estas ecuaciones son aplicadas en muchos ejercicios de M.R.U.V:
v
x t
vo v 2
v
Gráficas del movimiento uniformemente variado:
b) Desplazamiento -vs- tiempo.- La gráfica es una parábola:
a) Velocidad -vs- tiempo.- Es una recta, cuya pendiente se conoce como la aceleración media del móvil:
- La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. - Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración
v
- La parábola siempre pasa (desplazamiento inicial x0 = 0)
v2
v1
-
-
La inclinación de la recta depende de la aceleración.
-
Para calcular v0 determinar el punto de corte de la recta con el eje “v”. Para calcular la aceleración del movimiento, calcular la pendiente de la recta
-
v t
x
a
v t
t
O
c) Aceleración -vs-tiempo.- La gráfica es una recta horizontal:
a
El área comprendida entre la pendiente las verticales y el eje de los tiempos representa la distancia recorrida por el móvil.
t
At A1 A2 v 0 t 12 (v v 0 ) t v v0 At v 0 t 12 t d v 0 t 12 a t 2
origen,
t2
t1
tan
el
- Si es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado.
t
-
por
2 t v 0 t 12 a t 2
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Física General
Ejem. 3.1.- Escribe las ecuaciones que describen el movimiento del automóvil de la figura: t =0 v = 20 m/s
0
Ejem. 3.3.- La gráfica siguiente se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo. a) ¿Qué tipo de movimiento tiene? b) ¿Cuáles son sus ecuaciones? c) ¿Qué sucede para t = 5 s?
100 m a = 5 m/s2
Solución: Ecuaciones movimiento:
v v0 a t
generales
x
para
el
x0 v0 t 12 a t 2
-
Se toma como origen de distancias el punto 0. Sentido positivo hacia la derecha.
-
Determinación de x0: ¿A qué distancia del origen está el automóvil cuando t = 0? x0 = 100 m
-
Determinación de v0: ¿Cuál es la velocidad del punto cuando t = 0? v0 = 20 m/s
-
Determinación de la aceleración: a = –5 m/s2 (signo menos, ya que apunta hacia la izquierda).
-
Ecuaciones para este movimiento: v 20 5 t
x 100 20 t 2.5a t 2
Solución: a) La gráfica v = f(t) es una recta con pendiente negativa. Esto nos indica que la velocidad disminuye con el tiempo pero de forma lineal (la misma cantidad en 1 s). El movimiento es uniformemente “acelerado” (con aceleración negativa, también se llama movimiento uniformemente retardado). Para calcular la aceleración (desaceleración) calculamos la pendiente de la recta:
a
v v 2 v1 0 40 m / s 8 m / s 2 t t 2 t1 5s 0
Ejem. 3.2.- ¿Cuánto tarda en frenar el automóvil del ejemplo anterior? Solución:
Observa los valores tomados:
De la ecuación: ¿Qué valor toma t cuando v = 0?
b) Como no existen datos tabulados, podemos tomar para x0 cualquier valor.
Si: v = 0 implica que: 0 = 20 – 5 t
t = 20/5 = 4 s
¿Cuál es su velocidad al cabo de 5.3 s? ¿Qué valor toma v cuando t = 5.3 s? Si: t = 5.3 s
v = 20 – 5(5.3) = –6.5 m/s
El signo indica que se desplaza hacia la izquierda. Después de frenar da la vuelta.
t1 = 0 ; v1 = 40 ; t2 = 5 ; v2 = 0
Tomaremos v0 = 40 m/s (leído en la gráfica); a = –8 m/s2 (calculado) Ecuaciones:
v v0 a t
v 40 8 t
x v0 t 12 a t 2
x 40 t 4 t 2
c) En la gráfica se puede leer que cuando: t = 5 s, v = 0
Al cabo de 5 s se detiene.
Para t > 5 s; observa que la línea en la gráfica v–t rebasa el eje horizontal empieza la velocidad a tomar valores negativos ¿cómo se puede interpretar esto?
Física General
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Ejem. 3.4.- Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y determinar las ecuaciones para el mismo.
Datos: t (s) 0 1 2 3 4 5
Solución:
x (m) 10 13 22 37 58 85
Se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no varía linealmente con el tiempo. Esto indica que su velocidad va aumentando. Si se trata de un movimiento uniformemente acelerado, su aceleración, será constante.
1h km 1000 m m * * 12.5 h 1 km 3600 s s a = 1.50 m/s2 x = 200 m a) v = ? b) t = ? Solución: v 0 45
a) Haciendo uso de la ecuación, velocidad final en función del desplazamiento:
v 2 v02 2 a x (12.5 m / s) 2 2(1.50 m / s 2 )(200 m) v 2 156.25 m2 / s 2 600 m2 / s 2 756.25 m2 / s 2 v
27.5 m / s
756.25 m2 / s 2
Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir con: x x0 v0 t 12 a t 2
Como en este caso v0 = 0, la ecuación quedará:
a
v v0 a t
t
v v 0 27.5 m / s 12.5 m / s a 1.50 m / s 2
t 10 s
x x0 12 a t 2
Despejando “a” :
b) El tiempo con la ecuación de la velocidad en función del tiempo:
2 ( x x0 )
Ejem. 3.6.- Un automóvil que va a 85 km/h en un camino recto se detiene en 10 s. ¿Qué tan lejos viajó el auto durante ese tiempo?
t2
Usando la ecuación anterior y con los datos correspondientes de t y x comprobamos si el valor de a es constante: a
2(13 10) 6 m / s2 12
a
2(22 10) 6 m / s2 22
Para obtener las ecuaciones determinamos el valor de v0 y x0:
a
v0 = 0 (dado en el enunciado) x0 = 10 m, valor de x cuando t = 0 (ver tabla) Sus ecuaciones son:
v v0 a t x x0 v0 t 12 a t
2
Datos: vo = 85 km/h = 23.6 m/s t = 10 s Solución:
v v0 t
0 23 m / s 10 s
v = 0 x = ?
2.36 m / s 2
x v0 t 12 a t 2 (23.6 m / s) (10 s) 12 (2.36 m / s 2 ) (10 s)2
x 236 m 118 m 118 m
v 6t
x 10 3 t 2
Ejem. 3.5.- Un tren que viaja sobre rieles rectos tiene una velocidad inicial de 45 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el tren recorre 200 m. a) ¿Cuál es la velocidad del tren al final de este desplazamiento? b) ¿Cuánto tiempo toma al tren recorrer los 200 m?
Ejem. 3.7.- Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 90 km/h disminuye la velocidad a 40 km/h en 5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio? Datos: 1h km 1000 m m v 0 90 * * 25 h 1 km 3600 s s
v 40
1h km 1000 m m * * 11 h 1 km 3600 s s
t = 5s Solución:
a = ?
- 42 -
Física General
v v v0 11 m / s 25 m / s 13 m / s a 2.8 m / s 2 t t 5s 5s
Ejem. 3.8.- Un bote de motor parte del reposo en un lago y acelera en línea recta a razón de 3 m/s 2 durante 8 s. ¿Qué tan lejos viajó el bote durante ese tiempo? ¿Qué velocidad alcanzó? Datos: vo = 0 a = 3 m/s2 t = 8s x = ? v = ? Solución:
Ejem. 3.10.- Un automóvil parte del reposo y acelera durante 6 s a 3.20 m/s2. Mantiene una velocidad constante durante 48 s y desacelera uniformemente hasta detenerse en un punto que está 58.0 m adelante del lugar donde se aplicaron los frenos. ¿Cuál es la distancia recorrida por el autobús, cuánto tiempo ha estado en movimiento y cuál es su velocidad media? Datos: v0 = 0 t1 = 6 s a1 = 3.20 m/s2 t2 = 48 s x3 = 58.0 m xt = ? tt = ? vm = ?
Cálculo de la distancia recorrida: x v0 t 12 a t 2 12 (3 m / s 2 ) (8 s)2 12 (3 m / s 2 ) (64 s 2 ) 96m
Solución: La velocidad del bote al final de los 8 s, es: Primer tramo: M. R. U. V. v v0 a t (3 m / s ) (8 s) 24 m / s 2
v1
Ejem. 3.9.- Un carro se mueve con aceleración constante, y al pasar por un punto A tiene una velocidad de 50 m/s. Si a 400 m más adelante su velocidad es de 120 m/s. ¿Cuál fue su velocidad 50 m atrás de A? Datos: vA = 50 m/s v = 120 m/s x1 = 50 m x2 = 400 m v0 = ?
v0 a1 t1
x1 v 0 t1
x2 v1 t2 (19.2 m / s) (48 s) 921.6 m Tercer tramo: M. R. U. V.
v22 v12 2a3 x3
a3
v 2 v 02 2ax 2
a
v2 v1 0 19.2 m / s a3 3.18 m / s 2
t 3 6.0 s
v 2 v 02 2x2
120 m / s 50 m / s 2400 m 2
v22 v12 0 19.2m / s 2 2 x3 258.0 m
m s2
v2 v1 a3t3 t 3
Solución:
1 1 2 a1 t12 3.20 m / s 2 6 s 57.6 m 2 2
Segundo tramo: M. R. U.
a3 3.18
a
(3.20 m / s 2 ) (6 s) 19.2 m / s
2
14.87
m s2
1 1 2 x3 v1 t3 a3 t 32 19.2 m / s 6.0 s 3.18 m / s 2 6.0 s 2 2 x3 115.2 m 57.2 m 58 m Finalmente las soluciones del problema son:
Luego:
xt x1 x2 x3 57.6 m 921.6 m 58 m 1037.2 m v 2A v0
v02
2 a x1 v0
v 2A
2 a x1
(50m / s) 2 2(14.87m / s 2 )(50m)
31.8 m / s
tt v
t1 t2 t3
xt tt
6 s 48 s 6 s 60 s
1037.2 m 60 s
17.29 m / s
Física General
- 43 PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
1. Objetivo General: -
Describir las características del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
2. Objetivos específicos: -
Verificar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Describir y calcular la aceleración de un cuerpo con movimiento acelerado. Interpretar la gráfica velocidad vs. tiempo. Relacionar la pendiente de la gráfica velocidad vs. tiempo, con la aceleración.
3. Fundamento teórico: -
El movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza por cumplir con:
a
v t
v v0 at
v 2 v02 2ax
x v0 t 12 at 2
v v x 0 t 2
4. Material: -
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet. Construir una simulación de M. R. U. V. para un bloque en un plano inclinado sin rozamiento. Cronómetro
5. Procedimiento: 1. Inicie el programa de M.R.U.V. creado o el disponible en el software. 2. Ponga a funcionar el experimento virtual y mida el tiempo tres veces para distancias de 6 m, 9 m, 12 m, 15 m y 18 m. Halle el promedio. 3. Anote los resultados en la tabla I.
4. Traslade los valores de la tabla I, a la tabla II 5. Halle la velocidad final de cada tramo (Considerando v0 = 0):
2x v v x 0 v0 t v 2 t
- 44 -
Física General
6. Con la velocidad obtenga la aceleración de cada tramo y obtenga el valor promedio: a
TABLA I Ensayo
Tiempo para: x=6m
Tabulación de tiempos y distancias Tiempo para: Tiempo para: x=9m x = 12 m
v t
Tiempo para: x = 15 m
a
v v0 t
Tiempo para: x = 18 m
1 2 3 Tiempo promedio
TABLA II Distancia: x (m Tiempo: t (s) Velocidad: v (m/s) Aceleración: a (m/s2)
Tabulación de datos experimentales 6
9
12
15
18
Aceleración experimental promedio aexper.= ………………
7. Grafique los pares de datos velocidad (v) vs. tiempo (t) 8. Corrija la gráfica aplicando regresión lineal. 9. Obtenga a pendiente de la gráfica. 10. Compare la pendiente con los valores de la aceleración de la tabla II. 11. Determine el error porcentual, considerando como valor más probable la pendiente y el valor medido el promedio de las aceleraciones de la tabla II.
TABLA III
Tabulación de resultados Resultados Resultados analíticos experimentales
Er
Aceleración: a (m/s2) 6. Discusión y análisis de resultados: (El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, gráficas, etc.) Preguntas: 1. ¿Cuándo se dice que un cuerpo acelera? 2. ¿Cuándo se tiene un movimiento uniformemente acelerado? 3. Matemáticamente, ¿cómo está definida la aceleración uniforme? 7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
E%
Física General
- 45 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? Resp: a = 19.6 m/s²; x = 8820 m
2.
Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? Resp: v0 = 32 m/s; a = –1.28 m/s²
3.
¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²? Resp: t = 3 h
4.
Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s ² constante. Calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s? Resp: vf = 300 m/s; x = 2250 m
5.
Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular: a) ¿Cuánto vale la aceleración? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s? c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s? Resp: a = 5 m/s²; x = 62.5 m; vf = 55 m/s
6.
Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h? Resp: t = 27.8 s
7.
Un móvil se desplaza con M.U.V. partiendo del reposo con una aceleración de 4 m/s², calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida? c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo. Resp: vf = 40 m/s; x = 2048 m
8.
Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una aceleración constante de 8 m/s2. Calcular: a) La velocidad que tiene al cabo de 5 s
b) La distancia recorrida, desde el reposo, en los primeros 5 s. Resp: a) 40 m/s; 100 m
9.
La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente desde 15 km/h hasta 60 km/h en 20 s. Calcular: a) La velocidad media en m/s b) La aceleración c) La distancia recorrida durante este tiempo. Resp: a) 10.42 m/s; b) 0.625 m/s2 ; c) 208.34 m
10. Un automóvil que marcha a una velocidad de 45 km/h, aplica los frenos y al cabo de 5 s su velocidad se ha reducido a 15 km/h. Calcular a) La aceleración b) La distancia recorrida durante los 5 s. Resp: a) –1,67 m/s2; b) 41.62 m
11. Un tren viaja a 120 km/h y necesita detenerse en 100 m. ¿Qué aceleración necesita imprimírsele? ¿Cuánto tiempo tarda en pararse? ¿Qué velocidad media? Resp: –5.55 m/s2 ; 6 s ; 16.67 m/s
12. Un tren que marcha a la velocidad de 80 km/h, frena durante 60 m, con lo que su velocidad pasa a ser de 50 km/h. ¿Cuál es el valor de la aceleración? Resp: –2.51 m/s2
13. El conductor de un camión que va a 100 km/h aplica los frenos, dando al camión una desaceleración uniforme de 6.50 m/s 2 conforme viaja 20.0 m a) ¿Cuál es la velocidad del camión en km/h al final de esa distancia? b) ¿cuánto tiempo empleó? Resp: 81.43 km/h, 0.8 s
14. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 0.5 m/s², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida? Resp: x1 = 3.6 km; x = 212.4 km
15. Un auto se mueve con una rapidez de 20 m/s. cuando el conductor aplica los frenos. El movimiento pasa a ser uniformemente
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Física General
retardado, haciendo que el auto se detenga totalmente en 4 s. a) Calcula la desaceleración que los frenos imprimieron al auto. b) ¿Qué distancia recorre desde el momento que aplicaron los frenos hasta que se detuvo? Resp: a) –5 m/s2; b) 40 m
16. Un automóvil viaja a 35.0 millas/ h se encuentra a 110 pies de una barda cuando el conductor aplica los frenos. Cuatro segundos después el auto choca con la barda. a) ¿Cuál es la desaceleración del automóvil antes del impacto? b) ¿Cuál era la rapidez del auto en el momento del impacto? 2
Resp: a) -11.9 pies/s ; b) 3.7 pie/s
17. Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de 70.0 m entre dos puntos en 7.0 s. Su rapidez al pasar el segundo punto es 15.0 m/s. a) ¿Qué rapidez tenía en el primero? b) ¿Qué aceleración tiene? Resp: 5.0 m/s; 1.43 m/s2
18. El anuncio de un auto deportivo dice que puede alcanzar una velocidad de 90.0 km/h en 6.85 s ¿Cuál es la aceleración media del auto, y compare con la aceleración de la gravedad? Resp: 3.65 m/s2 aproximadamente un tercio de la aceleración de la gravedad
19. Una bicicleta que avanza a 10 m/s acelera a razón de 4 m/s2 a) ¿Cuál será su rapidez al cabo de 5 s? b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? Resp: a) 30 m/s; b) 100 m
20. Un carro, inicialmente en reposo, rueda cuesta abajo en una colina a una aceleración uniforme de 5.0 m/s2. ¿Cuánto tiempo le tomará viajar 150 m, la distancia hasta el fondo de la colina? Resp: 7.75 s
21. Un tren que se desplaza a 240 km/h aplica los frenos disminuyendo su velocidad a razón de 4.5 m/s2. ¿Cuál es la velocidad que lleva al cabo de 56 m de recorrido? Resp: 225.98 km/h
22. Un móvil parte del reposo y recorre una distancia en dos etapas durante 16 segundos y ha adquirido una velocidad de 60 m/s. La primera parte dura 6 s y es movimiento acelerado; la segunda parte es movimiento uniforme. Calcular:
a) La aceleración de la primera parte b) La distancia recorrida durante los 16 s Resp: a) 10 m/s2 ; b) 780 m
23. Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por el segundo punto. Resp: 25 m
24. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada 5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto. Resp: 3600 m
25. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes. Resp: 96 m
26. Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s, desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para lograr detenerse? Resp: 6 s
27. Un móvil parte con una velocidad inicial de 10 m/s. Durante 5 s, acelera 8 m/s²; mantiene la velocidad 20 s y por último, frena hasta detenerse al cabo de 10 s. Calcular la aceleración del tercer tramo y la distancia total recorrida. Resp: –5 m/s2 , 1400 m
28. Una esfera inicia un movimiento con rapidez de 10 m/s la cual mantiene constante durante 8 s, luego comienza a frenarse con aceleración constante de 4 m/s2 hasta que se detiene. Calcular: a) La distancia total recorrida. b) Eel tiempo durante el cual se movió. Resp: a) 92.5 m; b) 10.5 s
29. Un móvil acelera 10 m/s² durante 10 s, después mantiene la velocidad durante 15 s y posteriormente frena con una aceleración de 20 m/s². Determinar la distancia recorrida en ese tiempo, así como la velocidad media. Resp: 2250 m; 75 m/s
30. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10 m/s2, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con 5 m/s2 hasta detenerse. Si
Física General el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?
- 47 4 m/s en cada segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que recorrió en el último segundo de su movimiento.
Resp: 1500 m Resp: 2 m
31. Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente variado y recorre en el 3er. segundo 16 m menos que el recorrido en el séptimo segundo; entonces su aceleración será: Resp: 4 m/s2
32. Un coche que va a 36 km/h acelera durante 5 segundos hasta llegar a una velocidad de 108 km/h. Mantiene esta velocidad durante 20 segundos y después frena hasta detenerse en 10 segundos. Calcula la distancia que habrá recorrido en total. Resp: 850 m
33. Un tren que viaja sobre rieles rectos tiene una velocidad inicial de 45.0 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el tren recorre 200 m. a) ¿Cuál es la rapidez del tren al final de esta distancia? b) ¿Cuánto tiempo le tomó al tren recorrer los 200 m? Resp: a) 99 km/h; b) 10 s
34. Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena, de tal modo que se logra detener por completo en 6 s. ¿Cuál es su aceleración? Resp: a 10 m/ s2
37. Un cuerpo parte del reposo, tiene durante 4.00 s una aceleración de 10.0 m/s2, sigue después durante 8.00 s con el movimiento adquirido (velocidad constante) y finalmente vuelve al reposo por la acción de una aceleración negativa de 8.00 m/s2. Determinar: El tiempo total del movimiento, el desplazamiento total, la velocidad media de todo el viaje. (Construye una gráfica v vs t) Resp: 17 s; 12.5 m/s
38. Un tren expreso pasa por cierta estación a 20 m/s. La siguiente estación está a 2.0 km de distancia y el tren pasa por ella 1.0 minuto después. ¿Cuál fue la velocidad con que el tren pasó por la segunda estación? Suponga constante su aceleración durante todo el trecho. Resp: 46.67 m/s
39. Se llama tiempo de reacción al que transcurre desde que un conductor observa un obstáculo hasta que pisa el pedal del freno. Normalmente es de algunas décimas de segundo. Suponga que la velocidad que lleva es de 90 km/h, el tiempo de reacción es de 0.4 s y que la aceleración de frenada es de –3 m/s2. Calcula el espacio necesario para que se detenga. Resp: 114.2 m
35. Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar luego de recorrer 1600 m. ¿Con qué velocidad en m/s despega? Resp: 160 m/s
40. Un vehículo viaja a 90 km/h cuando el conductor ve un animal en la carretera 40 m adelante. Si el tiempo de reacción del conductor es de 0.48 s (frena 0.48 s después de ver el animal), y la desaceleración máxima de los frenos es de 7.6 m/s2 ¿el automóvil chocará con el animal? Resp: Si chocará
36. Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica los frenos y produce un retardamiento de
41. El límite de velocidad en una zona escolar es de 40 km/h. Un conductor que va a esa velocidad ve a un niño en el camino 17 m delante de su carro. Aplica los frenos y el carro se desacelera uniformemente a 8.0 m/s 2. Si el
- 48 tiempo de reacción del conductor es de 0.7 s. ¿Se detendrá el carro antes de atropellar al niño? Resp: Se detiene sin atropellar, a 15.50 m < 17 m.
42. Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre sí 180 m y tardan 10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de dichos móviles. Resp: 2 m/s2, 1.6 m/s2
43. Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2 se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha con velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuánto tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m? (Ver figura) Resp: 14 s
Física General 46. Un automóvil está esperando en reposo que la luz del semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión lo sobrepasa en la misma dirección, con el movimiento uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuán lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán a estar juntos? Resp: 180 m
47. Un cuerpo con movimiento rectilíneo acelera a razón de 2 m/s2 de modo que al cabo de 3 segundos triplica el valor de su velocidad. ¿Qué espacio recorre en ese tiempo? Resp: 18 m
44. Un automóvil que está parado en un semáforo acelera a 2.80 m/s2 al encenderse la luz verde, un camión que se mueve a una velocidad constante de 80.0 km/h rebasa al automóvil. El automóvil mantiene una aceleración constante ¿Cuánto tiempo pasará desde que se prendió la luz verde hasta que el automóvil rebase al camión? ¿A qué distancia estarán los vehículos del semáforo al rebasar? Resp: 15.87 s ; 352.63 m
45. Una motocicleta que está parada en un semáforo acelera a 4.20 m/s2 en el momento en que la luz verde se enciende. En ese momento, un automóvil que viaja a 72.0 km/h rebasa al motociclista. Éste acelera durante un tiempo y después conserva su velocidad. Rebasa al automóvil 42.0 s después de haber arrancado. ¿A qué velocidad va el motociclista cuando rebasa y a qué distancia está del semáforo en ese momento? Resp: 21.3 m/s , 840 m
48. Un móvil con M.R.U.V. pasa por un punto “A” con una velocidad “v”, y después de 4 s pasa por otro punto “B” con una velocidad “3v”, y 1 s más tarde recorre 52 m. Hallar “v” Resp: 16 m/s
49. Un automóvil partiendo del reposo recorre una distancia “ x ” en un tiempo “ t/2 ” con una aceleración de “ 2a ”, si la misma distancia la recorre en un tiempo “ 3t ”. ¿Cuál es su aceleración? Resp: 1/18 a
50. Un móvil se mueve de A hacia B distante “L” en línea recta; parte del reposo con aceleración constante “a”; en el mismo instante, parte otro móvil de B hacia A con una velocidad constante “V”. ¿Cuál será el valor de V para que ambos móviles se crucen a la mitad de la distancia entre a y B? Resp:
V
1 aL 2
Física General
- 49 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Un movimiento es uniformemente cuando se cumple:
variado,
a) Velocidad constante y trayectoria recta b) Velocidad variable y trayectoria recta c) Velocidad variable y aceleración nula d) Velocidad variable y aceleración constante
a) 8 m/s2
La pendiente en un gráfico velocidad en función del tiempo representa: (M.R.U.V.) a) Aceleración c) Desplazamiento
3.
b) Velocidad d) Posición
¿Qué mide la aceleración? a) La velocidad máxima que puede alcanzar un móvil. b) La distancia recorrida en cada instante de tiempo. c) La velocidad que alcanza un móvil. d) La variación de velocidad en cada instante de tiempo.
4.
¿Qué significa que la aceleración de un móvil sea de 2 m/s2? a) Que su velocidad es de 2 m/s b) Que su velocidad cambia en 2 m/s en cada s c) Que puede alcanzar una velocidad de 2 m/s d) Que su velocidad inicial era de 2 m/s
5.
Un cuerpo parte del reposo con aceleración constante y recorre 12 m en 4 segundos. La velocidad obtenida es de: a) 0 m/s
6.
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 50 m/s
b) 1
c) –0.75
d) 0.75
Un automóvil cambia su rapidez de manera uniforme, desde 3 m/s hasta 7 m/s en un tiempo de 8 segundos. Su aceleración, en m/s2, es: a) 0.5
9.
d) 6 m/s
Un móvil cambia su rapidez de manera uniforme, desde 12 m/s hasta 8 m/s mientras recorre 40 m. La aceleración en m/s2, es: a) –1
8.
c) 3 m/s
Un automóvil con aceleración constante de 2 m/s2 parte del reposo. Al cabo de 10 segundos, su velocidad es: a) 10 m/s
7.
b) 48 m/s
b) 1
c) 2
d) 4
Un avión parte de reposo y recorre 196 m en 7 s para despegar. Halle su aceleración es:
c) 9 m/s2 d) 10 m/s2
10. Un avión aterriza con una velocidad de 432 km/h y se detiene después de recorrer 1200 m, luego, la aceleración retardadora producida por los frenos es: a) 4 m/s2
2.
b) 7 m/s2
b) 5 m/s2
c) 6 m/s2
d) 7 m/s2
11. Un auto que se mueve en línea recta con una velocidad de 8 m/s frena reduciéndola a 2 m/s después de 6 segundos. ¿Cuál es su aceleración media? a) Al frenar no existe aceleración b) El auto acelera a razón de 1 m/s2 c) El auto acelera a razón de –1 m/s2 d) Su aceleración es de 6 m/s2 12. Un cuerpo que se mueve a una velocidad de 10 m/s es frenado hasta alcanzar el reposo en una distancia de 20 m, ¿Cuál es su aceleración negativa en m/s2? a) 2.0
b) 2.5
c) 3.0
d) 3.5
13. Un auto se mueve con una velocidad de 15 m/s cuando el conductor aplica los frenos desacelera uniformemente deteniéndose en 3 s. Halle la distancia recorrida en el frenado. a) 20.5 m
b) 21.5 m
c) 22.5 m
d) 23.5 m
14. Un ciclista se mueve con una rapidez de 6 m/s de pronto llega a una pendiente suave en donde acelera a razón de 0.4 m/s2 terminando de recorrer la pendiente en 10 s. Halle la longitud de la pendiente a) 60 m
b) 65 m
c) 70 m
d) 80 m
15. Para que un auto duplique su velocidad requiere de 10 s y una distancia de 240 m. Halle la aceleración del auto en m/s2 a) 1
b) 1.2
c) 1.4
d) 1.6
16. Desde el mismo lugar parten simultáneamente un coche y un corredor, el corredor mantiene su velocidad constante de 6 m/s y el coche parte desde reposo y acelera en la misma dirección con 4 m/s2 ¿qué distancia separa los móviles a los 8 s de la partida? a) 80 m
b) 90 m
c) 128 m
d) 176 m
17. Un automóvil que se desplaza con una velocidad de 60 km/h aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante
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Física General
12 s hasta detenerse, La distancia que recorre en este tiempo es de:
PIENSA Y EXPLICA 1. ¿Qué estudian la cinemática y la dinámica?
a) 160 m
b) 100 m
c) 144 m
d) 60 m 2. ¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad?
18. Un automóvil pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? a) 7 s
b) 9 s
c) 10 s
d) 12 s
19. Dos autos separados 100 m sobre el eje X parten del reposo en el mismo instante y en la misma dirección y sentido; el primero con aceleración 5 m/s2 y el otro con aceleración 7 m/s2. ¿Al cabo de cuánto tiempo el más veloz alcanza al más lento? a) 10 s
b) 20 s
c) 30 s
b) 0.75
c) 0.85
d) 0.95
21. Dos móviles A y B están separados 36 m sobre el eje “X”, el de atrás parte con aceleración 4 m/s2 y el adelante con 2 m/s2, ambos salen del reposo simultáneamente con M.R.U.V. ¿Qué tiempo tardó el móvil de atrás para alcanzar al otro? a) 1 s
b) 2 s
c) 6 s
d) 8 s
22. Un móvil que tiene M.R.U.V. movimiento, desde el reposo, tal que aumenta a razón de 10 m/s cada 5 ¿Qué distancia recorre en el primer su movimiento? a) 1.6 km b) 2.6 km
c) 3.6 km
inicia su su rapidez segundos. minuto de
d) 4.6 km
23. Un auto parte del reposo con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1.0 km durante 10 s, si al pasar por el punto B su rapidez es el triple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida y el punto A. a) 80 m
b) 92 m
c) 100 m
d) 125 m
24. Un móvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 m/s, pero 50 segundos después su velocidad es 60 m/s. Sabiendo que el móvil parte del reposo, ¿qué distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A? a) 1 km
b) 2 km
c) 3 km
4. Diga una característica que diferencie velocidades media e instantánea.
las
5. En las indicaciones que tiene un bus hay un aviso que dice "Este bus no supera la velocidad de 90 km/h". Estrictamente hablando ¿qué debería decir?
d) 8 s
20. Un móvil que tiene M.R.U.V. duplica su rapidez luego de recorrer 18 m en 4 s. Determine el módulo de la aceleración (en m/s2) a) 0.65
3. Cuando dos automóviles van en una carretera y la distancia de separación entre ellas se mantiene constante. ¿Cuál automóvil va más rápido: el que va adelante o el que va atrás, o van a la misma velocidad?
d) 4 km
6. ¿Qué cantidad describe qué tan aprisa cambia la rapidez de un movimiento o su dirección? 7. ¿Cuáles son los mandos del auto que permiten cambiar la rapidez? Menciona otro mando que permita cambiar la velocidad. 8. La aceleración es la razón de cambio de ¿qué cosa? 9. ¿Cuál es la aceleración de un auto que se desplaza en línea recta con una rapidez constante de 100 km/h? 10. ¿Cuál es la aceleración de un auto que se mueve en línea recta y cuya rapidez aumenta de cero a 100 km/h en 10 segundos? 11. ¿Cuál será la velocidad de un auto que partiendo del reposo, acelera a 2 m/s2 durante 10 s? 12. La luz viaja en línea recta con una rapidez constante de 300000 km/s. ¿Cuál es su aceleración? 13. ¿En qué condiciones podemos definir la aceleración como la razón de cambio de la rapidez? 14. Un observador situado en la tierra constituye un sistema de referencia en reposo. ¿Falso, Verdadero? 15. Indicar un ejemplo de fenómeno físico que lleve movimiento uniformemente acelerado y otro que lleve movimiento uniformemente retardado
Física General
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Cap. 4 CINEMÁTICA III MOVIMIENTO VERTICAL CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a través del estudio de los movimientos verticales afectados por la aceleración de la gravedad, experimentando con prácticas de laboratorio para determinar el valor de la aceleración de la gravedad (g) en Sucre, que permita a los estudiantes aplicar a situaciones creativas en el contexto que les rodea.
CAÍDA LIBRE Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Caída libre.
Física General
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Introducción.- Es un caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Ejemplos de caída libre son: cuerpos lanzados hacia arriba o hacia abajo o cuando se suelta libremente. La única fuerza que actúa en este movimiento es el peso del cuerpo, no se considera la resistencia que ofrece el aire. Consideraciones del movimiento en caída libre.Existe la creencia de que cuerpos diferentes en peso caen con diferentes velocidades, se piensa que el cuerpo más pesado debería llegar primero al piso si son soltados al mismo tiempo. Galileo demostró que dos cuerpos diferentes en peso dejados caer simultáneamente desde la torre inclinada de Pisa tocaban el suelo casi al mismo tiempo.
Aceleración de la gravedad.- La aceleración de la gravedad que se origina en la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos, varía ligeramente de un lugar a otro. Las mediciones experimentales realizadas, determino que esta aceleración depende de dos factores: -
De la altura: Es inversamente proporcional al cuadrado de la altura del lugar.
-
De la latitud: Es función de la latitud del lugar. En los Polos:
9.83 m/s2
En la línea del Ecuador:
9.78 m/s2
La aceleración de la gravedad varía conforme varía la distancia del cuerpo al centro de la Tierra, y como nuestro planeta no es esférico sino que presenta achatamiento en los polos y ensanchamiento en la zona ecuatorial, la gravedad será mayor en los polos (más cerca del centro de la Tierra) y menor en el Ecuador (más lejos); esto significa que el valor de “g” varía con la latitud y altitud del lugar. El valor que suele aceptarse internacionalmente para la aceleración de la gravedad a la hora de hacer cálculos es de 9.81 m/s2. Para problemas prácticos tomar:
Agarre una pepa y una pluma de ave, déjalas caer simultáneamente desde una altura, ¿estos tocan el piso al mismo tiempo?; si no hay resistencia de aire, esto es posible, pero como existe resistencia, la pepa llega primero al piso y después la pluma.
g = 980 cm/s2
g = 9.8 m/s2
g = 32.2 ft/s2
La aceleración de la gravedad es una magnitud vectorial cuya dirección tiene sentido hacia el centro de la tierra. Ecuaciones de la caída libre.- Para resolver problemas de caída libre se utilizan las ecuaciones del M. R. U. V. Para establecer una ecuación correcta, debemos tomar en cuenta lo siguiente:
Con resistencia del aíre
-
La aceleración de la gravedad, es siempre negativa, ya sea si el objeto se lanza hacia arriba o hacia abajo.
-
Elegir un nivel o punto de referencia, que será siempre el punto inicial de lanzamiento.
-
Los vectores velocidad serán positivos, si tienen sentido hacia arriba; y negativos si tienen sentido hacia abajo.
-
Los desplazamientos (alturas) serán positivos si se encuentran por encima del nivel de referencia; y negativos si estuvieran por debajo.
Sin resistencia del aire
La velocidad que adquieren los cuerpos en caída libre es independiente de la masa, del peso y del tamaño.
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Física General Para un tiempo de 6 segundos:
v v0 g t v2 v02 2 g h
h v0 t 12 g t 2
v2 = vo – g t = 40 m/s – 9.8 m/s2 *6 s = –18.8 m/s El signo es negativo, lo que significa que el sentido de la velocidad es hacia abajo y el objeto está descendiendo y su magnitud es mayor a la velocidad inicial de lanzamiento, significa está por debajo de nuestro nivel de referencia. b) Para determinar el punto de ubicación, tenemos:
Ejem. 4.1.- Desde la cornisa de un edificio de 100 m de altura se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Calcular: a) La velocidad que adquiere después de 2 y 6 segundos, b) la posición del objeto cuando han trascurrido 2, 6 y 10 segundos. Datos: H = 40 m vo = 40 m/s t1 = 2 s t2 = 6 s a) v = ? b) h = ? Solución: a) El nivel de referencia será el punto de lanzamiento:
Para 2 seg: h 1 = vo t –
1 2
g t2
h1 = (40 m/s)(2 s) – ½ (9.8 m/ s2 )(2 s)2
= 60.4 m
El resultado nos da a conocer que el objeto se encuentra por encima del nivel de referencia a 60.4 m para 2 segundos. Para 6 seg: h2 = vo t – 12 g t2 = (40 m/s)(6 s) – ½ (9.8 m/s2)(6 s)2 h2 = 240 m – 176.4 m = 63.6 m De igual forma el signo nos indica que se encuentra por encima del nivel de referencia a 63.6 m, pero de acuerdo a la respuesta del inciso a) la velocidad está dirigida hacia abajo. Para 10 seg: h3 = vo t– 12 g t2 = (40 m/s)(10 s) – ½ (9.8 m/s2)(10 s)2 h3 = 400 m – 490 m = –90 m OTRA FORMA DE RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE, ES CONSIDERANDO COMO: v = vo + g t
v = vo – g t
v 2 v02 2 g h
v2 v02 2 g h
Para un tiempo de 2 seg: v1 = vo – g t v1 = 40 m/s – 9.8 m/s2 *2 s
h
v0 t 12 g t 2
Movimiento descenso
en
h
v0 t 12 g t 2
Movimiento ascenso
en
v1 = 40 m/s – 19.6 m/s v1 = 20.4 m/s El signo es positivo, lo que significa que el sentido de la velocidad es hacia arriba y sigue subiendo el objeto.
En éste libro se manejará indistintamente ambas formas de solución.
Física General
- 55 -
Altura máxima y tiempo de ascenso.- En el lanzamiento vertical hacia arriba, se tienen dos valores que son importantes determinar: la altura máxima alcanzada y el tiempo de ascenso, juntamente con el tiempo de vuelo. v = vo – g t
De la ecuación:
En el punto más alto de la trayectoria la velocidad del objeto es cero, ( v = 0 ), puesto que instantáneamente se queda en reposo.
Ejem. 4.2.- ¿Cuánto tiempo tardará un objeto soltado desde una torre para alcanzar la velocidad de 60 mill/h? Datos: v = 60 mill/h = 26.82 m/s t = ? Solución: El objeto desciende, por tanto podemos considerar como un movimiento con aumento de velocidad, aceleración positiva:
De donde despejando el tiempo:
t
v = vo – g t
v v 0 gt
v0 g
El tiempo que demora en descender es el mismo; por tanto el tiempo que se mantiene en el aire, es el doble del tiempo de ascenso:
tV 2
v0 g
La altura máxima alcanzada por el objeto, se obtiene reemplazando el tiempo de ascenso en la ecuación:
h v0 t 12 g t 2 hmax
v 1 v v 0 0 g 0 g 2 g
Simplificando:
v 02 1 v 02 v2 v2 g 2 0 02 g 2 g g 2g
2
hmax
v v 0 26.82 m / s 0 g 9.8 m / s 2
v 2.7 s
Se denomina tiempo de ascenso, es el intervalo que demora un objeto en alcanzar su máxima altura.
Tiempo de vuelo:
t
2 0
v 2g
La velocidad del objeto al pasar por el punto de lanzamiento, tiene el mismo valor inicial de lanzamiento, pero con sentido contrario.
Ejem. 4.3.- ¿Con qué velocidad se debe lanzar verticalmente hacia arriba un objeto para que alcance una altura máxima de 12.0 m? Datos: h = 12.0 m vo = ? Solución:
v2
v 02 2 g h
v0
2 (9.8 m / s 2 ) (12 m)
2gh
v 02
2gh 15.34 m / s
Ejem. 4.4.- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. Determinar la velocidad que tendrá después de haber transcurrido 8 segundos. Datos: vo = 60 m/s v = ? t = 8s Solución: v v 0 gt 60 m / s 9.8 m / s 2 8 s 18.4 m / s
El signo indica que el objeto esta de bajada.
Ejem. 4.5.- Desde un edificio de 50 m de altura, se deja caer libremente una piedra. ¿Qué velocidad poseerá al momento de tocar el suelo? Datos: vo = 0 v = ? h = 50 m Solución:
v 2 v 02 2 gh 2 gh v 2 gh
v 2 9.8
m m 50 m 31.3 2 s s
- 56 -
Física General
Ejem. 4.6.- Un cuerpo cae desde una altura de 30 m en caída libre, ¿a qué velocidad llega al piso y cuánto tarda en hacerlo? Datos: vo = 0 v = ? h = 30 m t = ? Solución:
Ejem. 4.8.- De una torre se deja caer una piedra, el tiempo que tarda en llegar al suelo es de 3 s. Determinar: a) La altura de la torre b) la rapidez con que llega al suelo. Datos: t = 3s v0 = 0 a) h = ? b) v = ?
La velocidad del objeto, se determina con la altura:
v 2 v 02 2 gh
v 24.25
v 2 gh 2 9.8
m 30 m s2
m s
El tiempo empleado hasta el suelo es:
h v0 t 12 g t 2
h
1 2
g t2 a) Cálculo de la altura de la torre:
t
2h g
2 (30 m) 9.8 m / s 2
2.5 s
h v0 t 12 g t 2
1 2
(9.8 m / s 2 ) (3 s) 2
h 44.1 m Ejem. 4.7.- Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad de 12.4 m/s desde una altura de 65.0 m sobre el suelo. a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 s? b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? Datos: vo = 12.4 m/s h = 65 m t = 2s a) h = ? b) v = ?
b) La rapidez de llegada al suelo:
v v0 g t (9.8 m / s 2 ) (3 s) v 29.4 m / s
h v0 t 12 g t 2 (12.4 m / s)(2 s) 12 (9.8 m / s 2 )(2 s)2
Ejem. 4.9.- Una pelota que se suelta desde el reposo a partir del reposo llega al suelo con una rapidez de 60 m/s. Calcular: a) El tiempo de caída. b) La altura de la cuál cae. Datos: vo = 0 v = – 60 m/s (hacia abajo) a) t = ? b) h = ?
h 24.8 m 19.6 m 44.4 m
Solución:
b) La velocidad al momento de tocar el suelo, es:
a) Tomando el signo negativo de g:
Solución: a) Para calcular la distancia recorrida en 2 s:
v 2 v02 2 g h 12.4 m / s 2 9.8 m / s 2 65 m 2
v 2 153.76 m 2 / s 2 1274 m 2 / s 2 1427.76 m 2 / s 2 v 1427.76 m 2 / s 2 47.78 m / s
v v0 g t t
v0 v 0 (60 m / s) 6.12 s g 9.8 m / s 2
b) Altura de la caída:
h v0 t 12 g t 2 12 (9.8 m / s 2 )(6.12 s)2 183.5 m
Física General
- 57 PRÁCTICA DE LABORATORIO CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
1. Objetivo General: -
Describir las características del movimiento rectilíneo de caída libre.
2. Objetivos específicos: -
Verificar las ecuaciones del movimiento vertical en caída libre. Calcular la aceleración de la gravedad en el lugar de la realización del experimento. Relacionar la pendiente de la gráfica velocidad vs. tiempo, con la aceleración. Determinar el valor de la aceleración de la gravedad aplicando ecuaciones empíricas.
3. Fundamento teórico: Variación de la Aceleración de la gravedad: -
En el ecuador, la aceleración de la gravedad es de 9.77 m/s 2, mientras que en los polos es superior a 9.83 m/s2. El valor que suele aceptarse internacionalmente para la aceleración de la gravedad a la hora de hacer cálculos es de 9.81 m/s2.
-
Antiguamente se creía que los cuerpos más densos caían con mayor aceleración, pero Galileo y, después, Isaac Newton se encargaron de demostrar lo contrario. Un experimento realizado en una cámara de vacío demuestra que todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración, independientemente de su masa.
-
El movimiento rectilíneo en caída libre se caracteriza por las siguientes ecuaciones:
v v0 gt
v 2 v02 2 gh
h v0 t 12 gt 2
Ecuaciones empíricas para la determinación de “g”: -
La aceleración de la gravedad en cualquier punto de la Tierra, se puede determinar considerando la latitud del lugar:
g 9.7849(1 0.005284 sen 2 0.00000 sen 2 2 ) : Latitud del lugar geográfico donde se calcula (Sucre) -
La aceleración de la gravedad en función de la latitud y altura:
g 9.80665 1 2.644 10 3 cos2 3 10 6 h
: Latitud del lugar geográfico donde se calcula (Sucre) h: Altura en metros sobre el nivel del lugar (Sucre) -
La aceleración de la gravedad en un punto de la Tierra respecto del nivel del mar, se puede determinar considerando la altitud del lugar:
g 9.81
R2
R h 2
R: Radio promedio de la Tierra h: Altura en metros sobre el nivel del lugar (Sucre)
- 58 -
Física General
4. Material: 1 canica (bolita metálica)
1 cronómetro
1 flexómetro
5. Procedimiento: 1. Mide cinco alturas diferentes de caída libre de la canica, márcalas con cinta maskin y anótalas en la tabla I. 2. Con la ayuda de tus compañeros calcula el tiempo que tarda en caer la canica para cada una de las alturas y regístralo en el espacio correspondiente, para cada ensayo realiza tres mediciones para obtener un promedio del tiempo. Anota en la tabla I.
TABLA I Ensayo
Tiempo para: h1 = …..m
Tabulación de tiempos y alturas Tiempo para: Tiempo para: h2 = …..m
h3 = …..m
Tiempo para:
Tiempo para:
h4 = …..m
h5 = …..m
1 2 3 Tiempo promedio
3. Traslade los valores de la tabla I, a la tabla II 4. Halle la velocidad final de cada tramo (Considerando v0 = 0)
v v h 0 t 2
v
2h v0 t
5. Con la velocidad obtenga la aceleración de cada tramo y obtenga el valor promedio:
g
TABLA II Distancia: h (m)
v t
g
v v0 t
Tabulación de datos experimentales
Tiempo: t (s) Velocidad: v (m/s) Aceleración: g (m/s2)
Aceleración experimental promedio: gexper.= ………………
Física General
- 59 -
6. Grafique los pares de datos velocidad (v) vs. tiempo (t) 7. Corrija la gráfica aplicando regresión lineal. 8. Obtenga la pendiente de la gráfica, es el valor teórico de la aceleración: Ecuaciòn de una recta:
y ba x;
ecuación de la velocidad (otra recta):
v v0 a t
9. Compare la pendiente con los valores de la aceleración experimental de la tabla II. 10.Determine el error porcentual, considerando como valor más probable, la pendiente y el valor medido el promedio de las aceleraciones de la tabla II.
TABLA III
Tabulación de resultados Resultados Resultados analíticos experimentales
Er
E%
Aceleración: g (m/s2)
Ecuaciones empìricas: 11. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la latitud de Sucre. 12. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la altura de Sucre. 13. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la latitud y altura de Sucre. 14. Compare los resultados obtenidos.
6. Discusión y análisis de resultados: (El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.) Preguntas: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
¿Cuándo se dice que un cuerpo está en caída libre? ¿De qué factores depende la aceleración de la gravedad? ¿Qué efectos produce la resistencia del aire en la caída de los cuerpos? ¿Tiene que ver el área de los cuerpos en la caída libre? ¿Y la forma de los objetos? ¿Qué clase de movimiento es el de caída o ascenso de un objeto? Averigüe el valor de la aceleración de la gravedad en Sucre, puede recabar la información en la facultad de Tecnología. 7. Investiga cómo se puede medir el valor de la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple:
T 2
l g
g
4 2 l T2
7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
- 60 -
Física General EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Calcular: a) La altura que alcanza a los 3 seg b) La velocidad a los 2 seg c) La altura máxima d) La velocidad al llegar al suelo Resp: a) 75.9 m; b) 20.4 m/s; c) 81.63 m; d) - 40 m/s
2.
Un objeto es lanzado hacia abajo verticalmente con una velocidad inicial de 40 m/s, sabiendo que la altura es de 130 m. Determinar: a) ¿Qué velocidad tiene a los 2 segundos de caída? b) ¿Qué altura recorrió en los 2 segundos? c) ¿Con qué velocidad llega al piso? Resp: a) 59.6 m/s; b) 99.6 m; c) 64.4 m/s
3.
Se lanza un cuerpo de 300 gramos hacia arriba a partir del suelo alcanzando una altura de 3 m, antes de comenzar a caer. Determinar: a) La velocidad inicial del lanzamiento b) La velocidad del cuerpo a 1 m del suelo cuando está en descenso. Resp: a) 7.67 m/s; b) - 6.26 m/s
4.
Desde la azotea de un edificio se deja caer una pelota. El tiempo que tarda en llegar al suelo es de 6.4 segundos. ¿Cuál es la altura del edificio? Resp: 200.7 m
5.
Un muchacho lanza verticalmente un balón que alcanza una altura de 16 m. Determina: a) El tiempo que tarda en cogerlo b) La rapidez final con la que agarra c) La rapidez con que fue lanzado. Resp: a) 3.61 s; b) 17.64 m/s; c) 17.64 m/s
6.
Un helicóptero desciende verticalmente con rapidez constante, cuando se encuentra a 200 m del suelo se suelta una piedra. Si la piedra emplea 6 s en llegar al suelo. ¿Cuál es la velocidad de descenso del helicóptero? Resp: 3.93 m/s
7.
Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 12.4 m/s desde una altura de 65.0 m sobre el suelo. a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 segundos? b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? Resp: 44.4 m; 37.78 m/s
8.
Una pelota se tira hacia arriba con una velocidad inicial de 15.0 m/s. ¿Hasta qué altura sube la pelota, y cuanto tiempo permanece en el aire? Resp: 11.5 m; 3.06 s
9.
Un cuerpo es lanzado hacia arriba, desde el suelo, tardando 20 s en caer en éste. Calcular la altura alcanzada y la velocidad media mientras subía. ¿Con qué velocidad se lanzó? Resp: 490 m; 49 m/s; 98 m/s
10. De un globo que está a 150 m sobre el nivel del suelo se desprende un objeto; en ese momento el globo está descendiendo con una velocidad de 4 m/s. Calcular el tiempo que tarda en tocar el suelo, así como su velocidad. Resp: 5.14 s; 54.37 m/s
11. Un cuerpo es lanzado hacia abajo desde un edificio con una cierta velocidad inicial. Se sabe que al llegar al suelo, tiene una velocidad de 200 km/h y que se lanzó desde 120 m. Calcular la velocidad con que se lanzó y el tiempo que tardó en caer. Resp: 27.1 m/s; 2.9 s
12. Una pelota de aluminio con una masa de 4.0 kg y una pelota de hierro del mismo tamaño con una masa de 11.6 kg se dejan caer simultáneamente desde una altura de 49 m a) Despreciando la resistencia del aire, ¿Cuánto tardará la pelota de aluminio caer? b) ¿Cuánto tiempo más tarde chocará con el suelo la pelota de hierro más pesada? Resp: a) 3.16 s; b) El mismo tiempo
13. Un bombardero en picada baja verticalmente a 720 km/h y deja caer una bomba, que tarda 10 s en llegar al suelo. ¿Desde qué altura cae la bomba? ¿Con qué velocidad chocará con el suelo? Resp: 2490 m; 298 m/s
14. Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad constante de 5 m/s; cuando se encuentra a una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre (g = 10 m/s 2) Resp: 9 s
Física General
- 61 Resp: 122.5 m; 49 m/s; – 49 m/s; 10 s.
18. Al tirar verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 7.65 m/s desde la parte superior de un edificio alto, inclinado el lanzador sobre el borde de modo que el objeto no choque con el edificio en su viaje de regreso. a) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando ha viajado una distancia total de 25.0 m? b) ¿Cuánto le toma viajar esa distancia? Resp: a) 20.8 m/s; b) 2.9 s
15. En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha el sonido del impacto luego de 2.06 segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo? (velocidad sonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).
19. El techo de un salón de clases está a 3.75 m del piso. Un estudiante tira una manzana verticalmente hacia arriba, liberándola a 50 cm del piso. ¿Cuál es la máxima velocidad inicial que se le puede dar a la manzana para que no toque el techo?
Resp: 20 m Resp: 7.98 m/s
20. Un objeto que cae pasa por una ventana que tiene una altura de 1.35 m durante 0.210 s ¿Desde qué altura sobre la ventana se soltó el objeto? Resp: 1.5 m
16. Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la ventana del décimo octavo piso ve pasar un objeto hacia arriba y 4 s después lo ve de regreso, hallar con qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso (g = 32 pies/s2). Resp: VA = 14 pies/seg
21. Una persona que está inclinada sobre el borde de un edificio de 34 m de alto lanza una pelota hacia arriba con una rapidez inicial de 6.0 m/s de modo que la pelota no choque contra el edificio en el viaje de regreso. a) ¿Qué tan lejos sobre el suelo estará la pelota al final de 1 segundo? b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en ese momento? c) ¿Cuándo y con qué rapidez chocará la pelota en el suelo? Resp: 35.1 m; – 3.8 m/s ; 3.3 s; – 26.5 m/s
22. Una piedra se arroja hacia abajo con una velocidad inicial de 8.0 m/s desde el techo de un edificio de 30.0 m de altura. ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se tira hasta que llega al suelo, y exactamente cuál es su velocidad antes del impacto? Resp: 1.8 s; 25.53 m/s
17. Desde el suelo se lanza hacia arriba un cuerpo que tarda en detenerse en el punto más alto 5 s ¿Qué espacio habrá recorrido hasta ese punto? ¿Con qué velocidad se lanzó? Cuando descienda, ¿con qué velocidad llegará al suelo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar?
23. Una pelota se arroja hacia arriba. Después de 1.25 segundos pasa por un punto que está a las tres cuartas partes de la altura máxima que se alcanza. Encuentre esa altura máxima y la velocidad inicial de la pelota. Resp: 31.25 m; 24.75 m/s
24. Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 1/6 de la gravedad terrestre, ¿Cuánto tiempo
- 62 -
Física General
tardaría en caer un cuerpo en ella, si se dejase caer desde 50 m?
sonido (340 m/s). ¿Cuál es la profundidad de la cueva?
Resp: 7.8 s
Resp:
25. Una piedra se arroja verticalmente desde la azotea de un edificio. Pasa una ventana que está 14.0 m más abajo con una velocidad de 22.0 m/s y pega con el piso 2.80 s después de haber sido arrojada. Calcule la velocidad inicial de la piedra y la altura del edificio. Resp: 14.48 m/s; 78.96 m
26. Un estudiante deja caer una piedra desde lo alto de un edificio de 26.0 m de altura. Otro estudiante tira simultáneamente una segunda piedra hacia abajo desde la misma altura; la piedra lanzada choca contra el suelo 0.30 s antes de que la piedra se dejara caer. ¿Cuál fue la velocidad inicial de la piedra lanzada? Resp: 3.2 m/s
27. Una pelota se deja caer desde un acantilado. Después que ha pasado por un punto 12.0 m abajo del borde de las peñas, se arroja hacia abajo una segunda pelota. La altura de la barranca es de 50.0 m ¿Cuál debe ser la velocidad inicial de la segunda pelota para que ambas lleguen al suelo al mismo tiempo? Resp: 22.69 m/s
28. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubo vertical con el intervalo de 0.1 s, caen libremente. Determinar la distancia entre la primera y segunda gota pasando 2 segundos después que sale la primera gota. Resp: 1.91 m
29. Un objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0.2 segundos. Determinar la altura desde la que cayó. Resp: 34.43 m
30. Desde un puente lanzamos verticalmente y hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 12 m/s y tarda 3 segundos en llegar al río. ¿A qué altura máxima ha llegado la piedra? ¿Cuál es la altura del puente? ¿Con qué velocidad ha chocado con el agua? Resp: 7.35 m; 8.1 m; - 17.4 m/s
31. Un método que puede utilizarse para determinar la profundidad de un abismo consiste en dejar caer una piedra y contar el tiempo que transcurre hasta que se oye el choque con el fondo. Suponemos que hemos oído el choque después de 4 segundos y se conoce la velocidad del
70.8 m
32. Dejamos caer un objeto desde 125 m de altura y después de 3 segundos lanzamos otro objeto. ¿Con qué velocidad tenemos que lanzar este objeto para que lleguen ambos al mismo tiempo al suelo? Calcula la velocidad de cada objeto cuando llega al suelo. Resp: – 50.92 m/s; – 49.50 m/s y – 71.02 m/s
33. Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleración de 1 m/s2 Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al piso del ascensor. Resp: 0.74 s
34. Desde qué altura dejamos caer una piedra si para hacer la primera mitad del trayecto tarda 5 segundos más que para hacer la segunda. Resp: 715 m
35. Lanzamos una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Una persona que está dentro del edificio ve la piedra entre 1 s y 1.1 s después de haberse lanzado. ¿A qué altura está la ventana? ¿Qué dimensiones tiene la ventana (verticalmente)? ¿A qué altura llegará la piedra? Resp: 25.10 m; 1.97 m; 45.92 m
36. Dos esferas pesadas se dejan caer desde diferentes alturas y una se abandona caer 2.2 s después de la otra. Las dos esferas llegan al suelo al mismo tiempo, 4.0 s después de haber soltado la primera. a) Calcular la altura desde la cual se dejaron caer las esferas. b) Hallar la velocidad de cada esfera, en el instante que llegan al piso. Resp: a) 78.4 m, 15.9 m; b) 39.2 m/s, 17.6 m/s
37. Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil hacia arriba si ésta se reduce a la tercera parte cuando ha subido 40 m (g = 10 m/s2). Resp: 30 m/s
38. Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s llegando al piso luego de 8 s. Hallar la altura del edificio (g = 10 m/s2). Resp: 80 m
Física General
- 63 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Se deja caer una piedra sin velocidad inicial. Al cabo de 1 segundo, la distancia recorrida es: a) 1 m
b) 4.8 m
c) 5.5 m
9.
Se deja caer un objeto de un globo, que tarda en caer 10 segundos. ¿De qué altura se dejó caer el objeto?
d) 4.9 m a) 500 m b) 480 m
2.
Se lanza una piedra hacia abajo con velocidad inicial de 1 m/s. Al cabo de 1 segundo, la distancia recorrida es: a) 1 m
3.
b) 4.9 m
c) 5.9 m
Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba; alcanza su punto más alto y regresa ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
La aceleración de un objeto que cae libremente: a) Aumenta a medida que cae b) Disminuye a medida que cae c) Aumenta y luego disminuye d) Se mantiene constante
5.
6.
7.
10. Un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba demora 16 s en el aire. Entonces debe tardar: a) 32 s en el aire c) 16 s bajando
a) 3.2 s
a) 12 m/s c) 25 m/s
d) 2.2 s
b) 28 m/s d) 30.5 m/s
13. En la figura, la pelota se lanza verticalmente hacia arriba. ¿Qué tiempo tarda en llegar al piso?
b) 5.5 s
a) 32 pies/seg c) 9.8 m/seg
c) 4.0 s
d) 5.0 s
b) 64 pies/seg d) 19.6 m/s
Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29.4 m/s. El tiempo empleado en caer es de: c) 3 s
14. Se lanza verticalmente hacia arriba a una moneda con velocidad inicial de 5 m/s. Si no se considera el roce del aire, ¿con qué velocidad pasa la moneda de regreso por el mismo punto de lanzamiento?
d) 6 s
¿Cuánto vale la aceleración en la posición más alta de la trayectoria de un objeto que es arrojado hacia arriba? 9.8 m/s2 d) N. A.
a) +10 m/s c) –5 m/s
b) 9.8 m/s2 d) N. A.
b) +5 m/s d) –10 m/s
15. Un cuerpo que emplea 7 segundos en caer libremente, necesariamente cayó de una altura de: (tomar g = 10 m/s2) a) 490 m
¿Cuánto vale la velocidad en la posición más alta de la trayectoria de un objeto que es arrojado hacia arriba? a) cero c) depende de lo alto
c) 1.6 s
12. La velocidad de la piedra del problema anterior, al llegar al piso es de:
a) 6.0 s
a) cero b) c) no se puede saber 8.
b) 1.8 s
(g = 10 m/s2)
b) 3.41 s
b) 16 s subiendo d) 8 s subiendo
11. Un estudiante lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 12 m/s desde el techo de un edificio de 32 m de altura. La piedra alcanza el piso en un tiempo de: (g = 10 m/s2)
¿Cuál es la velocidad que debe tener un móvil en movimiento de ascenso si alcanza una altura de 64 pies?
a) 4.41 s
d) 510 m
d) 6.9 m
a) La aceleración siempre está en el sentido del movimiento b) La aceleración siempre se opone a la velocidad c) La aceleración siempre está dirigida hacia abajo d) La aceleración siempre está dirigida hacia arriba 4.
c) 490 m
b) 250 m
c) 70 m
d) 245 m
16. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo la pelota poseerá una rapidez de 40 m/s? (Tomar g = 10 m/s2) a) 3 s
b) 4 s
c) 5 s
d) 6 s
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Física General
17. La altura de la que cae un cuerpo libremente si emplea 3 segundos: (asuma g = 10 m/s2) a) 450 cm
b) 45 cm
c) 450 m
d) 45 m
18. Se suelta un objeto desde una altura de 250 m. Determine a que altura del piso se encuentra luego de 6 s de ser soltado (g = 10 m/s2) a) 40 cm
b) 60 cm
c) 70 m
d) 80 m
19. Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba. Determínese la rapidez de disparo, si luego de ascender 25 m su velocidad es de 20 m/s. (g = 10 m/s2) a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
b) 200 m
c) 150 m
d) 145 m
21. Un globo se eleva verticalmente desde la superficie terrestre a rapidez constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra desde el globo. El tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie es: a) 6 s
b) 9 s
c) 12 s
b) 45 m/s
c) 50 m/s
b) 15 m
c) 5 m
d) 20 m
24. Un cuerpo cae verticalmente desde el reposo. Determine la altura que descendió cuando su velocidad es de 8 m/s. (g = 10 m/s2) a) 4.3 m
b) 6.7 m
c) 3.2 m
d) 2.8 m
25. ¿Desde qué altura se debe soltar una pepa para que el último segundo de su caída libre recorra 25 m? (g = 10 m/s2) a) 45 m
b) 20 m
c) 65 m
c) 35 s
d) 40 s
v = 100 m/s
27. Hallar la altura máxima alcanzada por el proyectil. (g = 10 m/s2)
a) 125 m
b) 625 m
c) 75 m
d) 250 m
v = 50 m/s
28. Se deja caer una piedra. Hallar su velocidad cuando ha transcurrido 6 s. (g = 10 m/s2)
a) 60 m/s
b) 40 m/s
c) 20 m/s
d) 12 m/s
v0 = 0
29. ¿Qué velocidad posee el cuerpo luego de 3 s de haber sido lanzado con v = 60 m/s? (g = 10 m/s2)
a) 20 m/s
b) 30 m/s
c) 40 m/s
d) 15 m/s
v = 60 m/s
30. Hallar el tiempo que demora en llegar a su punto más alto. (g = 10 m/s2)
d) 60 m/s
23. Una partícula lanzada hacia arriba demora 2 s en regresar al punto de lanzamiento. Determine la altura máxima que alcanza el cuerpo. (g = 10 m/s2) a) 10 m
b) 20 s
d) 15 s
22. Desde una altura de 45 m se lanza hacia arriba un objeto con rapidez de 40 m/s. Determine la rapidez con la que llega al piso. (g = 10 m/s2) a) 35 m/s
a) 15 s
d) 35 m/s
20. Una pequeña esfera es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio para impactar en la base del mismo, luego de 10 s, con una rapidez de 70 m/s. determine la altura del edificio. (g = 10 m/s2) a) 100 m
26. Hallar el tiempo que permanece en el aire (g = 10 m/s2)
d) 40 m
a) 28 s
b) 34 s
c) 49 s
d) 50 s
v = 490 m/s
31. Un cuerpo se suelta, luego de 5 s. ¿Què altura habrá recorrido? (g = 10 m/s2) a) 25 m
b) 75 m
c) 100 m
d) 125 m
32. Se deja caer un cuerpo y se observa que luego de transcurrido 6 s se encuentra a 20 m del piso. ¿De qué altura se soltó? (g = 10 m/s2) a) 100 m
b) 150 m
c) 180 m
d) 200 m
Física General
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Cap. 5 CINEMÁTICA IV MOVIMIENTO PARABÓLICO MOVIMIENTO DE PROYECTILES CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a partir del lanzamiento de proyectiles, experimentado con talleres de laboratorio y resolución de problemas, para aplicar en la solución de problemáticas de nuestra comunidad, para el desarrollo y generación de unidades productivas mecanizadas, en beneficio de la sociedad boliviana.
COHETES PROPULSADOS POR AGUA
Los cohetes propulsados por agua, en los modelos básicos están formados por una botella de plástico de 1.5 o 2 litros, agua para rellenar y un tapón de corcho. En los modelos avanzados se introduce un cono y paracaídas. El funcionamiento es sencillo, se llena la botella con aproximadamente 1/3 de agua, se pone un tapón bien ajustado y la situamos en posición vertical con algún tipo de plataforma, seguidamente, mediante un inflador de bicicleta introducimos aire dentro de la botella, cuando la presión es suficientemente grande el tapón se suelta saliendo hacia abajo el agua y el cohete despega alcanzando alturas variables que pueden llegar a unos 80 m. Para más detalles de la construcción de estos cohetes ingresa a: http://www.astroelda.com/index.htm
Física General
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Introducción.- Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica. Se llaman proyectiles a los siguientes casos: - Un objeto que se lanza desde un precipicio. - Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba. - Un objeto que es lanzado con un ángulo respecto a la horizontal. -
v0 = Velocidad inicial o velocidad de lanzamiento v0x = Componente horizontal de la velocidad inicial v0y = Componente vertical de la velocidad inicial 2) Velocidad del proyectil en cualquier instante:
Movimiento compuesto en dos dimensiones.- Las características son: - El movimiento de proyectiles se estudia en el plano vertical, ejes (X e Y). - El proyectil es lanzado con una velocidad inicial (v0) formando un ángulo ( 0 ) con la horizontal. - En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme, no existe aceleración ax 0 .
La componente horizontal de la velocidad se mantiene constante.
vx v0 x
vx v0 cos 0
- En la dirección vertical actúa sobre el proyectil la fuerza de gravedad, el movimiento es rectilíneo uniformemente variado, con aceleración constante a y g .
La componente vertical de la velocidad está sometido a la aceleración “– g” dirigida hacia abajo:
Ecuaciones del movimiento parabólico.- Para un lanzamiento de un proyectil con una velocidad inicial (v0) y un ángulo de tiro ( 0 ), las ecuaciones son:
-
Durante el ascenso la componente vertical de la velocidad es positiva, en el descenso negativa.
1) Componentes de la velocidad inicial:
-
En el punto de máxima altura la componente vertical se hace nula porque invierte su sentido.
co 0
v0 x v0
sen 0
v0 y v0
vy v0 y g t
vy v0 sen0 g t
v0 x v0 cos 0
v0 y v0 sen0
La velocidad total y dirección del proyectil en cualquier instante, viene dada por la resultante “v” y función tangente:
v vx2 v y2
tan
vy vx
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Física General
3) Posición del proyectil en cualquier instante: Son las coordenadas horizontal (x) y vertical (y) para cualquier tiempo (t):
y
v02 sen 2 0 1 v02 sen 2 0 g 2 g
Reduciendo y reemplazando y por H:
H
v02 sen 2 0 2g
El alcance horizontal máximo “R” cuando y = 0; calculamos inicialmente el tiempo de vuelo del proyectil: 0
y v0 sen0 t 12 g t 2
1 2
g t 2 v0 sen0 t 0
El desplazamiento horizontal:
vx
x t
x vx t
El tiempo de vuelo que viene a ser el doble del tiempo de ascenso:
x v0 cos 0 t
y v0 y t 12 g t 2
Reemplazando:
y v0 sen0 t 12 g t 2
Combinando las ecuaciones anteriores eliminando (t) se obtiene la ecuación de la trayectoria: De :
x v0 cos 0 t
2 v02 sen 0 cos 0 2 v sen 0 x v0 cos 0 t v0 cos 0 0 g g Reduciendo y reemplazando x por R:
x t v0 cos 0
R
v02 sen (20 ) g
El alcance es máximo cuando:
Reemplazando (t) en: x 1 x y v0 sen 0 t 12 g t 2 v0 sen 0 2 g v0 cos 0 v0 cos 0
y x tan 0
2
g x2 2 v02 cos 2 0
La altura máxima “H”, cuando la componente “vy” de la velocidad se hace nula; calculamos inicialmente el tiempo de ascenso del proyectil: 0
vy v0 sen0 g t
2 v0 sen 0 g
t
Para el desplazamiento vertical:
v sen 0 t 0 g
Reemplazando este tiempo en la ecuación del desplazamiento vertical, tenemos: v sen 0 1 v0 sen 0 g y v0 sen 0 0 g g 2
2
sen (20 ) 1
El ángulo 2 0 = 90º
Entonces:
0 45º
Lanzamiento horizontal o movimiento semiparabólico.- El ángulo de lanzamiento es 0o , lo que significa que en todas las ecuaciones anteriores debemos tomar en cuenta:
sen0 sen 0º
0
y cos 0 cos 0º
1
Reemplazando estos valores en las anteriores ecuaciones, y luego simplificando las mismas se obtienen: v0 y v0 sen 0º v0 y 0
vy g t y 12 g t 2
v0 x v0 cos 0º v0 x v0
vx
v0
x v0 t
Física General
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Ángulos de elevación y depresión.- Son los que se forman por la línea visual y la línea horizontal. a) Ángulo de elevación.- Formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea dirigida al objeto situado por encima de la horizontal (ángulo positivo)
Ejem. 5.2.- Se dispara un proyectil sobre un terreno horizontal con una velocidad de 300 m/s y un ángulo de 60º. Calcular el tiempo que demora en llegar al suelo. Datos: v0 = 300 m/s θ0 = 60º tv = ? Solución:
tv
a) Ángulo de depresión.- Formado por la línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea dirigida al objeto situado por debajo de la horizontal (ángulo negativo)
2v0 sen 0 2 300 m / s sen60º g 9.8 m / s 2
t v 53 s
Ejem. 5.3.- Se lanza una pelota con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de tiro de 40º. Calcular la altura máxima alcanzada y el tiempo que asciende. Datos: v0 = 40 m/s tv = ? θ = 40º H= ? Y
H X O
La altura máxima alcanzada es:
Ejem. 5.1.- Calcular el máximo alcance que se obtiene con un proyectil que se dispara con una velocidad de 60 m/s y ángulo de elevación de 45º, describiendo un movimiento parabólico. Datos: v0 = 60 m/s θ0 = 45º R = ? Y
H
H
v02 sen2 0 2g
(40m / s ) 2 * ( sen40º ) 2
1600m 2 / s 2 * (0.413) 19.6 m / s 2
2 * 9.8m / s 2
33.7 m
Ejem. 5.4.- Se dispara un proyectil en un terreno horizontal, de manera que su alcance horizontal es el triple de su altura máxima. Calcular el ángulo de lanzamiento. Datos: v0 = 40 m/s θ = ? R = 3H Solución:
X
Y
O
Solución: El alcance máximo se obtiene cuando la altura se vuelve nula: R R
vo 2 sen(20 ) g
367.35 m
(60 m / s) 2 sen (2 * 45º ) 9.8 m / s 2
O
R
X
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Física General
Combinando las ecuaciones del alcance máximo y la altura máxima, se obtiene el resultado:
R
vo 2 sen (2 0 ) g
H
vo 2 sen 2 0 2g
Condiciones del problema: R = 3H
v02 sen (2 0 ) v 2 sen 2 0 3 0 g 2g 2 sen(2 ) 3 sen 2 ( )
Solución:
2 (2 sen cos ) 3 sen 2
4 cos
tan
3 sen
sen 4 cos 3
4 3
53.13º
a) Tomando en cuenta el nivel de referencia la altura “y” que es negativa:
y v0 sen 0 t 12 g t 2 Reemplazando valores:
Ejem. 5.5.- Cuando se dispara un obús (cañón de largo alcance) sobre un terreno horizontal, el alcance máximo del proyectil es de 3.7 km. Sabiendo que la velocidad inicial es de 200 m/s. Calcular el ángulo de tiro. Datos: v0 = 200 m/s x = 3.7 km = 3700 m θ = ? Solución: Utilizando la ecuación del alcance máximo:
v 2 sen2 0 R 0 g
sen2 0
gR sen2 0 2 v0
9.8 m / s 3700 m 2
200 m / s 2
2 0 sen 1 0.9065 0
0.9065
65º 32.5º 2
Ejem. 5.6.Un proyectil es disparado horizontalmente desde un cañón que se encuentra a 44 m de altura con una velocidad de 50 m/s. Calcular: a) El tiempo que el proyectil permanece en el aire. b) El alcance horizontal. c) La velocidad del proyectil al chocar contra el suelo. Datos: Incógnitas: v0 = 50 m/s a) t = ? θ0 = 0º b) x = ? y = 44 m c) v = ?
44 m 50 m / s sen0º t
44 m 4.9 m / s 2 t 2
t
44 m
1 9.8 m / s 2 t 2 2
4.9 m / s 2
2.99 s 3 s
b) El alcance horizontal « x », se determina con el tiempo ya calculado: x v 0 cos 0 t 50 m / s cos 0º 3 s 150 m
c) Primeramente se determinan las componentes rectangulares de la velocidad: v x v0 cos 0 50 m / s cos 0º 50 m / s
v y v 0 sen 0 g t 50 m / s sen0º 9.8 m / s 2 3 s v y 29.3 m / s Luego la magnitud de la velocidad resultante es:
v v x2 v y2 v 57.95 m / s
50 m / s 2 29.3 m / s 2
Física General
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Ejem. 5.7.- Un futbolista golpea el balón con un ángulo de 50º respecto a la horizontal. Si el balón alcanza el suelo a 20 m del lugar del golpe, determinar: a) La velocidad con que partió el balón. b) La altura máxima alcanzada. Datos: θ0 = 50º R = 20 m a) v0 = ? b) H = ? Solución:
El tiempo que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima es:
a) Tendremos entonces, el alcance máximo:
Ejem. 5.9.- Un cañón costero está colocado a una altura h = 30 m sobre el nivel del mar. Un proyectil es disparado desde el cañón con un ángulo de elevación θ0 = 45º y una velocidad inicial v0 = 1000 m/s. Despreciando la fricción del aire, encontrar el alcance x del cañón sobre un blanco colocado sobre el nivel del mar. Datos: Incógnitas: v0 = 1000 m/s x= ? θ0 = 45º h = 30 m
R
vo 2 sen (20 ) g Rg sen(2 )
v0
v02
Rg sen (20 )
20 m * 9.8 m / s 2 sen(2 * 50º )
14 m / s
b) La altura máxima:
t
v 0 sen 0 10 m / s sen45º 0.66 s 0.7 s g 9.8 m / s 2
Comparando: 0.7 s > 0.4 s El choque con la pared se produce durante el ascenso de la pelota.
Y
H
v02
sen 0 2g 2
2
(14 m / s) (sen 50º ) 2 * 9.8 m / s 2
2
5m 45º
O
Ejem. 5.8.- Un niño lanza una pelota comunicándole la velocidad de 10 m/s con un ángulo de 45 respecto a la horizontal. La pelota choca en una pared situada a 3 m del niño. ¿Cuándo se produce el choque, mientras asciende o mientras desciende? Datos: v0 = 10 m/s θ0 = 45º x = 3m t = ?
Y
X
h
x
B
v0x = v0 cos45º = 1000 cos 45º = 707.1 m/s v0y = v0 sen45º = 1000 sen 45º = 707.1 m/s En el eje X el movimiento es uniforme: vx = v0x = cte.
x = vx t
(1)
En el eje Y el movimiento es uniformemente acelerado, siendo la aceleración la de la gravedad (vertical y hacia abajo).
45º O
X
3m
t 0.39 s 0.4 s
1 2
g t2
(2)
Cuando el proyectil llega al blanco (B): y = –30 m
El tiempo es: x v 0 cos 0 t
y = v0y t –
t
3m x v 0 cos 0 10 m / s cos 45º
Reemplazando en 1 y 2: x = 707.1t –30 = 707.1t – 12 9.8 t2 t = 144.35 s x = 102068.85 m = 102.07 km
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Física General LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas, clic en física y click en movimientos Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento parabólico Altura máxima y Alcance máximo
Gráficas de lanzamiento horizontal
-
Lanzamiento con Ángulos complementarios
Lanzamiento oblicuo
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de un proyectil. Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 73 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y el desplazamiento horizontal de la bomba.
8. La velocidad inicial de un proyectil es de 366 m/s. ¿Cuál debe ser el ángulo del cañón para que el proyectil destroce un tanque situado a 5490 m de distancia? Resp: 12°
Resp: 7.82 s; 469.5 m
2. Una pelota de golf es lanzada con una velocidad inicial de 30 m/s a un ángulo de 37º con la horizontal. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿Cuál es el alcance máximo alcanzado? Resp: H = 16.6 m; R = 88.3 m
3. Una pistola de resorte puede proyectar una canica con una rapidez inicial de 3.6 m/s. Con la pistola colocada horizontalmente sobre una mesa 1.5 m arriba del piso, ¿Cuál es el alcance de una canica disparada con ella?
Resp: 14.3 m/s; 59.2°
10. Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal. Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina. Resp: 19.66 m/s
Resp: x = 1.99 m
4. Una pelota rueda fuera del borde de una mesa horizontal de 4.23 ft de altura. Golpea al suelo en un punto 5.11 ft horizontalmente lejos del borde de la mesa. a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo la pelota en el aire? b) ¿Cuál era su velocidad en el instante en que dejó la mesa? Resp: a) 0.51 s; b) 11.15 m/s
5. Una bomba se deja caer desde un avión que vuela horizontalmente a una velocidad de 483 km/h. El avión se encuentra a 3048 m sobre el suelo. ¿A qué distancia del blanco debe ser lanzada la bomba?
11. Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcula el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Halla también la altura máxima. Resp: x = 365.3 m; t = 9.2 s; vx = 39.84 m/s; vy = – 67.16 m/s; 227 m
12. Un cañón está situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal. Calcular el alcance medido desde la base de la colina. Resp: 389.71 m
Resp: 3346.3 m
6. Una pelota se lanza a 60° sobre la horizontal con una velocidad de 173.21 m/s. ¿A qué altura llegará? ¿Cuál es el alcance horizontal? ¿Dónde estará el objeto al cabo de 6 s? Resp: H = 1148.02 m; y = 723.63 m
9. Una pelota lanzada por un muchacho es cogida a los 2 s por otro situado a 14.6 m de distancia y 4.9 m sobre el suelo. ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota? ¿Cuál es el ángulo con que fue lanzada?
R = 2651.25 m;
x = 519.63 m;
13. Desde un edificio de 25 m de altura se lanza en forma horizontal una piedra con una velocidad inicial de 54 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzar el suelo? ¿A qué distancia de la base del edificio lo hace? ¿Con que ángulo respecto a la horizontal llega al suelo? Resp: 2.26 s; 33.9 m; - 55.9º
7. Un proyectil es disparado con un ángulo de 45° y alcanza el punto más alto de su trayectoria al cabo de 27 s. Calcular la velocidad inicial. Calcular la máxima altura alcanzada. Calcular la máxima distancia horizontal alcanzada. Resp: v0 = 374.20 m/s; H = 3572.10 m; R = 14288.33 m
14. Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura se arroja horizontalmente una piedra con una velocidad inicial v0, que impacta en la calle a una distancia de 6 m del pie del edificio. ¿Cuánto tiempo está la piedra en el aire? ¿Con que velocidad inicial fue lanzada? Resp: 2.0 s; 3 m/s.
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Física General
15. Un proyectil es lanzado desde un obús con una velocidad de 128 pies/s y un ángulo de inclinación de 30º, respecto de la horizontal. Determinar el tiempo empleado en alcanzar una altura de 48 pies. Resp:
1 s y 2.97 s
16. Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24 m/s, que forma un ángulo de 53° por encima de la horizontal. Calcular la distancia horizontal a que se encuentra del punto de partida 3 seg, después del disparo. La distancia vertical por encima del punto de partida en el mismo instante. Las componentes horizontal y vertical de su velocidad en dicho momento. Resp:
43.3 m;
13.40 m;
22. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s, deja caer una bomba desde una altura de 1000 m ¿Con qué velocidad aproximada llega la bomba a tierra? (g = 10 m/s2). Resp: VR = 167 m/s
14.44 m/s; – 10.2 m/s.
17. Desde un avión que vuela a 720 km/h horizontalmente a 200 metros de altura hay que lanzar una caja a un coche que va a por la autopista a 108 km/h. ¿A qué distancia del coche tiene que soltar el avión este objeto? ¿A qué distancia lo habría de soltar si el coche circulase en sentido opuesto? Resp: 1086.3 m; 1469.7 m
18. Se lanza un balón con una velocidad de 16 m/s y haciendo un ángulo de 60º con el suelo. A 20 metros hay un árbol de 4 metros de altura. ¿Pasará el balón por encima de este árbol? Si pasa, ¿en qué posición chocará el balón con el suelo? Si por el contrario, no pasa, ¿A qué altura chocará con el árbol?
23. Una pelota lanzada horizontalmente choca con una pared que se encuentra a 5 m de distancia del sitio desde la cual se lanzó. La altura del punto en que la pelota choca con la pared es un metro más bajo que la altura desde el cual fue lanzada. Determinar con qué velocidad inicial fue lanzada la pelota. Resp: v 11.07 m/s
Resp: Pasa; 22.6 m
19. Desde el suelo se lanza un objeto con una velocidad de 20 m/s y con un ángulo de 45º. A 22 metros hay un edificio de 8 metros de altura. ¿Llegará este objeto a la azotea o bien chocará contra la pared vertical de este edificio? Si llega a la azotea, ¿dónde caerá exactamente el objeto? Si choca con la pared, ¿dónde tendrá lugar el impacto? Resp: Llega a la azotea, 29.8 m
20. Una pelota se lanza desde el tejado de una casa con una velocidad de 10 m/s formando un ángulo de 15° por debajo de la horizontal. Hallar las componentes vertical y horizontal de la velocidad. Resp: v0x = 9.66 m/s ; v0y = – 2.59 m/s
21. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1.25 m de altura; si cae al suelo en un punto situado a 1.5 m del pie de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la pelota al salir de la mesa? (g = 10 m/s2). Resp: v 3m/ s
24. Determinar el ángulo de lanzamiento de una partícula de tal modo que su alcance horizontal sea el triple de su altura máxima. Resp: 53
Física General
- 75 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
En el lanzamiento de proyectiles el máximo alcance horizontal se logra con un ángulo de:
a) 30 m/s 8.
a) 0º 2.
b) 30º
c) 90º
d) 45º
Dos cuerpos de masas iguales se lanzan horizontalmente desde una altura de 20 metros con velocidades de 10 m/s y 20 m/s. Se puede asegurar que: a) El cuerpo de velocidad 20 m/s tiene el mayor alcance. b) Los dos cuerpos por tener masas iguales obtienen el mismo alcance. c) Los dos cuerpos por tener velocidades diferentes obtienen el mismo alcance. d) El cuerpo de velocidad 10 m/s tiene el mayor alcance.
3.
d) 14.5 m
b) 10 m/s
c) 30 m/s
d) 20 m/s
b) 7 s
c) 6 s
d) 9 s
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s que hace un ángulo de 37º con la horizontal. El alcance horizontal de la pelota es de: (g = 10 m/s2) a) 24.5 m
7.
c) 7.2 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 50 m/s que hace un ángulo de 53º con la horizontal. El tiempo que demora la pelota en el aire es de: (g = 10 m/s2) a) 8 s
6.
b) 24 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s que hace un ángulo de 37º con la horizontal. La velocidad con que la pelota choca contra el suelo es de:(g = 10 m/s2) a) 15 m/s
5.
d) 10 m/s
En el movimiento de proyectiles podemos afirmar que existe aceleración: a) Inclinada c) Horizontal
9.
c) 0 m/s
b) Vertical d) Oblicua
En el lanzamiento de proyectiles, la velocidad horizontal es: a) Variable c) Constante
b) Nula d) A veces variable
10. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto C, de altura máxima:
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s que hace un ángulo de 37º con la horizontal. La altura máxima que alcanza la pelota es de: (g = 10 m/s2) a) 12 m
4.
b) 20 m/s
b) 19.5 m
c) 30.5 m d) 38.4 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s que hace un ángulo de 30º con la horizontal. Cuando la pelota alcanza la altura máxima, la velocidad vertical de la pelota es de:
a) La velocidad es cero, pero la aceleración no es cero b) La velocidad, no es cero, pero la aceleración es cero c) La velocidad y la aceleración son perpendiculares d) La rapidez es menor que en D, pero la aceleración es mayor en D 11. ¿Qué alcance horizontal tiene un proyectil que se dispara con una velocidad de 50 m/s formando 53º con la horizontal (g = 10 m/s2) a) 120 m
b) 200 m
c) 240 m
d) 250 m
12. De lo alto de un edificio se dispara horizontalmente un cuerpo, con una velocidad de 10 m/s. Si el edificio tiene 150 m. ¿A qué distancia del edificio se encontrará al cabo de 5 segundos? a) 50 m
b) 100 m
c) 80 m
d) 150 m
13. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/s deja caer un paquete desde una altura de 720 m, ¿con qué velocidad llega el paquete a
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Física General
tierra si se desprecia el efecto del rozamiento de aire? (g = 10 m/s2) a) 140 m/s c) 230 m/s
b) 166.4 m/s d) 150 m/s
21. Una pelota pequeña es pateada con un ángulo de elevación de 37º y rapidez de 20 m/s. ¿Qué rapidez tendrá la pelota al cabo de 1.2 s? (g = 10 m/s2) a) 16 m/s
El siguiente enunciado ejercicios 14, 15 y 16.
corresponde
a
Un cañón dispara con una velocidad, formando un ángulo con la horizontal. Responder: 14. Si V0 = 20 m/s, g = 10 m/s y = 30°. Entonces el tiempo de subida es: a) 0.2 s
b) 1.0 s
c) 0.8 s
b) 7 3
c) 10 3
d) 0.9 s
d) 5
16. Con los datos anteriores, la altura máxima será: a) 2.5 m
b) 5.0 m
c) 10 m
d) 20 m
17. Con qué ángulo de tiro debe ser disparado un cuerpo para que su alcance horizontal sea igual a su altura máxima? a) 81.9º
b) 82.9º
c) 80.5º
d) 75.9º
18. Se dispara un proyectil de tal manera que su alcance horizontal es igual al triple de su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección? a) 60.2º
b) 58.3º
c) 53.1º
d) 55º
19. Se lanza una piedra en forma horizontal con velocidad de 8 m/s de la parte más alta de una torre de 180 m de altura. ¿A qué distancia de la base de la torre caerá la piedra? (g = 10 m/s 2) a) 50 m
b) 48 m
c) 60 m
d) 45 m
20. ¿De qué altura fue lanzada una pelota horizontalmente con velocidad de 40 m/s?, si al caer al piso recorre una distancia horizontal de 120 m. (g = 10 m/s2) a) 64 m
b) 36 m
c) 25 m
d) 45 m
c) 15 m/s
d) 12 m/s
22. Desde un balcón se lanza una piedra en forma horizontal con una rapidez de 15 m/s. Hallar su desplazamiento horizontal hasta el instante en que su rapidez ha aumentado en 10 m/s. (g = 10 m/s2) a) 15 m
15. Con los datos anteriores, el alcance horizontal en metros es: a) 20 3
b) 18 m/s
los
b) 20 m
c) 25 m
d) 30 m
23. En los ejes cartesianos, el componente x de un vector está asociado generalmente con: a) coseno c) tangente
b) seno e) ninguno de ellos
24. En el lanzamiento de proyectiles el máximo alcance horizontal se logra con un ángulo de: a) 0º
b) 30º
c) 90º
d) 45º
25. Una piedra se lanza horizontalmente desde un barranco de 20 m de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde ese barranco. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la correcta? a) Ambas chocan con el suelo con la misma velocidad b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez c) Las dos llegan al mismo tiempo al suelo d) La piedra lanzada llega primero al suelo 26. En el lanzamiento horizontal, el tiempo de caída del proyectil depende de. a) b) c) d)
Velocidad de lanzamiento Altura de lanzamiento Las dos anteriores Ninguna de las anteriores
27. Una pelota de béisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja hacia los jardines. La aceleración de la pelota durante el vuelo: a) Es la misma durante todo el trayecto b) Depende de si la pelota va hacia arriba o hacia abajo c) Es máxima en la cúspide de su trayectoria d) Depende de cómo se la pegó
Física General
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Cap. 6 CINEMÁTICA V MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M. C. U.) CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Apreciamos procesos de movimiento originado por las fuerzas, estudiando y analizando los conceptos, características y propiedades de la cinemática circular, resolviendo una variedad de trabajos prácticos y de laboratorio, que identifiquen velocidad y rapidez, frecuencia y período, aceleración angular y centrípeta y permitan contribuir a la creatividad de nuestros estudiantes.
Algunas cosas interesantes sobre aceleración
Aquí tenemos la centrifugadora gigante donde se meten los astronautas para comprobar los efectos de la aceleración. En este caso en aceleración normal y se calcula con:
ac
v2 R
.
Con un radio de más o menos 5 m y una velocidad de tan solo 10 m/s podemos conseguir una aceleración de 20 m/s2.
Regla de la mano derecha para el vector velocidad angular
Física General
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Introducción.- El movimiento circular es aquel tipo de movimiento donde un objeto considerado como partícula describe una trayectoria curva llamada circunferencia. Cuando un cuerpo sólido rota sobre su eje, todas sus partículas giran, se mueven en trayectorias circulares alrededor del eje de rotación del cuerpo.
Desplazamiento angular ( ).- Magnitud vectorial, es el ángulo central correspondiente al arco descrito por la partícula, se mide en radianes.
s r
Revolución.- Es el movimiento que experimenta una partícula, cuya trayectoria descrita es una circunferencia. Ejem. La Luna tiene movimiento circular respecto del centro de la Tierra.
Rotación: Un objeto rota cuando gira alrededor de un eje que forma parte del objeto.
Revolución: Un objeto efectúa revoluciones cuando gira alrededor de un eje que no forma parte del objeto.
s r
-
El módulo es el ángulo formado ( θ ) por un cuerpo rígido o una partícula respecto de un centro y el radio, mientras va girando.
-
La dirección es perpendicular al plano de rotación, y se encuentra en el centro de la circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha.
Elementos del movimiento circular.- se consideran los siguientes: Rotación.- Es el movimiento que experimentan los cuerpos rígidos respecto a un eje fijo, todas sus partículas experimentan el mismo giro en el mismo tiempo. Ejm. La Tierra experimenta un movimiento de rotación sobre su propio eje.
Regla de la mano derecha.- Es una convención muy importante para la determinación de las direcciones y sentidos de los vectores rotacionales como el caso del, producto vectorial de dos vectores, desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, etc. “si suponemos que tomamos el eje de rotación del cuerpo con la mano derecha de modo que los dedos apunten en el sentido de la rotación, el pulgar colocado paralelo al eje indicará el sentido del vector desplazamiento angular”.
VECTOR DESPLAZAMIENTO ANGULAR
Distancia lineal (s).- Magnitud escalar, es la longitud recorrida por una partícula a lo largo del arco de circunferencia.
s r O
r
Aplicar la regla a diversos ejemplos como los punteros del reloj, las aspas de un ventilador, el giro de un alumno sobre sus talones, la rotación de la Tierra en torno a su eje y el Sol, etc. Unidades del desplazamiento angular.- La unidad principal es el radián (rad). Existen otras unidades como ser ( º ) grados sexagesimales, revoluciones.
arco = ángulo x radio
s r s = Longitud del arco, medido en m, cm, ft, etc. r = longitud del radio, medido en m, cm, ft. etc. θ = Angulo subtendido, medido en radianes.
Un radián, es la medida del ángulo central de una circunferencia subtendida por un arco de longitud igual al radio de dicha curva. s = rθ
θ = s/r
= r/r = 1 rad
1 rad = 360º /2π = 57.3 º 1 revolución = 1 vuelta = 2π rad.
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Física General
Rapidez lineal o tangencial ( v ).- Magnitud escalar, se define como el arco recorrido en cada unidad de tiempo. La rapidez lineal es el escalar de la velocidad lineal.
Rapidez angular
Unidades:
àngulo tiempo
t
rad s
Otras unidades de la rapidez angular:
s
rpm = revoluciones por minuto rps = revoluciones por segundo R
R
1 rpm
Rapidez lineal
arco tiempo
1revoluc. 2 rad 1min . rad 1min . 1revoluc. 60 s 30 s
Velocidad angular ( ).- Es una magnitud vectorial, señala la dirección y el sentido de giro de un cuerpo o partícula:
s v t
Unidades: m , cm , ft s s s
Velocidad lineal o tangencial ( v ).- Es una magnitud vectorial, señala la dirección en que gira un cuerpo o partícula: -
El módulo se denomina rapidez lineal tangencial.
(o
-
La dirección es siempre tangente a la trayectoria circular, perpendicular al radio.
-
El sentido es según el movimiento.
-
El módulo se denomina rapidez angular.
-
La dirección es perpendicular al plano de rotación, se encuentra en el centro de la circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha.
VECTOR VELOCIDAD ANGULAR
Rapidez angular ( ).- Magnitud escalar, se define como el ángulo descrito en cada unidad de tiempo. La rapidez angular es el escalar de la velocidad angular.
Relación entre magnitudes lineales y magnitudes angulares.- Una partícula que se mueve en una circunferencia, para un tiempo dado (t) se pueden obtener los siguientes datos: El desplazamiento angular es:
R
R
t
(1)
El arco recorrido es:
s
vt
(2)
La relación entre arco y ángulo:
s
R
(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3), se tiene:
vt t R
v R
(4)
Física General
- 81 Período ( T ).- Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circular uniforme en dar una vuelta completa. Se expresa en unidades de tiempo. T
Clasificación del movimiento circular según la rapidez angular.- Tomando en cuenta la rapidez angular, el movimiento de una partícula se clasifica en: -
Movimiento circular uniforme (M. C. U.)
-
Movimiento circular (M. C. U. V.)
uniformemente
Tiempo total Nro. de vueltas
Por ejemplo el período de revolución de la Tierra alrededor del Sol es 1 año. El período de rotación de la Tierra sobre su propio eje es 24 horas. Frecuencia ( f ).- Es el número de vueltas dado por un cuerpo con movimiento circular uniforme en cada unidad de tiempo, también se le puede definir como la inversa del período.
variado
f
Movimiento Circular Uniforme (M. C. U.).- Un ejemplo de este tipo de movimiento se observa en figura siguiente:
Nro. de vueltas Tiempo total f
1 T
Unidad de frecuencia en el S. I.
revolución segundo
1 s
r. p.s.
s 1
Hertz
revolución r pm min
Otras unidades:
Relación con el periodo y la frecuencia: Caracterìsitas.- Un cuerpo describe un movimiento circular uniforme cuando:
v
2 R T
v 2 R f
-
Su trayectoria es una circunferencia.
2 T
2 f
-
La rapidez (mòdulo de la velocidad) permanece constante.
-
La velocidad (vector), siempre tangente a la circunferencia.
-
El móvil barre ángulos iguales en tiempos iguales.
Movimiento circular uniforme es, rapidez lineal constante, pero no velocidad lineal constante. Rapidez lineal media:
Rapidez angular media:
v
Aceleración centrípeta ( ac ).- Llamada también aceleración normal an , aceleración radial aR .
Relaciona los cambios de dirección de la velocidad lineal en el movimiento circular con el tiempo.
s t
R
R
t Direcciones
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Física General
La aceleración centrípeta o normal, se representa mediante un vector orientado hacia el centro de curvatura.
Ejem. 6.1.- Un espectador de pie en el centro de una pista de carreras circular observa a un corredor que inicia una carrera de práctica 256 m al este. El corredor corre sobre la pista hasta la línea final, que está localizada hacia el norte de la posición del observador. a) ¿Cuál es la distancia de la carrera? b) ¿Cuál es la distancia de una vuelta completa alrededor de la pista? Datos: r = 256 m a) s = ? b) Longitud de una vuelta = ?
El módulo de la aceleración centrípeta es:
ac
v2 R
En función de la velocidad angular, reemplazando la relación v R en la anterior ecuación se obtiene otra expresión:
Solución: a) Desplazamiento angular: 90º = π/2 rad
ac 2 R
s = r θ = 256 m x π/2 rad = 402 m b) Para una vuelta completa el ángulo es:
Aplicaciones del M. C. U.- En la industria se aprovecha mucho los movimientos de rotación para transmitir los mismos a engranajes, por medio de correas, cadenas y fajas. a) Si dos o más partículas giran en base a un mismo centro, sus velocidades angulares serán iguales.
A
B
b) Cuando dos ruedas están en contacto o conectadas por una correa, entonces los valores de sus velocidades tangenciales son iguales.
360º = 2π rad s = rθ
= 256 m x s = 1610 m
Ejem. 6.2.- Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 180 R.P.M. Calcular su velocidad angular. Solución: revol . 2 rad 1min 18 * * 18.85 rad / s min. 1revol . 60 s
Ejem. 6.3.- En un disco de 45 rpm, el principio de la pista está a 8 cm del centro y el final a 5 cm del centro. ¿Cuál es la rapidez angular y la rapidez tangencial de un punto en el disco a estas distancias cuando gira a 45 rpm? Datos: ω = 45 rpm r1 = 8 cm r2 = 5 cm ω1 = ? v1 = ? ω2 = ? v2 = ? La rapidez angular es la misma en todo el disco, por tanto: ω = ω1 = ω2
45
revol . 2 rad 1min * * min. 1revol . 60 s
4.7 rad / s
Física General
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Las rapideces tangenciales en posiciones diferentes sobre el disco son diferentes: v1 r1 (4.7 rad / s)(0.08m) 0.38m / s
r2
v2
(4.7 rad / s)(0.05m) 0.24m / s
Un punto sobre la parte exterior del disco tiene una rapidez tangencial mayor que uno en la parte interna. Ejem. 6.4.- Un disco de fonógrafo rota a una rapidez constante de 33⅓ rpm ¿Cuál es la frecuencia del disco y el período de rotación? Datos: ω = 33.3 rpm f = ? T = ?
Ejem. 6.6.- Calcular la velocidad tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10 cm de radio en 0.2 segundos. Datos: r = 10 cm t = 0.2 s θ = 1 vuelta = 2π rad v = ? Solución:
m
t
2 rad 0.2 s
31.42 rad / s
v R (31.42 rad / s) (0.10 m) 3.14 m / s
Ejem. 6.10.- En el sistema mostrado. Calcular la velocidad angular de la rueda “E”
Solución: La velocidad angular:
33.33
revol . 2 rad 1min * * min. 1revol . 60 s
3.49 rad / s
RB = 40 cm RE = 40 cm
RC = 30 cm ωA = 5 rad/s
RD = 15 cm
La frecuencia:
2 f
f
2
3.49 rad / s 0.55 Hz 2
El periodo: T
Las ruedas A y B tienen el mismo centro de giro, por tanto tienen la misma velocidad angular: ωA = ωB = 5 rad/s Transformando las velocidades angulares a lineales:
1 1 1.8 s f 0.55 Hz
vB = rB ωB = (40 cm)(5 rad/s) = 200 cm/s Las ruedas B y C , tienen la misma velocidad tangencial:
Ejem. 6.5.- Calcular la velocidad tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10 cm de radio en 0.2 segundos. Datos: r = 10 cm t = 0.2 s θ = 1 vuelta = 2π rad v = ? Solución:
vB = vC = 200 cm/s
C
m
t
2 rad 0.2 s
200cm / s 30 cm
6.67 rad / s
Las ruedas C y D tienen la misma velocidad angular por tener el mismo centro de rotación: ωC = ωD = 6.67 rad/s
Cálculo de la velocidad angular media:
vC rC
vD = rD ωD = (15 cm)(6.67 rad/s) = 100 cm/s
31.42 rad / s
La velocidad tangencial:
v R (31.42 rad / s) (0.10 m) 3.14 m / s
E
vE rE
100cm / s 40 cm
2.5 rad / s
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Física General LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de paginas, clic en física y click en movimientos Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento circular MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
M.C.U. ACELERACION NORMAL
-
PERÍODO Y FRECUENCIA
MOVIMIENTOS CIRCULARES
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de una mariquita y Movimiento 2D. Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 85 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un hombre trota sobre una pista circular que tiene un radio de 0.25 km, una distancia de 1.0 km ¿Qué distancia angular ha cubierto en (a) radianes, (b) grados? Resp: (a) 4 rad, (b) 229.2º
2. Si consideramos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, ¿cuál será la distancia orbital aproximada que la Tierra recorre en 3 meses (Distancia Tierra – Sol = 1.5x108 km)
11. Se lanza una bola con rapidez uniforme en un círculo horizontal con un radio de 1.25 m. Si la bola tiene una aceleración centrípeta de 5.35 m/s2, ¿cuál es su rapidez orbital? Rep: 2.59 m/s
12. En la figura siguiente. Si la rueda “A” gira a 40 rpm y siendo RA = 4RB, determinar la velocidad angular de “B” Resp: 160 rpm
8
Resp: 2.36x10 km
3. Una rueda de automóvil da 300 vueltas en un minuto. Calcula la frecuencia y el período Resp: Frecuencia = 5 Hz; Período = 0.2 s
4. Una rueda de carrusel tiene 5 m de diámetro, realiza 5 vueltas en 2 minutos. Calcula: El período, la frecuencia, la velocidad angular y la velocidad lineal de su borde.
13. Se lanza una bola con rapidez uniforme en un círculo horizontal con un radio de 1.25 m. Si la bola tiene una aceleración centrípeta de 5.35 m/s2, ¿cuál es su rapidez orbital? Rep: 2.59 m/s
Resp: 24 s; 0.042 Hz; 0.262 rad/s; 0.65 m/s
5. Un automóvil de carreras hace dos vueltas alrededor de una pista circular en 2.5 min. ¿Cuál es su rapidez angular promedio? Resp: 0.084 rad/s
6. Un corredor que lleva un paso constante recorre media vuelta de una pista circular que tiene una diámetro de 500 m, en 2.5 min. ¿Cuál es a) su rapidez angular y b) su rapidez tangencial? Resp: 0.021 rad/s; 5.24 m/s
7. Una partícula describe un arco de 30 cm en 15 segundos. Calcular su velocidad angular, si el radio es de 10 cm. Resp: 0.2 rad/s
8. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 1500 RPM. Calcular la velocidad angular en rad/s.
14. Una centrifugadora de laboratorio que sirve para separar partículas de diferentes tamaños y densidades suspendidas en un líquido, opera con una rapidez rotacional de 12000 rpm. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de una célula roja sanguínea a una distancia radial de 8 cm del eje de rotación de la centrifugadora? b) ¿Cómo se compara esta aceleración con g? Resp: a) ac = 1.25x105 m/s2 ; b) 13 000 g
15. Un punto móvil gira con un período de 2 s y a 1.2 m del centro, calcular: a) La velocidad tangencial b) La velocidad angular. Resp: a) 3.77 m/s; b) 3.14 rad/s
16. La velocidad angular de un punto móvil es de 55 rad/s, ¿cuál es la velocidad tangencial si el radio de giro es de 0.15 m? Resp: 8.25 m/s
Resp: 157.1 rad/s
9. Un satélite en una órbita circular tiene un período de 10 horas. ¿Cuál es la frecuencia en revoluciones por día?
17. El radio de una rueda de bicicleta es de 32 cm. Si la velocidad tangencial es de 40 km/h, ¿cuál es la velocidad angular? Resp: 34.7 rad/s
Resp: 2.4 Revol/día
10. Determine cuál tiene mayor rapidez angular: la partícula A que viaja 160º en 2 segundos, o la partícula B que recorre 3π rad en 7 segundos Resp: A = 1.396 rad/s; B = 1.346 rad/s; (A tiene mayor rapidez angular)
18. Si una hélice da 18000 R.P.M. ¿Cuáles son su frecuencia y período? Resp: 300 vueltas/s, 0.003 s
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Física General
19. Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m. Calcula: a) El módulo de la velocidad angular en rad/s b) El módulo de la velocidad lineal de su borde c) Su frecuencia Resp: a) 6π rad/s; b) 9.42 m/s; c) 3 Hz
20. Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a una velocidad de 2500 rpm. Calcula: a) El módulo de la velocidad angular en rad/s b) El módulo de la velocidad lineal de su borde c) Su frecuencia Resp: a) 83.3π rad/s; b) 15.7 m/s; c) 41.66 Hz
21. Teniendo en cuenta que la Tierra gira alrededor del Sol en 365.25 días y que el radio de giro medio es de 1.5x1011 m, calcula (suponiendo que se mueve en un movimiento circular uniforme): a) El módulo de la velocidad angular en rad/día b) El módulo de la velocidad a que viaja alrededor del Sol c) El ángulo que recorrerá en 30 días d) El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol Resp: a) 0.0172 rad/dia; b) 29861 m/s; c) 0.516 rad = 29° 33'; d)5.9x10-3 m/s2
22. Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad, durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. Para un avión que vuela a 2300 km/h, ¿cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar? Resp: = 5200 m
23. Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de 33 cm. Calcular la velocidad angular Resp: 0.67 rad/s
24. Los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se encuentran a 2 cm de la periférica giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco? Resp: 16 cm
25. La rueda “A” presenta una velocidad angular constante de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de la rueda “D”? Resp: 12 rad/s
26. A las doce del día, las agujas de un reloj están superpuestas. ¿Al cabo de cuántos minutos, el minutero y el horario formarán un ángulo de 30° por primera vez? Resp: 5.45 minutos
26. Los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se encuentran a 2 cm de la periferia giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco? Rpta. 16 cm
27. Una partícula describe una circunferencia de radio igual a 30 cm y da 4 vueltas en 20 segundos; calcular: a) El período b) La frecuencia c) La velocidad angular Resp: a) 5 s, b) 0.2 Hz, c) 1.26 rad/s
28. Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de 33 cm. Calcular la velocidad angular. Resp: 0.67 rad/s
29. Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hueco a cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del disco en (rad/s)? (considere: g = 10 m/s2). Resp: 1.31 rad/s
Física General
- 87 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. Una rueda tiene una velocidad angular de 2π rad/seg. Al término de 5 seg, ¿habrá girado en radianes? a) 5π
b) 10π
2. La velocidad angular sobre su eje es: a) 12/π rad/h c) 48/π rad/h
c) 5/π
d) 20π
de la rotación terrestre b) π/12 rad/h d) 0.5 grados/min
a) 0.4 rad
b) 40 rad
b) longitud d) longitud/tiempo
c) 4 rad
d) 0.25 rad
12. Un cuerpo gira en un movimiento rotacional uniforme, en un círculo de 10 cm de radio con una aceleración centrípeta de 810 cm/s 2. Su velocidad angular es de: a) 3.14 rad/s c) 10 rad/s
3. La unidad radián es equivalente a: a) grado/tiempo c) longitud/longitud
11. Un arco de 60 cm de longitud sobre una circunferencia de 30 cm de diámetro corresponde un ángulo en radianes de:
b) 9 rad/s d) 810 rad/s
13. La dirección del vector, velocidad angular es con respecto a la del plano que contiene a la trayectoria:
4. En el movimiento circular uniforme, se cumple: a) b) c) d)
a) Paralela c) Oblicuo
La velocidad angular es constante La rapidez es variable La velocidad angular es variable No hay aceleración
14. Una esfera unida a una cuerda de 3 m de longitud, da 5/π revoluciones por segundo. ¿Cuál es la velocidad de la esfera?
5. Una revolución completa expresada en radianes, equivale: a) 1 rad
b) 360 rad
c) π/2 rad
b) 10 rev d) 20 rev
b) 13.5 rad c) 20 rad
b) 11309.7 rad/s d) 17188.7 rad/s
9. En el movimiento circular uniforme siempre existe aceleración porque: a) b) c) d)
El espacio recorrido es siempre el mismo La velocidad cambia de dirección La velocidad cambia de módulo La velocidad no cambia de sentido
10. Las dimensiones de la velocidad angular se da en: a) rad
b) rad/s
c) rad/s 2
b) Hacia el este d) Hacia arriba
16. En un movimiento circular uniforme se cumple una de las siguientes características:
d) 15.7 rad
8. El volante de un motor gira a razón de 1 800 RPM .Su velocidad angular es: a) 188.5 rad/s c) 3.14 rad/s
b) 30 m/s d) 60 m/s
15. Una muchacha corre en bicicleta hacia el norte con rapidez constante. El vector “ω” velocidad angular de las ruedas se dirige: a) Hacia el norte c) Hacia el oeste
7. Un desplazamiento angular de 900º equivale a: a) 12.5 rad
a) 15 m/s c) 31.4 m/s
d) 2π rad
6. Una rueda tiene una velocidad angular de 2π rad/ seg. Al término de 5 seg habrá dado: a) 5 rev c) 5/ rev
b) Perpendicular d) No se puede precisar
d) r.p.s.
a) b) c) d)
La aceleración es nula La velocidad (vector) es constante La aceleración es tangencial La rapidez es constante
17. En el movimiento circular uniforme, período es: a) El número de vueltas que realiza un cuerpo en una unidad de tiempo b) El tiempo que emplea un cuerpo en girar una vuelta c) El ángulo barrido en una unidad de tiempo d) La distancia recorrida en una unidad de tiempo 18. Una rueda gira 500 veces en un minuto, ¿cuál es su velocidad angular en radianes por segundo? a) 34.35 rad/s c) 49.28 rad/s
b) 40.36 rad/s d) 52.35 rad/s
- 88 -
Física General
19. Si un cuerpo da 180 vueltas en 1 minuto, su frecuencia es:
a) ω/t
b) ω
c) ω r
d) ω² r
26. El siguiente: 120 r.p.m. es lo mismo que: a) 30 vueltas/segundo c) 6 vueltas/segundo
b) 3 vueltas/segundo d) 8 vueltas/segundo
20. Un cuerpo realiza 120 vueltas en un minuto describiendo una circunferencia de 1 m de radio. El valor de su velocidad tangencial es: a) 2 m/s c) 12.56 m/s
b) 6.28 m/s d) 3.14 m/s
a)
R v
2
b) 0
c)
v R
b) 2 vueltas/minuto d) 0.5 r.p.s.
27. Un cuerpo que describe un M.C.U. recorre una vuelta cada 60 s. Su velocidad angular será: b) π/30 rad/s d) 1/60 r.p.s.
a) 60 r.p.s. c) 2π rad/s
21. Un cuerpo gira en un círculo de radio R con velocidad constante v, su aceleración normal está dado por: 2
a) 2 r.p.s. c) 720 r.p.s.
d)
R v
22. En la figura, los vectores A y B representan respectivamente:
28. Un cuerpo con M.C.U. recorre 0.43 vueltas en 0.034 minutos. Entonces, va con una rapidez de: a) 0.464 vueltas por minuto c) 0.080 r.p.m.
b) 12.65 r.p.m. d) N. A.
29. Una partícula que tiene M.C.U. gira con una frecuencia de 1200 RPM. Si el radio de giro es 50 cm, calcular su aceleración centrípeta en m/s 2 a) 200π2
c) 600π2
b) 400π2
d) 800π2
30. Una partícula realiza un movimiento circular 𝜋 uniforme con rapidez angular 12 rad/s y radio 2.5 m. ¿En que tiempo la partícula realiza 7 vueltas completas? a) La velocidad tangencial y la velocidad angular b) La velocidad angular y la aceleración centrípeta c) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta d) La aceleración centrípeta y la velocidad tangencial 23. Un cuerpo viaja en una trayectoria circular a rapidez tangencial constante; entonces podemos afirmar: a) La aceleración está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular b) La aceleración del cuerpo es cero c) La aceleración está dirigida fuera del centro de la trayectoria circular d) La velocidad del cuerpo es constante 24. Una esfera unida a una cuerda de 3 m de longitud, da 5/π revoluciones por segundo. ¿Cuál es su aceleración? a) 30 m/s2 c) 300 m/s2
b) 31.4 m/s2 d) 600 m/s2
25. Un cuerpo gira en un círculo de radio r con velocidad angular constante ω y su aceleración normal está dado por:
a) 168 s
b) 184 s
c) 204 s
d) 216 s
31. Un cuerpo con M.C.U. gira un ángulo de 720° en 10 segundos. Hallar su velocidad angular a) 0.2π rad/s c) 0.1π rad/s
b) 0.4π rad/s d) 2π rad/s
32. Una partícula gira con M.C.U. de tal modo que da una vuelta en 22 s. Si al recorrer 40 cm de arco, emplea 10 s, ¿cuál es el radio de giro del movimiento? (𝜋 = a) 10 cm
22 7
b) 12 cm
) c) 14 cm
d) 16 cm
33. Hallar la velocidad angular del minutero de un reloj en rad/s a) π/60
b) π/360
c) π/180
d) π/1800
34. Un cuerpo gira con una velocidad angular constante de 10π rad/s. Hallar el número de vueltas que da en medio minuto. a) 5
b) 150
c) 300
d) 50
35. Un cuerpo con M.C.U. da 3 vueltas en minuto. Hallar su velocidad angular en rad/s a) π
b) 10π
c) 6π
d) π/10
1
Física General
- 89 -
Cap. 7 CINEMÁTICA VI MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M. C. U. V.) CONTENIDO:
- 90 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Apreciamos procesos de traslación originado por las fuerzas, estudiando y analizando los conceptos, características y propiedades del movimiento circular uniformemente acelerado, produciendo una variedad de trabajos prácticos y de laboratorio que permitan contribuir a la creatividad de nuestros estudiantes. PARA JUGAR UN POCO APRENDIENDO FÌSICA
Física General
- 91 -
Aceleración tangencial ( a ).- Es una magnitud vectorial, relaciona los cambios de la rapidez tangencial con el tiempo.
Aceleración angular ( ).- Es una magnitud vectorial, relaciona los cambios de la rapidez angular con el tiempo.
-
-
El módulo indica el cambio de la rapidez tangencial en cada unidad de tiempo.
Aceleración tan gencial
Variación de la rapidez lineal tiempo empleado
El módulo indica el cambio de la rapidez angular en cada unidad de tiempo.
Variación de la rapidez angular tiempo empleado
Aceleración angular
R
R
R
R
a
a
Si t 0 0 :
m s 2
v t
v t
a
v v0 t
v v0 t t0
-
La dirección es siempre tangente a la trayectoria circular y perpendicular al radio.
-
El sentido es según el movimiento si la rapidez aumenta; contrario al movimiento si la rapidez se reduce.
a
v son
y mismo sentido.
del
t
0 t
v son
y de sentidos contrarios.
0 t t0
La dirección es perpendicular al plano de rotación, y se encuentra en el centro de la circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha, si la rapidez angular aumenta; es de sentido contrario si la rapidez angular disminuye.
Si v < v0
a
rad s 2
-
MOVIMIENTO RETARDADO
Si v > v0
t
Si t 0 0 :
MOVIMIENTO ACELERADO
MOVIMIENTO ACELERADO
MOVIMIENTO RETARDADO
Si ω > ω0
Si ω < ω0
y sentido.
son del mismo
y son de sentidos contrarios.
- 92 -
Física General
Relación entre magnitudes lineales y magnitudes angulares.- Una partícula que se mueve en una circunferencia, para un tiempo dado (t):
Movimiento lineal
v R
Partiendo de:
De la aceleración tangencial:
v at
De la aceleración angular:
t
Reemplazando:
Ecuaciones del M. C. U. V.- Son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente variado:
tR
at
a
a R
v t
v v0 t
v v0 a t Movimiento Circular Uniformemente Variado (M. C. U. V.).- Un ejemplo de este tipo de movimiento se observa en figura siguiente::
v02 2 a s
v2
s
v
Movimiento angular
s v 0 t 12 a t 2
v0
t
0
0 t
0 t
2
02 2
0 t 12 t 2
0 t 2
s
v v 0 t 2
v
s t
v
v0 v 2
v2 = 10 m/s v1 = 5 m/s R
t 0 2
v3 = 15 m/s
Caracterìsitas.- Un movimiento circular cuando:
cuerpo describe un uniformemente variado
Ejem. 7.1.- La velocidad angular de un motor que gira a 1800 rpm en 2 segundos desciende uniformemente hasta 1200 rpm ¿Cuál es la aceleración angular? Datos:
-
Su trayectoria es una circunferencia.
0 1800
-
La rapidez (módulo de la velocidad) varía uniformemente.
1200
-
La aceleración angular del móvil permanece constante.
t = 2s α = ?
-
La velocidad (vector), siempre tangente a la circunferencia.
Solución:
revol 2 rad 1 min * * 188.5 rad / s min 1 revol 60 s
revol 2 rad 1min * * 125.7 rad / s min 1 revol 60 s
0 125.7 rad / s 188.5 rad / s t t 2s
31.4
rad s2
Física General
- 93 -
Ejem. 7.2.- A los 5 segundos de ponerse en funcionamiento un disco LP adquiere una velocidad de 33 rpm. Calcular la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración lineal de un punto de su periferia a los 5 segundos de iniciado el movimiento. (Diámetro del disco 30 cm) Datos: t = 5s ω = 33 rpm t1 = 3 s D = 30 cm = 0.30 m Velocidad angular = ? Velocidad lineal = ? Aceleración lineal = ? Velocidad angular: Solución:
33
revol 2 rad 1 min * * 3.46 rad / s min 1 revol 60 s
v R (3.46 rad / s) (0.15 m) 0.52 m / s Aceleración angular:
0 t
3.46 rad / s 0 0.69 rad / s 2 5s
Aceleración lineal:
a R (0.69 rad / s 2 ) (0.15 m) 0.10 m / s 2
Ejem. 7.3.- Un carrusel que acelera uniformemente a partir del reposo alcanza su rapidez de operación de 2.5 rpm, en cuatro revoluciones. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular? Datos: 0 0
2.5
7.65 rad / s 0 0 t 24.8 s 94.86 rad 2 2
94.86 rad *
1revol 2 rad
15.1revoluciones
Ejem. 7.5.- Un motor de un coche gira, al ralentí, a 1000 rpm. Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad angular del cigüeñal. ¿Cuál será su aceleración si triplica esta velocidad angular en 8 segundos? ¿Cuantas vueltas habrá girado en este espacio de tiempo? Datos: ω = 1000 rpm t = 8s Condición: ωf = 3(1000 rpm) = 3000 rpm T = ? f = ? ω = ? α = ? θ = ? Solución:
Velocidad lineal:
rapidez angular de 7.65 rad/s. Cuando la máquina se apaga, se necesita 24.8 s para que el volante llegue al reposo. ¿Cuántas revoluciones da ese volante durante ese tiempo? Datos: D = 1.50 m ωo = 7.65 rad/s ω = 0 t = 24.8 s θ = ? Solución:
revol 2 rad 1 min * * 0.26 rad / s min 1 revol 60 s
T
60 s Tiempo Nro. de vueltas 1000 revol
f
1 1 T 0.06 s
1000
T 0.06 s
f 16.67 Hz
revol 2 rad 1 min * * 104.7 rad / s min 1 revol 60 s
4 revol 4 (2 rad ) 25.13 rad ?
Condición: f 3(104.7 rad / s) 314.2 rad / s
Solución:
2 02 2
0.26 rad / s 0 2 225.13 rad 2
2 0
2
f t
314.2 rad / s 104.7 rad / s 26.2 rad / s 2 8s
t t 2 104.7 rad / s 8 s
1.35 10
3
rad s
Ejem. 7.4.- En una fábrica, una máquina tiene un volante cuyo diámetro mide 1.50 m, y opera con una
1 2
1676 rad *
1 revol 2 rad
1 2 26.2 rad / s 2 8 s 2
266.7 vueltas
- 94 -
Física General LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas, clic en física y click en movimientos Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento circular MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
-
PERÍODO Y FRECUENCIA
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de una mariquita y Movimiento 2D. Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 95 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Cuando se enciende la rueda de un alfarero, acelera uniformemente a un ritmo de 2.6 rad/s 2 durante 5 segundos, para alcanzar su rapidez máxima de operación. ¿Cuál es esa rapidez en rpm? Resp: 124.2 rpm
2. Una partícula que viaja con movimiento circular uniforme con una rapidez de 0.480 m/s en una trayectoria con un radio de 1.75 m, experimenta una aceleración tangencial de 0.766 m/s 2. Si la partícula permanece en la misma trayectoria circular, ¿Cuál es su aceleración total después de 3.0 s? Resp: 4.48 m/s2
3. ¿Cuánto tardará en pararse un disco que gira a 50 revoluciones por minuto si comienza a frenar con una aceleración constante de 2 rad/s2? Resp: 2.61 s
4. Una rueda que inicialmente está parada comienza a girar y da 8 vueltas hasta que llega a girar con velocidad angular constante al cabo de 8 segundos. ¿Cuál es el valor de dicha velocidad? Resp: 12.56 rad/s
9. Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 s una velocidad tangencial de 15 m/s, si su radio es de 30 cm, ¿cuál será la aceleración angular? Resp: 12.5 rad/s²
10. Una polea posee una velocidad angular de 20 rad/s, si esta animada por un M.C.U.V. y se detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular?
es 4 m. Calcular la aceleración tangencial y la aceleración angular de la esferita. Resp: 8 m/s2 y 2 rad/s2
14. Calcular la aceleración angular que tiene un disco, sabiendo que éste es capaz de triplicar la velocidad que tiene luego de dar 600 vueltas en 20 s. Resp: 1.5 rev/s2
15. Un ciclista corre por un velódromo de modo que al cabo de 5 s su velocidad lineal es 15 m/s. Se observa también que durante dicho tiempo el ciclista logró girar un ángulo central de 2 rad, siendo el radio de la pista igual a 25 m. Calcular la velocidad lineal que tenía al iniciar su movimiento. Resp: 5 m/s
16. La velocidad angular de un motor que gira a 1800 R.P.M., en 2 s desciende uniformemente hasta 1200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? Resp: 10π rad/s2
17. Un disco parte del reposo con M.C.U.V. y durante los dos primeros segundos da 8 vueltas. ¿Cuántas vueltas da durante el primer segundo de su movimiento? Resp: 2
18. La velocidad de una rueda, que gira con movimiento uniformemente retardado, disminuyó al ser frenada durante 1 minuto, desde 300 R.P.M. hasta 180 R.P.M. Hallar la aceleración angular de la rueda. Resp: – 0.21 rad/s2
Resp: – 5 rad/s²
11. Si la aceleración angular de un volante es de 0.3 rad/s², ¿cuál es la velocidad angular alcanzada a los 3 s? Resp: 0.9 rad/s
12. Una partícula inicia su M.C.U.V. con una velocidad tangencial de 6 m/s. Si su aceleración tangencial es 4 m/s2, y su radio de giro es 9 m. Determinar su velocidad tangencial y angular luego de 12 segundos. Resp: 54 m/s y 6 rad/s
13. Una esferita se desplaza con M.C.U.V. de tal modo que luego de recorrer 8 m incrementa su velocidad de 4 m/s a 12 m/s. Si su radio de giro
19. La velocidad angular de la volante de un auto aumenta a razón constante de 2400 R.P.M. a 4800 R.P.M. en 30 s; ¿La aceleración angular del auto en radianes por segundo al cuadrado será? Resp: 2.66
20. Un ventilador gira con velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 R.P.M. Al desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado, hasta que se detiene por completo después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo? Resp: 10 s
21. Un ventilador alcanza su velocidad máxima de trabajo de 900 R.P.M. en 40 s. Si al "encenderlo"
- 96 inicia su movimiento con aceleración constante, calcular cuántas revoluciones completa en el primer minuto de su movimiento. Resp: 300 rev
22. La velocidad angular de un motor que gira a 1800 R.P.M., en 2 s desciende uniformemente hasta 1200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? y ¿Cuántas vueltas dio el motor en dicho tiempo? Resp: a = -31.4 rad/s2 ; n = 50 vueltas
23. Un tocadiscos gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente la fricción hace que el tocadiscos se frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3 s gira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda el tocadiscos para detenerse? Rpta. 198
24. Un cuerpo que parte del reposo posee una aceleración angular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria circular un desplazamiento angular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el segundo punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de revoluciones entre el primer punto y el punto de partida. Rpta. 3 vueltas
25. Las paletas de un ventilador que parte del reposo durante 5 segundos giran experimentando cambios de rapidez a razón constante alcanzando así una frecuencia de 2400 R.P.M. ¿Cuántas vueltas realizó durante el tercer segundo de su rotación? Resp: = 20
26. Un motor de un coche gira, a 1000 rpm. a) Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad angular del cigüeñal. b) ¿Cuál será su aceleración si triplica esta velocidad angular en 8 segundos? c) ¿Cuantas vueltas habrá girado en este espacio de tiempo? Resp: a) 104.7 rad/s, 0.06 s y 16.6 Hz, b) 26.17 rad/s2, c) 266 vueltas
27. En una fábrica, una máquina tiene un volante cuyo diámetro mide 1.50 m, y que opera con una rapidez angular de 7.65 rad/s. Cuando la máquina se apaga, se necesita 24.8 s para que el volante llegue al reposo. ¿Cuántas revoluciones da ese volante durante ese tiempo? Resp: 15.1 revol.
Física General 28. Las hojas de un ventilador se mueven con una rapidez de 250 rpm. Cuando el ventilador se ajusta en la rapidez elevada, la velocidad de rotación se incrementa uniformemente a 350 rpm en 5.75 s. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular de las hojas? b) ¿Cuántas revoluciones completan las hojas mientras el ventilador acelera? Resp: a) 1.82 rad/s2; b) 28.8 revoluciones
29. Un ventilador gira con una velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 RPM. Al desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta que se detiene por completo después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo? Resp: 10 seg.
30. Una partícula, inicialmente en reposo, acelera en una trayectoria circular a una aceleración de 2.5 rad/s2 durante 7.0 s. El círculo tiene un radio de 15 cm. Cuáles son: a) La magnitud de la aceleración tangencial durante ese tiempo. b) La rapidez tangencial al final de ese tiempo. Resp: a = 0.375 m/s2 , v = 2.625 m/s
31. Calcular la aceleración angular de una rueda de 0.25 m de radio, al lograr a los 20 s, una velocidad de 40 km/h. Resp: 2.22 rad/s²
32. Un móvil que sale del reposo sigue una trayectoria circular de 3 m de radio con una aceleración angular constante = π rad/s2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa? ¿Cuál es la longitud del arco recorrido durante la mitad de este tiempo? b) ¿Cuál es la velocidad angular del móvil en el instante t = 0.5 s? ¿Y la aceleración normal en el mismo instante? c) ¿Cuánto vale la aceleración tangencial del móvil en el instante t = 0.5 s? Resp: a) 2 s; 3π/2 m; b) π/2 rad/s; 3 π2/4 m/s2; c) 3 π m/s2
Física General
- 97 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Un disco gira con una aceleración constante de 6 rad/s2, calcular el número de vueltas que da en 10 segundos partiendo del reposo.
el número de vueltas que efectuará en el siguiente segundo de su movimiento. a) 3
a) 37.7 rev. c) 47.7 rev. 2.
Las unidades de la aceleración angular son: a) m/s2
3.
b) rad/s2
b) 40
b) 5
d) 15 estado de aceleración durante los aceleración
b) 2 rad/s2 d) 1 rad/s2
b) 4 m/s d) 8 m/s2
Una partícula con M.C.U.V. describe una circunferencia de 20 cm de radio y posee una aceleración angular de 0.5 rad/s2. Determine el valor de su aceleración tangencial. 2
a) 50 cm/s c) 30 cm/s2
2
b) 10 cm/s d) 20 cm/s2
Un cuerpo con M.C.U.V. triplica el valor de su velocidad tangencial durante un lapso de 10 s. Si el valor de su aceleración tangencial es 6 m/s2, determine su rapidez inicial. a) 10 m/s c) 30 m/s
9.
c) 10
2
a) 2 m/s c) 6 m/s2
8.
d) 15
Una partícula efectúa un M.C.U.V. Si aumenta su velocidad desde 20 m/s hasta 80 m/s en 10 s; determine el valor de su aceleración tangencial. 2
7.
c) 30
Un cuerpo que se encuentra en reposo comienza a girar con uniforme dando 3600 revoluciones primeros dos minutos. Calcular la angular. a) rad/s2 c) 0.3 rad/s2
6.
d) rad/s
Una rueda que va girando, acelera a razón de 2 rad/s2 y completa un ángulo de 75 rad en 5 s. ¿Cuál es su velocidad inicial en rad/s? a) 0
5.
c) Hz/s2
Un volante empieza a girar desde el reposo. Si al cabo de 10 s tiene una velocidad de 180 rpm. ¿Cuántas vueltas habrá girado? a) 50
4.
b) 4.77 rev. d) 74.7 rev.
b) 20 m/s d) 40 m/s
Un disco partiendo del reposo, rota con aceleración angular constante. Si durante los 2 primeros segundos efectúa 4 vueltas, determine
b) 4
c) 5
d) 6
10. Indicar cuántas proposiciones son verdaderas: ( ) En el M.C.U, la velocidad angular no siempre es perpendicular al plano de rotación. ( ) El módulo de la velocidad angular es directamente proporcional a la frecuencia en un M.C.U. ( ) En el M.C.U. la velocidad tangencial es constante sólo en valor, pero cambia de dirección constantemente. ( ) En un M.C.U. no existe aceleración. a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
11. Un disco que parte del reposo y rota con aceleración angular constante, consigue efectuar 6 vueltas en los 2 primeros segundos. Determine el valor de su aceleración angular. a) 2π rad/s2 c) 6π rad/s2
b) 4π rad/s2 d) 8π rad/s2
12. Un móvil con M.C.U.V. triplica su velocidad angular luego de efectuar 100 vueltas durante 10 s. ¿Qué aceleración angular posee? a) π rad/s2 c) 4 π rad/s2
b) 2π rad/s2 d) 6π rad/s2
13. Un disco gira alrededor de su eje con una frecuencia de 1200 RPM, a partir de cierto instante desacelera uniformemente hasta que se detiene, empleando para ello 10 s. ¿Cuántas vueltas realizó? a) 400
b) 300
c) 200
d) 100
14. Un ventilador que estaba girando a 180 RPM se desconecta de la fuente de energía eléctrica. Si se observa que el ventilador se detiene luego de efectuar 36 vueltas, determine en qué tiempo se detuvo el ventilador, luego de ser desconectado a) 20 s
b) 24 s
c) 36 s
d) 48 s
15. Un ventilador gira a 600 RPM luego de desconectarlo se detiene al cabo de 10 s. ¿Cuál es el número de vueltas que dio hasta detenerse? a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
- 98 -
Física General
16. Un disco parte del reposo con M.C.U.V., si da 8 vueltas en 4 s. Hallar su aceleración angular a) 2π rad/s2 c) 4π rad/s2
b) 3π rad/s2 d) 5π rad/s2
17. Una rueda parte del reposo y al finalizar la quinta vuelta su velocidad es 10π rad/s. ¿Cuál es su aceleración? a) 5π rad/s2 c) 2π rad/s2
b) 4π rad/s2 d) π rad/s2
18. Un disco en 3 s gira un ángulo de 180 rad, siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo de este tiempo. Hallar su aceleración angular constante a) 32 rad/s2 c) 16 rad/s2
b) 64 rad/s2 d) 8 rad/s2
24. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V. y en 9 segundos su rapidez angular es 36 rad/s ¿Cuál será la rapidez angular a los 10 s en rad/s? a) 40
a) 3.3
b) 2.2
c) 4.4
d) 4.1
20. Un cuerpo que se encuentra en reposo comienza a girar con aceleración uniforme, haciendo 3600 revoluciones durante los primeros 2 minutos. Determine su aceleración angular en rad/s2 a) π
b) 2π
c) 0.5π
b) 15 m/s d) 5 m/s
a) 5 s
b) 30
c) 10
c) 4 s
d) 1 s
b) 2 m
c) 3 m
d) m
27. La frecuencia de una rueda cambia de 8000 RPM hasta 2000 RPM en 15 segundos. Si tiene un M.C.U.V, determinar el tiempo total en que se detiene. a) 15 s
b) 20 s
c) 25 s
d) 10 s
28. Una llanta de 80 cm de diámetro pasa del reposo a 300 rad/min en 5 s. Calcular 1 s después de partir del reposo la aceleración de un punto del borde de la llanta. a) 0.3 m/s2 c) 0.5 m/s2
b) 0.4 m/s2 d) 0.6 m/s2
29. Un punto periférico, de una rueda de diámetro 8 m, en un instante dado tiene aceleración tangencial de módulo 12 m/s2 y rapidez angular 2 rad/s. Calcular la aceleración total en m/s2en ese instante. b) 100
c) 20
d) 30
30. Una muchacha en bicicleta, yendo hacia el norte, desacelera al acercarse a un crucero. El vector “α” de aceleración angular de las ruedas apunta hacia:
d) 15
23. Un cuerpo con M.C.U.V., partió con una velocidad angular de 4π rad/s y una aceleración angular de 3π rad/s2. Hallar su velocidad angular al transcurrir los primeros 6 s. a) 660 rpm c) 220 rpm
b) 2 s
26. La aceleración angular de una rueda es 2 rad/s 2. Al cabo de 0.5 s de iniciado el movimiento su velocidad es 3 m/s. Si partió del reposo, hallar el radio de la rueda
a) 40 22. Se tiene una partícula con M.C.U.V. cuya aceleración angular es 80 rad/s 2. Para girar 1500 rad necesita 6 s. Determinar la rapidez angular inicial en rad/s. a) 20
d) 48
d) 3π
21. Un móvil describe una circunferencia de giro 10 cm de diámetro. Si partió del reposo e incrementa su velocidad angular en 10 rad/s cada segundo. ¿Qué velocidad tangencial tiene a los 10 s de iniciado el movimiento? a) 10 m/s c) 100 m/s
c) 45
25. Una partícula realiza un M.C.U.V. a partir del reposo con aceleración angular constante de 1 rad/s2. Si se sabe que el radio de la trayectoria es de 2 m, hallar después de que tiempo los módulos de la aceleración tangencial y centrípeta son iguales
a) 1 m 19. Si una partícula gira a 33 RPM y al desacelerar con M.C.U.V. se detiene en 8 s. Determinar el número de vueltas que realizó
b) 42
b) 330 rpm d) 110 rpm
a) El norte c) El oeste
b) El este d) Hacia abajo
Física General
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Cap. 8 ESTÁTICA I EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra comunidad, a partir del estudio de las fuerzas cuya resultante es nula, aplicando las leyes de Newton en ejercicios y dispositivos construidos por los estudiantes, que permitan fortalecer iniciativas creativas entre nuestros estudiantes. DINAMÓMETRO La aplicación de la ley de Hooke a un resorte o muelle para su uso como dinamómetro supone conocer previamente o determinar de forma experimental su constante elástica (K) o constante de proporcionalidad entre la intensidad de la fuerza y la magnitud de la deformación.
Dinamómetro de resorte: Para medir fuerzas y pesos
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Introducción.- Al estudiar objetos que se encuentran en equilibrio, encontramos algunos que pueden ser considerados como partículas y otros como sólidos rígidos. Éste capítulo estudia las condiciones de equilibrio sobre una partícula (todas las fuerzas actuantes sobre el objeto son concurrentes). El siguiente capítulo estudia las condiciones de equilibrio sobre un sólido rígido (las fuerzas actuantes sobre el objeto no son concurrentes en su totalidad). Partícula.- Desde el punto de vista físico es un punto donde se ejercen las fuerzas externas, todas concurrentes. Cuerpo rígido.- Es considerado todo objeto sólido, no flexible y que se considera su peso.
Cuando se trata de figuras geométricas y uniformes, su centro de gravedad estará en su centro geométrico.
b) Fuerza de reacción o Normal (N).- Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie recibe una fuerza del plano de apoyo llamada normal. La línea de acción de la fuerza normal es perpendicular a la superficie de contacto y está dirigida hacia el cuerpo.
La estática es una rama de la mecánica que se ocupa de estudiar las condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema, para que éste se encuentre en equilibrio. Fuerza.- Cuando interactúan dos cuerpos entre sí, surge entre ellos una magnitud que tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza. Una definición operacional de fuerza se basa en los efectos que se observan:
c) Tensión (T).- Es una fuerza que aparece cuando los objetos están sujetos a cuerdas.
Una fuerza puede poner en movimiento a un objeto que estaba en reposo. También puede aumentar o disminuir la rapidez del movimiento del objeto. Puede cambiar la dirección de su movimiento. Puede producir deformaciones.
Es una fuerza de tracción, puesto que se opone a los efectos de estiramiento. Es decir que siempre van a jalar a los objetos y no los empujan.
-
Las fuerzas son magnitudes vectoriales; se relaciona a las fuerzas con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, atraer, repeler. Ejemplos de algunas fuerzas.- El peso, la normal, la tensión y la fuerza de rozamiento. Conozcamos básicamente cada una de ellas. a) Peso (w).- El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que se encuentran sobre ella. El valor del peso depende de la masa (m) y la aceleración de la gravedad (g). El peso es un vector dirigido hacia el piso. El punto donde se considera concentrado el peso de un cuerpo se denomina centro de gravedad.
d) Compresión.- Una fuerza contraria a la tensión es la compresión, se encuentra en objetos sólidos como una barra, cuando fuerzas externas tratan de aplastar al cuerpo rígido.
e) El rozamiento (fr).- Es una fuerza que se encuentra en la superficie de contacto de dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno con respecto al otro. Esta fuerza se origina en las asperezas y deformaciones de las superficies de contacto.
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Fuerza neta.- La fuerza neta es el vector suma o resultante ( ΣF ), de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema. a) Fueras equilibradas.- La fuerza neta es cero cuando fuerzas iguales en magnitud actúan en sentidos opuestos; lo que significa que su resultante es cero.
1
2
“La dinámica estudia las condiciones cuando la fuerza neta es diferente de cero” Equilibrio.- Un objeto se encuentra en equilibrio trasnacional cuando la fuerza total o resultante (fuerza neta) que actúa sobre èl es nula. Existen dos clases de equilibrio: Equilibrio estático y Equilibrio cinético. EQUILIBRIO ESTÁTICO v 0
1
El objeto no se mueve (en reposo).
2
Fuerza neta cero (Fuerzas equilibradas)
Fneta F1 F2
v
Fneta 0 “La estática estudia las condiciones de equilibrio; cuando la fuerza neta es nula”.
b) Fueras no equilibradas.- Una fuerza neta diferente de cero, se refiere a una fuerza no equilibrada; y una fuerza no equilibrada produce aceleración. 1
2
EQUILIBRIO CINÉTICO (M. R. U.) a 0 v cte.
v
El objeto se mueve en línea recta con velocidad constante.
Primera ley de Newton (Ley de inercia).- Como consecuencia del principio de inercia: “Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de M.R.U. mientras no exista una fuerza externa sobre él que le obligue a salir de ese estado” La inercia.- Es la tendencia natural de los cuerpos a mantener su estado de reposo o movimiento uniforme. La inercia es una propiedad de la materia relacionada con la masa:
1
2
Fuerza neta diferente de cero (Fuerzas no equilibradas)
Fneta F1 F2 0
"a mayor masa mayor inercia"
Un ejemplo de inercia es cuando vamos en el auto con M.R.U. y frenamos bruscamente; nuestro cuerpo tiende a irse hacia adelante. Por el contrario, cuando el vehículo parte nos vamos hacia atrás.
Física General
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Masa.- Es una magnitud física escalar, que sirve para medir la inercia que poseen los cuerpos. La masa es una medida cuantitativa de la inercia. 1ra. Condición de equilibrio.- Su enunciado es: Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio de traslación si la fuerza resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre èl es nula.
Por ejemplo, si empujamos una mesa estamos ejerciendo una fuerza sobre ella; si miramos nuestras manos, podremos ver qué están deformadas por la fuerza y sentimos la presión que se produce. Eso quiere decir que la mesa también ejerció una fuerza sobre nuestras manos. Teorema de Lamy.- El físico francés Bernard Lami (1640-1715) enunció el siguiente teorema aplicable a tres fuerzas coplanares en equilibrio: “Si un cuerpo se encontrase en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes, la magnitud de cada una de las fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone”.
4
1
3
3
1
2
Sumando vectorialmente las cuatro fuerzas: 1 2 2
4 3
R F 0
Fx 0 Fy 0
Tercera ley de Newton (Ley de acción y reacción).- Si un cuerpo A ejerce una acción sobre un cuerpo B, el cuerpo B reacciona y ejerce una fuerza igual y opuesta sobre A. “A toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción de igual módulo pero de sentido contrario”.
La condición para aplicar el teorema es que sus líneas de acción deben ser concurrentes.
F F1 F2 3 sen sen sen
Centro de gravedad (C.G.).- Es aquel punto ubicado dentro o fuera del cuerpo, donde se encuentra concentrado su peso. En figuras geométricas regulares, el C.G. está ubicado en el centro geométrico de la figura.
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.).- Muy útil en la resolución de problemas de Estática y Dinámica, sobre todo en el caso de existir más de un cuerpo. Un diagrama de cuerpo libre muestra a un objeto aislado con todas las fuerzas (en forma de vectores) que actúan sobre él (el peso, la normal, el rozamiento, la tensión, etc). No aparecen los pares de reacción, ya que los mismos están aplicados siempre en el otro cuerpo.
- 104 Ejem. 8.1.- Dibujar el D.C.L. para las siguientes figuras:
Física General e) Viga liviana:
a) Cuerpo apoyado sobre una mesa:
b) Cuerpo suspendido:
Ejem. 8.2.- En el objeto mostrado en la figura, calcular el valor de la fuerza “F”, para que el sistema permanezca en equilibrio. w = 50 kp.
40º F
y T 40º F
x
c) Cuerpo apoyado y suspendido: w
1er. Método: Aplicando la ecuación de la 1ra. condición de equilibrio: a) Componentes de la tensión:
sen 40º cos 40º d) Cuerpo apoyado en una pared:
Tx T Ty T
Tx T sen 40º T y T cos 40º Y T Ty
40º
F Tx w
X
Física General
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b) Aplicando las ecuaciones de la 1ra. condición de equilibrio:
F
x
F
Tx F 0
Tsen40º F 0
y
Ty w 0
T cos 40º w 0 (2)
(1)
T F w sen 90º sen 140º sen 130º Despejando T:
T
De la ec. (2):
T
w 50 kp cos 40º cos 40º
T 65.27 kp
Despejando F:
F
Reemplazando en ec. (1):
F Tsen40º 65.27 kp sen40º F 41.95 kp
2do. Método: Las tres fuerzas vectorialmente forman un triángulo, relaciones trigonométricas:
w sen140º 50kp sen140º 41.95kp sen130º sen130º
Ejem. 8.3.- En el sistema de la barra en equilibrio, hallar la fuerza de compresión en la articulación; se desprecia el peso de la barra.
sumadas aplicando 40º
60º
40º
T
w sen90º 50kp 1 65.27 kp sen130º sen130º
w
La reacción en el apoyo es una fuerza que actúa a lo largo de la barra cuando su peso(de la barra) es despreciable.
F
cos 40º
w w 50 kp T T cos 40º cos 40º T 65.27 kp
tan 40º
F w
F w tan 40º (50 kp) (tan 40º )
Componentes rectangulares de R y T:
Rx R sen 60º
Ry R cos 60º
Tx T sen 40º
Ty T cos 40º
F 41.95 kp
3er. Método: Aplicando el Teorema de Lamy: Para este método se deben ubicar primeramente los ángulos formados entre tres fuerzas:
40º 60º
T
130º F
140º
90º
Aplicando la primera condición de equilibrio: w
Fx 0
R x Tx 0
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R sen60º T sen40º 0 R Fy 0
T sen40º sen60º
(1)
Ejem. 8.5.- Calcular la tensión de las cuerdas A y B. Si w = 200 kp
R y Ty w 0
60º
40º
A
R cos 60º T cos 40º w 0 R
B
w T cos 40º (2) cos 60º
w = 200kp
Igualando las ecuaciones (1) y (2): Y
T sen40º w T cos 40º sen60º cos 60º
A B
T sen40º cos 60º w sen60ºT cos 40º sen60º
T
40º
60º
T sen40º cos 60º cos 40º sen60º w sen60º
X
w sen60º sen40º cos 60º cos 40º sen60º w = 200 kp
T
40 kp sen60º sen40º cos 60º cos 40º sen60º
T 35.2 kp
Componentes rectangulares de A y B: Reemplazando el valor de T en la ecuación (1):
T sen40º 35.2 kp sen40º R sen60º sen60º
R 26.1 kp
Ax A cos 60º
Ay A sen 60º
Bx B cos 40º
By B sen 40º
Aplicando la primera condición de equilibrio: Ejem. 8.4.- Aplicando el teorema de Lamy, resuelva el anterior problema: T
R 100º
F
x
F
0
y
0
Bx Ax 0
By Ay w 0
B cos 40º A cos 60º 0
B sen 40º A sen 60º w 0 w A sen 60º B (2) sen 40º
B
A cos 60º cos 40º
(1)
140º 120º
Igualando las ecuaciones (1) y (2): w
T R w sen120º sen140º sen100º
w sen140º 40 kp sen140º R 26.1 kp sen100º sen100º
T
w sen120º 40 kp sen120º 35.2 kp sen100º sen100º
A cos 60º w A sen60º cos 40º sen40º A cos 60º sen40º w cos 40º A sen60º cos 40º Acos 60º sen40º sen60º cos 0º w cos 40º A
w cos 40º cos 60º sen40º sen60º cos 40º
A
200 kp cos 40º cos 60º sen40º sen60º cos 40º
A 155.6 kp
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Reemplazando el valor de A en la ecuación (2):
B
A cos 60º 155.6 kp cos 60º cos 40º cos 40º
B 101.5 kp
Ejem. 8.7.- En la figura siguiente la barra es de peso despreciable. Calcular el valor de la tensión y la reacción en el pasador A.
Ejem. 8.6.- Calcular las tensiones en las cuerdas A y B, de la figura siguiente:
Y
R
T
40º
40º
T X
Y
w
w
R
TB TBy TA
60º
TBx
Componentes rectangulares de R: X
sen 40º w = 200 N
cos 40º
Componentes rectangulares de A y B:
TBx TB cos 60º
TBy TB sen 60º
Aplicando la primera condición de equilibrio:
F
x
0
F
y
Rx R Ry R
Rx R sen 40º
Ry R cos 40º
0
F
x
0
Ry w 0
Rx T 0
R cos 40º w 0 w 40 kp R cos 40º cos 40º R 52.2 kp
R sen 40º T 0 T R sen 40º T (52.2 kp) ( sen 40º ) T 33.2 kp
TBx TA 0 TB cos 60º TA 0 TA TB cos 60º (2309.4 N ) (cos 60º ) TA 1154.7 N
F
y
0
TBy w 0 TB sen 60º w 0 w sen 60º TB 2309.4 N
TB
2000 N sen 60º
Ejem. 8.8.- De acuerdo a la figura, un bloque de peso “w” resbala por un plano inclinado sin fricción; calcular la fuerza de reacción ejercida por el plano sobre el bloque (Normal).
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Física General
En un plano inclinado, los ejes coordenados se colocan de manera que el eje de las X sea paralelo a la superficie del plano, y el eje Y sea perpendicular a la misma.
2º) Se aplica una fuerza externa ( F 1 ), aparece la fuerza de rozamiento ( fs1 ) que impide el movimiento. N
Y N
X
fs1
F1
wx wy
w
Hay rozamiento:
F1 f s1
w
3º) Se aumenta el valor de la fuerza externa ( F 2 ), aumenta la fuerza de rozamiento ( f s2 ) que impide el movimiento.
Componentes del peso:
sen cos
wx w wy w
wx w sen
wy w cos
N
fs2 > fs1
F2 > F1
A lo largo del eje Y, existe equilibrio, por tanto se puede aplicar la 1ra. condición de equilibrio: Fy 0
N wy 0
N w cos 0 N w cos La fuerza normal N, en un plano inclinado es igual al peso del objeto multiplicado por el coseno del ángulo de inclinación del plano.
w
Hay rozamiento:
F2 f s 2
4º) La fuerza externa toma un valor máximo ( F ), el movimiento del objeto es inminente, la fuerza de rozamiento es máxima ( fs ). N
Fuerza de rozamiento.- Es toda fuerza opuesta al movimiento, se encuentra en la superficie de contacto entre dos cuerpos, su valor depende del grado de aspereza entre ellas. a) Rozamiento estático ( fs ).- Fuerza que se opone al movimiento cuando las superficies de contacto se encuentran en reposo. Esta fuerza varía desde cero hasta un valor máximo, cuando los cuerpos están a punto de moverse (movimiento inminente) 1º) Un bloque sobre una mesa horizontal, no existe rozamiento N
F
fs = µ s N
w
Hay rozamiento:
F fs
La fuerza de rozamiento estática máxima es:
f s s N μs = Coeficiente estático de rozamiento N = Fuerza normal
fs = 0
El rozamiento estático varía entre: w
No hay rozamiento
0 f s s N
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b) Rozamiento cinético ( fk ).- Al quedar el bloque en movimiento, la fuerza de rozamiento se hace menor que fs, a esta nueva fuerza se le denomina fuerza de rozamiento cinética, fk.. El valor numérico de esta fuerza de fricción es constante, no depende de la velocidad ni la aceleración del objeto.
Ejem. 8.9.- En la figura mostrada: s 0.5
F
W = 200 N
a) ¿Cuánto es la fuerza de rozamiento si el cuerpo está en equilibrio cuando F = 80 N? b) ¿Cuál es el máximo valor de F que se puede aplicar sin que el bloque resbale? Solución:
En movimiento
a)
N
D.C.L.
F
fk = µ k N
N
F fs w
w
En movimiento
Mientras se conserva el equilibrio, la fuerza de rozamiento “f” tomará el mismo valor que la fuerza opuesta “F”
f k k N
fs F
μk = Coeficiente cinético de rozamiento N = Fuerza normal
f s 80 N
b) El máximo valor de “F”, es cuando el movimiento sea inminente:
Datos importantes del rozamiento.- Se consideran los siguientes aspectos: -
Las fuerzas de fricción pueden variar, seleccionando adecuadamente las superficies que se ponen en contacto.
-
Para un mismo cuerpo las fuerzas de fricción son independientes del área de contacto.
-
La fuerza de fricción estática fs resulta mayor que la cinética fk: fk < f s
además
μk < μs
-
La fuerza de rozamiento siempre es opuesta al movimiento.
-
Gracias al rozamiento podemos caminar, impulsando uno de nuestros pies hacia atrás.
-
Gracias al rozamiento las ruedas pueden rodar.
-
Gracias al rozamiento podemos incrustar clavos en las paredes.
-
Debido al rozamiento los cuerpos se desgastan, motivo por el cual se utilizan los lubricantes.
-
Para vencer el rozamiento hay que realizar trabajo, el cual se transforma en calor.
F
x
F
0
F f s max
y
F s N
0
N w N 200 N
F 0.5 200 N F 100 N Ejem. 8.10.- Un trabajador aplica una fuerza a un cajón que tiene un peso de 40 kp, mediante una cuerda formando un ángulo de 30º respecto a la horizontal, como se muestra en la figura ¿Qué tan grande debe ser la fuerza que aplique para mover el cajón? Coeficiente de rozamiento estático = 0.65 Coeficiente de rozamiento cinético = 0.50 N 30º
fs
w
Datos: w = 40 kp μs = 0.65 μk = 0.50 α = 30º
F
Incógnitas: F = ?
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Física General
La fuerza necesaria para mover el cajón, debe ser igual a la fuerza de rozamiento estática máxima (movimiento inminente).
Reemplazando (2) en (1):
wsen s w cos
s tan
Aplicando la condición de equilibrio al sistema: Ejem. 8.11.- Un bloque de 450 kp es jalado hacia arriba por un plano inclinado 35º con una velocidad constante de 6 m/s con una fuerza de 3000 N, paralela al plano. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano? Datos: w = 450 kp = 4410 N v = 6 m/s F = 3000 N Coef. Rozam. = ?
Fx 0 F cos 30º f s 0 F cos 30º s N 0
(1)
Fy 0 N F sen 30º w 0 N w F sen 30º
(2)
Reemplazando ecuación (2) en (1): F cos 30º s w F sen30º 0 F cos 30º s w s F sen30º 0
F
s w 0.6540 kp cos 30º s sen30º cos 30º 0.65 sen30º
F 21.83 kp Rozamiento en un plano inclinado.- Se coloca un objeto sobre un plano inclinado. Se aumenta el ángulo respecto a la horizontal, gradualmente hasta que el movimiento del cuerpo sea inminente; en ese momento se mide el ángulo que forma el plano con la horizontal. La tangente de ese ángulo será igual al coeficiente de rozamiento estático.
Componentes del peso:
wx w sen 35º
Condiciones de equilibrio (Velocidad constante):
Fx
0
F f k wx
0
F k N w sen 35º
Fy
wx w sen
wy w cos
(1)
0
N w cos 35º N
0
0
N wy
Componentes rectangulares del peso:
w y w cos 35º
0
w cos 35º
(2)
Reemplazando ec. (2) en (1):
Aplicando la primera condición de equilibrio:
F k (w cos35º ) wsen 35º 0
Fx 0
k (w cos35º ) F wsen 35º
Fy 0
wx f s 0
N wy 0
w sen s N 0 w sen s N
N w cos 0
(1)
N w cos
( 2)
F w sen35º 3000 N 4410 N sen35º w cos 35º 4410 N cos 35º s 0.13
s
Física General
- 111 LABORATORIO VIRTUAL
-
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COEFICIENTES DE ROZAMIENTO
Ingresa a Phet, Movimiento y luego en Fuerzas y movimientos
CUERPOS EN EQUILIBRIO
DESCOMPOSICIÓN DE UN PESO EN UN PLANO INCLINADO
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Física General PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tres bloques con pesos de 1 kp, 2 kp y 3 kp están apilados sobre una mesa, el menor arriba y el mayor está abajo. Haga un diagrama y analice este sistema en términos de los pares de fuerzas de la tercera ley de newton. 2. Tres fuerzas actúan sobre un cuerpo que se mueve en una línea recta con una rapidez constante. Si dos de las fuerzas son: F1 = (4.5 N, –1.5 N) y F2 = (–3.5 N, –1 N), ¿Cuál es la tercera fuerza? Resp: F3 = (- 1 N, 2.5 N)
7. Un cilindro pesa 3.15 kp. Calcular la tensión en el cable y la reacción en la pared, si la superficie de contacto es lisa. Ver figura. Resp: T = 3.39 kp ; R = 1.26 kp
3. Hallar la lectura del dinamómetro. Resp: 10 N
4. Construir los diagramas de cuerpo libre (D. C. L.) de las figuras a), b) y c) mostradas:
8. En la figura mostrada, de terminar la tensión en la cuerda y la reacción en la pared, sabiendo que el peso de la barra es despreciable. Resp: T = 626.1 kp; R = 376.8 kp
5. Calcule las tensiones T1 y T2 en las figuras siguientes: Resp :
a) T1 = 2.31 kp, T2 = 4.62 kp b) T1 = 34.64 N, T2 = 20 N
9. En el sistema en equilibrio mostrado en la figura, hallar la fuerza de compresión y la tensión de la barra, el peso de la barra es despreciable y lleva un peso en un extremo, w = 40 kp Resp: T = 69.3 kp; F = 80 kp
Figura (a)
Figura (b)
6. Hallar los módulos de las fuerzas A y B para equilibrar al cuerpo mostrado en la figura:
10. En el sistema mostrado en la figura, hallar la fuerza de compresión y la tensión de la barra, se desprecia el peso de la barra. (w = 50 kp) Resp: T = 50 kp; R = 50 kp
Resp: A = 79.9 N; B = 60.2 N
Física General
- 113 14. En la figura, encuentre el ángulo θ y el peso w. Resp: 90º; 173.2 kp
11. En la figura; calcular el valor de F, de tal forma que el sistema esté en equilibrio y la reacción en “A” debido a la fuerza F es cero. La esfera pesa 100 kp. Resp: 173 kp
15. ¿Cuál es el valor de la fuerza F en la figura, necesaria para que el bloque de 600 N de peso suba con velocidad constante? (Se desprecia el rozamiento). Resp: 452.13 N
12. Se tiene un bloque sobre un plano inclinado tal como se muestra en la figura. Calcular la tensión en la cuerda y la reacción del plano inclinado (peso = 120 kp). Resp: T = 77.1 kp; N = 91.9 kp
16. Determinar la tensión en el cable, peso del bloque de 640 N. Resp: T = 400.7 N; N = 313.1 N
13. En la figura; calcular el peso máximo que puede soportar la estructura, si la tensión máxima que puede soportar la cuerda superior es de 1000 kp y la máxima compresión que puede resistir el puntal es de 2000 kp, la cuerda vertical es lo suficiente fuerte para soportar cualquier carga. Resp: 1115.35 kp
17. La figura muestra un sencillo juego de poleas para levantar un objeto pesado. ¿Cuál es la tensión en la cuerda A, B, C y D si M pesa 200 kp y se mueve hacia arriba a rapidez constante de 0.05 m/s? Resp: A = 200 kp, B = C = D = 100 kp
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Física General
18. Sobre un objeto situado sobre un plano horizontal actúa una fuerza horizontal F = 150 N. Dicho cuerpo pesa 200 N y los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0.8 y 0.5, respectivamente. ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción, y de qué tipo es? Resp: 150 N; Rozamiento estático
19. Para que una caja de madera de 120 kp, apoyada sobre el suelo, comience a moverse se necesita una fuerza de 500 N. Calcula el coeficiente estático de rozamiento entre la caja y el suelo. Resp: 0.425
20. Un cajón de 50 kp de peso está en reposo sobre una superficie plana. Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón y la superficie es de 0.79, ¿Qué fuerza horizontal se requiere para mover el cajón? Resp: 39.5 kp
21. Calcula el peso de una caja sabiendo que para ponerla en movimiento por el suelo hay que hacer una fuerza de 800 N y el coeficiente estático de rozamiento es 0.8.
25. Un cajón de empaque se coloca sobre un plano inclinado 20º. Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón y el plano es de 0.65, ¿se deslizará hacia abajo del plano el cajón? Resp: No desliza
26. Situamos un cuerpo sobre un plano inclinado 60º respecto la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo y el plano es 0.5. Razona si el cuerpo quedará en reposo o comenzará a bajar. Resp: wx = 0.866w es mayor que fsmax= 0.25w. El cuerpo desciende.
27. Ponemos un bloque en un plano inclinado. El coeficiente estático de fricción entre él y el plano es 0.8. ¿Cuál es el ángulo máximo de inclinación que puede tener el plano si no queremos que el bloque baje? Resp: 38.6º
Resp: 1000 N
22. Un ascensor de 300 kp de peso tiene una fricción de 1000 N. Calcula la tensión del cable en los siguientes casos: a) El ascensor sube con velocidad constante de 5 m/s. b) Baja con el doble de velocidad. Resp: a) 402.04 kp; b) 197.96 kp
23. Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón de 40 kp y el piso es de 0.65, ¿con qué fuerza horizontal debe tirar un trabajador para mover el cajón? Ver figura.
28. Un bloque de 4.0 kp de peso descansa sobre un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano es 0.64, y el coeficiente de fricción cinética es 0.28. Ver figura: a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre y mostrar todas las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) ¿Resbalará este bloque por el plano inclinado bajo la acción de la gravedad? c) ¿Cuál es la fuerza de fricción estática que actúa sobre el bloque? Resp: b) No resbala; c) 2 kp
Resp: 254.8 N
24. Un bloque de 290 N de peso es empujado hacia arriba por un plano inclinado (θ = 25º) con una velocidad constante de 4.0 m/s con una fuerza de 280 N, paralela al plano. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano? Resp: 0.60
29. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre un piso y un cajón de 25 kp son 0.68 y 0.34, respectivamente. Si se aplican horizontalmente fuerzas de (a) 150 N y (b) 175 N. ¿Cuál es la fuerza neta sobre el cajón en cada caso? Resp: a) La fuerza neta es cero si el bloque originalmente está en reposo b) La fuerza neta es 92 N.
Física General
- 115 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. Algunas veces se hace referencia a la primera ley de Newton del movimiento como la ley de la inercia. Una medida de la inercia de un objeto se obtiene por su: a) Tamaño c) Forma
a) g sen α b) Mg sen α c) Mg cos α d) Cero, porque el plano no tiene fricción
b) Rapidez d) Masa
2. Un cuerpo de 20 N pende de una cuerda. La tensión de la cuerda es de: a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
3. El par de fuerzas de la tercera ley de Newton: a)
Consiste en fuerzas que siempre son opuestas, pero algunas veces no son iguales b) Siempre se cancelan una a la otra cuando se aplica la segunda ley a un cuerpo. c) Siempre actúan sobre el mismo objeto d) Son fuerzas idénticas tanto en magnitud como en dirección, pero actúan sobre diferentes objetos. 4. Cuál de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio, no es cierta: a) La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. b) El cuerpo se mueve a velocidad constante. c) El cuerpo debe permanecer en reposo d) El cuerpo se mueve a rapidez constante 5. Se dice que equilibradas a) b) c) d)
dos
o
más
fuerzas
están
a) g sen α b) Mg sen α c) Mg cos α d) Cero, porque el plano no tiene fricción. 10. Cuando un cuerpo se mueve y la resultante de todas las fuerzas es cero, ( ∑ F = 0), queremos decir: a) b) c) d)
Que el cuerpo está en equilibrio Que tiene velocidad Que no tiene velocidad Que posee aceleración constante
11. Un objeto se arroja verticalmente hacia arriba. En la cúspide de la trayectoria, el objeto está: a) b) c) d)
En equilibrio instantáneo Instantáneamente en reposo y en equilibrio En reposo instantáneo Ni en reposo ni en equilibrio
12. La tensión en la cuerda A, es:
Cuando tienen el mismo valor Cuando al sumarlas, su resultante es nula Cuando al restarlas, su resultante es nula Cuando se aplican en el mismo punto
6. ¿Por qué las fuerzas de acción y reacción no se anulan? a) b) c) d)
9. Utilizando la figura del ejercicio anterior, determinar la componente del peso a lo largo del plano.
Tienen sentidos diferentes Tienen direcciones diferentes Tienen valores distintos Están aplicadas en cuerpos diferentes
7. De un resorte que posee una constante de elasticidad de 2gf /cm, se cuelga un peso de 50 gf , el alargamiento es: a) 10 cm
b) 25 cm
c) 50 cm
d) 100 cm
8. De acuerdo a la figura, un bloque de masa “M” resbala por un plano inclinado sin fricción; la fuerza de reacción ejercida por el plano sobre el bloque (Normal)
a) w sen θ c) w tan θ
b) w cos θ d) w / sen θ
13. La tensión en la cuerda B, del ejercicio anterior es: a) w senθ c) w tanθ
b) w cosθ d) w / cosθ
14. Se tiene una caja que pesa 10 N sobre una superficie horizontal, donde el coeficiente de fricción vale 0.5. La fuerza horizontal necesaria aplicada al cuerpo para que se mueva con velocidad constante es: a) 20 N
b) 25 N
c) 5 N
d) 0
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Física General
15. El sistema de la figura se mueve con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano horizontal es:
a) 10 N
b) 15 N
c) 20 N
d) 25 N
21. Determinar la F que sostiene a la esfera, si el peso de la misma es 40 N. 53º
F
a) 0.1
b) 0.2
c) 0.3
d) 0.4
16. La tensión de la cuerda del ejercicio anterior, es: a) 10 N a) 2 kp
b) 3 kp
c) 5 kp
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
d) 7 kp
17. En el esquema de la figura, si w = 3 N, entonces la tensión en la cuerda T 1 es:
22. Determinar la tensión en A; si w = 30 N. 37º B A
w
a) 10 N a) 2 N
b)
2 /3 N
c)
3 /2 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
d) 3 N
18. Determinar la tensión en la cuerda, si el peso de la esfera es 10 N.
23. Determinar el módulo de la tensión en A; si: = 100 N.
w
37º A
B 37º
w
a) 20 N
b) 10 N
d) 10√2 N
c) 5 N
19. Determinar el módulo de la fuerza normal, si el peso del bloque es 16 N. (Sin rozamiento)
a) 60 N
b) 70 N
c) 80 N
d) 90 N
24. Determinar el módulo de la fuerza normal de la pared vertical, si el peso de la esfera es 8 N.
F
37º
a) 5 N
b) 10 N
c) 15 N
d) 20 N 45º
20. Determinar la tensión en la cuerda, si el peso de la esfera es de 15 N. a) 4 N 37º F
b) 6 N
c) 8 N
d) 10 N
Física General
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25. Una esfera de 600 N de peso se encuentra en equilibrio sobre un plano liso y sostenido por una cuerda inelástica. Determinar la fuerza de reacción y la tensión en la cuerda.
a) 172 N y 360 N c) 480 N y 360 N
b) 210 N y 180 N d) 400 N y 200 N
26. Un bloque de 50 N de peso se desplaza, con velocidad constante, por un plano inclinado de 37º de inclinación. Calcular la fuerza de reacción entre el plano y el bloque mientras éste desciende. a) 30 N
b) 40 N
c) 50 N
de reacción del piso sobre el bloque P. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
30. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda (W A = 10 N y W B = 20 N).
d) cero
27. En la siguiente figura se tiene un sistema en equilibrio, calcular el valor de "θ" y la magnitud de la fuerza de tensión (T) en la cuerda. a) 4 N
b) 8 N
c) 10 N
d) 12 N
31. La figura muestra dos cuerpos W = 6.5 kg y P = 3.5 kg, en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
a) 30°; 15 N c) 37°; 20 N
b) 60°; 10 N d) 53°; 20 N
28. En el sistema que se muestra, los bloques A y B de 180 N y 80 N respectivamente se encuentran en equilibrio. Determinar cuánto es la deformación del resorte de constante K = 40 N/cm. Las poleas tienen pesos despreciables.
a) 0.5 cm
b) 1.0 cm
c) 1.5 cm
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
32. La figura muestra una esfera de 3 kg apoyada en una pared vertical, en equilibrio. Si el módulo de la tensión en la cuerda es 50 N, determine la medida del ángulo que forma la cuerda con la pared vertical. (g = 10 m/s2)
d) 2.0 cm
29. La figura muestra dos cuerpos W = 2 kg y P = 7 kg, en reposo. Si la polea tiene masa despreciable, determine el módulo de la fuerza
a) 37º
b) 53º
c) 30º
d) 60º
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Física General
33. La figura muestra una esfera de 6 kg en reposo. Determine el módulo de la fuerza F. (g = 10 m/s2)
a) 40 N
b) 60 N
c) 80 N
d) 90 N
34. La figura muestra un bloque de 3 kg en equilibro. Conociendo la fuerza externa F= 40 N, determine la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio. (g = 10 m/s2)
PIENSA Y EXPLICA 1. La ley de la inercia establece que no se requiere fuerza alguna para mantener el movimiento. ¿Por qué entonces es necesario pedalear para mantener una bicicleta en movimiento? 2. Muchas personas que viajan en automóvil han sufrido lesiones en el cuello en accidentes cuando otro auto las golpea por detrás. ¿Cómo interviene aquí la ley de inercia de Newton? ¿Cómo ayuda el cojín para descansar la cabeza a prevenir este tipo de lesiones? 3. ¿Qué es lo que nos empuja cuando caminamos? 4. ¿Al nadar empujamos el agua hacia atrás; sea ésta la acción? ¿Cuál es entonces la fuerza de reacción? 5. La acción y la reacción siempre tienen la misma magnitud y sentidos opuestos. ¿Por qué entonces no se anulan?
a) 37º
b) 53º
c) 30º
d) 60º
35. La figura muestra un bloque de 6 kg en equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza F, sabiendo que θ = 45º. (g = 10 m/s2)
6. Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda es cero? 7. Un caballo está enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrás con la misma fuerza que éste tira del carro, ¿por qué no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que tire el caballo? 8. ¿De qué depende el coeficiente de rozamiento entre dos superficies? 9. ¿Un litro de plomo fundido tiene el mismo volumen que un litro de jugo de manzana? ¿Tienen la misma masa?
a) 60 N
b) 40 N
c) 50 N
d) 70 N
36. La figura muestra un bloque de 3 kg en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda horizontal. (g = 10 m/s2)
10. ¿Por qué dicen los físicos que la masa es más fundamental que el peso? 11. ¿Cuál de las siguientes cantidades cambia cuando comprimes una esponja: la masa, la inercia, el volumen o el peso? 12. ¿Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre él actúa una fuerza? 13. Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender. ¿Está en equilibrio?, ¿qué fuerzas actúan sobre él?
a) 130 N
b) 40 N
c) 50 N
d) 30 N
14. ¿La fuerza resultante de dos fuerzas de componentes (2, 0) y (-3, 1) actuando sobre un objeto es (3, 0)? Falso o verdadero.
Física General
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Cap. 9 ESTÁTICA II EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO CONTENIDO:
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Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra comunidad, a partir del estudio de las fuerzas cuya resultante y torque son nulas, aplicando las leyes de Newton en ejercicios y dispositivos construidos por los estudiantes y que permitan fortalecer iniciativas creativas entre nuestros estudiantes. PARA REPASAR TODOS LOS TIPOS DE FUERZA EN EDUCAPLUS
Física General
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Introducción.- Cuando las fuerzas que actúan sobre un sólido no son concurrentes, es necesario definir una nueva magnitud física llamada torque o momento de una fuerza, que se añade al conjunto de ecuaciones y definiciones usadas en el capítulo anterior. Torque o momento de una fuerza.- Se denomina así al efecto de rotación que produce una fuerza. Es la capacidad que tiene una fuerza para producir rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto o eje de giro.
-
Dirección: El vector “momento” es perpendicular al plano de rotación, formado por la línea de acción de la fuerza y el punto de giro.
-
Sentido: Se determina aplicando la “regla de la mano derecha”. El pulgar extendido indica el sentido del vector momento de una fuerza.
-
Signo: El momento es positivo (+) si el giro es en sentido contrario a las agujas del reloj, y es negativo (–) si el giro es en sentido horario.
El momento de una fuerza es una magnitud vectorial, tiene los siguientes elementos:
–
+ Momento positivo
Momento negativo
Brazo de palanca.- Es la distancia trazada desde el punto de rotación en forma perpendicular (formando 90º) a la línea de acción de la fuerza.
O
d
Ejemplo:
L=3m
O
30º d=?
sen 30º
d 3m
90º
d (3 m)sen 30º
d 1.5 m -
Módulo: Es igual al producto de la fuerza (F) por el “brazo de palanca” (d), que es la distancia trazada desde el punto de giro (A) perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza.
M Fd
Casos especiales.- Tomar en cuenta los siguientes ejemplos: a) Momento nulo.- Cuando la línea de acción de la fuerza pasa por el centro de rotación (brazo de palanca nulo), el momento producido por la fuerza es cero.
Sus unidades son: c.g.s.
S.I.
dyn x cm
Nxm
S. Técnico
Inglés técnico
kp x m
lbf x ft
L
F
M F d F (0) M 0
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Física General
b) La fuerza y el vector posición son perpendiculares- El módulo del momento de una fuerza es igual al producto de la fuerza por la distancia (brazo de palanca).
Respuesta: En la primera figura, el tornillo no se está introduciendo, el vector momento es perpendicular al plano de la página y hacia el lector (regla de la mano derecha). El módulo del momento es: M =+Fd En la segunda figura, el tornillo está introduciéndose, el vector momento es perpendicular al plano de la página y hacia adentro (sentido contrario al anterior). El módulo del momento es:
M Fd
M = – F(2d)
c) La fuerza y el vector posición no son perpendiculares- El módulo del momento de una fuerza depende del ángulo que forma la fuerza y el vector posición.
En la tercera figura, estamos en una situación más favorable por la longitud mayor de la llave, el vector momento es perpendicular al plano de la página y hacia el lector. El módulo del momento es: M = + F d = F (2d sen30º) Teorema de Varignon.- Establece lo siguiente:
M Fd M F L sen
“El momento de la fuerza resultante de dos o más fuerzas concurrentes o paralelas, con respecto a un punto cualquiera del cuerpo afectado, es igual a la suma de los momentos de cada fuerza respecto del mismo punto” Momento resultante = Suma de momentos
(M R ) 0 Ejem. 9.1.- Suponga que tiene tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. ¿En qué situaciones se introduce el tornillo? ¿En qué situaciones se saca el tornillo? ¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?
(M i ) 0
Cupla o par de fuerzas.- Se denomina así a un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual módulo y de sentidos contrarios. La suma de las fuerzas es cero, sin embargo el momento resultante no es nulo. Éste par de fuerzas se aplica al abrir una botella de soda, una llave de ruedas, al ajustar un tornillo, etc.
d
Física General
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( M R )0
M
(M )
2da. Condición de equilibrio.- Su enunciado es:
i 0
F
d d F 2 2
M Fd
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él, respecto de cualquier punto, es nula.
M0 0 Ejem. 9.2.- Se tiene una barra de peso despreciable en el cual se aplican varias fuerzas, como se muestra en la figura. Determinar la fuerza resultante y su posición. Solución: 10 kp 20 kp
Un objeto se encontrará en equilibrio mecánico, cuando se cumplan las dos condiciones de equilibrio. Ejem. 9.3.- Hallar la resultante de las cuatro fuerzas indicadas en el siguiente diagrama mostrado a continuación. 150 kp
2m
1m
2m
400 kp
30º
100 kp 30º
250 kp 30º
5 kp
La resultante de todas las fuerzas es: R = 5 kp – 10 kp – 20 kp = – 25 Kp 1.5 m
Para ubicar la posición de la resultante, se aplica la sumatoria de momentos respecto a un eje ubicado en el extremo izquierdo de la barra (O).
2.5 m
1m
Solución:
Fx 150 sen30º 250 sen30º 100 sen30º
10 kp 20 kp
x
O 1m
Fy 150 cos 30º250 cos 30º 100 cos 30º400
2m 5 kp
R = 25 kp
(M R ) 0
Fx 0
Fy 833 kp
Resultante es hacia abajo, su valor es 833 kp. El punto de ubicación se determina con el teorema de Varignon. Tomando eje de rotación el apoyo izquierdo:
(M i ) 0
M R O
(25 kp) ( x) (10 kp) (1 m) (5 kp) (3 m) (20 kp) (5 m) (25 kp) ( x) 10 kp.m 15 kp.m 100 kp.m (25 kp) ( x) 95 kp.m x
Mi
R x 400 1.5 250 cos 30º4 100 cos 30º5
(1)
95 kp.m 3.8 m 25 kp
La resultante se encuentra a 3.8 m del extremo izquierdo de la barra.
833 x 600 866.02 433.01 x
1899.03 2.28 m 833
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Física General
Ejem. 9.4.- Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.
Componentes rectangulares de T:
Colocando un peso P a una distancia x del punto O.
Tx T cos 43º
Ty T sen 43º
El momento de esta fuerza es: P·x Primera condicion de equilibrio:
Solución:
Fx 0 R x Tx 0 R x T cos 43º
(1)
Fy 0 T y R y w wb 0 T sen 43º R y w wb 0
Para que la barra esté en equilibrio la fuerza F deberá ser tal que el momento total sea nulo: – F·d + P·x = 0, De modo que:
(2)
Segunda condición de equilibrio, con eje de rotación en O:
F = P·x / d
Ejem. 9.5.- En la figura mostrada, determinar la tensión en la cuerda y la reacción en el apoyo O, sabiendo que el peso de la barra es de 30 kp. Datos: Incógnitas: wb = 30 kp T = ? w = 120 kp
MO 0 M O T y 4 m w 4 m wb 2 m 0
T sen43º4 m 120 kp 4 m 30 kp 2 m 0 T
Solución: La reacción en la articulación O, tiene componentes, una horizontal y otra vertical:
480 kp m 60 kp m 197.8 kp 2.73 m
dos Reemplazando T en las ec. (1) y (2): Rx T cos 43º 197.8 kp cos 43º 144.7 kp T sen43º R y w wb 0 R y T sen43º w wb R y 197.8 kp sen43º 120 kp 30 kp 15 kp
Luego la reacción:
D. C. L.
T
R
43º
Rx
Ry
wb
w
Rx2 R y2 144.7 2 15 2 145.5 kp
Física General
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Ejem. 9.6.- Calcular el valor de la fuerza para equilibrar la carga R, si ésta pesa 400 kp.
N 5m
2m
x
O wb D. C. L.
F
Aplicando momentos en el borde, lugar que se encontrará siempre en contacto con la superficie, y también donde se ubicará la normal en el último instante: MO 0
3m
2m
w = 400 kp
Ry
Segunda condición de equilibrio:
M
0
0
( F )(5 m) ( w)(2 m) 0 F
w
x
N 0 w x wb 2 m 0
wb 2 m 100 kp 2 m 2.5 m w 80 kp
Ejem. 9.8.- En la figura se representa el esquema de una grúa soportando un peso de 900 kp. El mástil AC tiene una longitud de 3 m y la barra AB tiene 5 m de longitud, con una articulación A, y es mantenida por el cable CB. Suponiendo que el peso de AB es despreciable, calcular la tensión T en el cable y la fuerza de compresión F en AB.
( w)(2 m) (400 kp)(2 m) 160 kp 5m 5m
Reacción en O:
F
y
0
F Ry w 0 Ry w F 400 kp 160 kp 240 kp Ejem. 9.7.- Se tiene una barra homogénea de 100 kp de peso y 10 m de longitud, está colocada como se muestra en la figura. ¿Qué distancia “x” podrá avanzar la persona de 80 kp de peso, antes que la barra se vuelque? Datos: Incógnitas: wb = 100 kp x=? w = 80 kp
D. C. L.
T
5m
43º
F
w 900 kp
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Física General
Solución: Cálculo de la longitud CB mediante el teorema de los cosenos:
CB CB CB
2
AC AB
2
3 m
2
12.06 m 2
CB
2
2
2
AC cos 43º
2 AC
5 m 2 3 m 5 m cos 43º
12.06 m 2
2
PREGUNTAS Y RESPUESTAS 1. Las magnitudes de las fuerzas que se señalan en la figura son iguales. ¿Cuál de ellas realiza mayor y cuál realiza menor torque? El eje de giro, o de rotación, está representado por un círculo.
3.5 m
Aplicando el teorema de los senos: R. La fuerza F2 realiza mayor torque, pues al ser igual magnitud que F1 y F3 tiene brazo mayor. que realiza menor torque es la fuerza F 3 pues realiza torque ya que está aplicada en el eje rotación.
sen sen 43º 3m 3.5 m sen
(3 m)( sen 43º ) 3.5 m
35.8º
Cálculo de T:
M
A
de La no de
2. La figura muestra dos personas, P y Q, que realizan fuerzas sobre una puerta con las bisagras en O. La puerta está en equilibrio. a) ¿Cuál de las personas realiza mayor torque?, b) ¿cuál de las personas ejerce mayor fuerza?
0
F 0 w 5 m sen43º T 5 m sen35.8º 0 0 900 kp 3.41 m T 2.92 m 0 T
3069 kp m 1049 kp 2.92 m
Las componentes de la fuerza de compresión en el punto A son:
Fx 0 Fx (T )( sen11.2 º ) 0 Fx (1049 kp )(cos 11.2 º ) 1029.02 kp
R. a) Como la puerta está en equilibrio, no se mueve, ambas personas realizan el mismo torque. b) La persona que ejerce mayor fuerza es la Q pues debe compensar con ello, la fuerza, el menor brazo que posee. 3. La palanca es la aplicación de torque. Hay tres tipos de palancas. De primer orden, segundo orden y tercer orden. Los diagramas siguientes representan esos tipos.
Fy 0 F y (T )( sen11.2 º ) w 0 F y (1049 kp )( sen11.2 º ) 900 kp F y 1103.75 kp Luego la fuerza de compresión es:
F
Fx2 Fy2 1029.02 2 1103.75 2
F 1509.02 kp
De un ejemplo concreto y real para cada tipo de palanca. R. De primer orden: De segundo orden: De tercer orden:
Tijeras Carretilla Pinzas
Física General
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4. En cuál de los siguientes casos se realiza torque: a) Abrir un libro: Si se realiza torque b) Cortar un alambre con un alicate: Si se realiza torque c) Destapar un corcho de una botella: Si se realiza torque d) Jugar ping pong: No realiza torque (el golpe que la paleta da a la pelota) e) Desclavar un clavo de una tabla: Si se realiza torque f) Lanzar una flecha con un arco: No realiza torque (la fuerza que ejerce la cuerda sobre la flecha g) Salto con garrocha: Si se realiza torque h) Caminar: Si se realiza torque 5. Un cartel publicitario está colgando de la pared de una sociedad muy importante, como se muestra en la figura. Si consideramos eje de rotación, o de giro, el soporte de la viga en la pared. a) ¿Cuáles son las fuerzas que realizan torque?, b) ¿cuál fuerza, aparentemente, realiza mayor torque?
R. a) Las fuerzas involucradas son: la tensión en la cuerda superior, la fuerza vertical en el punto de apoyo en la pared, las dos tensiones en los cables que sujetan el letrero, el peso de la barra. Se dirigen hacia arriba: la vertical en el punto de apoyo en la pared. Hacia arriba en forma inclinada, la tensión en la cuerda superior. Hacia abajo, las dos tensiones en las cuerdas o cables que sostienen el letrero y el peso de la barra.
F
x
M
0
N M1 g M 2 g 0
F
x
M
0
N F M1 g mg 0
F
x
0
0
L L M1 g M 2 g 0 2 2
0
0
3L L L M1 g mg F 0 4 4 4
M
0
N M1 g M 3 g mg 0
0
0
L L M 3 g M1 g 0 3 2
b) Depende del eje de giro o rotación que se utilice. Pero como es lógico el eje de rotación más adecuado está en el punto de apoyo de la barra en la pared, por lo tanto la fuerza que realiza mayor torque es la tensión en la cuerda superior, pues ese torque debe compensar los torques que realizan las demás fuerzas. 6. Escriba las ecuaciones, correspondientes a las condiciones de equilibrio, en cada una de las siguientes situaciones. En todos los casos la viga es uniforme y de masa m. El triángulo representa el, o los, punto de apoyo(s). En todas las situaciones el sistema está en equilibrio.
F
x
0
N1 N 2 M1 g M 3 g mg 0
M
0
0
M 1 g L mg
L L L M 3 g N2 0 2 3 3
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CONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UNA BARRA
CUERPOS LIGADOS EN EQUILIBRIO
CENTRO DE MASA
Física General
- 129 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En cada caso hallar el momento generado por “F” respecto al centro de giro “O” Resp: a) 30 N.m ; b) 35 N.m ; c) 40 N.m ; d) 18 N.m
a) 4. La barra mostrada en la figura está bajo la acción de dos fuerzas y es soportada en “O”; Localizar la posición del soporte para que exista equilibrio. (Considerar despreciable el peso de la barra) b)
Resp: 9.2 m
c)
d)
5. Calcular la reacción de la superficie en la figura, la barra se encuentra en equilibrio y pesa 100 kp. Resp: 60.18 kp
2. Calcular la suma de momentos de la figura, con respecto al punto O. Indicar en qué sentido va girando. Resp: –20 N.m, gira en sentido de las agujas del reloj
6. En la barra mostrada en la figura, determinar la reacción en la articulación y la posición en que debe estar la fuerza de 4 kp (hacia arriba) para que dicha barra permanezca en equilibrio. La barra pesa 2 kp. Resp: Reacción = –2 kp;
3. La figura muestra un sistema en equilibrio. En el extremo izquierdo de la tabla se encuentra un peso de 30 kp, La tensión en la cuerda derecha es de 20 kp. Calcular el peso de la tabla. Resp: 73.33 kp
x = 5m
- 130 7. En la figura mostrada, determinar la tensión en la cuerda, sabiendo que el peso de la barra es 120 kp. Resp: 701.20 kp
Física General 11. Hallar las tensiones en las cuerdas A y B, si la barra es homogénea y uniforme de 100 N de peso y Q = 60 N. Resp: A = 88 N; B = 72 N
Q
A 1m
8. La barra de la figura pesa 100 kp y por su extremo superior está amarrada a una cuerda vertical, por su parte inferior está articulada al piso. ¿Cuánto vale la tensión del cable? Resp: 50 kp
9. En el sistema en equilibrio de la figura, hallar la fuerza de compresión y la tensión de la barra, el peso de la barra es 20 kp y lleva un peso en un extremo, w = 40 kp
B
4m
1m
12. Dos pesos, w1 = 1.60 kp y w2 = 2.00 kp están suspendidas de los extremos de una varilla de aluminio muy delgada (sin peso) cuya longitud es de 1.20 m. La varilla está sostenida en el techo por una cuerda. Indicar la posición de la varilla a la que debe fijarse esta última cuerda para que la varilla quede horizontal, y encontrar la tensión de esta cuerda. Resp: La cuerda se encuentra a 0.67 m de w1
13. Calcule la tensión de las líneas de soporte en la figura (peso de la barra = 5 kp). Resp: 27.5 kp
Resp: R = 66.74 kp; T = 56.23 kp
10. Hallar la tensión en el cable para que la barra uniforme y homogénea de 75 N de peso se encuentre en equilibrio. Resp: T = 100 N
14. Un tablón uniforme de 6m de longitud y 30 kg de masa, descansa horizontalmente sobre un andamio. Si 1.5m del tablón sobresale por un extremo del andamio. ¿Cuánto puede caminar un pintor de brocha gorda de 70 kg por la parte sobresaliente antes de que el tablón se vuelque? Resp: 0.64 m
15. El antebrazo de la figura, está con respecto al brazo a 90º y sostiene en la mano un cuerpo de peso 70 N. Despreciando al peso del antebrazo: ¿Cuál es el torque producido por el peso de 70 N alrededor de la articulación del codo (punto O)? ¿Cuál es el torque alrededor de O producido por
Física General la fuerza Fm ejercida sobre el antebrazo por el bíceps? ¿Cuál es la magnitud de Fm? Resp: - 23.1 N.m; 23.1 N.m; Fm = 607.9 N
- 131 19. Una persona puede ejercer una fuerza máxima de 400 N sobre el aparato que se muestra en la figura. Si el aparato está a 28 cm del codo, y el bíceps está unido a 5 cm del codo, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el bíceps? Resp: 2240 N
16. Repetir el problema anterior suponiendo que el antebrazo y la mano juntos pesan 35N y que su centro de gravedad está a 15 cm de O.
20. Hallar la reacción en “A” si la barra es de peso despreciable.
Resp: - 23.1 N.m; - 5.78 N.m; +28.88 N.m; Fm = 759.9 N Resp: 3000 N
17. Un tablón uniforme de 5 m de longitud y 50 N de peso, apernado en A es sostenido por una cuerda en su extremo superior, como se muestra en la figura Una carga de 100 N cuelga del tablón en un punto a una distancia x de A. Si la resistencia de ruptura de la cuerda es 50 N, calcular el valor de x. Considere α = 30º y β = 60º. Resp: 1.29 m.
21. Peso de la barra = 1000 N ; K = 200 N /cm para el equilibrio. Hallar la deformación del resorte. Resp: 2.2 cm
18. La figura nos muestra un atleta preparado para hacer un tiburón. Pesa 750 N y su centro de gravedad está localizado por encima de un punto P que hay en el suelo. Este punto está a 0.9 m de la punta de sus pies y a 0.6m de sus hombros, ¿Cuáles son las fuerzas ejercidas por el suelo sobre las manos y pies del atleta? Resp: 450 N y 300 N
- 132 -
Física General EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. La suma de las fuerzas es:
d) Si rota con rapidez constante 8. Hallar el momento resultante respecto a “O”: F1 = 10 N
O 4m
a) 1 kp
b) 3 kp
c) 4 kp
1m
d) 5 kp
2. La suma de los momentos respecto a 0 en la figura anterior es: a) 16 kp-m c) 25 kp-m
2m
b) 24 kp-m d) 28 kp-m
F2 = 8 N
a) 2 N.m
b) 4 N.m
c) 6 N.m
d) 8 N.m
9. Se tiene una barra con peso despreciable, como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante en (N) y su posición en (m):
3. Sean las dos fuerzas de la figura, la magnitud de la resultante es:
20 N
10 N
O 1m
2m
2m
15 N
a) 0
b) 15 kp
c) 30 kp
d) 60 kp
4. La suma de momentos con respecto a uno de sus extremos, es: a) 0
b) –30 kp-m
c) 30 kp-m
d) 60 kp-m
5. Sean las tres fuerzas de la figura. ¿Cuál es la magnitud de la resultante?
a) –15; 3
b) 25; 3.8
c) 25; 3
d) –15; 1.67
10. ¿Qué condición debe cumplirse para que un cuerpo no efectúe ningún movimiento de rotación? a) El momento resultante de las fuerzas aplicadas sea nulo b) Que tenga aceleración angular c) La resultante de las fuerzas sea nula d) Que no efectúe movimiento de traslación 11. El momento de fuerza es:
a) 10 kp
b) 20 kp
c) 30 kp
d) 40 kp
6. ¿Cuál es el momento de esta resultante respecto a O en la figura anterior? a) 50 kp-m c) 80 kp-m
b) 70 kp-m d) 100 kp-m
a) Una magnitud escalar b) Sólo depende de la fuerza c) Sólo depende del brazo de palanca d) Mide el efecto de giro que provoca una fuerza sobre un cuerpo 12. La barra es de 4 kg, el bloque 2 kg. Determinar el valor de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2)
7. Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si: a) La suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero b) La fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es diferente de cero c) La suma algebraica de los torques (momentos) de las fuerzas con respecto a cualquier punto es igual a cero
C
A
a) 50 N
B
b) 60 N
c) 70 N
30º
d) 80 N
Física General
- 133 -
Cap. 10 DINÁMICA I FUERZAS EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CONTENIDO:
- 134 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Explicamos y demostramos el movimiento y sus causas a partir del estudio de las fuerzas aplicadas a un objeto cuya resultante produce aceleración y movimiento rectilíneo, utilizando las leyes de Newton en problemas y prácticas de laboratorio, promoviendo a la investigación en el campo científico.
LAS CUATRO FUERZAS MÁS IMPORTANTES Existen cuatro fuerzas que no se pueden explicar en función de otras: 1. Fuerza Gravitatoria: Es la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, esta fuerza es siempre de atracción y afecta a todos los cuerpos. Mantiene a los planetas orbitando alrededor del Sol. 2. Fuerza Electromagnética: Afecta a los cuerpos cargados eléctricamente, es de atracción y repulsión. (fenómenos magnéticos y eléctricos) 3. Fuerza Nuclear Fuerte: Es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, es de atracción solamente. 4. Fuerza Nuclear Débil: Es la responsable de las emisiones radioactivas beta del núcleo.
Física General
- 135 -
Introducción.- ¿Por qué un cuerpo tiene un determinado movimiento? ¿Cómo podemos modificar la velocidad de un cuerpo?, etc. Para ello es necesario introducir nuevos conceptos como masa o fuerza. Así como la cinemática está ligada al nombre de Galileo, la dinámica lo está al de Isaac Newton, quien, curiosamente, nació en el mismo año que murió Galileo (1.642). La dinámica es una parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos tomando en cuenta las causas que lo producen.
Combinando las dos relaciones anteriores, se tiene:
a
Ahora es posible enunciar la 2da. Ley de Newton, como: “La aceleración que adquiere una partícula sometida a una fuerza neta, es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa de dicha partícula, y tiene la misma dirección y sentido de la fuerza”
Sistema de referencia inercial.- Un sistema se define como inercial si está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Segunda Ley de Newton (Ley de la aceleración).Se vio en el capítulo de estática que una fuerza neta diferente de cero, se refiere a una fuerza no equilibrada produce aceleración. a) Relación entre la fuerza y la aceleración: Doblando la fuerza se obtiene doble aceleración.
Fneta m
NETA
m
Fuerza resultante = masa x aceleración
La fuerza neta, es la resultante de varias fuerzas, la 2da. ley, se puede escribir: Fuerzas a favor de “a” – Fuerzas en contra de “a” = masa x aceleración
Fneta m a
NETA
m
NETA
m
“A mayor fuerza, mayor aceleración” b) Relación entre la masa y la aceleración: Doblando la masa se obtiene mitad de aceleración.
F ma
Masa (m).- Es una magnitud escalar, en un comienzo Newton definió la masa como la cantidad de materia de un cuerpo. Sin embargo, con el tiempo, esto quedó mejor explicado como la medida de la inercia de un cuerpo; es decir, la resistencia del cuerpo a cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo, imaginen dos personas “A” y “B”, la primera con 100 kg de masa y la otra con 50 kg; dichas personas se encuentran en un bus en movimiento, si de pronto este móvil se detiene, ¿Cuál de las personas se irá con mayor facilidad hacia adelante?
NETA
Es notorio que la persona “A” (100 kg) se moverá con mayor facilidad, porque tiene mayor masa (mayor inercia).
m
La masa de un cuerpo es una medida de su inercia.
m
m
NETA
“A mayor masa, menor aceleración”
El valor de la masa se obtiene a partir de la 2da. Ley de newton: mi
F1 F2 F3 cte. a1 a 2 a 3
- 136 -
Física General
Unidades de masa.- El kilogramo (kg), es la unidad de masa en el Sistema Internacional. Sistema c. g. s.
S. I.
Sistema Técnico
gramo
kilogramo
(g)
( kg )
1 kg = 2.2 lbm 1 lbm = 453.6 g
unidad técnica de masa ( u. t. m. )
Inglés Inglés Técnico absoluto slug
libra masa ( lbm )
El peso tiene que ver con la intensidad de la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra (la Luna, Marte, etc.) sobre un objeto.
Unidades de fuerza.- Al ser la fuerza una magnitud derivada, sus unidades son una combinación de las unidades fundamentales, cuyos nombres son:
S. I.
Sistema Técnico
dina ( dyn )
Newton (N)
kilopondio ( kp )
=
=
=
g cm/s 1N 1 lbf 1 gf 1 lbf
2
kg m/s
= 105 dyn = 32.2 pdl = 980 dyn = 4.45 N
2
utm m/s
2
La masa tiene que ver con la cantidad de materia de un objeto. La masa de un objeto es un valor constante, en cualquier parte del universo.
( slug )
1 slug = 14.59 kg 1 utm = 9.8 kg
Sistema c. g. s.
Peso y masa.- El peso de un objeto está muy relacionado con su masa, pero ambas magnitudes son distintas.
Inglés Inglés Técnico absoluto librafuerza ( lbf ) = slugft/s
2
poundal ( pdl )
El peso de un objeto es un valor variable, que depende de la aceleración de la gravedad del lugar. ¿Cuánto pesa 1 kilogramo? Al dejar caer un cuerpo de 1 kg de masa en la Tierra, éste desciende con una aceleración igual a 9.80 m/s2 (despreciando los efectos de rozamiento con el aire). m = 1 kg
= lbm ft/s
w=m.g 2
1 kp = 2.2 lbf 1 kp = 9.8 N 1 kp = 1000 gf Si se aplica la segunda ley de Newton, se obtiene:
Nota: El kilopondio ( kp ) se denomina también kilogramo fuerza ( kgf ) , que tiene un submúltiplo llamado gramo fuerza ( gf ) o pondio, que es el peso de 1 gramo masa. Peso (w).- Es una magnitud vectorial, se define como la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce un planeta sobre los cuerpos que se encuentran sobre ella.
m w m g 1 kg 9.8 2 9.8 N s
Este es el peso, en el planeta Tierra, de 1 kg de masa. En el sistema técnico (muy usado en ingeniería) se dice que en la Tierra un cuerpo cuya masa es de 1 kg, tiene un peso de 1 kgf (kilogramo-fuerza). m = 1 kg
w 9.8 N
1 kp 1 kp 1 kg f 9.8 N
En la Luna ese mismo cuerpo de 1 kg de masa sólo pesa 1.60 N Aceleración de la gravedad en la Luna:
w mg w = Peso m = Masa g = Aceleración de la gravedad
gL
1 1 m m g T 9.8 2 1.63 2 6 6 s s
El peso en la Luna:
m w m g 1 kg 1.63 2 1.63 N s
Física General Un cuerpo tiene, la misma masa en la Tierra y en la Luna, pero el peso de dicho cuerpo es seis veces menor en la Luna que en la Tierra.
- 137 El peso, también varía con la latitud del lugar
El peso varía con la altura, un cuerpo situado en la superficie terrestre pesa más que cuando se encuentra a una determinada altura. A mayor altura, menor el peso de un cuerpo Por ejemplo un anillo pesa más en Santa Cruz y pesa menos en La Paz, es por esa razón las compras y ventas de joyas se hacen por masa no por peso. Razonando lógicamente, introduciendo un peso al interior de la Tierra, es decir, si la aproximáramos al centro de nuestro planeta, deberíamos observar un aumento de la atracción gravitacional. En las profundidades de la Tierra el cuerpo debería pesar más, esta suposición es errónea, el peso de los cuerpos no aumenta, sino al contrario, disminuye. Esto se explica, porque, en este caso, las partículas de la Tierra que lo atraen se encuentran ahora, no por un lado del cuerpo, sino por todos lados distintos. Obsérvese la figura.
La línea del Ecuador esta más lejos del centro de la Tierra, que el Polo del centro. A mayor latitud, menor el peso de un cuerpo
Medición de pesos y masas.- Experimentalmente ¿en qué tipo de balanzas se determinan la masa y el peso de un cuerpo sólido? y ¿qué conceptos físicos están apoyados en cada caso? Dos preguntas interesantes que se aclaran a continuación. Masas: Balanzas de doble platillo, basado en el equilibrio de un cuerpo rígido.
En ella se ve cómo la pesa que se encuentra en las profundidades de la Tierra es atraída hacia abajo por las partículas que se encuentran debajo de ella, pero al mismo tiempo es atraída también hacia arriba, por las partículas que se encuentran encima. A medida que el cuerpo se va introduciendo a mayor profundidad en la Tierra, su peso va disminuyendo rápidamente. Al llegar al centro de la Tierra, el cuerpo pierde su peso por completo, es decir, se hace ingrávido ya que las partículas que lo rodean lo atraen en todas direcciones con igual fuerza. De todo lo antedicho se deduce, que donde los cuerpos pesan más, es en la misma superficie de la Tierra, y que a medida que se alejan de ella, sea hacia fuera o hacia dentro, su peso disminuye. Fuente: http://es.geocities.com
MO 0 w L2 w1
L 2
0
w w1
Pesos: Balanzas de un solo platillo, basado en el equilibrio de una partícula.
Fy 0 T mg 0 T mg
m g m1 g
m m1
T w
El peso se mide con dinamómetros. La masa se mide con balanzas de brazos
- 138 -
Física General DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO
Características de masa
Características de peso
- Es la cantidad de materia que tiene un cuerpo. - Es una magnitud escalar. - Se mide con la balanza. - Su valor es constante, independiente de la altitud y latitud. - Sus unidades de medida son el gramo (g) y el kilogramo (kg). - Sobrelleva aceleraciones
- Es la fuerza que ocasiona la caída de los cuerpos. - Es una magnitud vectorial. - Se mide con el dinamómetro. - Su valor varía según su posición, depende de la altitud y latitud. - Sus unidades de medida son la dina y el Newton. - Produce aceleraciones.
Estrategias para resolver problemas dinámica.- Cada ejercicio es un caso diferente: -
de
Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada objeto individual, en el que se muestren todas las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo.
-
Elegir un sistema de referencia adecuado, de tal manera que uno de los ejes coincida con la dirección de movimiento.
-
Descomponer las fuerzas según los ejes.
-
Dependiendo de qué es lo que se quiere encontrar, la segunda ley de Newton se puede aplicar al sistema como un todo (en cuyo caso las fuerzas internas se cancelan) o aplicarse a parte del sistema.
Ejem. 10.1.- Una persona jala un carrito cargado, con una fuerza de 15 N. Si la masa total del carrito y su contenido es de 60 kg, ¿Cuál es la aceleración del carrito? (Ignore cualquier fuerza de fricción) Datos: F = 15N m = 60 kg a = ? Solución: a
Ejem. 11.2.- Una determinada persona posee una masa de 70 kg. Calcular su peso en kp, lbf Datos: m = 70 kg. g = 9.8 m/s2 w = ? Solución:
w 686 N *
w 70 kp *
1 kp 70 kp 9.8 N
2.2 lb f 1 kp
154 lb f
Ejem. 11.3.- Un estudiante pesa 588 N ¿Cuál es su masa? Datos: w = 588 N m = ? Solución:
wmg
m
588 N w 60 kg g 9.8 m / s 2
Ejem. 11.4.- Un bloque pesa 300 lbf. Calcular su masa en todos los sistemas de unidades. Datos: w = 300 lbff m = ? Solución: w wmg m g Sist. Inglés Técnico:
m
300 lb f w 9.32 slug g 32.2 ft / s 2
Sist. Inglés absoluto:
m 9.32 slug *
32.2 lb f 1 slug
300 lbm
Sist. Internacional:
m 300 lbm *
1 kg 136.4 kg 2.2 lbm
F m
Sist. Técnico:
m 136.4 kg * F ma
a
15 N F m 60 kg
0.25 m / s 2
1 utm 13.92 utm 9.8 kg
Física General
- 139 -
Ejem. 11.5.- Una persona pesa 70 kp, calcular su masa en kg Datos: w = 70 kp m = ? Solución:
wmg
m
70 kp w 7.14 utm g 9.8 m / s 2
Al sistema internacional:
m 7.14 utm *
9.8 kg 70 kg 1 utm
Ejem. 11.7.- a) Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón de 40 kg de la figura y el piso es de 0.65. ¿Con qué fuerza horizontal debe tirar un trabajador para mover el cajón? b) Si el trabajador mantiene esa fuerza una vez que el cajón empieza a moverse y el coeficiente de fricción cinética entre las superficies es 0.50. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del cajón? Datos: a) μs = 0.65 m = 40 kg b) μk = 0.50 F = ? a = ? Solución: N
Como se ve en el resultado, se obtiene el mismo valor numérico; en general se puede afirmar que:
fs
F
m
Un objeto pesa 100 kp, tiene una masa de 100 kg
Ejem. 11.6.- Calcular la distancia que recorrerá un objeto que pesa 10 kp, cuando sobre él actúa una fuerza constante de 50 N durante 20 segundos. Datos: w = 10 kp F = 50 N t = 20 s x = ? Solución:
w
a) El cajón no se moverá hasta que se le aplique una fuerza F que iguale a la fuerza de rozamiento estática máxima fs = μs N
El peso es 10 kp, entonces su masa es: m =10 kg
F
Fy 0
F fs 0
N mg 0
F s N 0
N mg
Combinando las dos ecuaciones:
a m
Fx 0
m
F s m g (0.65)( 40 kg )(9.8 m / s 2 ) 254.8 N El cajón se mueve si la fuerza aplicada excede ligeramente a ésta fuerza calculada.
La aceleración, con la 2da. Ley de Newton y luego la distancia recorrida:
F ma
a
F 50 N 5m / s2 m 10 kg
x v0 t 12 a t 2 12 (5 m / s 2 )( 20 s) 2 1000 m
b) El cajón se encuentra en movimiento y el trabajador mantiene esa fuerza constante de 254.8 N. La fuerza de fricción cinética actúa sobre el cajón. La aceleración del cajón es: Fx m a
F k N m a
a
F k m g m
a 1.47
m s2
F fk ma
F k m g m a
254.8 N 0.5 40 kg 9.8 40 kg
m s2
- 140 -
Física General
Ejem. 11.8.- Un jugador de béisbol con una masa de 79 kg que desliza hacia una base, es retenido por una fuerza de fricción de 470 N ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el jugador y el terreno? Datos: m = 79 kg. fk = 470 N μk = ? Solución:
b) Para determinar la tensión se debe dibujar el D. C. L. De uno de las masas y aplicar la 2da. ley de Newton.
Cuando el jugador corre existe una fuerza opuesta la cual es la fuerza de fricción cinética:
T m 2 a (3.5 kg )( 2 m / s 2 ) 7 N
f k k N
k
f k k N
fk f 470 N k 0.61 N m g 79 kg * 9.8 m / s 2
k
fk mg
470 N 79 kg 9.8
k 0.61
m s2
Ejem. 11.9.- Dos masas m1 = 2.5 kg y m2 = 3.5 kg, descansan sobre una superficie sin rozamiento y están unidas mediante una cuerda. Se aplica una fuerza horizontal de 12 N a m1 como lo muestra la figura. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de las masas (el sistema)? b) ¿Cuál es la magnitud de la tensión ( T ) de la cuerda Datos: m1 = 2.5 kg m2 = 3.5 kg F = 12 N a) a = ? b) T = ?
a
F ma
Ejem. 11.10.- Un automóvil que viaja a 72 km/h a lo largo de un camino recto y plano, se detiene uniformemente en una distancia de 40 m. Si el automóvil pesa 890 kp ¿Cuál es la fuerza de sus frenos? Datos: 1h km 1000 m m v o 72 * * 20 h 1 km 3600 s s
v0 x 40 m w 890 kp *
9.8 N 8722 N 1 kp
F=? Solución:
Cálculo de la masa:
w mg
m
Solución: T
T
m2
T
m2
m
F m1
w g
8722 N 890 kg 9.8 m / s 2
Cálculo de la aceleración:
v 2 v02 2 a x
a) Aplicando la 2da. ley de Newton a todo el sistema, se determina la aceleración; las tensiones T se anulan porque llegarían a ser fuerzas internas
a
F ma F T T (m1 m2 ) a a
122 N F 2.0 m / s 2 m1 m2 2.5 kg 3.5 kg
a
v 2 v02 2d
02 (20 m / s) 2 5 m / s2 2 (40 m)
El signo menos indica que la aceleración es opuesta a la velocidad v0 como se esperaba de una fuerza de frenado que desacelera al carro. Seguidamente se determina la fuerza:
F
m a (890 kg )( 5 m / s 2 ) 4450 N
Física General
- 141 -
Ejem. 11.11.- La máquina de Atwood consiste en dos masas suspendidas de una polea fija como se ilustra en la figura.
Bloque 1:
Si m1 = 0.55 kg y m2 = 0.80 kg. ¿Cuál es la aceleración del sistema? (Considere que la polea no tiene fricción y que las masas de la cuerda y la polea son despreciables) Datos: m1 = 0.55 kg m2 = 0.80 kg a = ? Solución:
T
w1 m1 a m1 g m1 a m1 ( g a )
T
0.55 kg (9.8 m / s 2 1.81 m / s 2 ) 6.38 N
m2
m1
w1
F
ma
T w1
m1 a
Ejem. 11.12.- Sobre una mesa horizontal se coloca un bloque de madera (A) de 2 kg de masa, unido mediante una cuerda inextensible que pasa por una polea a otro bloque (B) de 0.5 kg que cuelga. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la madera y la mesa es de 0.2, calcular: a) La aceleración con que se desplaza el conjunto de bloques b) La tensión que soporta la cuerda. Datos: mA = 2 kg mB = 0.5 kg μk = 0.2 a) a = ? b) T = ?
w2
Solución: m2 , caerá y m1 ascenderá, con aceleraciones de la misma magnitud. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema como un todo, obtenemos:
fk
F ma
wA
w2 T T w1 (m1 m 2 ) a w2 w1 (m1 m 2 ) a
wB
m 2 g m1 g (m1 m 2 ) a g (m 2 m1 ) (m1 m 2 ) a g m2 m1 a m1 m2
9.8
m 0.8 kg 0.55 kg s2 0.55 kg 0.8 kg
a) El sistema se mueve hacia la derecha, ambos bloques tienen la misma aceleración; aplicando la ecuación fundamental de la dinámica a todo el sistema, se tiene: Bloque A:
m a 1.81 2 s
F
x
Aplicando la segunda ley de Newton a cualquier cuerpo se puede calcular la tensión en la cuerda:
ma
m2
m1
w1
w2
a
y
0
T f k mA a
N wA 0
T k N mA a
N wA mA g
Reemplazando N: a
F
T k m A g m A a (1)
- 142 -
Física General
Bloque B:
F
y
a) Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia arriba:
ma
wB T mB a mB g T mB a
a
(2)
T
N
T
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
a fr
T k mA g mA a mB g T mB a
m1 g
mB g k mA g mA a mB a g (mB k mA ) a (mA mB ) g m B k m A a m A mB a 0.4
9.8
m 0.5 kg 0.2 2 kg s2 2 kg 0.5 kg
m s2
La ecuación del movimiento del bloque colgante de masa m2 es:
Fy m a
m2 g T m2 a
(1)
La ecuación del movimiento del bloque de masa m1 es:
Fx m a
b) Para calcular la tensión de la cuerda, se reemplaza el valor de “a” en (1) o (2):
m2 g
T m1 g sen f r m1 a (2)
La reacción del plano: Fy 0
N m1 g cos
N m1 g cos 0
(3)
a fr N
La fuerza de rozamiento:
(4)
wB
Combinado las ec. (1), (2), (3) y (4) para despejar la aceleración, se tiene:
mB g T mB a
a
T mB g mB a mB g a m m T 0.5 kg 9.8 2 0.4 2 4.7 N s s Estudio del plano inclinado.- Un bloque de masa m1 se sitúa sobre un plano inclinado de ángulo θ.
g (m2 m1 sen m1 cos ) m1 m2
b) Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia abajo: a T
N
El bloque está conectado a otro bloque de masa m2 que cuelga de su otro extremo mediante una cuerda inextensible que pasa por una polea ideal (de rozamiento y momento de inercia despreciables). Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque de masa m1 y el plano inclinado es μ. Estudiar el movimiento del sistema.
T fr
m g 1
a
m2 g
Física General
- 143 -
La fuerza de rozamiento cambia de sentido. Se plantea nuevamente las ecuaciones (1), (2), (3) y (4), dando a las fuerzas el signo positivo aquellas que son a favor en del movimiento:
c) El bloque de masa m1 está en reposo sobre el plano inclinado:
T
Entonces:
m1 g sen m2 g m1 g sen f r
0
(2)
m2 g m1 g sen
En caso de que el resultado de la operación de la aceleración sea negativo, significa que el movimiento se realiza en sentido contrario.
N
m2 g
La fuerza de rozamiento es nula para el ángulo θ que cumple que:
g (m1 sen m1 cos m2 ) m1 m2
a
Si
T = m2 g
fr
Variando el ángulo de inclinación θ del plano inclinado llega un momento en el que el bloque empieza a deslizar, en ese momento la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo:
fr
N
m1 g cos
Ejem. 11.13.- Calcula la aceleración y las tensiones del sistema de bloques, coeficiente de rozamiento cinético 0.2. Datos: θ = 30º μk = 0.2 a = ?
m2 g
m g 1
En la figura superior, la componente del peso es menor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva a lo largo del plano inclinado hacia arriba.
Si
m2 g
Entonces:
m1 g sen
m2 g m1 g sen f r
T
N
0
(1)
Solución: Para empezar se averigua el sentido del movimiento comparando los valores de las componentes de los pesos en los planos.
T = m2 g
fr
m g
m2 g
1
En la figura superior, la componente del peso es mayor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva hacia abajo.
De la figura se observa que la masa 4 kg, tiene mayor componente. El movimiento es de izquierda a derecha.
- 144 -
Física General D. C. L. masa de 2 kg
Cálculo de componentes en:
w2 x m2 g sen 40º w2 x (4 kg )(9.8 m / s 2 )( sen 40º ) 25.20 N
w2 y m2 g cos 40º w2 y (4 kg )(9.8 m / s 2 )(cos 40º ) 30.03 N Ecuaciones del movimiento: D. C. L. masa de 4 kg
F
y
0
N 2 w2 y 0 N 2 w2 y 30.03 N
f k 2 k N 2 (0.2)(30.03 N ) 6.01 N
F
x
Cálculo de componentes en:
ma
w2 x T f k 2
m2 a
(2)
w1x m1 g sen 60º w1x (2 kg )(9.8 m / s 2 )( sen 60º ) 16.97 N
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) y reemplazando los valores:
w1 y m1 g cos 60º
T w1x f k1 m1 a w2 x T f k 2 m2 a
w1 y (2 kg )(9.8 m / s 2 )(cos 60º ) 9.80 N
Ecuaciones del movimiento:
F
y
0
w1x f k1 w2 x f k 2 m1 a m2 a a
N1 w1 y 0 N1 w1 y 9.80 N
25.20 N 6.01 N 16.97 N 1.96 N 2 kg 4 kg m a 0.04 2 s
a
f k1 k N1 (0.2)(9.80 N ) 1.96 N
F
x
ma
T w1x f k1
m1 a
(1)
w2 x f k 2 w1x f k1 m1 m2
Física General
- 145 LABORATORIO VIRTUAL
Ingresa a educaplus, Dinámica y revisa las siguientes aplicaciones: MAQUINA DE ATWOOD
DINÁMICA EN UN PLANO INCLINADO
DINÁMICA DE UN MÓVIL CON MOTOR
DINÁMICA DE UN CUERPO EN PLANO INCLINADO
Ingresa A Phet y selecciona la siguiente aplicación. RAMPA: FUERZAS Y MOVIMIENTO
- 146 -
Física General PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determine la fuerza neta requerida para dar a un objeto de 4.50 kg una aceleración de 1.50 m/s 2 Resp: 6.75 N
10. Sobre un cuerpo de 300 gr actúan dos fuerzas perpendiculares de 3 dyn y 4 dyn. Calcular la aceleración de dicho cuerpo. Resp: 0.017 cm/s2
2. Un trabajador empuja un cajón y experimenta una fuerza neta de 100 N. Si el cajón se mueve con una aceleración de 0.750 m/s2, ¿Cuál es su peso?
11. En el siguiente sistema, se aplica una fuerza, de 30 N al primer bloque y 10 N al segundo bloque. Calcular la tensión en la cuerda en Newton. Desprecie el rozamiento (m1 = m2 = 10 kg).
Resp: 133.33 kp Resp: 20
3. ¿Cuál es la masa en kilogramos y el peso en newtons de una persona de 155 lbf? Resp:
30 N
m1
w = 690 N; m = 70.45 kg
4. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre una objeto de 0.45 kg en caída libre? Resp: 4.41 N
5. ¿Cuáles son la masa y peso de: a) Un trineo de 1400 lbf y b) de una máquina 421 kg? Resp: a) 636.36 kg; 6236.36 N; b) 421 kg; 4125.8 N
12. Calcular el módulo de la fuerza F si el bloque se desplaza hacia la derecha con velocidad constante de 10 m/s sobre el plano rugoso (µ = 0.4) Resp: 17.84 N
10 N
6. Un objeto de 70 kp es elevado con una aceleración de 3.5 m/s2. ¿Cuál es la tensión en la cuerda de soporte? Resp: 95 kp
7. Una fuerza de 400 N se aplica horizontalmente a un bloque de 50 kg, si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es de 0.3. Encontrar la aceleración del bloque
2 kg
F
13. Calcular la aceleración que adquiere el bloque de 2 kg mostrado en la figura (g = 10 m/s2). Resp: 43.4 m/s2
10 N
100 N Resp: 5.06 m/s2
8. Calcular la aceleración (en m/s2), si: m = 5 kg, F1 = 20 N y F2 = 60 N, el plano es liso. Resp: 8 m/s2
10 N
m2
2 kg
37º
µ = 0.2
14. Calcular la aceleración del cuerpo de 20 kg de masa. (g = 10 m/s2).
F2
F1
m
Resp: 1.2 m/s2
200 N
9.
Hallar la tensión en la cuerda (en Newton) y la aceleración del sistema (en m/s2), en la siguiente figura. Desprecie el rozamiento. (m1 = 4 kg ; m2 = 6 kg).
37º
20 kg
24 N
µ = 0.5 Resp: 12 y 2
20 N m1
m2
15. Un automóvil de 1500 kg viaja a una rapidez de 90 km/h a lo largo de una carretera recta de concreto. Al encarar una situación de emergencia el conductor mete los frenos y patina para detenerse. ¿Cuál será la distancia recorrida si el
Física General coeficiente de rozamiento cinético entre las ruedas y el concreto es 0.85? Resp: 37.52 m
16. Un automóvil cuya masa es de 500 kg, puede alcanzar una velocidad de 100 km/h en un tiempo de 8 segundos. Calcular la fuerza que ejerce el motor. Resp: 1736 N
17. En la figura, la masa M se acelera hacia arriba a 2.40 m/s2 cuando la tensión en D es de 225 N. ¿Cuál es la masa de M? Resp: 36.88 kg
- 147 20. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un campo plano. Cuál es la fuerza retardadora constante necesaria para detener el auto en una distancia de 30 m. Resp: 6000 N
21. Un elevador parte del reposo y sube con una aceleración constante. Se mueve 2 m en los primeros 0.6 seg. Un pasajero en el elevador sostiene un paquete de 3 kg. Con una cuerda. Cuál es la tensión de la cuerda durante la aceleración. Resp:
63 N
22. Un cuerpo de 80 kg se desplaza por una pista horizontal aplicándole una fuerza constante de 100 N. Su fuerza de rozamiento es de 20 N. Calcula la aceleración que adquiere. Resp: 1 m/s2
18. Las masas de la figura son, mA = 5 kg y mB = 4 kg, el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la mesa es 0.2. Calcular la aceleración del conjunto y la tensión de la cuerda. Resp: 3.27 m/s2; 26.1 N
23. Dos bloques con masas M1 = 4 kg y M2 = 8 kg, unidos por una cuerda, se mueven por una superficie horizontal. El rozamiento del primero con el suelo es despreciable, y para el segundo el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0.2. Se aplica una fuerza horizontal F = 50 N al primer cuerpo. a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos. b) Calcula la aceleración de los cuerpos. c) Determina el valor de la tensión de la cuerda que los une. Resp: b) 2.86 m/s2 ; c) 38.56 N
19. Los tres bloques A, B y C de la figura, tienen masas de 5 kg, 8 kg y 12 kg, respectivamente. Si la superficie horizontal sobre la que descansa el bloque B no tiene fricción, y se supone que el sistema se inicia desde el reposo, ¿cuál es la aceleración del sistema, las tensiones de las cuerdas y el tiempo que transcurre antes que el bloque C haya descendido 4.9 m?
24. Un cuerpo de 100 kg baja por un plano inclinado 45º con una aceleración de 6 m/s2. a) Calcula la fuerza de rozamiento. b) El tiempo que tarda en adquirir una velocidad de 6 m/s si partía del reposo. c) El espacio que ha recorrido en este tiempo. Resp: a) 92.96 N;
b) 1 s;
c) 3 m
Resp: 2.74 m/s2; 62.7 N; 84.72 N; 1.89 s
25. Un cuerpo de 25 kg está sujeto a una aceleración de 8 m/s2. La fuerza que actúa sobre él es la resultante de dos fuerzas que tienen la misma dirección. Una de ellas vale 3000 N. ¿Cuánto vale la otra? ¿Actúan en el mismo sentido? Resp: 2800 N, son de sentidos contrarios.
- 148 -
Física General
26. Un cuerpo tiene 0.3 y 0.2 de coeficientes de rozamiento. Aplicamos sobre él una fuerza que va aumentando paulatinamente hasta que comienza a moverse y en este momento se mantiene invariable. Calcula la aceleración del movimiento de este objeto. Resp: 0.98 m/s2
27.La masa m1 del sistema de la figura vale 40 kg, y la masa m2 es variable. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre m1 y la mesa son iguales y valen 0.2. Si el sistema está inicialmente en reposo. a) ¿Con qué aceleración se moverá el sistema si m2 = 10 kg? b) ¿Cuál es el valor máximo de m2 para el cual el sistema permanecerá en reposo? c) Si m2 = 6 kg, ¿Cuál será la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la mesa? ¿Y la tensión de la cuerda? Resp: a) 0.4 m/s2 ; b) 8 kg; c) 58.8 N y 58.8 N
30. A un cuerpo de 50 kg se le aplica una fuerza constante de 80 N que hace un ángulo de 30 grados con la horizontal (tal y como está representado en el dibujo). Supone que no hay fricción con el suelo. a) Calcula la aceleración que tendrá. b) ¿Qué fuerza hará el suelo sobre él? c) Calcula la velocidad del objeto después de haber recorrido una distancia de 6 m partiendo del reposo Resp: a) 1.38 m/s2; b) 540 N; c) 4.06 m/s
31. Un resorte de constante recuperadora k = 50 N/m y longitud natural l 0 = 2 m está atada al techo de un ascensor. Si colgamos del extremo libre del resorte un cuerpo de masa m = 3 kg, ¿Cuál será la longitud del resorte? Cuando: a) El ascensor suba con una aceleración igual a 2 m/s2. b) El ascensor suba con una velocidad constante Resp: a) 2.708 m; b) 2.588 m
28. Un péndulo está colgado del techo de un coche, ver figura. El coche arranca con una aceleración constante de 120 cm/s2 durante 2 minutos. a) Haz un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo e indica la dirección y el sentido de la resultante. b) Calcula el ángulo que forma el hilo del péndulo con la vertical. c) Determina la distancia que ha recorrido el coche durante los 2 minutos y su velocidad final.
32. El coeficiente cinético de rozamiento entre el suelo y el bloque de la figura es 0.4. Calcula la aceleración en cada uno de los casos siguientes si el bloque tiene una masa de 100 kg. Resp: a) 3.08 m/s2; b) 3.5 m/s2; c) 0.74 m/s2
700 N
a) 700 N
Resp: a) Horizontal derecha; b) 7º; c) 8640 m y 144 m/s
30º
b)
29. Calcula la aceleración y la fuerza de reacción del plano sobre el objeto de 20 kg de la figura.
30º c)
700 N
Resp: 4.9 m/s2; 169.74 N 20 kg
30º
33. Calcula la aceleración y las tensiones de los siguientes sistemas. Suponga que las cuerdas son inelásticas y que no hay ningún tipo de rozamiento con las poleas. Resp: a) 1.96 m/s2; 94.1 N; b) 2.49 m/s2; 368.7 N; 438.6 N
Física General
a)
- 149 normal que el suelo hace sobre el cuerpo? Determina el valor del coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y el suelo. Resp: 40 N; 331.82 N; 0.12
36. Calcula la aceleración del sistema suponiendo que no hay fricción con el plano. b) Resp: 2.45 m/s2
34. Calcula la aceleración y las tensiones en los cables de los dos sistemas de bloques a) y b), suponiendo que no hay fricción. Resp: a) 4.9 m/s2; 14.7 N; b) 3.92 m/s2; 58.8 N
a)
b)
37. Calcula la aceleración del sistema de la figura sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los bloques y la superficie es de 0.2. Resp: 0.455 m/s2
38. Calcula el peso P del bloque de la figura si baja con una aceleración de 0.5 m/s2. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque de 2 kg y el suelo es de 0.1. Resp: 17.12 N
35. Un cuerpo de masa M = 40 kg está sobre el suelo horizontal con el cual tiene una fricción. Aplicamos al cuerpo una fuerza de módulo F = 100 N que forma un ángulo 37º con la horizontal, y el cuerpo adquiere una aceleración de 1 m/s2. Haz un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. ¿Hay entre estas fuerzas algún par de acción - reacción? ¿Por qué? ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total que actúa sobre el cuerpo? ¿Y el de la fuerza
- 150 -
Física General EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
c) 1 dyn = 105 N
¿Qué relación guarda una fuerza neta aplicada sobre un objeto y la aceleración que produce? 9. a) Siempre serán iguales en módulo, dirección y sentido b) Siempre serán iguales en dirección y sentido c) Siempre serán iguales en módulo y sentido d) Ninguna anterior
2.
¿Tiene sentido en Física realizar la suma de los vectores fuerza de rozamiento y velocidad? a) Si, ya que todo vector puede sumarse con otro b) Sólo si ambos vectores tienen la misma dirección c) Sólo si ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido d) No, ya que tienen dimensiones distintas
3.
El coeficiente de rozamiento de un objeto con el plano sobre el que se apoya depende de: a) El peso del objeto y la inclinación del plano b) La fuerza normal ejercida por el plano sobre el objeto c) Las características físicas de las superficies del plano y objeto que estén en contacto d) Del área de contacto
4.
Si frena un bus y yo estoy de pie, tiendo a ir hacia adelante. Esto es por: a) La inercia b) El centro de gravedad c) La fuerza al frenar es mayor que nuestro peso d) El roce es muy débil para los pies
5.
La unidad de fuerza Newton es equivalente a: a) kg m2/s c) kg m/s2
6.
¿Dónde pesa más un cuerpo? a) b) c) d)
7.
En la superficie de la Tierra A 10000 m de altura En el centro de la Tierra En la Tierra, a una profundidad de 2000 m
De las siguientes igualdades. Cuál es la correcta: a) dyn = g.cm/s² c) N = kg.cm/s²
8.
b) kg m/s d) kg cm/s2
b) kg = N.m/s² d) lbf = lbm.ft/s²
¿Cuál es la igualdad correcta?: a) 1 kg = 9.8 N
b) 1 kgf = 9.8 N
d) 1 kgf = 9.8 m/s²
La fuerza de rozamiento en un cuerpo en movimiento es: a) Perpendicular al movimiento b) Paralela al movimiento y en sentido contrario c) Paralela al movimiento y en el mismo sentido d) Oblicua al movimiento
10. Cuál de las siguientes expresiones es la que representa la segunda ley de Newton: a) F = m.g c) F = m.a
b) F = m/g d) fk = k.N
11. Una persona pesa 220 lbf , determine: su peso en N y su masa en kg. (1 kgf = 9.8 N y 1 kgf = 2.2 lbf) a) 890 N y 100 kg c) 980 N y 100 kg
b) 100 N y 980 kg d) 900 N y 100 kg
12. El peso de un cuerpo se determina con la siguiente ecuación: a) m = w.g c) w = m.g
b) w = m/g d) F = m.a
13. Un bloque de 10 kg de masa, tiene una aceleración de 5.5 m/s². ¿Qué fuerza resultará al aplicar la segunda ley de Newton? a) 55 kp
b) 0.55 kp
c) 550 N
d) 55 N
14. Cuál de las siguientes expresiones es verdadera, para la fuerza de rozamiento estática: a) f k = c) f s =
s .N s N
b) f = 0 d) F = m.a
15. La aceleración que adquiere un cuerpo de 35 kg de masa por la acción de una fuerza de 10 kp es: (1 kp = 9.8 N) a) 0.286 m/s² c) 28 m/s²
b) 0.36 m/s² d) 2.8 m/s²
16. A dos cuerpos se aplican fuerzas iguales y se observa que adquieren la misma aceleración. Los cuerpos tienen en común su: a) Peso específico c) Densidad
b) Volumen d) Masa
Física General
- 151 -
17. Una motocicleta cuya masa es de 450 kg alcanza una velocidad de 90 km/h al cabo de 5 s de haber arrancado. ¿Cuál es el valor de la fuerza que ejerce el motor de la motocicleta? a) 2250 lbf c) 2250 N
b) 2250 kp d) 2250 kg
Las preguntas 25 a 27 se refieren a la siguiente información; En la figura, la polea no tiene masa y no hay rozamiento. 25. La aceleración de las masas es:
18. ¿Qué diferencia existe entre peso y masa? a) La masa es la cantidad de materia de un objeto y el peso es una fuerza b) Que el peso se utiliza para medir masa c) La masa es lo grande que es un objeto y el peso es una fuerza d) No hay diferencia
b) Opuestos d) N. A.
26. La tensión de la cuerda es: a) 10.5 N
a) 10.5 m
20. Si la aceleración de un cuerpo se triplica, entonces: a) b) c) d)
Su velocidad se triplica Su abscisa se triplica Su desplazamiento se triplica La fuerza que actúa sobre él se triplica
c) 40 m/s
Una velocidad constante hacia arriba Una velocidad constante hacia abajo Una aceleración constante hacia arriba Una aceleración constante hacia abajo
b) g cos θ
c) g tan θ
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
c) 20 m
d) 24.5 m
29. Una persona pesa 80 kp sobre la Tierra (radio R). ¿A qué altura debe elevarse sobre la superficie terrestre para que su peso sea de 20 kp? b) R/2
c) R
d) 2R
30. Un objeto resbala sobre una superficie horizontal, a causa de un empujón que se le impartió con una velocidad inicial v0 en la dirección positiva de las X. Si el coeficiente de fricción cinética entre el objeto y la superficie es μk, la aceleración del objeto es: b) a = - μkmg d) a = - μkg
31. La tensión T en la cuerda que está atada a la masa m en la figura es T = mg/2. La aceleración de la masa m es:
d) g
24. Un bloque de masa 2 kg es empujado sobre una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0.2 por una fuerza horizontal de 10 N. La aceleración del bloque es: a) 1 m/s2
b) 20.5 m
a) a = - μkm c) a = -g/μk
23. Un pasajero en un tren nota que las cadenas de las lámparas del techo hacen un ángulo θ con la vertical. La aceleración del tren es: a) g sen θ
d) 30.5 N
d) 60 m/s
22. Un hombre está parado sobre una balanza de resorte en el piso de un ascensor. Cuando el ascensor está en reposo, la balanza marca 80 kp. Cuando el ascensor se mueve, la balanza marca 50 kp. El ascensor tiene: a) b) c) d)
c) 23.5 N
La suma de las masas La razón de las masas Al cuadrado de las masas Al producto de las masas
a) R/4 b) 20 m/s
b) 20.5 N
28. La fuerza de atracción gravitacional entre dos masa es proporcional a: a) b) c) d)
21. Se aplica una fuerza horizontal de 10 N a un cuerpo de masa de 2 kg con una velocidad inicial de 20 m/s, situado sobre un plano horizontal sin rozamiento. La velocidad del cuerpo después de 8 segundos será: a) 10 m/s
b) 2.96 m/s2 d) 4.96 m/s2
27. Si las masas parten del reposo, al cabo de 5 segundos cada una de las masas recorre una distancia de:
19. “Fuerza” y “peso” expresan conceptos: a) Iguales c) Todo lo anterior
a) 1.96m/s2 c) 3.96 m/s2
d) 4 m/s2
a) b) c) d)
g/2 g/2 3g/2 g
dirigida hacia arriba dirigida hacia abajo dirigida hacia arriba dirigida hacia abajo
- 152 -
Física General
32. Suponga que existe un planeta que tiene la mitad de la masa de la Tierra y la mitad de su radio. En la superficie de ese planeta, la aceleración de la gravedad es:
41. ¿Cuál es la masa de un cuerpo que por efecto de 10 N adquiere una velocidad de 5 m/s en 10 segundos desde el reposo? a) 25 kg
a) b) c) d)
El doble de la de la Tierra Igual que en la Tierra La mitad de la Tierra Un cuarto de la de la Tierra
d) 24 kg
c) 20 kg
d) 30 kg
42. En la figura mostrada, determinar la aceleración de cada bloque:
33. Si un cuerpo viaja con velocidad constante, entonces: a) b) c) d)
Sobré el no actúa ninguna fuerza Actúa una fuerza constante sobre él La fuerza resultante que actúa es nula Existe una fuerza variable que produce el movimiento
34. Se llama fuerza normal a la fuerza que: a) Se opone al peso del cuerpo b) Es ejercida entre dos superficies en movimiento relativo c) Es ejercida por la superficie sobre un cuerpo que está apoyado en ella d) Corresponde a la reacción del peso
a) 0.5 m/s2 c) 0.125 m/s2
b) 0.25 m/s2 d) 1 m/s2
43. ¿Por qué las fuerzas de acción y reacción no se anulan? a) b) c) d)
Tienen sentidos diferentes Tienen direcciones diferentes Tienen valores distintos Están aplicadas en cuerpos diferentes
Las preguntas 44 a 47 se refieren al siguiente esquema, un bloque A de masa 100 kg está unido a un peso w como muestra la figura:
35. La fuerza ejercida por una cuerda, sobre un cuerpo suspendido de ella, recibe él nombre de: a) Rozamiento c) Tensión
b) Normal d) Elástica
36. La unidad S. I. de fuerza es: a) dina
b) Joule
c) Newton
d) ergio
37. La masa como magnitud fundamental se mide en el sistema cgs: a) libra
b) kp
c) gramo
d) utm
38. Cuando se indica, F = m a, hablamos de: a) b) c) d)
La primera ley de Newton La segunda ley de Newton La tercera ley de Newton La ley de la conservación de la fuerza
39. Calcular la masa de un alumno que pesa 980 N a) 128 kg
b) 120 kg
c) 102 kg
d) 100 kg
40. Una fuerza de 10 poundal hace que una masa de 10 lb durante 4 segundos avance 400 pies ¿Con qué velocidad empezó el movimiento de la masa? a) 98 pies/seg c) 99 pies/seg
b) 100 pies/seg d) 97 pies/seg
44. Si no hay rozamiento y el bloque sube con velocidad constante, el peso w es: a) 50 kp
b) 60 kp
c) 75 kp
d) 80 kp
45. Si existe un coeficiente de rozamiento de 0.3 y el bloque sube con velocidad constante, el peso w es: a) 36 kp
b) 84 kp
c) 100 kp
d) 104 kp
46. Si no hay rozamiento y el bloque A baja con velocidad constante, el peso w es: a) 0 kp
b) 60 kp
c) 75 kp
d) 80 kp
47. Si existe un coeficiente de rozamiento de 0.3 y el bloque A baja con velocidad constante, el peso w es: a) 0 kp
b) 36 kp
c) 60 kp
d) 84 kp
Física General
- 153 -
48. Una masa “2m” está enganchada a otra masa “m” a través de una cuerda, como se muestra en la figura. Una fuerza P actúa sobre la masa m y acelera el sistema. La fuerza F en la cuerda que actúa sobre la masa “2m” vale:
a) 2/3 P
b) 0
c) 3/2 P
a) 0.1 N
b) 0.15 N
c) 0.4 N
d) 0.6 N
54. La figura muestra un cuerpo de 70 kg de masa, sobre una mesa horizontal, unido por una cuerda a un segundo cuerpo de 50 kg de masa. Sabiendo que la masa de la cuerda es despreciable, como todas las fuerzas de rozamiento, indique el valor de la aceleración del cuerpo de 50 kg de masa. (g =10 m/s2)
d) 2 P
49. Un hombre que se está pesando dentro de un ascensor observa que el peso que marca la báscula es mayor que su peso real. a) El ascensor se mueve velocidad decreciente. b) El ascensor se mueve velocidad decreciente. c) El ascensor se mueve velocidad creciente. d) El ascensor se mueve velocidad constante.
hacia arriba con hacia abajo con hacia arriba con hacia abajo con
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
51. Sobre un cuerpo de 5 kg de masa, inicialmente en reposo, actúa una fuerza resultante constante de 30 N ¿Cuál es la velocidad del cuerpo después de 5 s? a) 5 m/s
b) 6 m/s
c) 25 m/s
d) 30 m/s
b) 6 N
c) 3 N
d) 4 N
53. Dos carritos de 0.1 kg y 0.05 kg de masa, unidos entre sí, son carritos estirados horizontalmente por una fuerza de 0.6 N. Despreciándose los rozamientos, la fuerza sobre el carrito de mayor masa es:
b) 1100 N
c) 1080 N
d) 890 N
56. Un cuerpo de 4 kg de masa es abandonado en un plano inclinado con una inclinación de 30°. No habiendo rozamiento entre el cuerpo y el plano y considerando g = 10 m/s 2 y la resistencia del aire despreciable, determine la aceleración a la que el cuerpo queda sometido. a) 5 m/s2
b) 1 m/s2
c) 1.5 m/s2
d) 2.5 m/s2
57. Un bloque de 5 kg de masa es arrastrado a lo largo de un plano inclinado sin rozamiento, conforme indica la figura. Para que el bloque adquiera una aceleración de 3 m/s 2 hacia arriba, la intensidad de F debe ser:
52. Dos bloques, A y B, de 1 kg y 2 kg de masa, respectivamente, están apoyados sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre ellos actúa una fuerza horizontal de 6 N. La fuerza que el bloque B ejerce sobre el bloque A es:
a) 0
b) 5 m/s2 d) 4.5 m/s2
55. Un ascensor cuyo peso es de 1200 N baja con una aceleración constante de 1 m/s2. Admitiendo g = 10 m/s2, se puede afirmar que la tracción en la cuerda es de: a) 980 N
50. Un bloque de 5 kg que se desliza sobre un plano horizontal está sujeto a las fuerzas F= 15 N, horizontal y hacia la derecha, y f = 5 N, horizontal y hacia la izquierda. La aceleración del cuerpo es: a) 1 m/s2
a) 4.17 m/s2 c) 3.17 m/s2
F
m
Siendo: senθ = 0.8 cosθ = 0.6 g = 9.8 m/s2
a) b) c) d)
Igual al peso del bloque Menor que el peso del bloque Igual a la reacción del plano Igual a 54.2 N
58. Un bloque de masa “m” es estirado por una fuerza constante horizontal de 20 N sobre una superficie plana horizontal, adquiriendo una aceleración constante de 3 m/s2. Sabiendo que existe una fuerza de rozamiento entre la superficie y el bloque, que vale 8 N, calcule “m”.
- 154 -
Física General
a) 5 kg
b) 4 kg
c) 12 kg
d) 16 kg
64. Determinar la aceleración con que desciende el bloque por el plano inclinado; g = 10 m/s2
59. Dos bloques idénticos, ambos con masa m, están unidos por un hilo liviano y flexible. Adopte g = 10 m/s2. La polea es liviana y el coeficiente de rozamiento del bloque con la superficie 0.2. La aceleración es:
37º
a) 2 m/s2 a) 4 m/s2
b) 6 m/s2
c) 5 m/s2
d) 8 m/s2
60. Calcular la fuerza F si el bloque de 20 kg de una masa posee una aceleración de 5 m/s 2, la superficie es lisa.
80 N
a) 20 N
10 N
c) 180 N
d) 80 N
61. ¿Cuál es la aceleración del bloque de 5 kg de masa? Si: F = 20 N; g = 10 m/s2
c) 4 m/s2
d) 6 m/s2
65. Si el bloque mostrado avanza con aceleración a = 2 m/s2 (m = 10 kg). Hallar F2
F
b) 100 N
b) 3 m/s2
a) 5 N
b) 10 N
F2 m
c) 15 N
d) 30 N
66. Despreciando la fuerza de rozamiento, ¿cuál es la aceleración del sistema? (g = 10 m/s2) 4m
F
m
a) 2 m/s2
b) 6 m/s2
c) 8 m/s2
d) 9 m/s2 a) 2 m/s2
62. Hallar la tensión de la cuerda que une los bloques, si no existe rozamiento; m1 = 9 kg; m2 = 11 kg.
1
b) 34 N
F
c) 38 N
d) 40 N 37º
a) 10 N B
c) 5 m/s2
b) 8 N
c) 2 N
d) 16 N
68. Un automóvil tiene una masa de 1800 kg y su velocidad inicial es de 72 km/h. Cuando se frena se produce una desaceleración constante que hace que se detenga en 50 segundos. Indique la fuerza aplicada al automóvil
A
b) 4 m/s2
d) 8 m/s2
m = 1 kg
2
63. Hallar la aceleración de cada bloque: mA = 6 kg; mB = 4 kg; g = 10 m/s2
a) 2 m/s2
c) 6 m/s2
67. Calcular F, si el bloque sube a razón de “g” m/s 2 (g = 10 m/s2)
60 N
20 N
a) 32 N
b) 4 m/s2
d) 6 m/s2
a) –620 N c) –600 N
b) –700 N d) –720 N
Física General
- 155 -
Cap. 11 DINÁMICA II FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR CONTENIDO:
- 156 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Explicamos y demostramos el movimiento y sus causas a partir del estudio de las fuerzas aplicadas a un objeto cuya resultante produce aceleración y movimiento circular, utilizando las leyes de Newton en problemas y prácticas de laboratorio, promoviendo a la investigación en el campo científico. LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. En 1684 informó que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Redactó estos cálculos en el tratado De Motu y los desarrolló en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica. La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. La gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Intuyó que a partir de su tercera ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Se percató que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”.
Física General
- 157 -
Aceleración centrípeta.- La aceleración centrípeta es un vector orientado hacia el centro de curvatura. r
Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la rapidez lineal, e inversamente proporcional al radio de la curvatura.
Fuerza de reacción
Fuerza centrípeta
Trayectoria
En general habiendo más de una fuerza radial, se obtiene la resultante de todas las fuerzas radiales que actúan sobre un cuerpo de masa “m”. No debe olvidarse que “Fc” es la resultante de todas las fuerzas radiales:
v 2 R 2R R R 2
ac
Fuerza centrípeta.- Llamada Normal ( Fn ) o Radial.
FC = Fuerzas hacia el centro – fuerzas hacia afuera
también
Fuerza
Es la resultante de todas las fuerzas radiales que actúan sobre un cuerpo que posee movimiento circular.
Ejemplos de ésta fuerza centrípeta son: la atracción gravitacional, la fuerza electrostática o por una cuerda atada a un cuerpo obligado a girar, incluso en situaciones de fuerza de fricción. Para el caso de la partícula que esté sobre el disco que gira, la fuerza centrípeta es la fuerza de rozamiento.
Observando el diagrama de cuerpo libre, se plantea la segunda ley de Newton.
Diagrama de cuerpo libre de un objeto que está girando. La Fc en este caso, es la fuerza de rozamiento.
F m ac m
v2 R
¿Fuerza centrífuga?- Cuando conducimos un coche y tomamos una curva muy cerrada notamos que somos empujados hacia la parte externa de la curva, como si el coche tendiese a desplazarse hacia afuera.
m = Masa del cuerpo que gira v = Velocidad lineal R = Radio de la circunferencia
Una segunda ecuación para el módulo de la fuerza centrípeta se obtiene con la relación:
Fc m
( R) 2 v2 m R R
Fc m 2 R
Parece claro que se produce una fuerza, que recibe el nombre de fuerza centrífuga. Sin embargo no existe ninguna causa creadora de esta fuerza ya que en realidad no es más que la inercia, que tiende a hacer que el coche prosiga en línea recta sin tomar la curva. La fuerza centrífuga está muy presente en nuestras vidas. Por ejemplo, cuando el compartimiento del lavarropas gira a varios cientos de revoluciones por
- 158 -
Física General
minuto se seca la ropa en un proceso que llamamos precisamente centrifugación.
1. Satélite en rotación alrededor de un planeta:
No existe la fuerza centrífuga, simplemente la inercia hace que el agua tienda a seguir en línea recta y escapa por las perforaciones del tambor giratorio. De igual forma las centrifugadoras que funcionan en los laboratorios separan sólidos de distinta densidad girando con velocidades muy elevadas. Cómo resolver problemas de circular.- Seguir los siguientes pasos:
Ejemplo
D. C. L.
Ecuación
Fatracción m a c
movimiento
1. Hacer el diagrama de cuerpo libre poniendo todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Sobre el diagrama también se coloca además la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta (indicar para dónde apuntan).
2. Balde de agua que gira en un plano vertical. (en la parte superior)
Ejemplo
D. C. L.
Ecuación
2. De acuerdo al diagrama, plantear la 2da. ley de Newton para el movimiento circular. 3. Despejar lo que se pide y reemplazar valores y calcular. No olvidar: La fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, que se mueve con movimiento circular uniforme, se llama fuerza centrípeta y apunta siempre hacia el centro de la circunferencia. Ejemplo:
vt
Fc m ac
vt
R
ac
w
T
w T m ac
3. Piedra atada a una cuerda que gira en un plano horizontal.
Ejemplo
Esquema visto desde arriba
D. C. L.
Ecuación
Fc m ac T m ac
Cuando se hace girar una piedra en un plano horizontal, se siente que la piedra jala a la mano, y está dirigido hacia afuera. Esa es la fuerza que uno siente La fuerza que el hilo ejerce sobre su mano apunta hacia afuera. La fuerza que uno siente sobre la mano. ¡No es la fuerza que va en el diagrama de cuerpo libre! La fuerza que va en el diagrama de cuerpo libre es la que su mano ejerce sobre la piedra. Esa fuerza sí apunta para adentro, esta es la fuerza que se llama fuerza centrípeta.
Fuerza gravitacional.- Newton, llegó a la conclusión de que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas a realizar movimientos de rotación alrededor del Sol, afirmó que el Sol atraía a los planetas, basó sus estudios en los realizados por Kepler y Galileo. Esta afirmación se recoge en la llamada ley de la gravitación universal, cuyo enunciado es: “Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”
Física General
- 159 Para la tensión en la parte inferior:
Fc
r
T2 m g
G 6.67 10 11 F m M G
= = = =
T2 m 2 R m g
Mm r2
F G
N m2 kg 2
T2 67.94 N
Ejem. 11.1.- Una persona hace girar una piedra de 2.3 kg unida a una cuerda de 0.5 m de longitud, en un plano vertical, con un velocidad constante de 2π rad/s. ¿Cuál será la tensión en la cuerda cuando la piedra se encuentra en la parte superior de la trayectoria? ¿Cuándo se encuentra en la parte inferior? Datos: m = 2.3 kg ω = 2π rad/s r = 0.5 m T1 = ? ( En la parte superior) T2 = ? ( En la parte inferior)
v
Ejem. 11.2.- Sabiendo que la masa de la Luna es de 7.34x1022 kg y su radio medio de 1.73x10 6 m, calcula el peso que posee un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa 50 N. Datos: M = 7.34x1022 kg w = 50 N R = 1.73x106 m N m2 G 6.67 10 11 kg 2 w' = ? w = 50 N R = 1.73x106 m Solución: Si el cuerpo pesa 50 N en la Tierra, su masa será:
mg T1
m
T2
50 N w 5.1 kg g 9.8 m / s 2
Peso en la Luna:
v
w1 F G
mg Solución:
m R m g
T1
m ( 2 R g )
T1
2.3 kg (2 rad / s ) 2 (0.5 m) 9.8 m / s 2
T1
22.86 N
r2
6.67 10 11
7.34 10 22 kg 5.1 kg
1.73 10 m 6
2
Los objetos en la Luna pesan aproximadamente 1/6 de lo que pesan en la Tierra.
v2 Fc m R T1 m g m 2 R T1
Mm
w1 8.34 N
En la parte superior, se tiene:
2
m ( 2 R g )
rad 2 m T2 23 kg 4 2 2 0.5m 9.8 2 s s
Fuerza (N) Masa del segundo cuerpo (kg) Masa del primer cuerpo (kg) Constante gravitacional
m
v2 R m2 R
m
Ejem. 11.3.- Se hace girar un objeto atado a una cuerda en un plano vertical. Cuando se encuentra en el punto “A” tiene una velocidad de 15 m/s, en “B” tiene una velocidad de 20 m/s y en “C”, 25 m/s. Calcular la tensión de la cuerda en A, B y C, sabiendo que la masa del objeto es 5 kg y el radio de giro es 3 m.
- 160 -
Física General
Datos: vA = 15 m/s vB = 20 m/s vC = 25 m/s m = 5 kg r = 3m
Incógnitas: TA = ? TB = ? TC = ?
D. C. L. A
w
TA
TB
B
R
w
TC
TC m
v2 v2 m g m g R R
625 m 2 / s 2 TC 5 kg 9.8m / s 2 1090.65 N 3 m
Ejem. 11.4.- Una esfera de masa 1.5 kg, se encuentra sujeta a una cuerda de longitud igual a 2 m, se hace girar en un círculo horizontal a rapidez constante, sabiendo que la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical, calcular la rapidez de la esfera. Datos: m = 1.5 kg l =2m θ = 30º v =? D. C. L.
C
w
l
Fc
m
TA m g TA
TA TA
v2 R
m
R
v2 R
v2 m g R 2 15 m / s 5 kg 9.8 m / s 2 3 m 326 N
En el punto B:
m
La segunda ley de Newton en el eje X:
Fx Tx
m ac
m
T sen30º
v2 R
m
m
v2 l sen30º
v2 l sen30º
(1)
En el eje Y existe equilibrio:
v2 R
TB
v2 m R
TB
5 kg
TB
666.67 N
Fy 0 Ty m g 0 T cos 30º m g
20 m / s 2
(2)
Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones:
3m
T sen30º
m
v2 l sen30º
T cos 30º m g
En el punto C:
v2 FC m R
m
Tx
v2 m mg R
Fc
Ty
T
En el punto A:
v2 TC m g m R
tag 30º
v2 g l sen30º
Física General
- 161 -
v
g l sen30º tg 30º
b) Curva con peralte: Consideremos ahora el caso de que la curva tiene un peralte de ángulo θ.
v
9.8 m / s 2 msen30º tg 30º 2.38 ms
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las mismas que en el caso de la curva sin peralte, pero con distinta orientación salvo el peso.
2
Movimiento de un vehículo en una curva.- Ahora vamos a describir la dinámica del movimiento circular de un vehículo que describe una curva sin peralte. Peralte: Es el ángulo formado por la plataforma de una curva con la horizontal a) Curva sin peralte: Un automóvil describe una trayectoria circular de radio R con velocidad constante v. Las fuerzas que actúan sobre el móvil son:
v
N
an
fs
R
En el eje vertical no hay aceleración, se tiene una situación de equilibrio: mg
N cos f s sen m g
Existe equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso:
No existe equilibrio en el sentido radial. Aplicando la segunda ley de Newton:
v2 Fn m R
N
La rapidez máxima v que puede alcanzar:
s N m
v2 R
fs m
v2 R
s m g m
v s g R
Fn m
v2 R
N sen f s cos m
N sen s N cos m
A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de rozamiento fs hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento estático por la reacción del plano:
Fn m a n
(1)
En el eje horizontal, aplicamos la segunda ley de Newton para el movimiento circular uniforme:
N mg
Fn m a n
N cos s N sen m g
v2 R
v2 R
v2 R
(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) para v:
sen s cos v g R cos sen s El ángulo ideal del peralte para una curva de radio (R), y una velocidad (v) es:
tan
v2 gR
La fuerza de rozamiento se toma como coeficiente de seguridad para que el automóvil pueda dar la curva con suavidad y seguridad.
- 162 -
Física General LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus. En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de dinámica Seleccione las siguientes actividades que se encuentra y compruebe los conocimientos teóricos adquiridos. DINÁMICA DEL COLUMPIO
FUERZAS EN EL GIRO DE UN COCHE
FUERZAS EN EL GIRO DE LOS SATÉLITES
-
LANZAMIENTO DE MARTILLO
Ingresa a Phet. En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de dinámica Seleccione la siguiente actividad, descargue o trabaje en lìnea.
FUERZA DE GRAVEDAD
Física General
- 163 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una masa de 0.30 kg está fija a una cuerda de 20.0 cm de longitud cuyo extremo adicional está fijo a su vez al centro de una mesa horizontal en la que no hay fricción. Si la tensión de la cuerda es de 3.00 N. ¿Cuál es la velocidad angular de la mesa y la cuerda? Resp: 7.07 rad/s
2. Una masa de 20 kg describe una trayectoria circular de radio 2 m, con una rapidez constante de 15 m/s. Calcular la fuerza que la mantiene esa trayectoria. Resp: 2250 N
3. Un automóvil de masa 900 kg, va a describir una curva sin inclinación cuyo radio es 30 m. si el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y la calle vale 0.5. Calcular el valor de su velocidad máxima para que pueda dar el giro sin volcarse. Resp: 12 m/s
4. Una curva en una carretera está peraltada a un ángulo de 15º. El radio de la curva es 100 m. ¿A qué velocidad debe viajar un automóvil para que la fuerza entre llantas y pavimento sea exactamente perpendicular al pavimento? Resp: 16.2 m/s
5. Una masa de 0.60 kg está girando en un plano vertical en el extremo de una cuerda de 1.00 m de longitud. ¿Cuál debe ser la velocidad de la masa en la cúspide del círculo para que la tensión de la cuerda sea entonces 2.50 N? Si la única fuerza que actúa en el sistema es la gravedad, ¿cuál es la tensión en la cuerda cuando hace un ángulo de 180º con la dirección anteriormente mencionada? Resp: 3.74 m/s; 14.26 N
6. ¿Cuál es el ángulo ideal de aperaltamiento para una curva de 250 m de radio, para que los vehículos circulen a 80 km/h? Resp: 11.4º
7. Una curva cuyo radio es de 300 m está aperaltada en un ángulo de 15º. ¿Cuál es la velocidad óptima para tomar esta curva? Resp: 101 km/h
b) En el punto más alto de la trayectoria. c) En el punto medio de la trayectoria. Resp: a) 2162 N, b) 2102 N, c) 2132 N
9. Un cuerpo de 500 g atado a una cuerda de 0.5 metros de longitud da vueltas con velocidad constante en un plano horizontal. El sistema forma un péndulo cónico de ángulo constante de 60º con la vertical. Calcula: a) La tensión de la cuerda. b) La velocidad lineal del cuerpo. c) El ángulo que forman el vector velocidad y el vector aceleración. Resp: a) 9.8 N ; b) 2.71 m/s ; c) 90º
10.- Una partícula atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira como un péndulo cónico. Calcular La velocidad angular de rotación de la masa puntual para que el ángulo que forma la cuerda con la vertical sea de 60º Resp: 6.26 rad/s
11. Un coche entra en una curva de radio 20 m a 10 m/s y pretende mantener la rapidez constante. Calcula cuál debe ser el coeficiente de rozamiento para que el coche no derrape y se salga de la carretera. Resp: 0.5
12. Una piedra de 0.2 kg, sujeta a una cuerda describe un círculo de 75 cm de radio en un plano vertical. La tensión de la cuerda en el punto más alto es 9 N. a) Calcula la fuerza centrípeta y la velocidad de la piedra en el punto más alto. b) Averigua si se romperá la cuerda sabiendo que la velocidad en el punto más bajo es de 10 m/s y que la tensión máxima que puede soportar es de 30 N. Resp: a) 10.96 N; 6.4 m/s ; b) No se rompe: T = 28.63 N
13. Un pequeño bloque de 1 kg de masa está atado a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m. describiendo una circunferencia vertical. Calcular la tensión de la cuerda cuando el bloque se encuentra: a) En el punto más alto de su trayectoria. b) En el más bajo de su trayectoria. Resp: a) 13.9 N; b) 33.5 N
8. Un cuerpo de 3 kg está atado al extremo de una cuerda de 2 m de longitud y gira en un plano vertical, haciendo 90 vueltas en medio minuto, siempre con la misma velocidad. Calcula la tensión que soporta la cuerda: a) En el punto más bajo de la trayectoria.
- 164 -
Física General EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
¿Qué fuerza es responsable de que la Luna gire alrededor de la Tierra? a) b) c) d)
7.
La gravitatoria entre la Luna y el Sol No es necesaria ninguna fuerza El peso de la Luna La gravitatoria entre la Luna y la Tierra
a) Fuerza de rozamiento b) Fuerza centrípeta c) Fuerza centrífuga d) Fuerzas circular 8.
2.
¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre un móvil de 800 kg al dar una curva de 50 m de radio con una velocidad de 20 m/s? a) 64000 N c) 8 000 N
3.
4.
b) 5600 N d) 6400 N
b) 15 m/s
c) 20 m/s
d) 25 m/s
Una masa viaja en una trayectoria circular a rapidez tangencial constante. Por lo que:
Una masa m ejecuta un movimiento circular uniforme. El vector velocidad angular se dirige hacia arriba (hacia afuera del papel). La dirección de la velocidad tangencial y aceleración respectivamente se muestra en la figura. v
a
a
A a) A
6.
a
v
v
B
C
b) B
c) C
D d) D
Un niño de 25 kg sentado en un carrusel a 9 m del eje de giro, se está moviendo con velocidad tangencial de módulo 3 m/s. ¿Cuál es el módulo de la fuerza radial actuante sobre el niño? a) 50 N
b) 25 N
c) 30 N
d) 35 N
9.
b) 24 N
c) 10 N
d) 8 N
Un automóvil de 1000 kg de masa recorre, con una rapidez de 20 m/s, un trecho circular de 80 m de radio, en una carretera plana horizontal. El mínimo coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y la pista, para que las ruedas no patinen, debe ser: a) 1.0
b) 0.8
c) 0.5
d) 0.2
10. Un móvil recorre una circunferencia con el módulo de su velocidad constante; ¿es cierto que sobre el móvil?
a) La aceleración de la masa es cero b) La aceleración se dirige hacia afuera del centro de la trayectoria circular c) La aceleración se dirige hacia el centro de la trayectoria circular d) La velocidad de la masa es constante 5.
Un cuerpo de 2 kg de masa en movimiento circular uniforme y de 3 m de radio, lleva π segundos para describir una vuelta completa en la circunferencia. La fuerza centrípeta que actúa en el cuerpo es: a) 12 N
¿Qué velocidad mínima requiere, en la parte superior de su trayectoria, una partícula que efectúa un movimiento circular en un plano vertical de radio igual a 40 m? (g = 10 m/s2) a) 10 m/s
¿Qué nombre recibe la fuerza que es preciso aplicar a un cuerpo para que siga una trayectoria circular?
a) No actúan fuerzas b) No existe aceleración c) Actúa una fuerza que es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad d) Existe una aceleración directamente proporcional al radio de la trayectoria 11. Sabiendo que la máxima aceleración que aguanta el organismo humano en condiciones normales es de “9g”, la máxima velocidad con la que puede salir de un rizo de 1000 m de radio, un piloto de acrobacia aérea, será aproximadamente en m/s: (Tomar g = 10 m/s 2) a) 100
b) 212
c) 300
d) 400
Física General
Cap. 12 TRABAJO Y POTENCIA EN PROCESOS TECNOLÓGICOS CONTENIDO:
- 165 -
- 166 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECIFICO: Valoramos las variables del movimiento ejercido por las fuerzas mecánicas, estudiando, analizando y discutiendo las características y propiedades del trabajo mecánico y la potencia para el desarrollo y generación de elementos en todos los campos pertinentes de la producción, en beneficio de la salud, la economía y la cultura de nuestro país.
TRABAJO Y POTENCIA MECÁNICA Los cambios en el movimiento de los objetos están relacionados con la fuerzas y con el tiempo durante el cual se ejercen. Pero también es importante considerar la fuerza con la distancia y es cuando se habla de una cantidad denominada trabajo. Este término tiene un significado en Física muy diferente a su significado cotidiano. Posteriormente se plantea la relación energía-trabajo. También se define el concepto de potencia que relaciona el trabajo y el tiempo. Finalmente se concluye con los aspectos más importantes de la energía mecánica en particular porque representa la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema y que se mantiene constante en todos los puntos de una trayectoria. No siempre que se aplica una fuerza sobre un cuerpo, se realiza trabajo mecánico, pues para lograr un cambio en la energía del objeto es necesario que el objeto se desplace en la dirección en que se aplica la fuerza. Por ejemplo, si se empuja una pared y ésta no se desplaza, no se ha hecho trabajo mecánico y no se modifica su energía por más que la persona que empuja se esfuerce. El trabajo mecánico también aparece al estirar o comprimir un resorte, ya que para hacerlo es necesario aplicar una fuerza opuesta a la que ejerce el cuerpo elástico y lograr la deformación de la liga o resorte. Por ejemplo, una persona estira la cuerda de un arco para lanzar una flecha haciendo trabajo para deformarla. El trabajo mecánico consiste en deformar la cuerda, y como consecuencia ésta aumenta la energía potencial del receptor, que en este caso es la persona que desea lanzar la flecha. Cuando se utilizan ligas y resortes, su deformación es la medida del trabajo mecánico que se ha realizado.
Física General
- 167 -
Concepto de trabajo.- Haciendo un resumen de nuestros conocimientos de física, nos damos cuenta que se requiere una fuerza para:
b) Si la fuerza es perpendicular al movimiento (θ = 90º) Ejem. La fuerza normal
-
Cambiar la velocidad de un objeto. Para vencer el rozamiento. Para comprimir o estirar un resorte. Para moverse en contra de la gravedad.
movimiento
En todos los casos se debe realizar un trabajo. El trabajo mecánico es la capacidad que tienen las fuerzas para producir movimiento venciendo una resistencia, sea otra fuerza o la inercia de un cuerpo. Trabajo realizado por una fuerza constante (W).El trabajo comprende fuerza y desplazamiento: El trabajo (W) realizado por una fuerza constante (F) al mover un objeto es igual al producto de las magnitudes del desplazamiento (x) y la componente de la fuerza paralela al desplazamiento.
cos 90º = 0
W F x cos 90º W 0 (Trabajo nulo) c) Si la fuerza se encuentra en sentido contrario al movimiento (θ = 180º) Ejem. Fuerza de rozamiento
FY
movimiento FX
cos180 º = –1 El trabajo es una magnitud escalar y resulta del producto escalar de los vectores fuerza y desplazamiento.
W F x cos180º W F x (Trabajo negativo)
W
Fx
F x cos
Casos particulares.- El trabajo es una magnitud escalar, y su valor puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo del ángulo formado entre la fuerza y el desplazamiento efectuado.
Trabajo necesario para elevar un objeto.- Para elevar un objeto hasta una altura (h), se debe aplicar una fuerza dirigida hacia arriba cuyo valor mínimo debe ser igual al peso (w) del objeto que se va a trasladar.
a) Si la fuerza se encuentra en sentido del movimiento (θ = 0º)
h
cos 0º = 1
W F x cos 0º W F x (Trabajo positivo)
movimiento
movimiento
- 168 -
Física General
El desplazamiento del objeto, se llama en este caso altura (h); el ángulo entre F y h es de 0º, con lo cual se tiene:
W
F x cos
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, es cero:
WABA
wh cos 0º
W wh m g h El trabajo necesario para elevar un objeto, es igual al producto del peso del objeto por la altura. Trabajo neto.- Llamado también trabajo total, es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas de manera independiente.
b) Trabajo realizado por una fuerza no conservativa (fuerza disipativa).- La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa, cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo porque la fuerza es de signo contrario al desplazamiento. movimiento
n
Wneto WFR
0
Wi
A
B
i 1
x Fuerzas conservativas.- El trabajo realizado por estas fuerzas no depende de la trayectoria seguida, sino solamente de la posición inicial y posición final. Ejemplos de estas fuerzas son las gravitatorias, eléctricas y elásticas.
movimiento
A
fuerzas
B
Fuerzas no conservativas.- El trabajo realizado por estas fuerzas depende de la trayectoria seguida.
x
WAB f k x cos180º f k x
Ejemplos de estas fuerzas son las fuerzas de rozamiento.
WBA f k x cos180º f k x a) Trabajo realizado por una fuerza conservativa.El peso es una fuerza conservativa, calculemos el trabajo total. B
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, es distinto de cero:
B
WABA
2 fk x
Unidades de trabajo.- En el sistema internacional se llama Joule (Julio) y se obtiene a partir de la fuerza que está dada en Newtons (N), y el desplazamiento en metros (m). A
A
Trabajo realizado de A a B (Ascenso):
WAB m g x cos180º m g x Trabajo realizado de B a A (Descenso):
WBA m g x cos 0º m g x
S. c. g. s.
S. I.
ergio ( erg )
Julio (J)
= dyn*cm
= N*m
Sistema Técnico
Inglés Inglés Técnico absoluto
kilopondímetro libra-pie poundal( kpm ) ( lbf. ft ) pie ( pdl.ft ) = = = kp*m lbf *ft pdl*ft
Física General
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El Joule es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N al producir un desplazamiento de 1 m en la dirección de la fuerza. 1 J = 107 erg. 1 J = 0.102 kpm 1 kpm = 9.8 J
1 lbf.ft = 32.2 pdl.ft 1 lbf.ft = 1.36 J 1 kpm = 9.8x107 erg
Potencia (P).- Una tarea determinada puede requerir de una cierta cantidad de trabajo, pero que puede realizarse en diferentes intervalos de tiempo o a velocidades diferentes. Por ejemplo, suponga que usted tiene que cortar un prado, pero puede hacerlo en media hora, o puede dedicarle una o dos horas. No sólo es importante la cantidad de trabajo realizado, sino también con qué rapidez se realiza. La potencia es una magnitud de tipo escalar que nos indica la rapidez con que una máquina o un sistema de fuerzas realizan un trabajo. La potencia media es el trabajo realizado dividido entre el tiempo que toma hacerlo, o sea, el trabajo por unidad de tiempo:
P
El Watt es una unidad muy pequeña, por eso, a veces se utilizan otras unidades mayores: kilowatt ( kW )
1 kW = 1000 Watt
Caballo fuerza ( HP)
1 HP = 746 Watt 1 HP = 550 lbf.ft/s
Caballo vapor ( CV )
1 CV = 735.5 Watt 1 CV = 75 kpm/s
El kilowatt-hora.- Es una unidad de trabajo y energía, corresponde a la potencia que desarrolla una máquina de 1 kW durante 1 hora: 1 kW-h = (1 kW)(1 h) = (1000 W)(3600 s) 1 kW-h = 3.6x106 J
Eficiencia o rendimiento (η).- La eficiencia mecánica es en esencia una medida de lo que se obtiene a partir de lo que se invierte, esto es, el trabajo útil generado por la energía suministrada. La eficiencia ( η ) está dada por:
W t
Si la fuerza es constante:
P
W Fx Fv t t
P Fv
Donde se considera que F está en la dirección del desplazamiento. Aquí v es la velocidad media o la velocidad constante. Unidades de potencia.- A partir de la fórmula principal, se obtienen las unidades. S. c. g. s.
S. I.
Sistema Técnico
erg/s
( Watt)
kpm/s
Inglés Inglés Técnico absoluto lbf.ft/s
Wsalida *100% Wentrada
Ejem. 12.1.- Sobre un móvil se aplica una fuerza de 5 N durante un tiempo en el cual el móvil se desplaza 6 m. Calcula el trabajo efectuado por esa fuerza, si el ángulo entre ambos vectores es de 60º. Soluciòn:
pdl.ft/s W = 5 N× 6 m× cos 60º = 30 J (0.5) = 15 J
W = J/s
1 Watt es la potencia que se desarrolla al realizar un trabajo de 1 joule en cada segundo 1 Watt = 107 erg /s 1 lbf.ft /s = 32.2 pdl.ft /s
PU . . *100% P.E
1 kpm/s = 9.8 Watt 1 lbf.ft /s = 1.36 Watt
Ejem. 12.2.- Una caja de libros que pesa 8.25 kp se levanta del piso hasta una mesa de 0.85 m de altura. ¿Cuánto trabajo se hace al levantar la caja? Datos: w = 8.25 kp W = ? h = 0.85 m
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Física General
Solución: Para elevar un objeto se debe aplicar una fuerza hacia arriba que debe ser igual al peso del mismo: W = F x = w h = 8.25 kp * 0.85 m = 7.01 kpm
Ejem. 12.3.- Una grúa tira de un automóvil a velocidad constante usando un cable de acero. Al jalar el auto a una distancia de 1.4 km, la grúa efectúa un trabajo de 1.12x106 J. ¿Cuál es la tensión en el cable? Datos: x = 1.4 km = 1400 m W = 1.12x106 J T = ?
Ejem. 12.6.- Una persona arrastra un cuerpo sobre una superficie horizontal, haciendo una fuerza F = 10 N, inclinada 30º respecto a la horizontal. La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie vale 2.5 N y el cuerpo se desplaza 4 m. ¿Cuánto vale el trabajo realizado? Datos: F = 10 N α = 30º fk = 2.5 N x =4m W=?
Solución: En este caso se pide calcular la fuerza aplicada al automóvil, que es la tensión del cable.
W T x
T
W 1.12 106 J 800 N x 1400 m
Trabajo realizado por la persona: Wp = F x cos 30º = (10 N)( 4 m ) (0.866) = 34.64 J
Ejem. 12.4.- Un albañil empuja a lo largo de 20 m, sobre una superficie horizontal, una carretilla de 51 kg empleando una fuerza de 39.2 N. Calcular el trabajo que realiza el albañil. Datos: x = 20 m m = 51 kg F = 39.2 N W = ?
Trabajo realizado por el peso del cuerpo:
Solución: El peso de la carretilla no realiza trabajo porque es una fuerza perpendicular al desplazamiento (90º); en cambio la fuerza aplicada por el albañil forma 0º con el desplazamiento
Idem:
W = F.x.cos θ = (39.2 N)(20 m)(cos 0º) = 784 J
Ww = w x cos 90º = 0 Porque: ( cos 90º = 0 ) Trabajo realizado por la fuerza normal: WN = N x cos 90º = 0 ( cos 90º = 0 )
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento: Wf = fk x cos 180º = (2.5 N)( 4 m )(–1 ) = –10 J Trabajo resultante de todas las fuerzas:
Ejem. 12.5.- Una persona estira una caja con una fuerza constante de 90 N con un ángulo de 40º con la horizontal, ¿cuánto trabajo realizará al estirar una distancia horizontal de 7.50 m? Datos: F = 90 N θ = 40º x = 7.50 m W = ?
Wtotal = Wp + Ww + WN + Wf
W = F x cos θ = (90 N)(7.50 m)(cos 40º)
Solución:
W = 517.08 J
W = wh = mgh
Wtotal =
34.64 J + 0 + 0 – 10
= 24.64 J
Ejem. 12.7.- Una grúa levanta una carga de 500 kg hasta una distancia vertical de 20 m. Si la rapidez de la carga es constante, ¿cuánto trabajo se hace al levantarla? Datos: m = 500 kg h = 20 m W = ?
W = (500 kg)(9.8 m/s2)(20 m) = 98000 J
Física General
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Ejem. 12.8.- Un motor tiene una salida de potencia neta de 0.5 HP a) ¿Cuánto trabajo en Joules puede hacer en 3 minutos? b) ¿Cuánto tiempo le toma a cada motor hacer 56000 julios de trabajo? Datos: P = 0.5 HP x 746Watt = 373 Watt 1HP
t = 3 min = 180 s W = 56000 J a) W = ? b) t = ?
Solución: El trabajo realizado es:
W F x cos 500 kp1000 mcos 0º
Solución: a)
Ejem. 12.10.- Una locomotora de un tren de viajeros ejerce una de fuerza de 500 kp sobre el tren, mientras lo arrastra sobre una vía horizontal a la velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto trabajo realiza la locomotora en un recorrido de 1 km? ¿Cuál es la potencia desarrollada por la locomotora? Datos: F = 500 kp v = 40 km/h = 11.11 m/s x = 1 km = 1000 m P =?
W 5 10 5 kpm P = W/t
W = P.t La potencia desarrollada:
W = (373 Watt)(180 s) = 67140 J b)
P = W/t
t = W/P
P F v 500 kp11.11 m / s 5555
t = (56 000 J) / (373 Watt) = 150 s
P 5555 Ejem. 12.9.- Una máquina con una eficiencia del 40 % tiene un ingreso de potencia de 600 Watt. ¿Cuánto trabajo puede hacer la máquina en 30 s? Datos: η = 40 % = 0.40 P. E. = 600 Watt t = 30 s Wque sale (trabajo generado) = ? Solución: Dada la eficiencia y el ingreso de potencia, es fácil encontrar la potencia (P.U.):
P.U .
Wsalida t
(1)
P.U . P : U : P.E. (2) P.E.
Reemplazando la ec. (1) en ec. (2):
Wsalida P.E. Wsalida P.E t t
Wsalida P.E t 0.40 600W 30 s 7200 J
kpm s
kpm 1 CV 741 CV kpm s 75 s
Ejem. 12.11.- Una cortadora de césped de autopropulsión, libera una potencia de 3.5 HP cuando se mueve a una velocidad constante de 1.5 pies/s. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza propulsora? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento? ¿Cuánto trabajo se realiza cada minuto? Datos: P = 3.5 HP v = 1.5 ft/s x = 1 km = 1000 m a) F = ? b) fk = ? c) W = ? Solución: a) La potencia se transforma a unidades del sistema inglés:
P 3.5 HP *
550lbf ft / s 1 HP
1925lb f ft / s
Partiendo de la potencia:
P Fv
F
F 1283 lb f
P 1925 lb f ft / s v 1.5 ft / s
- 172 -
Física General
b) El conjunto se encuentra en equilibrio; lo que significa que la fuerza de rozamiento tiene igual magnitud pero de sentido contrario a la fuerza propulsora: fk = –1283.3 lbf c) El trabajo es:
P
W t
W P t 1925
lb f ft s
60 s
P 115500 lb f ft
Ejem. 12.13.- Un bloque cuya masa es de 5 kg es empujado por una fuerza horizontal de 50 N, como se muestra en la figura. Hallar el trabajo total realizado, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0.2 y la distancia recorrida es de 3.5 m Datos: F = 50 N m = 5 kg μk = 0.2 x = 3.5 m Wtotal = ?
Ejem. 12.12.- Un ascensor de 1500 kg acelera hacia arriba con un valor constante de 0.5 m/s2. ¿Cuánta potencia se desarrolla durante el tiempo en que la rapidez del elevador va de 0.25 m/s a 0.75 m/s? Datos: m = 1500 kg a = 0.5 m/s2 v0 = 0.25 m/s v = 0.75 m/s P = ? Solución: Para determinar la potencia del elevador, se necesita conocer la fuerza aplicada hacia arriba, que en éste caso no es el peso, puesto que existe aceleración; entonces se aplica la segunda ley de Newton:
Trabajo de F:
WF F x cos 35º 50 N 3.5 m cos 35º 143.35 J Trabajo de N: ΣF = m a
WN N x cos 90º N x (0) 0
F– w = ma
Trabajo de fk:
F– mg = ma
W fk f k x cos 180º k N x (1)
F = m g + m a = m (g + a) 2
W fk k m g cos 35º x (1) 2
F = 1500 kg (9.8 m/s + 0.5 m/s )
F = 15450 N
W fk 0.2 5 kg 9.8 m / s 2 cos 35º 3.5 m 28.10 J
La velocidad media es:
Trabajo del peso w:
v
vo v 2
0.25m / s 0.75m / s 2
0.5 m / s
La potencia es: P F v (15450N )(0.5 m / s) 7725W atts
Ww w x cos(35º 90º ) m g x cos(125º )
Ww 5 kg 9.8 m / s 2 3.5 m cos125º 98.37 J El trabajo total es: WTOTAL Wi 16.888 J
Física General
- 173 LABORATORIO VIRTUAL TRABAJO MECÁNICO
1. Objetivo general: -
Aplicar los conceptos de trabajo y potencia.
2. Objetivos específicos: -
Observar la variación del trabajo de rozamiento en función del desplazamiento de un objeto considerado como partícula. Observar la variación del trabajo de una fuerza externa aplicada a un objeto en función al desplazamiento. Calcular la potencia que desarrolla la cuerda al mover la masa.
3. Fundamento teórico: Trabajo: El trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el objeto se desplaza en la dirección de la fuerza. Potencia: La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos, la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo. En cuanto a fórmulas, el trabajo y la potencia se pueden obtener de tres maneras: W = F x cos θ
P = W/t
P=Fv
Veamos los diagramas de fuerza: N T fk
M
T m
Mg
Tensión T entre los bloques M y m: mg T ma T f k Ma
Velocidad media: v
mg T ma T k Mg Ma
T
g m M (1 k ) mM
x t
Trabajo de rozamiento: W fk f k x cos 180º f k x Trabajo de la tensión: WT T x cos 0º T x 4. Material: -
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet. Construir una simulación para el trabajo realizado por una fuerza externa. Cronómetro
- 174 -
Física General
5. Procedimiento:
1. Haga doble click con el botón izquierdo encima del bloque M, del cuadro que despliega anote las características del mismo: Masa, coeficientes de rozamiento estático y cinético. 2. Mida la masa del bloque (m) haciendo doble click izquierdo, y haga correr el programa, intente hasta que el bloque (M) empiece a moverse por la superficie de la mesa. 3. Marque en la mesa las distancias que se indican en la gráfica del experimento y haga resbalar al bloque por la mesa mediante la pesa. 4. Anote los datos en la tabla el tiempo que tarda la masa en recorrer las distancias indicadas y calcule la tensión y la fuerza de rozamiento. 5. Se sugiere usar los siguientes valores: M = 7 kg m = 2.5 kg x = 7 m; 9 m; 11 m; 13 m; 15 m 6. Completar la tabla Tabla x (m)
Tabulación de resultados t (s)
v
fk
(m/s)
(N)
T (N)
W fk
WT
(J)
(J)
P (W)
7 9 11 13 15 6. Discusión y análisis de resultados: (El estudiante deberá anotar todos los realizados, ecuaciones, etc.) 1. ¿Qué tipo de magnitud es la potencia? 2. ¿Qué tipo de magnitud es el trabajo? 3. Si dos autos “a” y “b” recorren una distancia de 500 m, el primero en 38 s y el segundo en 45 s ¿Cuál desarrolla mayor potencia? 4. Si la fuerza de rozamiento desaparece ¿Qué pasa con la potencia? 5. Si la aceleración fuese nula ¿cómo serían los valores de la velocidad media? 7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones
Física General
- 175 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 5 kg hasta una altura de 2 m en 3 s. Expresar el resultado en Joule y en erg. Resp: 98 J = 9.8x108 erg
2. Hallar la potencia media empleada en elevar una masa de 50 kg a una altura de 20 m en 1 min. Expresar el resultado en watt. Resp: 163.33 W
3. Hallar la potencia media empleada en elevar una masa de 2500 kg a una altura de 100 m en 25 s.
Resp: 37240 J
11. Un depósito cilíndrico de 1 m de diámetro y 2 m de altura está totalmente lleno de agua. Hallar el trabajo necesario para bombear el agua hasta una altura de 4 m con respecto a la parte superior del depósito. Resp: 76930 J
12. Hallar la potencia media necesaria para elevar un bidón de 1500 kg a una altura de 15 m en un minuto. Resp: 3 675 W
Resp: 98 000 W
4. Hallar el peso que puede arrastrar un vehículo de 6 CV de potencia sobre un terreno horizontal a la velocidad de 25 km/h sabiendo que el coeficiente de roce entre el peso y el terreno es igual a 0.2. Resp: 3179.5 N
5. Un motor con un rendimiento del 90% está instalado en una grúa de rendimiento igual al 40%. Sabiendo que la potencia suministrada al motor es de 5 kW, calcular la velocidad con la que subirá la grúa una masa de 450 kg. Resp: 0.408 m/s
6. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m paralela a la fuerza. Resp: 36 J
7. Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 4 kg a una altura de 1.5 m. Resp: 58.8 J
8. Una losa de mármol de 2 m de longitud y 250 kg de masa está apoyada sobre una superficie horizontal. Calcular el trabajo que hay que realizar para ponerla en posición vertical. Resp: 2450 J
9. Hallar el trabajo útil realizado por una máquina que eleva 1 metro cúbico de alquitrán hasta una altura de 15 m en 23 s. La densidad del alquitrán es de 1065 kg/m3. Resp: 156 555 J
10. Una bomba descarga 380 litros de agua por minuto sobre un depósito situado a una altura sobre ella de 10 m. Calcular el trabajo útil realizado por la bomba en 1 hora. Densidad del agua, 1000 kg/m3.
13. Hallar la potencia media necesaria para elevar, por medio de un sistema de poleas cuyo rendimiento es del 75%, una masa de 300 kg a una altura de 6 m en 30 s. Expresar el resultado en caballos de vapor. Resp: 1.06 CV
14. Una carreta, que transporta a un hombre de 80 kg, es arrastrada sobre un camino horizontal por una mula que ejerce una fuerza de 245 N. Suponiendo que la velocidad de la carreta es de 3 m/s, calcular: a) La potencia realizada por el peso del hombre b) La potencia realizada por la fuerza de arrastre de la mula. Resp: a) 0 W ; b) 735 W
15. Sabiendo que la potencia del motor de un automóvil que marcha sobre una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h es de 40 CV, calcular la fuerza de resistencia total ejercida por el aire y el rozamiento. Resp: 2118.1 N
16. Calcular el peso de un automóvil de 40 CV de potencia que marcha por una carretera horizontal a una velocidad de 50 km/h, sabiendo que el coeficiente de roce entre el vehículo y la carretera es igual a 0.15. Resp: 14131 N
17. Una grúa levanta una carga de 500 kg hasta una distancia vertical de 20.0 m. Si la rapidez de la carga es constante, ¿Cuánto trabajo se hace al levantarla? Resp: 9.8x104 J
18. Para empujar una segadora sobre un prado plano, una persona aplica una fuerza constante de 250 N con un ángulo de 30º con la horizontal.
- 176 ¿Qué tan lejos empuja la persona la segadora al hacer 1.44x103 J de trabajo? Resp: 6.65 m
19. Un mecanismo consume 40 HP, para impulsar un automóvil a lo largo de una pista nivelada a 15 m/seg. De que magnitud es la fuerza total de frenado que actúa sobre el coche. Resp: 1990 N
20. Un trineo de 120 kg es tirado por un caballo con velocidad constante una distancia de 0.75 km sobre una superficie nevada plana. El coeficiente de fricción cinética entre los patines del trineo y la nieve es 0.25. a) Calcular el trabajo realizado por el caballo. b) Calcular el trabajo hecho por la fricción. Resp: a) 2.205x105 J; b) –2.205x105 J
21. Una cortadora de pasto de autopropulsión con una liberación de potencia de 3.5 HP viaja a una velocidad constante de 1.5 pies/s. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza propulsora? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento? c) ¿Cuánto trabajo se realiza cada 6.0 s? Resp: a) 1281.7 lbf; b) - 1281.7 lbf; c) 11535.3 lbfxft
22. Un automóvil de 1300 kg es acelerado desde el reposo hasta una rapidez de 30 m/seg en un tiempo de 12 seg cuando sube por una pendiente inclinada de 15°. Considerando que la aceleración es uniforme. Cuál es la potencia mínima necesaria para acelerar el coche de esa forma. Resp: 132 HP
23. Una vagoneta de 200 kg se encuentra sobre una vía horizontal y recta. Calcula el trabajo realizado en los siguientes casos: a) Empujamos con una fuerza de 100 N sin que la vagoneta se mueva. b) La empujamos haciendo 200 N de fuerza en la dirección de la vía y la vagoneta se mueve 10 metros. c) Estiramos por el lado de la vía, formando un ángulo de 30º con la dirección de la vía, haciendo una fuerza de 200 N y la vagoneta recorre 20 metros.
Física General Resp: a) 1.37x105 J; b) 4900 W
25. Una bomba hidráulica sube un metro cúbico de agua a 12 m de altura. a) ¿Cuál será el trabajo que habrá realizado? b) ¿Cuál será la potencia de la bomba si sube 200 litros por minuto? Resp: a) 1.18x105 J; b) 392 W
26. Una grúa levanta un objeto de 200 kg a una altura de 30 metros en 12 s. Calcula: a) El trabajo que realiza sobre el cuerpo. b) La potencia efectiva desarrollada c) El rendimiento del motor, sabiendo que éste tiene una potencia de 10 CV. Resp: a) 58800 J; b) 4.9 kW; c) 67%
27. Un camión de 60 toneladas lleva una velocidad de 72 km/h cuando comienza a frenar. Si se para 10 segundos después, ¿cuál ha sido la potencia media de la frenada? Resp: 1.2x106 W
28. Un barco de vela se mueve gracias al viento que hace sobre las velas una fuerza de580 N. La fuerza forma un ángulo de 30º con la dirección del movimiento. Calcula el trabajo realizado cuando el buque ha recorrido 2 km. Resp:
1.01x106 J
29. Un coche de 800 kg arranca del reposo y alcanza una velocidad de 100 km/h en 8 s. Suponiendo el rozamiento despreciable, determina el trabajo y la potencia media desarrollada por el motor. Resp: 3.09x105 J; 3.8x104 W
30. Un bloque de 3.0 kg resbala por un plano sin fricción inclinado 20º con la horizontal. Si la longitud de la superficie del plano es 1.5 m, ¿Cuánto trabajo es realizado y por qué fuerza? Resp: 15.1 J realizada por el peso
31. Hallar el trabajo neto que se realiza para que el bloque de 10 kg, se desplace de “A” hasta “C”. Resp: 1400 J
Resp: a) 0 J; b) 2000 J; c) 3464 J
24. Queremos subir un ascensor de 700 kg hasta 20 metros de altura. a) Calcula el trabajo necesario para hacerlo. b) ¿Cuál será la potencia del motor si sabemos que tarda 28 s en hacer el recorrido?
32. Hallar la potencia que desarrolla un motor para que levante un bloque de 2 kg desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2 en 2 segundos. Resp: 47.2 W
Física General
- 177 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. De las siguientes expresiones, cuál corresponde a unidades de potencia: a) Julios c) kilopondímetro 2.
3.
a) Potencia c) Fuerza
b) Newton d) Watts
b) Joule
c) pie
d) Watt
Un Caballo de Fuerza (HP) a cuantos watts equivale: a) 1000 watts c) 746 watts
b) 735 watts d) 0.102 kg
4. Se aplica una fuerza constante de 20 N sobre un cuerpo que se mueve 5 m; el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo es 90º. El trabajo realizado es: a) 100 J
b) 25 N.m
c) 60 N.m
d) 0
5. Un soldado que pesa 60 kp en un entrenamiento básico, trepa 10 m por una cuerda vertical a una velocidad uniforme en un tiempo de 8 seg; su potencia desarrollada será: a) 70 kpm/s c) 75 kpm/s
b) Trabajo d) Carga
11. Si una piedra se amarra a una cuerda y se pone a girar con movimiento circular uniforme en un plano horizontal, entonces:
La unidad de la potencia es: a) ergio
10. El kilovatio-hora es unidad de:
a) El trabajo realizado por la fuerza de tensión es nulo b) El trabajo realizado por el peso es nulo c) Ninguna de las situaciones anteriores d) Las dos primeras situaciones anteriores 12. ¿Qué unidad se utiliza en Internacional para el Trabajo? a) Newton c) Voltio
el
Sistema
b) Caloría d) Julio
13. Se aplica una fuerza constante de 20 N, sobre un objeto que se mueve 5 m, el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento es 0º; el trabajo realizado por la fuerza es: a) 100 J
b) 0
c) 80 J
d) 70 J
14. Una persona hace una fuerza horizontal de 100 N para jalar un cuerpo una distancia de 20 m empleando 5 segundos ¿Cuál será la potencia?
b) 65 kpm/s d) 80 kpm/s
6. Determinar la potencia que desarrolla el motor de un camión que viaja a velocidad constante de 72 km/ h. La fuerza que realiza el motor es de 1000 N.
a) 138 Watt c) 140 Watt
b) 400 Watt d) 120 Watt
15. Del trabajo se puede decir que: a) 25 kW
b) 20 kW
c) 15 kW
d) 10 kW
7. Un cuerpo realiza un trabajo de 2x10 6 ergios para desplazar un objeto por una distancia de 50 cm. La fuerza utilizada fue: a) 4 N
b) 0.4 dyn
c) 0.4 N
d) 40 N
8. Si sobre un cuerpo actúa más de una fuerza se puede afirmar: a) Sólo la fuerza resultante realiza trabajo b) El trabajo neto es igual a la suma de los trabajos realizados por las fuerzas que actúan sobre el cuerpo c) El trabajo neto siempre es diferente de cero d) Todas las fuerzas aplicadas realizan trabajo 9. Un motor desarrolla una potencia de 30 Watts durante 15 seg. El trabajo realizado es: a) 450 J
b) 500 J
c) 2 J
d) 45 J
A) Es un escalar B) Toda fuerza produce trabajo C) Un trabajo es positivo si la fuerza y el movimiento son de igual sentido a) ABC
b) AB
c) AC
d) BC
16. En una construcción se sube un balde de arena de 20 kg a 4 m/s. Calcular la potencia del motor que mueve la instalación en H.P. a) 1.5 H.P. c) 1.05 H.P.
b) 2 H.P. d) 3 H.P.
17. Un cuerpo de masa M desliza sobre una superficie horizontal una distancia d y con un coeficiente de rozamiento μ. ¿Cuánto trabajo ha realizado la el rozamiento? a) –µMgd c) cero
b) –Mgd d) Mgd
- 178 -
Física General
18. ¿Qué magnitud física mide la rapidez con la que se efectúa un trabajo?
a) 120 J
b) 200 J
c) 80 J
d) 100 J
27. Hallar el trabajo que realiza, F = 40 N a) Amperio c) Potencia
b) Intensidad d) Watio
F
19. La ecuación de la potencia es: a) P = W/t c) P = W/m
37º
b) P = kg/t d) P = W/t +2
x =2m
20. Calcular el valor de la fuerza sobre un cuerpo, si se sabe que el trabajo neto es de 600 J en un desplazamiento de 20 m.
a) 60 J 28.
a) 60 N
b) 40 N
c) 50 N
b) 50 W
c) 50 erg
b) 200 W
c) 300 W
F2 F1
d) 400 W
x =4m
a) 100 J
b) 200 J
c) 160 J
d) 250 J
29. Si el bloque de 4 kg es llevado con una aceleración de 2 m/s2. ¿Cuál es el trabajo que realizó “F”? (g = 10 m/s2)
23. El trabajo realizado sobre un objeto al trasladarlo 5.1 m por aplicación de una fuerza de 1.4 N en la dirección del desplazamiento es: a) 7.14 N c) 7.14 J
d) 80 J
Hallar el trabajo que realiza, F1 = 40 N
d) 50 N
22. ¿Qué potencia realiza el peso de un cuerpo de masa 2 kg, cuando es soltado de una altura de 20 m? (g = 10 m/s2). a) 100 W
c) 64 J
d) 30 N
21. Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 30 m en 1 minuto. (Gravedad = 10 m/s²) a) 50 J
b) 50 J
a
= 0.5
F
b) 7.14 kp d) 7.14 W x = 10 m
24. La potencia de un montacargas se define como: a) La velocidad con que eleva los objetos. Su unidad en el sistema internacional es el m/s b) El trabajo desarrollado en la unidad de tiempo, en el Sistema Internacional de unidades es el vatio c) Es la energía potencial que proporciona al objeto que eleva. Su unidad en el Sistema internacional es el Julio d) N.A.
a) 200 J
b) 260 J
d) 300 J
30. ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso desde (A) hasta (B)?
m = 1 kg B
A x = 10 m
25. Un vatio es igual a: a) Segundo / julio c) julio / segundo
c) 280 J
b) julio x segundo d) Newton / metro
a) 10 J
b) –10 J
c) 20 J
d) 0 J
31. Hallar el trabajo realizado por “F”
26. Hallar el trabajo resultante sobre el cuerpo de 5 kg de masa. 50 N
F=5N
20 N
x=8m
4m a) – 40 J
b) 60 J
c) – 80 J
d) 80 J
Física General
- 179 -
32. Hallar el trabajo realizado por “F”; m = 4 kg
c) –240 W
b) 240 W
d) –60 W
37. El bloque mostrado avanza a velocidad constante V = 5 m/s, gracias a F = 30 N. ¿Cuál es la potencia que desarrolla el rozamiento?
a = 5 m/s2 5N
a) 60 W
F
v F
x = 10 m
a) 200 J
b) 50 J
c) 250 J
d) 0
33. Hallar el trabajo realizado por “F”; m = 6 kg a = 4 m/s2 F
a) 100 W
b) –100 W
c) –150 W
d) 150 W
38. El bloque mostrado avanza a velocidad de 2 m/s gracias a la fuerza F = 200 N. Hallar la potencia de F. v = 2 m/s
30 N m
F x=8m
a) 100 W a) 40 J
b) –40 J
c) –48 J
d) 48 J
34. Si el bloque se desplaza a velocidad constante, halle el trabajo realizado por “F”
F
b) –30 J
c) –200 J
a) 125 W d) –180 J
35. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50 N durante 5 s. Hallar la potencia desarrollada por F.
c) 30 W
b) 375 W
c) 1/5
d) 2/5
c) 500 W
d) 250 W
41. Un motor desarrolló una potencia útil de 4000 Watt, si su eficiencia es 1/5. ¿Cuál es la potencia que absorbe? a) 20 kW
b) 30 kW
a) 1000 W b) 2000 W
x=4m
b) 20 W
b) 3/5
c) 40 kW
d) 50 kW
42. Una máquina de eficiencia 1/3 absorbe una potencia de 3000 Watt. ¿Cuánto es la potencia que pierde?
F
a) 10 W
d) 400 W
40. Un motor absorbe una potencia de 500 Watt, si su eficiencia es 3/4. ¿Qué potencia útil será la que desarrolle?
30 N
x=6m
a) 180 J
c) 300 W
39. Una máquina absorbe una potencia eléctrica de 1000 Watt y desarrolla una potencia útil de 400 Watt. ¿Cuál es su eficiencia? a) 1/2
v
b) 200 W
d) 40 W
36. El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa avanzando 12 m en 4 s. Si el rozamiento fue de 20 N. Hallar la potencia desarrollada por dicho rozamiento.
c) 3000 W d) 4000 W
43. Una máquina pierde la mitad de la potencia que entrega, entonces su eficiencia es: a) 1/2
b) 2/3
c) 1/4
d) 3/4
44. La grúa mostrada absorbe una potencia de 2000 Watt, y está levantando el bloque de 100 N a la velocidad de 5 m/s. Entonces su eficiencia es:
t=4s
x = 12 m
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
- 180 -
Física General
45. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50 N durante 5 s. Hallar la potencia desarrollada por “F” F
PIENSA Y EXPLICA 1. ¿Qué es el trabajo mecánico? 2. ¿En qué unidades se mide el trabajo? 3. ¿Cuáles son sus equivalencias?
a) 40 W
b) 20 W
c) 30 W
d) 50 W
46. Si: F = 50 N y lleva al bloque una distancia de 10 m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 2 s.
4. Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo? 5. ¿Las máquinas simples, realizan trabajo? 6. ¿Qué es la potencia?
F
7. ¿Cuáles son sus unidades?
37º
8. ¿Cuáles son sus equivalencias? 9. ¿Qué es el kilowatt hora?
a) 100 W
b) 200 W
c) 300 W
d) 150 W
47. Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 100 N para empujar un carrito, una distancia de 60 m. Hallar la potencia desarrollada al cabo de 1 minuto que duró el recorrido. a) 40 W
b) 50 W
c) 100 W
d) 80 W
48. ¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 100 litros de agua por minuto a una altura de 6 m? a) 58 W
b) 20 W
c) 30 W
d) 1980 W
50. Una persona de 60 kg sube 20 m por las escaleras de un edificio en 4 minutos. ¿Qué potencia en watts desarrollo? (g = 10 m/s2) a) 42 W
b) 150 W
c) 30 W
d) 50 W
51. Un motor consume una potencia de 1.2 kW y es capaz de elevar cargas de 96 N de peso a 10 m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor? a) 90%
b) 50%
c) 30%
d) 80%
52. Una máquina absorbe 48 W de potencia y realiza un trabajo de 160 J en 5 s. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? a) 4/5
b) 2/3
c) 3/4
11.¿Qué requiere más trabajo: levantar una carga de 10 kg hasta una altura de 2 m o levantar otra carga de 5 kg hasta una altura de 4 m? 12.¿Cuántos joules de trabajo realiza sobre un objeto una fuerza de 10 N que lo empuja una distancia de 10 m?
d) 98 W
49. Una grúa es capaz de levantar una masa de 100 kg a una altura de 15 m en 5 s. ¿Qué potencia expresada en watts suministra la máquina? (g = 10 m/s2) a) 2040 W b) 2080 W c) 3000 W
10. Se requiere trabajo para levantar unas pesas. ¿Cuánto más trabajo se requiere para levantarlas a una altura tres veces mayor?
d) 8/9
13.¿Cuánta potencia se requiere para hacer un trabajo de 100 J sobre un objeto en 0.5 s? ¿Cuánta potencia se requiere para hacer la misma cantidad de trabajo en 1 s? 14.Si hemos de estirar una vagoneta por una vía, ¿en qué caso te parece que nos será más fácil moverla: haciendo una fuerza en la dirección de la vía o haciéndola con un ángulo de 30 grados con ésta? ¿Por qué? 15.Imaginemos una chica que coge una maleta del suelo y se pone en caminar. Encuentra un amigo y se ponen a charlar un rato. Al cabo de unos minutos deja la maleta en el suelo para no cansarse. ¿En qué momentos crees que se ha realizado trabajo? 16.Una persona que hace toda la fuerza que puede sobre una pared, ¿está haciendo un trabajo? Razónalo. 17.Un cuerpo sube por un plano inclinado con rozamiento por la acción de una fuerza externa. Razona si es positivo, negativo o nulo el trabajo hecho por las fuerzas siguientes: a) El peso, b) La normal, c) El rozamiento.
Física General
- 181 -
Cap. 13 LA ENERGÍA MECÁNICA EN LOS PROCESOS TECNOLÒGICOS CONTENIDO:
- 182 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Explicamos, observamos, demostramos y valoramos los procesos de transformación de energía en procesos tecnológicos, estudiando y analizando las características del movimiento y propiedades de la materia al ser sometida a fuerzas, para el desarrollo y generación de redes productivas en la industria, en beneficio de la sociedad plurinacional de Bolivia.
TRANSFORMACION DE LA ENERGÌA
Física General
- 183 -
Introducción.- El término energía es probablemente una de las palabras propias de la física que más se nombra en las sociedades industrializadas.
Como la energía se relaciona con el trabajo, es también una magnitud escalar. Se mide en las mismas unidades de trabajo, es decir en Joules.
La crisis de la energía, el costo de la energía, el aprovechamiento de la energía, son expresiones presentes habitualmente en los diferentes medios de comunicación social.
Energía cinética ( Ek ).- Es la forma de energía que tienen los cuerpos en movimiento.
“Ya no tengo energía”, “el enfermo está recuperando sus energías”, “se ha consumido mucha energía eléctrica”, etc. Frases como estas suelen escucharse infinidad de veces.
m
En movimiento
La energía se puede describir como una magnitud poseída por objetos y sistemas.
Ek
El trabajo es algo que se realiza sobre los objetos, mientras que la energía es algo que los objetos tienen.
1 m v2 2
Ek = Energía cinética m = Masa v = Velocidad
Constantemente se producen transformaciones de energía en la naturaleza:
A mayor velocidad, mayor energía cinética La energía del Sol transforma en agua la nieve de las montañas, sube la temperatura de los ambientes, hace crecer las plantas que alimentan a varios animales. Muchas de estas transformaciones ocurren sin que el hombre intervenga.
Energía potencial ( EP ).- Es una forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un nivel de referencia. Existen dos tipos de energía potencial.
Una definición de energía es la siguiente: Energía es la capacidad para realizar trabajo Ilustraremos el concepto de energía con los siguientes ejemplos:
a) Energía potencial gravitatoria ( EPG ).- Es aquella forma de energía que posee un cuerpo debido a la altura a la cual se encuentra, con respecto a un nivel de referencia horizontal. m
h
¿Tiene energía el agua? El agua antes de caer tiene cierta energía debido al desnivel, cuando ésta cae dicha energía será asimilada por una turbina la cual generará un movimiento de rotación que en combinación con un campo magnético, producirá energía eléctrica.
¿Tiene energía el Sol? El Sol es una fuente enorme de energía y la mayor parte de la energía que utilizamos en nuestra vida diaria proviene de él. La desintegración de átomos en el Sol libera una inmensa cantidad de energía. La energía solar calienta la Tierra, evapora el agua, produce los vientos, etc
EP m g h
EP wh EPG = m = h = g = w =
Energía potencial gravitatoria Masa Altura Aceleración de la gravedad Peso
A mayor altura, mayor energía potencial
- 184 -
Física General
b) Energía potencial elástica ( EPE ).- Es aquella forma de energía que posee un cuerpo sujeto a un resorte comprimido o estirado.
0
m
F
F
Posición de equilibrio
k
x
x k
Posición con Resorte deformado
Movimiento sin fricción La fuerza neta “F” realiza una cantidad de trabajo: W =Fx
EPE
1 2 kx 2
EPE = Energía potencial elástica k = Constante de elasticidad del resorte (N/m) x = Deformación del resorte
La fuerza causa que el objeto se acelere: v 2 v02 2 a x
a
v 2 vo2 2x
En donde “vo” puede ser cero o no.
A mayor deformación del resorte, mayor energía potencial Energía mecánica.- La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial: EM = Ek + EP
Al escribir la fuerza en su forma de la segunda ley de Newton (F = ma) y sustituyendo entonces para “a” a partir de la ecuación, se tiene: v 2 v02 x W F x (m a)( x) m 2x
1 m v2 2
12 m v02
En términos de la energía cinética, entonces: Principio de conservación de la energía.Cualquier forma de energía se transforma en otra porque: “La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma de una clase a otra” Este principio indica que cuando un cuerpo cede energía a otro, la energía perdida por el primer cuerpo es igual a la energía ganada por el segundo. Por ejemplo la energía eléctrica recibida por un foco es igual a la suma de las energías luminosas y caloríficas emitidas por él; la energía química de la gasolina entregada a un automóvil es igual a la energía cinética (movimiento) más la energía calorífica (calentamiento del motor)
W Ek Ek 0 Ek Trabajo = Variación de energía cinética Para un objeto de masa “m” que se levanta a una altura “h”. Se hace un trabajo en contra de la fuerza de gravedad, por lo que es necesario aplicar una fuerza, al menos igual al peso del objeto, a fin de levantarlo: F = w = mg El trabajo realizado al levantarlo es, igual al cambio de energía potencial. Expresado en forma de ecuación, tenemos:
La energía puede transformarse de una forma en otras, pero siempre se mantiene constante. Teorema del trabajo y la energía.- Ahora estamos en condiciones para estudiar la relación del trabajo con la energía. Recordando que, el trabajo es el que se realiza sobre los objetos, mientras que la energía es algo que los objetos tienen.
h m
0
Física General
- 185 -
W
F h ( w)(h h0 ) (m g )(h h0 )
W
m g h m g h0
Unidades de energía: En el Sistema Internacional (S.I.) la energía se mide en julios (J).
W EP EP 0 EP
En el Sistema cegesimal (c.g.s.) la energía se mide en ergios (erg).
Trabajo = Variación de energía potencial
Otras unidades de energìa, son: Generalizando el teorema del trabajo y la energía: “La suma de los trabajos de las fuerzas externas sobre un objeto, es igual a la variación de las energías cinética y potencial”
WF W fr
Caloría (cal): Cantidad de energía necesaria para aumentar 1 ºC la temperatura de 1 g de agua: 1 cal = 4.18 J. Kilovatio-hora (kWh): Es la energía desarrollada por la potencia de 1000 vatios durante 1 hora.
Ek EPG EPE
1 kWh = 3.6x106 J
WF Wfr
1 2
mv 12 mv m g h m g h0 12 k x 12 k x 2
2 0
2
2 0
Sistema conservativo de fuerzas.- Para un sistema conservativo (sin rozamiento) y donde no existe fuerza externa: La energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final.
Kilojulio (kJ) y kilocaloría (kcal): Son respectivamente, 1000 J y 1000 cal. Se usan con frecuencia debido a los valores tan pequeños de J y cal. Ejem. 13.1.- Un móvil de masa 3 kg se desplaza a 4 m/s. Calcula su energía cinética.
Ek
1 m v2 2
1 (3 kg )(4 m / s)2 2
24 J
Ejem. 13.2.- Una piedra de 2 kg se encuentra a 12 m del suelo. Calcula su energía potencial gravitatoria con respecto a él. h
0
12 m v02 m g h m g h0
Ejem. 13.3.- Un atleta que pesa 60 kp corre a una rapidez de 8 m/s. Calcular su energía cinética. Datos: w = 60 kp v = 8 m/s Ek = ?
12 m v02 m g h m g h0
Determinación de la masa del atleta:
Aplicando el teorema del trabajo y la energía:
WF W fr
00 1 m v2 0 2
m g h0
1 m v2 2 1 m v2 2 1 m v2 2
Ek 0 EP 0
EP m g h (2 kg )(9.8 m / s 2 )(12m) 235.2 J
mgh w mg
Ek EP
w 60kp 6.12utm g 9.8 m / s 2
Transformando al SI:
Energía inicial = Energía final
m 6.12utm* Si la única fuerza que actúa sobre un cuerpo es su peso, su energía mecánica se mantiene constante.
m
Ek
1 m v2 2
9.8 kg 1utm
60 kg
1 (60 kg )(8 m / s)2 2
1920J
- 186 -
Física General
Ejem. 13.4.- De un resorte cuya constante de elasticidad es 32 N/m, se suspende una masa de 0.50 kg (a) ¿Cuál es la deformación del resorte? (b) ¿Cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte? Datos: k = 32 N/m m = 0.50 kg a) Δx = ? b) W = ?
h h0 12 g t 2 78.4 m 12 (9.8 m / s 2 )(2 s)2 58.8 m EP m g h (2 kg )(9.8 m / s 2 )(58.8 m) 1152.48 J Ek
1 2
mv 2
1 2
(2 kg )(19.6 m / s)2 384.16 J
En el piso, la energía potencial es nula (h = 0), la velocidad y energía cinética es:
v 2 v02 2 gh v 2 gh v 2 9.8m / s 2 78.4m 39.2 m / s Ek a) La masa que se suspende del resorte, produce la fuerza deformadora: F w m g (0.50kg )(9.8 m / s 2 ) 4.9 N
De acuerdo a la ley de Hooke:
F
k x
x
4.9 N 32 N / m
x
F k
0.153m 15.3 cm
b) El trabajo realizado al estirar el resorte es la energía almacenada en el mismo, se determina mediante la ecuación:
EPE
1 k (x)2 2
1 (32 N / m)(0.153m)2 2
1 m v2 2
Al inicio, la energía cinética nula (v = 0), su energía potencial:
E P mgh 2 kg 9.8 m / s 2 78.4 m
Ek 0
1 (2 kg )(39.2 m / s)2 2
1536.64 J
Ejem. 13.6.- Un pintor que está sobre un andamio deja caer una lata de pintura de 1.5 kg desde una altura de 6 m a) ¿Cuál es la energía cinética de la lata cuando está a una altura de 4 m? b) ¿Con qué rapidez chocará la lata con el suelo? Datos: m = 1.5 kg ho = 6 m h = 4m vo = 0 a) Ek = ? b) v = ?
a) Primero se calcula la energía total de la lata, dado que esta cantidad se conserva conforme la lata cae. La energía inicial es:
0 375J
Ejem. 13.5.- Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 78.4 m. Calcula su energía cinética y su energía potencial gravitatoria al inicio, a los 2 s y al momento que toca el suelo. Solución:
E P 1526.64 J
ET 0 Ek 0 E P 0
1 m v02 m g h0 2
ET 0 0 1.5 kg 9.8 m / s 2 6 m 88.2 J La relación ET = EK + EP se mantiene conforme la lata cae, se puede calcular la energía cinética cuando el objeto se encuentra a 4 m del suelo:
ET Ek E P
Ek ET E P ET m g h
Ek 88.2 J 1.5 kg 9.8 m / s 2 4 m 88.2 J 58.8 J E k 29.4 J
Para: t = 2 s, la velocidad y altura sobre el suelo es:
v v0 g t (9.8 m / s 2 )(2 s) 19.6 m / s
b) Un instante antes de que la lata choque con el suelo (h = 0 , EP = 0), toda la energía mecánica total es cinética:
Física General
- 187 -
ET E k E P
1 1 m v 2 m g h ET m v 2 2 2
ET 0 ET Wrozam.
Despejando la velocidad:
v
2 ET m
2(88.2 J ) 1.5 kg
cambio de energía mecánica, o la cantidad de energía perdida:
10.8 m / s
Wrozam ET 0 ET
Wrozam 86240 J 16000 J 70240 J Q 70240 J
Ejem. 13.7.- Un esquiador con una masa de 80 kg parte del reposo y esquía hacia abajo por una pendiente con una elevación de 110 m. la rapidez del esquiador en la parte inferior de la pendiente es 20 m/s. a) Demuestre que el sistema es no conservativo. b)¿Cuánto trabajo realiza la fuerza no conservativa? Datos: m = 80 kg ho = 110 m v = 20 m/s vo = 0 a) Demostrar que el proceso no es conservativo b) W (Trabajo realizado por el rozamiento) Solución: a) En la parte superior, solo se halla la energía potencial gravitatoria:
ET 0
EP
ET 0
(80 kg )(9.8 m / s 2 )(110 m)
ET 0
86240 J
m g h0
Esto significa más del 80 % de la energía inicial, se convierte en calor por fricción.
Ejem. 13.8.- Un bloque de masa M está sostenido sobre un plano sin fricción que hace un ángulo de 37º con la horizontal. La masa se fija por medio de una cuerda sin masa a otra masa de 4.50 kg, como lo muestra la figura. Al principio, el sistema está en reposo, la masa de 4.50 descansa sobre el piso. El sistema se suelta y la masa de 4.50 kg se mueve hacia arriba. Cuando está a 2 m sobre el piso, su velocidad es de 0.85 m/s. ¿Cuál es el valor de la masa M? Datos: = 37º m = 4.50 kg h=2m v = 0.85 m/s M =?
Aplicando el teorema del trabajo y la energía a la masa de 4.50 kg:
En la parte inferior de la energía cinética:
ET E k
pendiente, solamente
1 1 2 m v 2 80 kg 20 m / s 16000 J 2 2
Puede observarse que este sistema no es conservativo, puesto que las energías totales inicial y final no son iguales. b) La cantidad de trabajo realizado por la fuerza no conservativa (fuerza de rozamiento) es igual al
WF W fr Ek E P T h0 T h
1 1 m v 2 m v02 m g h m g h0 2 2
1 mv2 m g h 2
Reemplazando valores:
T 2
1 4.50 0.85 2 4.50 9.82 2
- 188 -
Física General
T 2 1.63 88.2 89.83 T
89.83 2
T 44.9 N
mg mg m
Para el bloque M, éste desciende por el plano sin rozamiento:
1 1 WF W fk Ek E p Mv 2 Mv02 Mgh Mgh0 2 2 T h cos 180º 0 T h
M
FN m a N
1 M v 2 M g h sen37º 2
v2 R
N mg m
v2 R
v 2 2 gR
(2)
Reemplazando ec. 2 en ec. 1:
1 mgH mg(2 R) m(2 gR) 2
H 3R
Ejem. 13.11.- En el ejercicio anterior, ¿desde qué altura deberá soltarse el objeto para que complete por lo menos una vuelta?
1 M v 2 M g h sen37º 2
2T h 2 44.9 2 v 2 g h sen37º 0.852 9.8 2 sen37º
N 0
2
M 7.85 kg
Ejem. 13.10.- Un objeto es soltado en el punto A. ¿Cuánto debe valer H para que cuando el cuerpo pase por el punto B, la reacción normal valga lo mismo que el peso?
La altura mínima H desde donde debe ser soltada el objeto para completar una vuelta se obtiene calculando la “velocidad crítica” del objeto en el punto B. Ésta velocidad se obtiene cuando la reacción del rizo (N) sea cero. Aplicando la 2da. ley de Newton en B:
B
H
La velocidad crítica:
FN m a N D. C. L.
v2 R
v 2 gR
Balance de energía en los puntos A y B: N mg
H
mg N m
E A EB
mg
1 mgH mg (2 R) mv 2 2
Reemplazando v2:
1 mgH 2mgR m( gR) 2 Según el teorema de la conservación de la energía se tiene:
E A EB
1 mgH mg2 R mv 2 2
(1)
En el punto B, aplicando la segunda ley de Newton:
mgH
5 5 mgR H R 2.5R 2 2
Física General
- 189 LABORATORIO VIRTUAL
Ingrese a educaplus, Energìa e investigue las siguientes aplicaciones:
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
CONSERVCIÒN DE LA ENERGÌA
Ingrese a Phet, Fìsica luego energìa y seleccione las siguientes activiaddes:
ENERGÍA EN EL SKATE PARK: BÁSICO
- 190 -
Física General PROBLEMAS PROPUESTOS
Nota.- Muchos de los problemas en este capítulo pueden resolverse con las ecuaciones de la dinámica del movimiento, con la segunda ley de Newton. Sin embargo, los resultados pueden obtenerse con mayor rapidez usando la conservación de la energía, y este método debe utilizarse siempre que sea posible. 1.
Un cuerpo transfiere a otro 645.2 cal. ¿Cuántos julios son? Resp: 2697,1 J
2.
Una persona ingiere 1048.4 kcal en su dieta. Expresa en unidades SI. Resp: 4382312 J
3.
Calcula el trabajo que realizará una fuerza de 392 N que desplaza a un cuerpo unja distancia de 7 m, si entre la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 52º. Resp: 1689.4 J
4.
Calcula la energía cinética de un coche de 1294 kg que circula a una velocidad de 58 km/h. Resp: 167940.4 J
5.
Un vehículo de 1104 kg que circula por una carretera recta y horizontal varía su velocidad de 17 m/s a 7 m/s. ¿Cuál es el trabajo que realiza? Resp: –132480 J
6.
¿Qué energía potencial posee una roca de 143 kg que se encuentra en un acantilado de 19 m de altura sobre el suelo? Resp: 26626.6 J
7.
Calcula la energía potencial elástica de un muelle sabiendo que su constante elástica, k, es de 336 N/m y que se ha comprimido 4 cm desde su longitud natural. Resp: 0.27 J
8.
Un cuerpo de 10 kg cae desde una altura de 20 m. Calcula: a) La energía potencial cuando está a una altura de 10 m. b) La velocidad que tienen en ese mismo instante. c) El trabajo que efectúa cuando llega al suelo. d) La velocidad con que llega al suelo. Resp: a) 980 J, b) 14 m/s, c) 1960 J, d) 19.8 m/s
9.
Un cuerpo de 2 kg cae desde una altura de 4 m. Calcular la pérdida que experimenta de energía potencial. Resp: 78.4 J
10. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 5 kg que se mueve a una velocidad de 3 m/s. Resp: 22.5 J
11. Un cuerpo de 5 kg de peso cae libremente desde una altura de 3 m. Calcular la energía cinética del cuerpo en el momento de llegar al suelo y demostrar que es igual a la energía potencial del mismo antes de caer. Resp: 147 J
12. Una pieza de artillería, con una longitud de ánima de 3 m, dispara un proyectil de 20 kg de masa con una velocidad de 600 m/s. Calcular la fuerza media ejercida sobre el proyectil durante su recorrido por el tubo. Resp: 1 200 000 N
13. Se lanza un ladrillo hacia adelante deslizando sobre el suelo con una velocidad de 25 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el suelo y el ladrillo es igual a 0.25, hallar el tiempo que tardará en detenerse y la distancia recorrida. Resp: d = 127.55 m ; t = 10.2 s
14. Hallar la energía potencial que adquiere una masa de 3 kg al elevarlo a una altura de 6 m. Resp: 176.4 J
15. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 12 kg animado de una velocidad de 1 m/s. Resp: 6 J
16. Un cuerpo de 2 kg cae desde una altura de 10 m. Calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo. Resp: 196 J
17. Un cuerpo de 1kg de masa se eleva a una altura de 5 m. Hallar el trabajo realizado y el aumento de su energía potencial. Resp: 49 J
18. Una fuerza constante actúa durante un minuto sobre un cuerpo de 3 kg comunicándole una velocidad de 2 m/s. Hallar la energía cinética adquirida por el cuerpo y el valor de la fuerza. Resp: K = 6 J ; F = 0.1 N
Física General 19. Hallar la fuerza media necesaria para detener, en un espacio de 30 m, un automóvil de 1200 kg animado de una velocidad de 90 km/h.
- 191 b) ¿Cuál sería la rapidez inicial para una distancia de detención de 100 m? Resp: a) 240 m; b) 58 km/h
Resp: - 12 500 N
20. Calcular la fuerza media ejercida por los gases de la pólvora sobre un proyectil de 8 kg que adquiere, al salir del tubo de 3 m de longitud, una velocidad de 600 m/s. Resp: 480 000 N
21. Hallar la resistencia media de una pared sabiendo que un martillo de 2 kg, con una velocidad horizontal de 6 m/s, introduce en ella un clavo que penetra 30 mm. Resp: 1200 N
22. Un camión de 60 toneladas lleva una velocidad de 72 km/h cuando comienza a frenar. Si se para 10 segundos después, ¿cuál ha sido la potencia media de la frenada? Resp: 1.2x106 W
23. Una fuerza neta constante de 75 N actúa sobre un objeto inicialmente en reposo a través de una distancia paralela de 0.60 m. a) ¿Cuál es la energía cinética final del objeto? b) Si el objeto tiene una masa de 0.20 kg, ¿Cuál es su rapidez final? Resp: a) 45 J; b) 21.2 m/s
24. Una vagoneta de 300 kg se mueve prácticamente sin fricción sobre unos raíles horizontales a 36 kmh. Calcula el trabajo necesario para: a) Duplicar su velocidad. b) Mantener su velocidad constante. c) Reducir su velocidad a la mitad. Resp: a) 45000 J; b) 0; c) – 11250 J
25. A un cuerpo de 10 kg de masa inicialmente en reposo se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de 150 N para elevarlo una altura de 3 m. Hallar: a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) El trabajo realizado por el peso. c) La velocidad adquirida por el cuerpo. Resp: a) 450 J; b) – 294 J; c) 5.6 m/s
26. Un automóvil que viaja a 45 km/h es detenido en 60 m. Suponga que las mismas condiciones (misma fuerza de frenado, tiempo de reacción del conductor, etc.) se mantienen para todos los casos. a) ¿Cuál sería la distancia de detención para una rapidez inicial de 90 km/h?
27. Un bloque de 1.5 kg que se desplaza sobre una superficie horizontal con una rapidez inicial de 3.0 m/s, resbala hasta detenerse por una línea recta. Si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.42, ¿Cuánto trabajo realiza la fricción? Calcule de dos formas utilizando consideraciones de trabajo y energía. Resp: – 6.75 J
28. Una piedra de 0.20 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 7.5 m/s, a partir de su punto de partida 1.2 m arriba del suelo. a) ¿Cuál es la energía potencial de la piedra a su altura máxima relativa al suelo? b) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial en la piedra? Resp: a) 7.98 J; b) 5.63 J
29. Una pelota de 0.50 kg lanzada verticalmente hacia arriba tiene una energía cinética inicial de 80 J. a) ¿Cuáles son su energía cinética y su energía potencial cuando ha viajado ¾ de la distancia de su altura máxima? b) ¿Cuál es su velocidad en ese punto? c) ¿Cuál es su energía potencial en su altura máxima? Resp: a) K= 20.04 J; U= 59.98 J; b) v= 8.95 m/s; c) 80 J
30. Una montaña rusa parte del reposo en un punto 45 m arriba de la parte inferior de una depresión. Si se desprecia la fricción, ¿cuál será la rapidez de la montaña rusa en la parte más alta de la pendiente siguiente, que está 30 m arriba de la depresión? Resp: 17.2 m/s
31. Una pelota con una masa de 0.3 kg se deja caer desde una altura de 1.20 m sobre la parte alta de un resorte fijo vertical, cuya constante de fuerza es 350 N/m. a) ¿Cuál es la distancia máxima que la pelota logra comprimir al resorte? b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota cuando el resorte ha sido comprimido 5.0 cm? Resp: a) 15 cm; b) 4.65 m/s
32. a) ¿Cuántos Joules de energía eléctrica utiliza una secadora de pelo de 1650 W en 10 min?
- 192 b) Si la secadora se opera un total de 4.5 h diarias durante un mes, ¿cuánto cuesta la energía eléctrica si la tasa es 9 c./kW-h? Resp: a) 9.9x105 J; b) 20 $
33. Una piedra de 2 kg de masa atada al extremo de una cuerda de 0.5 metros de longitud gira a 2 revoluciones por segundo. a) ¿Cuál es su energía cinética? b) ¿Cuánto vale la fuerza centrípeta que actúa sobre ella? c) ¿Qué trabajo realizará la fuerza centrípeta en una vuelta? Resp: a) 39.5 J; b) 158 N; c) 0 J
34. Una fuerza constante de 50 N mueve un objeto 4.0 m en 5.0 s a) ¿Cuánta energía se gasta? b) ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada? Resp: 200 J; 40 Watts
35. a) Calcular la energía cinética de un automóvil de 900 kg que lleva una velocidad de 40 m/s. b) Cuántas veces se hace mayor la energía cinética si se duplica la velocidad del automóvil.
Física General 39. Un proyectil de 30 g de masa alcanza un bloque de madera con una velocidad de 200 m/s. a) Calcula la resistencia que ofrece la madera a la penetración si el proyectil ha penetrado en ella 8 cm. b) Halla qué velocidad tendría el proyectil después de atravesar una lámina de la misma madera de 2 cm de espesor. Resp: a) 7500 N; b) 173 m/s
40. Una caja de 20 kg se encuentra en reposo en el suelo. Se desplaza la caja 6 m mediante una fuerza horizontal de 90 N. El coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y el suelo es 0.32. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. c) El incremento de energía cinética de la caja. d) La velocidad final de la caja. Resp: a) 540 J; b) –376 J; c) 164 J; d) 4.0 m/s
41. Un resorte necesita 160 N para comprimirse 1 cm. Calcula la energía potencial elástica que tiene cuando está comprimida 6 cm. Resp: 28.8 J
Resp: a) 720 000 J; b) 4 veces.
36. Un bloque que pesa 8 kp es empujado mediante una fuerza horizontal de 4 kp, sobre una superficie lisa horizontal durante un trayecto de 6 m. El bloque parte del reposo. a) ¿Cuánto trabajo se ha realizado? b) Compruébese la respuesta calculando la aceleración del bloque, su velocidad y su energía cinética.
42. Encuentra la velocidad con que llega al suelo la masa de 15 kg del esquema de la figura. Resp: 12.12 m/s
Resp: a) 24 kpm; b) 4.9 m/s2; 7.67 m/s; 24 kpm.
37. Un coche de 1200 kg inicia la subida de una pendiente del 8 % y 500 m de longitud con una velocidad de 100 km/h. Al finalizar la pendiente, la velocidad del coche es 70 km/h. Considerando que el rozamiento es despreciable, calcula el trabajo realizado por el vehículo.
43. Encuentra la altura h del dibujo, sabiendo que la velocidad de la masa de 6 kg en el momento de llegar al suelo es de 12 m/s. Resp: 12.24 m
Resp: 2.34x104 J
38. Un automóvil de 1200 kg que se mueve con una velocidad constante de 90 kmh, acciona los frenos al ver un obstáculo y frena en 80 m. Determina: a) La disminución de la energía cinética del automóvil durante el frenado. b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. c) El valor del coeficiente de rozamiento entre el automóvil y la carretera mientras frena. Resp: a) –375000 J; b) –375000 J; c) 0.4
44. Un proyectil de 40 kg se mueve con una velocidad de 200 m/s a) ¿Cuál es su energía cinética? Este proyectil choca con una pared y penetra 20 cm, de manera que se transforma toda su energía cinética en trabajo de penetración.
Física General b) ¿Puedes calcular la fuerza de resistencia de la pared?
- 193 Resp: a) 67.43 N; 13.48 N;
b) 6.5 m/s; c) 596.3 J
Resp: a) 8x105 J; b) 4x106 N
45. Calcula con qué velocidad sale una bala de 15 g de masa después de haber atravesado un tablón de 7 cm de espesor que le opone una resistencia de 1800 N. La velocidad inicial de la bala era de 450 m/s. Resp: 430.9 m/s
46. Un camión de 10 toneladas circula a 90 km/h. Frena y se para después de recorrer 62.5 metros. a) ¿Cuál es la energía cinética inicial del camión? b) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? c) ¿Cuál es la aceleración de la frenada? Resp: a) 3.125x106 J; b) 5 s; c) – 5 m/s2
47. Un cuerpo de 5 kg de masa se lanza por un plano inclinado 30º con una velocidad de 15 m/s hacia arriba. Calcula qué distancia recorre hasta detenerse. a) En el supuesto que no haya fricciones. b) En el supuesto que el coeficiente de rozamiento entre el plano y el objeto sea 0.1
50. Sobre una superficie horizontal disponemos de un resorte de constante elástica 3 N/m. Desde un punto situado a 3 metros del muelle, lanzamos un cuerpo de 1 kg de masa con una velocidad de 4 m/s. Calcula la máxima compresión del muelle si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0.1. Resp: 1.54 m
51. Se deja caer desde 3.4 metros de altura un objeto de 100 gramos de masa sobre un muelle vertical de un metro de longitud y 75 N/m de constante de deformación, tal y como se ve en la figura. Calcula la máxima compresión x del muelle. Resp:
29.8 cm
Resp: a) 22.96 m; b) 19.57 m
48. Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba de un plano inclinado 30º con una velocidad de 9.8 m/s. Observamos que recorre una distancia de 6 metros antes de detenerse y volver a la posición inicial. Calcula: a) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. b) La velocidad con el que llega al punto de partida. Resp: a) 15.52 N; b) 4.64 m/s
49. Sobre un masa M = 5 kg, que se encuentra en reposo en la base del plano inclinado de la figura, se aplica una fuerza horizontal F de módulo 50 N, siempre horizontal. Al llegar al extremo superior E, situado a una altura H = 10 m, la fuerza F deja de actuar. Ver figura. Si el coeficiente de rozamiento durante el movimiento entre la masa y el plano inclinado vale 0.2 y el ángulo del plano con la horizontal es 30º, calcula: a) La fuerza normal y la fuerza de rozamiento entre la masa y el plano inclinado. b) La velocidad de la masa al llegar al extremo superior E. c) La energía cinética con la que la masa llegará al suelo. ¿Qué tipo de trayectoria seguirá la masa después de pasar por E?
52. Desde el punto A dejamos ir un objeto de masa m (Ver figura) Calcula: a) La velocidad de la masa en el punto C. b) La fuerza que hace la vía sobre el objeto en este punto. Resp: a)
8 gR b) 7mg
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Física General EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. La energía mecánica comprende: a) c) b) d)
10. ¿Cuál de los siguientes objetos tiene la mayor energía cinética?:
La energía nuclear de un cuerpo La energía química E = mc² La energía potencial y la energía cinética
2. Una pelota de masa con 0.5 kg. Tiene una velocidad de 12 m/s. Su energía cinética será: a) 35 J
b) 38 J
c) 32 J
d) 36 J
3. En un espectáculo artístico, un trapecista se sube a una silla que se encuentra a 10 metros; si la masa del trapecista es de 100 kg. Su energía potencial será: a) 9750 J
b) 9800 J
c) 9600 J
d) 9500 J
4. Un cuerpo de 5 g de masa, está a 100 cm de altura. Su energía potencial es: a) 500 J
b) 490 000 J
c) 0.049 J
d) 20 J
5. El rozamiento convierte la energía cinética de un cuerpo en:
a) b) c) d)
Un objeto de masa 4m y velocidad v Un objeto de masa 3m y velocidad 2v Un objeto de masa 2m y velocidad 3v Un objeto de masa m y velocidad 4v
11. Se aplica una fuerza F a un cuerpo inicialmente en reposo, de 5 kg de masa. El cuerpo se mueve ahora con una aceleración de 2 m/s 2. Si se desplaza 3 m en la dirección de la aceleración, el trabajo de F es: a) 6 J
b) Energía química d) Frenado
6. Un cuerpo de 5 kg se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 10 m/s.
a) 6 J
7. La energía cinética de un cuerpo de 8 kg que posee una velocidad de 4 m/s es: b) 32 J
c) 16 J
b) 15 J
c) 30 J
d) 90 J
b) 1 J
c) 2 J
d) 10 J
14. Una fuerza de 16 N actúa durante 5 segundos sobre un cuerpo de masa de 4 kg, inicialmente en reposo. El trabajo de la fuerza es: b) 600 J
c) 900 J
d) 700 J
15. La energía cinética final del cuerpo anterior es: a) 800 J
b) 600 J
c) 900 J
d) 700 J
16. Una fuerza de 16 N actúa durante 5 segundos sobre un cuerpo de masa 4 kg y con velocidad inicial de 10 m/s. El trabajo de la fuerza es: a) 800 J
a) 64 J
d) 60 J
13. Bajo la acción de una fuerza de 20 N, un resorte se comprime 0.1 m. La energía potencial elástica del resorte es:
a) 800 J a) La energía potencial en el punto más alto es de 250 Julios b) La altura alcanzada es de 3 m c) La altura alcanzada es de 10 m. d) La energía potencial en el punto más alto es de 490 Julios.
c) 30 J
12. En el ejercicio anterior, si el cuerpo se desplaza durante 3 segundos en la dirección de la aceleración, el trabajo de F es:
a) 0.5 J a) Energía potencial c) Energía calorífica
b) 15 J
b) 1400 J
c) 1600 J
d) 2000 J
d) 128 J 17. La energía cinética final del cuerpo anterior es:
8. Un cuerpo de 9 kg a una altura de 6 m posee energía potencial de: a) 529.2 J
b) 54 J
c) 24.8 J
d) 87.2 J
9. Si se desea duplicar la altura de un cuerpo que posee 20 J de energía potencial se debe realizar un trabajo de: a) 20 J
b) 40 J
c) 60 J
d) 80 J
a) 800 J
b) 1600 J
c) 1800 J
d) 2000 J
18. ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad de energía? a) W.s
b) N.m
c) kg.m/s
d) J
19. Una bala de 5 gramos avanza a 300 m/s, choca contra una tabla, la atraviesa y sale de ella con una rapidez de 100 m/s. La energía absorbida por la tabla, medida en julios es: a) 200
b) 100
c) 20
d) 10
Física General
- 195 Tomar como valor: (g = 10 m/s2)
20. El trabajo es una manifestación de: a) De la velocidad c) De la energía
b) De la temperatura d) De la potencia
21. Un cuerpo adquiere energía potencial cuando se realiza trabajo contra fuerzas: a) Conservativas c) De fricción
a) 2000 J
d) 1000 J
b) Disipativas d) Todo lo anterior
Trabajo (Julios) Energía cinética (Julios) Calor (julios) Energía potencial (Watts)
2m
a) 200 J
23. Una pelota 0.5 kg se lanza horizontalmente desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una velocidad de 10 m/s; su energía cinética inicial es: b) 245 J
c) 270 J
b) 240 J
c) 280 J
d) 300 J
30. Calcula la pérdida de energía mecánica al ir de (A) a (B) para el bloque de 2 kg. (g = 10 m/s 2) A
a) 25 J
c) 1600 J
29. Calcule la energía mecánica del bloque de 4 kg respecto al suelo. (g = 10 m/s2)
22. Cuál de las siguientes unidades es incorrecta: a) b) c) d)
b) 400 J
v0 = 0
d) 250 J v = 4 m/s
24. ¿Con qué nombre se conoce la siguiente afirmación? "La cantidad total de energía del universo se mantiene constante" a) Principio de conservación de la energía b) Principio de conservación de la energía mecánica c) Principio de degradación de la energía d) Principio de no transferencia de la energía 25. ¿Qué trabajo realiza un camión de 200 kg, cuando frena y pasa de la velocidad de 4 a 3 m/s? a) 9000 kpm c) 9000 erg.
b) 7000 J d) 700 J
4m
B
a) 80 J
a) b) c) d)
En energía mecánica En energía potencial En calor N. A.
a) 600 J
a) 100 J
b) 200 J
c) 300 J
d) 400 J
28. Se suelta un cuerpo desde una altura de 100 m. ¿Cuál será su energía cinética cuando se encuentre a 20 m del suelo? m = 2 kg
d) 64 J
b) 800 J
c) 1000 J
d) 1200 J
32. Un cuerpo de m = 20 kg se desplaza linealmente con v = 4 m/s. ¿Cuál será su energía cinética? b) 100 J
c) 120 J
d) 160 J
33. Un coche de 400 kg parte desde el reposo con una aceleración constante de 0.5 m/s 2. Determinar la cantidad de energía cinética en kJ del cochecito cuando han transcurrido 20 s. a) 10
27. Se lanza un cuerpo desde el suelo con una velocidad de 20 m/s. Si la masa del cuerpo es 2 kg. ¿Cuánto vale su energía potencial al cabo de 1 s? (g = 10 m/s2)
c) 96 J
31. Un niño con su bicicleta tienen una masa de 80 kg. Halle la cantidad de energía cinética si cubre una distancia de 80 m en 16 s.
a) 80 J 26. Cuando un automóvil frena bruscamente hasta que se para, ¿en qué se transforma la energía cinética del automóvil?
b) 16 J
b) 20
c) 30
d) 40
34. Un objeto se desplaza con una velocidad de 72 km/h. ¿Cuál es su energía cinética, si m = 4 kg? a) 200 J
b) 400 J
c) 600 J
d) 800 J
35. Un cuerpo de m = 0.5 kg se desplaza horizontalmente con v = 4 m/s y luego de un lapso de tiempo se mueve con v = 20 m/s. ¿Cuál será la variación de su energía cinética? a) 80 J
b) 90 J
c) 85 J
d) 96 J
- 196 -
Física General
36. Una esfera de 1 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una energía cinética de 450 J. Determine el tiempo que permanece en el aire. (g = 10 m/s2) a) 3 s
b) 5 s
c) 6 s
b) 0
c) 100 J
d) 50 J
38. Un niño de 40 kg se encuentra en un “columpio”, si su velocidad en la parte más baja es de 36 km/h. Hallar la medida de su energía cinética, máxima. a) 1000 J
b) 2000 J
c) 3000 J
d) 4000 J
39. Calcular la energía mecánica del cuerpo en la posición mostrada. (g = 10 m/s2) m = 4 kg
v = 5 m/s
b) 210 J
c) 250 J
d) 300 J
40. Calcular la energía mecánica en el punto (A) (g = 10 m/s2)
(A) v
c) 250 J
b) 15.5 J
c) 12.5 J
d) 20 J
42. La constante de rigidez de un resorte es de 2000 N/m. ¿Qué cantidad de energía almacena cuando el muelle es deformado en 10 cm? a) 8 J
b) 10 J
7. Supón que un automóvil tiene una energía cinética de 2000 J. ¿Cuál será su energía cinética si se duplica su velocidad? ¿Si se triplica su velocidad?
d) 300 J
41. Un resorte de k = 100 N/m se estira 50 cm por acción de una fuerza externa. Determinar la cantidad de energía potencial elástica. a) 10 J
5. Si haces un trabajo de 100 J al elevar un cubo lleno de agua, ¿Cuánta energía potencial gravitacional adquiere respecto a su posición inicial? ¿Cuánta energía potencial gravitacional adquiriría si lo levantaras a una altura dos veces mayor?
10.¿Podrías explicar qué ventaja tiene utilizar una rampa para subir un objeto? (si es que tiene alguna)
(B)
b) 209 J
4. ¿Cuáles son las dos formas principales de energía mecánica?
9. ¿Cuál es la eficiencia de una máquina que requiere 100 J de energía de entrada para realizar 35 J de trabajo útil?
m = 2 kg
a) 200 J
3. ¿Cuánta potencia se requiere para hacer un trabajo de 100 J sobre un objeto en 0.5 s? ¿Cuánta potencia se requiere para hacer la misma cantidad de trabajo en 1 s?
8. ¿Cuál será la energía cinética de una flecha proveniente de un arco con una energía potencial elástica de 50 J?
v = 3 m/s
10 m
2. ¿Qué requiere más trabajo: levantar una carga de 10 kg hasta una altura de 2 m o levantar otra carga de 5 kg hasta una altura de 4 m?
6. Una roca se levanta hasta una altura tal que su energía potencial respecto a la tierra es de 200 J y se deja caer desde esta altura. ¿Cuál es su energía cinética un instante antes de llegar al suelo?
h =4m
a) 200 J
1. Se requiere trabajo para levantar unas pesas. ¿Cuánto más trabajo se requiere para levantarlas a una altura tres veces mayor?
d) 8 s
37. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, su energía cinética en el punto más alto es: a) 200 J
PIENSA Y EXPLICA
c) 12 J
d) 14 J
11.¿Puede que dos objetos de la misma masa tengan diferente energía cinética? 12.¿Es posible que dos cuerpos que tengan igual velocidad tengan energía mecánica diferente?
Física General
- 197 -
Cap. 14 LAS ENERGÍAS ALTERNATIVAS
- 198 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Valoramos la importancia de cultivar principios de ahorro energético en nuestro Estado Plurinacional, a partir del estudio de las diversas formas de generación de energía alternativa a la tradicional, describiendo los principios tecnológicos de aplicación con energía solar, hidráulica, eólica, biomasa y geotérmica, que permita contribuir al desarrollo tecnológico de nuestro país.
Física General
- 199 -
La energía a través de la historia.- El ser humano, desde sus primeros pasos en la Tierra y a través de la historia, siempre ha buscado formas de utilizar la energía para obtener una mejor calidad de vida. Para ello ha hecho uso de diversas formas de energía: -
Fuego (energía química) Velas y molinos (energía del viento o eólica) Ruedas hidráulicas (energía del agua o hidráulica) Carbón (energía química) Petróleo (energía química) Nuclear (energía nuclear), etc.
El ser humano siempre ha buscado formas de obtener energía Entre 1917 y 1973 disminuye el consumo de carbón y aumenta notablemente el de petróleo. Entre 1973 y 1985, fuerte crisis energética. El petróleo comienza a agotarse y se comienzan a usar otras energías: nuclear, hidroeléctrica, eólica, solar. Importancia de la energía.- En la naturaleza se observan continuos cambios y cualquiera de ellos necesita la presencia de la energía: para cambiar un objeto de posición, para mover un vehículo, para que un ser vivo realice sus actividades vitales, para aumentar la temperatura de un cuerpo, para encender un celular, para enviar un mensaje por móvil, etc.
b) Energía eléctrica.- La Energía eléctrica es causada por el movimiento de las cargas eléctricas en el interior de los materiales conductores. Esta energía produce, fundamentalmente, tres efectos: luminoso, térmico y magnético. Por ejemplo, la transportada por la corriente eléctrica en nuestras casas y que se manifiesta al encender una bombilla. La energía eléctrica se manifiesta como corriente eléctrica, mediante movimiento de electrones en un circuito. La energía eléctrica es muy utilizada, ya que permite su transformación en energía térmica, lumínica, mecánica, etc.
La energía es la capacidad que tienen los cuerpos para producir cambios en ellos mismos o en otros cuerpos. La energía no es la causa de los cambios. Las causas de los cambios son las interacciones y, su consecuencia, las transferencias de energía. Tipos de energía: a) Energía térmica.- La Energía térmica se debe al movimiento de las partículas que constituyen la materia. Un cuerpo a baja temperatura tendrá menos energía térmica que otro que esté a mayor temperatura. Un cuerpo posee mayor cantidad de energía térmica cuanto más rápido es el movimiento de sus partículas. La transferencia de energía térmica desde un cuerpo a mayor temperatura hasta un cuerpo a menor temperatura se denomina calor. Se denomina energía térmica a la energía manifestada bajo la forma de calor.
c) Energía radiante.- La Energía radiante es la que poseen las ondas electromagnéticas como la luz visible, las ondas de radio, los rayos ultravioleta (UV), los rayos infrarrojo (IR), etc. La característica principal de esta energía es que se puede propagar en el vacío, sin necesidad de soporte material alguno. Por ejemplo, la energía que proporciona el Sol y que nos llega a la Tierra en forma de luz y calor. La energía radiante es energía electromagnética que puede viajar en el vacío. La energía radiante es un conjunto de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz.
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Física General E es la energía, se mide en julios (J), m es la masa y se mide en kilogramos (kg) y c es la velocidad de la luz (300.000.000 m/s). La fusión nuclear es un proceso en el que 2 átomos pequeños se unen, dando lugar a un átomo más grande y al desprendimiento de gran cantidad de energía. Así obtienen energía las estrellas.
d) Energía química.- Es la energía que poseen las sustancias químicas y puede ponerse de manifiesto mediante una reacción química. Las reacciones químicas exotérmicas y endotérmicas.
se
clasifican
en
Una reacción exotérmica es aquélla que libera energía. Una reacción endotérmica es aquélla que absorbe energía.
La combustión de sustancias como el butano es un ejemplo de reacción exotérmica. La energía liberada se emplea en calentar agua. Por el contrario, las reacciones endotérmicas se emplean cuando se desea enfriar algo.
e) Energía nuclear.- Es la energía que proviene de las reacciones nucleares o de la desintegración de los núcleos de algunos átomos. Las reacciones nucleares que liberan energía son: la de fisión nuclear y la de fusión nuclear. En estas reacciones se produce energía por la relación de equivalencia existente entre la masa y la energía: E = m.c2
La fisión nuclear es un proceso en el que un núcleo de un átomo de uranio o plutonio se rompe en dos núcleos más pequeños, libera neutrones (que rompen otros núcleos) y grandes cantidades de energía.
Degradación de la energía.- Unas formas de energía pueden transformarse en otras. En estas transformaciones la energía se degrada, pierde calidad. En toda transformación, parte de la energía se convierte en calor o energía térmica. Cualquier tipo de energía puede transformarse íntegramente en calor; pero, éste no puede transformarse íntegramente en otro tipo de energía. Se dice, entonces, que el calor es una forma degradada de energía. Se define, por tanto, el Rendimiento como la relación (en % por ciento) entre la energía útil obtenida y la energía aportada en una transformación.
Física General
- 201 El costo económico y ambiental de instalar los dispositivos para su proceso ha impedido una proliferación notable de este tipo de energía.
En cualquier proceso en el que se produce una transferencia de energía, nunca se produce al 100 %. Parte de la energía aplicada se “pierde” debido al rozamiento, a choques, a vibraciones, etc. Es muy importante que el rendimiento sea alto, ya que de esta forma la energía se emplea en el proceso deseado y no se “pierde” en otras formas de energía menos “útil”, tales como la energía calorífica.
Fuentes de energía.- Una fuente de energía es cualquier material o recurso natural del cual se puede obtener energía, bien para utilizarla directamente, o bien para transformarla. Las fuentes de energía se clasifican en dos grandes grupos: renovables y no renovables; según sean recursos "ilimitados" o "limitados". Las fuentes de energía también se clasifican en contaminantes (si generan residuos que contaminan, como el carbón o el petróleo) y limpias (si no generan residuos contaminantes, como la eólica o la solar). Energías renovables.- Las Fuentes de energía renovables son aquellas que, tras ser utilizadas, se pueden regenerar de manera natural o artificial. Algunas de estas fuentes renovables están sometidas a ciclos que se mantienen de forma más o menos constante en la naturaleza. Existen varias fuentes de energía renovables, como son: -
Energía mareomotriz (Mareas) Energía hidráulica (Embalses y presas) Energía eólica (Viento) Energía solar (Sol) Energía de la biomasa (Vegetación)
a) Energía mareomotriz.- La Energía mareomotriz es la producida por el movimiento de las masas de agua, generado por las subidas y bajadas de las mareas, así como por las olas que se originan en la superficie del mar por la acción del viento. Ventajas: Es una fuente de energía fácil de usar y de gran disponibilidad. Inconvenientes: Sólo pueden estar en zonas marítimas, pueden verse afectadas por desastres climatológicos, dependen de la amplitud de las mareas y las instalaciones son grandes y costosas.
b) Energía hidráulica.- La Energía hidráulica es la producida por el agua retenida en embalses a gran altura (que posee energía potencial gravitatoria). Si en un momento dado se deja caer hasta un nivel inferior, esta energía se convierte en energía cinética y, posteriormente, en energía eléctrica en la central hidroeléctrica. Ventajas: Es una fuente de energía limpia, sin residuos y fácil de almacenar. Además, el agua almacenada en embalses situados en lugares altos permite regular el caudal del río. Inconvenientes: La construcción de centrales hidroeléctricas es costosa y se necesitan grandes tendidos eléctricos. Además, los embalses producen pérdidas de suelo productivo y fauna terrestre debido a la inundación del terreno destinado a ellos.
- 202 c) Energía eólica.- La Energía eólica es la energía cinética producida por el viento se transforma en electricidad en unos aparatos llamados aerogeneradores (molinos de viento especiales). Ventajas: Es una fuente de energía inagotable y, una vez hecha la instalación, gratuita. Además, no contamina: al no existir combustión, no produce lluvia ácida, no contribuye al aumento del efecto invernadero, no destruye la capa de ozono y no genera residuos.
Física General consiste en convertir la luz solar en energía eléctrica por medio de las céldas fotovoltaicas. Las celdas solares se montan en serie sobre paneles para conseguir un voltaje adecuado. Parte de la radiación incidente se pierde por reflexión (rebota) y otra parte por transmisión (atraviesa la célda). El resto es capaz de hacer saltar electrones de una capa a la otra creando una corriente proporcional a la radiación incidente.
Inconvenientes: Es una fuente de energía intermitente, ya que depende de la regularidad de los vientos. Además, los aerogeneradores son grandes y caros.
d) Energía solar.- La Energía solar es la que llega a la Tierra en forma de radiación electromagnética (luz, calor y rayos ultravioleta principalmente) procedente del Sol, donde ha sido generada por un proceso de fusión nuclear. El aprovechamiento de la energía solar se puede realizar de dos formas: Por conversión térmica (consiste en transformar la energía solar en energía térmica almacenada en un fluído) de alta temperatura (sistema fototérmico)
Ventajas: Es una energía no contaminante y proporciona energía barata en países no industrializados. Inconvenientes: Es una fuente energética intermitente, ya que depende del clima y del número de horas de Sol al año. Además, su rendimiento energético es bastante bajo. e) Energía de la biomasa.- La Energía de la biomasa es la que se obtiene de los compuestos orgánicos mediante procesos naturales. Con el término biomasa se alude a la energía solar, convertida en materia orgánica por la vegetación, que se puede recuperar por combustión directa o transformando esa materia en otros combustibles, como alcohol, metanol o aceite.
Por conversión fotovoltaica (consiste en la transformación directa de la energía luminosa en energía eléctrica) (sistema fotovoltaico). La producción está basada en el fenómeno físico denominado "efecto fotovoltaico", que básicamente
También se puede obtener biogás, de composición parecida al gas natural, a partir de desechos orgánicos. Ventajas: Es una fuente de energía limpia y con pocos residuos que, además son biodegradables. También, se produce de forma continua como consecuencia de la actividad humana.
Física General Inconvenientes: Se necesitan grandes cantidades de plantas y, por tanto extensiones mayores de terreno. Se intenta "fabricar" el vegetal adecuado mediante ingeniería genética. Su rendimiento es menor que el de los combustibles fósiles y produce gases, como el dióxido de carbono, que aumentan el efecto invernadero.
- 203 El combustible fósil puede usarse quemándolo para obtener energía térmica o movimiento y también puede emplearse para obtener electricidad en centrales termoeléctricas. b) Energía nuclear.- La Energía nuclear es la energía almacenada en el núcleo de los átomos, que se desprende en la desintegración de dichos núcleos. Una central nuclear es una central eléctrica en la que se emplea Uranio-235, que se fisiona en núcleos de átomos más pequeños y libera una gran cantidad de energía, la cual se emplea para calentar agua que, convertida en vapor, acciona unas turbinas unidas a un generador que produce la electricidad. Ventajas: Pequeñas cantidades de combustible producen mucha energía.
Energías no renovables.- Las Fuentes de energía no renovables proceden de recursos que existen en la naturaleza de forma limitada y que pueden llegar a agotarse con el tiempo. Las más importantes son: -
Inconvenientes: Se generan residuos radiactivos de difícil eliminación.
Combustibles fósiles (Petróleo, carbón y gas natural). Energía nuclear (Fisión y fusión nuclear).
a) Combustibles fósiles.- Los Combustibles fósiles (carbón, petróleo y gas natural) son sustancias originadas por la acumulación, hace millones de años, de grandes cantidades de restos de seres vivos en el fondo de lagos y otras cuencas sedimentarias. Ventajas: Es una fuente de energía fácil de usar y de gran disponibilidad. Inconvenientes: Emisión de gases contaminantes que aceleran el "efecto invernadero" y el probable agotamiento de las reservas en un corto-medio plazo.
Consumo de energía.- Es responsabilidad de todos el no desperdiciar la energía, teniendo un consumo mucho más responsable. Toda la energía que consumimos requiere una obtención y, para ello se contamina el medio ambiente, generar residuos, que nos afectan a todos. Uno de los problemas medioambientales más preocupantes es el efecto invernadero. El efecto invernadero es un fenómeno por el cual determinados gases retienen parte de la energía que el suelo emite por haber sido calentado por la radiación solar. Este efecto se está viendo acelerado por la emisión de CO2 por parte de numerosas centrales energéticas en la combustión de carbón, petróleo o gas natural. El protocolo de Kioto (1997) es un acuerdo internacional que tiene por objetivo reducir las emisiones de varios gases que aumentan el efecto invernadero y son responsables del calentamiento global del planeta.
- 204 -
Física General
Física General
- 205 -
UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. Y OTROS SISTEMAS Magnitud
Simb.
Sistema c. g. s.
Longitud
L
Masa
S. Inglés absoluto
S. I.
Sistema Técnico
S. Inglés Técnico
cm
m
m
ft
ft
M
g
kg
u.t.m.
slug
lbm
Tiempo
T
s
s
s
s
s
dyn
N
kp
lbf
pdl
Fuerza
F = g cm/s2
= kg m/s2
= utm m/s2
=slug ft/s2
= lbm ft/s2
Área
A
cm2
m2
m2
ft2
ft2
Volumen
V
cm3
m3
m3
ft3
ft3
dyn
N
kp
lbf
pdl
Peso
w = g cm/s2
= kg m/s2
= utm m/s2
= slug ft/s2
= lbm ft/s2
erg
J
kpm lbf.ft
pdl.ft
= dyn.cm
= N. m
= kp.m lbf.ft /s
pdl. ft /s
lbf.ft
pdl.ft
Trabajo
W W
Potencia
Energía
P
erg/s
kpm /s
erg
= J/s J
kpm
= dyn.cm
= Nm
= kp m
E
Densidad
ρ
g/cm3
kg/m3
u.t.m./m3
slug/ft3
lbm /ft3
Peso específic
γ
dyn/cm3
N/m3
kp/m3
lbf /ft3
pdl /ft3
Algunos nombres de unidades usuales: Longitud:
Masa:
Fuerza:
Trabajo:
Potencia:
ft = pie m = metro cm = centímetro in = pulgada km = kilómetro Å = Ángstrom
u.t.m. = unidad técnica de masa slug = slug lbm = libra masa kg = kilogramo g = gramo
dyn = dina N = Newton kp = kilopondio lbf = libra fuerza pdl = poundal kgf = kp
erg = ergio J = Julio kpm = kilopondímetro lbf. ft = libra fuerza pie pdl. ft = poundal pie Btu = unidad térmica británica cal = caloría
W = vatio o watts HP = Horse power ( caballo de fuerza) CV = Caballo vapor kW = kilovatio o kilowatt
- 206 -
Física General
ELEMENTOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRÌA PARA LA FISICA Funciones trigonométricas:
sen
a c
Funciones trigonométricas de ángulos notables
cos
b c
tg
a b
c2 = a2 + b2 TRIÁNGULOS RECTÀNGULOS NOTABLES: Equilátero: Para definir funciones de 30º y 60º
0º
30º
45º
60º
90º
37º
53º
sen θ
0
1 2
2 2
3 2
1
3 5
4 5
cos θ
1
3 2
2 2
1 2
0
4 5
tag θ
0
3 3
1
3
∞
3 4
RELACIONES FUNDAMENTALES
sen2 cos2 1
1 tan2 sec2
1 cot2 csc2
sen
1 sec
tan
cos 30º 30º
1
1
60º
60º 1 2
1 2
Rectángulo isósceles: Para definir funciones de 45º
1 csc
sen cos
Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos, ángulo doble: sen( ) sen cos sen cos
cos( ) cos cos sen sen sen 2 2 sen cos cos 2 cos2 sen2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
45º 2
1
45º 1
Rectángulo 3, 4 y 5: Para definir funciones de 37º y 53º Teorema de los cosenos:
a2
37 º 5
4
b 2 c 2 2 b c cos
b2 a2 c2 2 a c cos c2 a2 b2 2 a b cos
53º 3
Teorema de los senos: a b c sen sen sen
3 5 4 3
Física General
- 207 RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO
Cap. 1 Vectores 1.- d 7.- b 13.- c 19.- c 25.- c 31.- c 37.- d
2.- b 8.- c 14.- d 20.- b 26.- a 32.- c 38.- d
Cap. 8 Equilibrio de una partícula 3.- d 9.- c 15.- a 21.- a 27.- d 33.- d 39.- a
4.- d 10.- c 16.- d 22.- d 28.- b 34.- b 40.- a
5.- d 11.- c 17.- c 23.- c 29.- d 35.- d 41.- c
6.- c 12.- c 18.- c 24.- a 30.- a 36.- d
1.- d 7.- b 13.- d 19.- d 25.- c 31.- c
2.- b 8.- c 14.- c 20.- d 26.- b 32.- b
3.- d 9.- b 15.- d 21.- c 27.- d 33.- c
4.- d 10.- a 16.- a 22.- d 28.- a 34.- a
5.- d 11.- c 17.- c 23.- a 29.- c 35.- a
6.- d 12.- c 18.- d 24.- c 30.- c 36.- b
Cap. 9 Equilibrio de un Sólido Rígido Cap. 2 M. R. U. 1.- b 7.- c 13.- d 19.- c
2.- a 8.- b 14.- b 20.- d
3.- d 9.- d 15.- c 21.- c
4.- d 10.- a 16.- c 22.- b
5.- b 11.- d 17.- b 23.- b
6.- a 12.- a 18.- d 24.- a
Cap. 3 M. R. U. V. 1.- d 7.- a 13.- c 19.- a
2.- a 8.- a 14.- d 20.- b
3.- d 9.- a 15.- d 21.- c
4.- b 10.- c 16.- a 22.- c
5.- d 11.- c 17.- b 23.- d
6.- b 12.- b 18.- c 24.- b
Cap. 4 Movimiento Vertical (Caída libre) 1.- d 7.- b 13.- d 19.- c 25.- a 31.- d
2.- c 8.- a 14.- c 20.- b 26.- b 32.- d
3.- c 9.- c 15.- d 21.- b 27.- a
4.- d 10.- d 16.- c 22.- c 28.- a
5.- b 11.- c 17.- d 23.- d 29.- b
6.- c 12.- b 18.- c 24.- c 30.- c
1.- d 7.- c
2.- a 8.- d
3.- a 9.- d
4.- d 10.- a
5.- b 11.- d
6.- a 12.- d
Cap. 10 Dinámica del Movimiento Rectilíneo 1.- b 7.- a 13.- d 19.- a 25.- a 31.- b 37.- c 43.- d 49.- c 56.- a 62.- c 68.- d
2.- d 8.- b 14.- c 20.- d 26.- c 32.- a 38.- b 44.- b 50.- b 57.- d 63.- d
3.- c 9.- b 15.- d 21.- d 27.- d 33.- c 39.- d 45.- b 51.- d 58.- b 64.- d
4.- a 10.- c 16.- d 22.- d 28.- d 34.- c 40.- a 46.- b 53.- c 59.- a 65.- d
5.- c 11.- c 17.- c 23.- c 29.- c 35.- c 41.- c 47.- b 54.- a 60.- c 66.- a
6.- a 12.- c 18.- a 24.- c 30.- d 36.- c 42.- d 48.- a 55.- c 61.- b 67.- d
Cap. 11 Dinámica del Movimiento Circular 1.- d 7.- b
2.- d 8.- b
3.- c 9.- c
4.- c 10.- c
5.- b 11.- c
6.- b 12.- b
5.- c 11.- d 17.- a 23.- c 29.- c 35.- d 41.- a 47.- c
6.- b 12.- d 18.- c 24.- b 30.- d 36.- d 42.- b 48.- d
5.- c 11.- c 17.- c 23.- a 29.- c 35.- d 41.- c
6.- a 12.- d 18.- c 24.- a 30.- d 36.- c 42.- b
Cap. 5 Movimiento Parabólico Cap. 12 Trabajo y potencia 1.- d 7.- c 13.- d 19.- b
2.- a 8.- b 14.- b 20.- d
3.- c 9.- c 15.- a 21.- a
4.- d 10.- c 16.- b 22.- d
5.- a 11.- c 17.- d
6.- d 12.- a 18.- c
3.- c 9.- b 15.- c 21.- c 27.- b 33.- d
4.- a 10.- b 16.- d 22.- c 28.- b 34.- b
5.- d 11.- c 17.- b 23.- a 29.- d 35.- d
6.- a 12.- b 18.- d 24.- c 30.- a
Cap. 6 M. C. U. 1.- b 7.- d 13.- b 19.- b 25.- d 31.- b
2.- b 8.- a 14.- b 20.- c 26.- a 32.- c
Cap. 7 M. C. U. V. 1.- c 7.- b 13.- d 19.- b 25.- d
2.- b 8.- c 14.- b 20.- a 26.- c
3.- d 9.- c 15.- c 21.- d 27.- b
4.- c 10.- c 16.- a 22.- c 28.- b
5.- a 11.- c 17.- a 23.- a 29.- c
6.- c 12.- b 18.- a 24.- a 30.- b
1.- d 7.- c 13.- a 19.- a 25.- c 31.- a 37.- d 43.- b 49.- c
2.- d 8.- b 14.- b 20.- d 26.- a 32.- c 38.- d 44.- c 50.- d
3.- c 9.- a 15.- c 21.- b 27.- c 33.- c 39.- d 45.- a 51.- d
4.- d 10.- b 16.- c 22.- b 28.- c 34.- d 40.- b 46.- b 52.- b
Cap. 13 Energía Mecánica 1.- d 7.- a 13.- b 19.- a 25.- d 31.- c 37.- b
2.- d 8.- a 14.- a 20.- c 26.- c 32.- d 38.- b
3.- b 9.- a 15.- a 21.- a 27.- c 33.- b 39.- b
4.- c 10.- c 16.- c 22.- d 28.- c 34.- d 40.- b
- 208 -
Física General
BIBLIOGRAFÍA Walter Pérez Terrel
Teoría y problemas selectos de Física y como resolverlos
Raymond A Serway
Física. Tomo I. Editorial Normos S.A.
Jerry D. Wilson
Física Lander University. Segunda edición. PHH. Prentice Hall
Paul Hewitt.
Física Conceptual,
Michel Valero
Física Fundamental 1. Editorial Norma
Halliday – Resnick
Física. Parte I. Compañía Editorial Continental S. A. Mx.
Felix Aucalllanchi Velásquez.
Física. Editorial “San Marcos”. Lima - Perú
Jorge Mendoza Dueñas
Física. Teoría y Problemas. Ediciones Félix Maguiño. Lima – Perú
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http://www.cmark-gip.es/jano/fisica/mecanica/mecanica3.htm http://www.lafacu.com/ http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/index.htm http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Enlaces/FQ.htm http://www.mitareanet.com/fisica4.htm http://www.itm.edu.co/Archivos%20FTP/Unidades%20y%20Dimensiones.htm http://www.geocities.com/petersonpipe/ http://www.ejerciciosresueltos.com/ http://www.geocities.com/quiquepena/index.htm http://galilei.iespana.es/galilei/fis/problemas-fis.htm http://www.cienciafacil.com/fisica.html http://www.pabellondelaenergiaviva.com/formacion/index.html
