Li Lic. R R.. W W ild er P AC H EC ECO M . P A P AC
P
O C
r o
f :
E H P A C
- 1
A P A PT PT I T D AT E M E M ÁT T I C A TU U D M M AT
P
E
f : P A C H
r o
O C
Rómulo Wilder PACHECO MODESTO MODESTO Ediciones Ediciones G & L Gustavo PACHECO HUAYANAY Repaso CEPREVAL © CEPR CEPREVA EVAL L Cic Ciclo lo C 2015 2015 Primera Primera edición: edición: febrero febrero de 2015
- 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
1.
S= 2
Calcula el valor de la siguiente serie: S = 2 + 6 + 18 + 54 + .... + 1458
A) 2 186
B) 3 245
9
C) 2 990
D) 1 280
+ 5 + 8 + 11 + .... + 59 9
9
Se observa que la serie es aritmética, entonces
E) 1 769
2 + 59 × 20 2
S=
→
S = 610
tn
S = 2 + 6 + 18 + 54 + … + 1458
×3
×3
×3
En una serie geométrica
tn Sn
= t 1 × q n −1 =
t 1 (q n
2 × 3 n −1 3
n −1
3 n −1
S = 9 + 99 + 999 + 9999 + .... + 999 ...999 20 cifras
− 1) ..1090 A) O111
C E r o f : P A C H C)
P
= 2 × 3 n −1 →
Calcula el valor de la siguiente serie:
q −1
Calculando el número de términos tn
3.
= 1 458
21 cifras
111 ..1070 21 cifras
= 729 = 36 →
22 cifras
..1090 B) 111
n = 7
.. 1010 D) 111 19 cifras
E) 111 ..100 22 cifras
Reemplazando S=
2(37
− 1)
3 −1
→
S = 2186
Sumando y restando 1 a cada término S = (10 − 1) + (10 2 − 1) + (10 3 − 1) + .... + (10 20 − 1) S = (10 + 10 2 + 10 3 + .... + 10 20 ) + 20(−1)
2.
Calcula el valor de la siguiente serie:
+ 5 + 8 + .... + 53 + 56 + 59 2 20 términos
S = 1111 ..... 1110 − 20 21 cifras
S = 1111 ..... 1090 A) 340 D) 380
B) 540
C) 610
21 cifras
E) 740 - 3
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
4.
6.
Calcula el valor de la siguiente serie:
Calcula el valor de la siguiente serie:
+ 21 + 25 + 29 + .... 17
S =1+
25 términos
A) 1 250
B) 1 369
C) 1 450
D) 1 580
E) 1 625
A) 3
B)
2 3
+
4 9
+
8 27
+ ....
1 4
C)
D) 1
1 3
E) 5
Aplicando números combinatorios S = 17 + 21 + 25 + 29 + … 4
4
S= 1
+
4
2 3
+
2 ×
25
S = 17 C1
+ 4 C 25 2
4 9
2 ×
3
8 27
+
+ ....
2 ×
3
3
Aplicando suma límite
25 × 24 S = 17(25) + 4 2 S = 425 + 1200
1
S=
1−
→
2 3
S = 3
S = 1625 7. 5.
S = 9 + 3 +1+
A)
S = 2 + 8 + 16 + 26 + .... + 128
Calcula el valor de la siguiente serie:
27 2
B)
1 3
+ .... P r
o f :
21 4
C)
D) 27
Calcula el valor de la siguiente serie:
O
C320 A) E
B) 560
H P A C D) 270
E) 530
7 2
E) 3
c =– 2
2 + 8 + 16 + 26 + … … + 128
a+b= 4
S = 9 + 3 +1+
1 3
C) 460
2a
+ ....
=
6 2
Multiplicando toda la expresión por 3 Efectuando 1 3S = 27 + 9 + 3 + 1 + + .... 3
8 2
10 2
a =1 b=3 → c = −2
tn
= n 2 + 3n − 2
S
Luego, hallamos el número de términos
3S = 27 + S 2S = 27
- 4
→
S =
27 2
tn
= 128
→
n2
+ 3n − 2 = 128 n(n + 3) = 130 n = 10
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Entonces
10.
10
S = 2 C1
Halla el valor de S:
+ 6 C10 + 2 C10 2 3
S=
10 × 9 + 2 10 × 9 × 8 2 6 S = 20 + 270 + 240
1
1
+
2× 5
+
5×8
1 1 + .... + 8 × 11 59 × 62
S = 2 (10) + 6
S = 530
8.
Calcula el valor de la siguiente serie:
B) 1 490
S =1
S=
2
E) 1 210
2
2
2
+ 2 + 3 + 4 + .... + 15
D)
7 9
3S =
C) 990
D) 1 120
1 2
7 31
B)
C)
1 62
E)
5 31
Multiplicando la expresión por 3
S = 1 + 4 + 9 + 16 + .... + 225
A) 1 240
A)
3
+
2× 5
3 5×8
+
3 3 + .... + 8 × 11 59 × 62
Desdoblando 3S =
1 2
−1+1−1+1−
3S =
1 2
−
3S =
30 62
2
15(16)(31) 6
5
5
8
8
1 + ...... + 1 11 59
−
1 62
1 62
→
S =
5 31
S = 1 240
9.
P
Calcula “x”. 1 + 8 + 27 + .... + x
A) 9
3
O C11. Halla el valor de S:
r o
= 3 025
B) 11
f :
C) 12
D) 10
E) 13
13
+ 23 + 3 3 + .... + x 3 = 3 025 2
x(x + 1) = 55 2 2 x(x + 1) = 110 x(x + 1) = 10(11) Comparando
x = 10
E H P A C
S = 1+ 4 11 + + 22 + .... 20 términos
A) 4 560
B) 3 200
D) 6 010
C) 5 150 E) 5 140
S = 1 + 4 + 11 + 22 + … … 3
7 4
20
S = 1 C1
11 4
+ 3 C 20 + 4 C 320 2 20 × 19 + 4 20 × 19 × 18 6 2
S = 1(20) + 3
- 5
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
+ 4560 S = 20 + 570 Sea la progresión geométrica t ; tq ; tq 2 ; tq 3
S = 5 150
×q Por dato 12.
Halla tres números enteros positivos en
progresión geométrica tales que su suma sea 42 y
×q
t + tq + tq 2
+ tq 3 = 160
t (1 + q + q 2
+ q 3 ) = 160
×q
…(1)
la suma de sus cuadrados 756. Indica el producto de ellos.
1 1 + t tq
Además
A) 1 348
B) 1 548
C) 1 238
D) 1 728
1 1 + 1 t q
1
+
tq 2
1 tq 3
=
10 27
10 = 2 3 27 q q 2 3 1 1 + q + q + q = 10 27 t q3
E) 6 788
Sea la progresión geométrica t ; tq ; tq 2
×q
+ +
1
+
1
×q Multiplicando miembro a miembro (1) y (2)
t + tq + tq 2
Por dato
= 42 1 + q + q 2+ q 3 1 t(1 + q + q + q ) × t q3
t (1 + q + q 2 ) = 6 (7) …(1) Además
t
2
2
+ (tq) + (tq 2
t (1 + q
Comparando (1) y (2)
2
2 2
)
+q
4
2
= 756 2
) = 6 (21) …(2)
t=6 q=2
P
3
(1 + q + q 2
O C E
f : P A C H
r o
= 160 × 10 27
+ q 3 )2
q3 (1 + q + q 2
+ q 3 )2
q3
Luego los números son 6 ; 12 y 24
Comparando términos
q = 3
∴
Reemplazando en (1)
t = 4
Pr oducto de números = 6(12)(24) = 1728
= =
1600 27 40 2 33
Luego los términos son 4 ; 12 ; 36 y 108 13.
La suma de los 4 términos de una progresión
geométrica es 160 y la suma de sus inversos
∴
Producto de términos
= 4(12)(36)(108) = 186 624
10/27. El valor del producto de sus términos es: 14.
A) 167 890
Halla la cantidad de tipos utilizados en un
libro de 654 páginas.
B) 198 769 C) 186 624
A) 1 854
D) 233 280
D) 1 780
E) 176 540
- 6
B) 1 829
C) 1 765 E) 1 754
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Entonces • Números de una cifra: 1 término
En la sucesión de números naturales
• Números de dos cifras
consecutivos 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...... ;
10 ≤ 4 n + 3 < 100
N
1,75 ≤ n < 24,25
K cifras
Cantidad de cifras usadas
n = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;.... ; 24 } 23 términos
... 11 = (N + 1)K − 111
• Números de tres cifras
K cifras
99 – (1+23) = 75 términos Luego
Según el enunciado, el libro se tiene
Cantidad de
654 páginas
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...... ; 654
cifras utilizadas
= 1(1) + 2(23) + 3(75) = 272
3 cifras
Recuerda que tipo (de imprenta) es sinónimo de cifra, entonces
16.
Cantidad de tipos usados
Determina el valor de (a + b), si para escribir
desde el 1 hasta ab se emplearon 159 cifras.
= (654 + 1) 3 − 111 = 1854 3 cifras
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
P 15.
E) 9
O C
r o
f :
E H P A C
¿Cuántas cifras se utilizaran en la sucesión?
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...... ; ab
7 ; 11 ; 15 ; ……; 399 A) 324
B) 345
D) 232
2 cifras
C) 670
Según el enunciado desde el 1 hasta ab se
E) 272
empleó 159 cifras, es decir (ab + 1) 2 − 11
= 159
2 cifras
Hallando el término enésimo
(ab + 1) 2 = 170 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; … ; 399 4
4
4 t0
→
ab + 1 = 85
= 4n + 3
tn
Comparando a = 8
= 7−4 = 3
Calculando el número de términos
∧
→
ab = 84
b=4
∴ a + b = 12
4 n + 3 = 399 4n
= 396
→
n = 99 - 7
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
17.
La suma de los 30 primeros términos de la
serie:
1
Es decir
2n
1
=
→
16 20
2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ……. ; es: A) 1 345
B) 1 270
C) 1 365
D) 1 490
2n
= 16 20
2n
= (2 4 )20
2n
= 2 80
E) 1 480 Comparando
n = 80
Aplicando números combinatorios S = 2 + 5 + 8 + 11 + … 3
3
30
S = 2 C1
19.
3
La suma de “n” términos de la progresión
aritmética:
+ 3 C 30 2
30 × 29 S = 2(30) + 3 2 S = 60 + 1305
A) an + (a 2
S = 1365
D) (a 2
B) n(a 2
C) an + (a 2
Una hoja de papel se divide en dos una de
las mitades obtenidas es a su vez dividida por la
D) 70
inicio
1 ;
1 ; 2
; ... es:
+ 1)a −1n 2
2a 2
2a 2 1
2a 2
−2
−1 ;
4a 2
−3
a
;
−2 6a 2
−5
a
; ...
0
E) 80
una P.A., entonces
4 ta
S = (2a 2
− 1) C1n + (2a 2 − 2) C n2
S = (2a 2
n(n − 1) − 1)(n) + 2(a 2 − 1) 2
S = 2a 2 n − n + (a 2
1 1 1 ; ; ; .... 4 8 16
Luego en “n” divisiones, el papel pesara
- 8
a
Se deduce que a = 1 debido a que se trata de
divisiones 3ra
−5
C) 40
2da
;
6a 2
− 1)a −1n 2
Del enunciado
1ra
a
0
B) 50
−3
− 1)n
1 / 16 20 gramos?
A) 60
4a 2
− 1)a −1n 2
O C
P necesarias E mitad, etc. ¿Cuántas divisiones serán r o H C f : que P A para llegar al peso del átomo si suponemos hoja de papel pesa 1g y que el átomo pesa
1
−1 ;
− 1)a −1n 2
E) an − (a 2 18.
2a 2
− 1)(n 2 − n)
S = 2a 2 n − n + a 2 n 2 1 2n
S = a 2 n + (a 2
− 1)n 2
− a 2n − n 2 + n
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Dividiendo entre 1, es decir entre “a” S=
a 2n a
(a 2
+
Por dato
− 1)n 2
t + tq + tq 2
+ tq 3 + tq 4 + tq 5 = 9(t + tq + tq 2 )
a
t(q 6 − 1) q −1
− 1)a −1n 2
S = an + (a 2
q6
−1 =9 q3 −1
Simplificando 2 0.
En una fiesta donde hay 46 personas la 1ra
(q 3
dama baila con 5 caballeros, la 2da con 6 y la 3ra con 7 y así sucesivamente hasta que la última baila
con
todos
los
caballeros.
t(q 3 − 1) = 9 q − 1
− 1)(q 3 + 1) 9 = 3 q −1 q3
¿Cuántos
+1= 9
→
q = 2
caballeros hay? A) 24
B) 25
C) 22
D) 29
E) 33
22.
Dada la progresión aritmética en el sistema de
numeración que se indica: 102(3) ; 111(3) ; 120(3) ; .... Damas Caballeros 1
5
2
6
3
7
x
x+4
La suma de los 9 primeros términos es: A) 21100(3)
D) 128900 (3)
x + (x + 4) = 46
Planteando
2x
→ = 42 P r
Si la suma de los 6 primeros términos de una
C) 20100(3) E) 12100 (3)
O CExpresando cada término en base 10
E H P A C
x = 21
o f :
∴ N° de caballeros = 21 + 4 = 25
2 1.
B) 12000(3)
•
102(3)
= 1 × 3 2 + 0 × 3 + 2 = 11
•
111(3)
= 1 × 3 2 + 1 × 3 + 1 = 13
•
120(3)
= 1 × 3 2 + 2 × 3 + 0 = 15
Entonces la suma de los 9 primeros términos
progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos entonces la razón de la progresión es: A) 1
9 términos
S = 11 + 13 + 15 + … B) 2
D) 4
C) 3 E) 5
Sea la P.G.: t ; tq ; tq 2 ; tq 3 ; tq 4 ; tq 5
×q
×q
2
2
9
9
S = 11C1 + 2 C 2
9 × 8 2 →
S = 11(9) + 2 S = 99 + 72
S = 171
- 9
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Luego expresando 171 en base 3, mediante Sean las edades x − r ; x ; x + r
divisiones sucesivas
∴
+r
171
3
0
57
3
0
19
3
1
6
3
0
2
+r
(x − r) + x + (x + r) = 63
Por dato
= 63 → x = 21
3x
Además
(x − r)2
+ x 2 + (x + r)2 = 1395 2r 2
S = 171 = 20100(3)
2r 2
+ 3x 2 = 1395
+ 3(21)2 = 1395 2r 2
2 3.
∴
Si A y B presenta las sumas respectivamente
Edad del mayor
= 72 → r = 6
= x + r = 27
de los pares positivos e impares positivos no mayores que 1 000. Calcula: A – B A) 600
B) 800
C) 900
D) 500
25.
E) 700
Una progresión aritmética está formada del 4
al 55; la suma de los 6 primeros números es 69, la suma de los 6 siguientes es 177 y la suma de los 6 últimos es 285, el segundo y el décimo término de
Del enunciado se deduce que A representa la
la progresión sería:
suma de los 500 números pares consecutivos y B representa la suma de los 500 números impares consecutivos, es decir
P
O C8 y 31 D) E
A) 13 y 45
B) 12 y 33
E) 7 y 31
f : P A C H
r o
A = 2
+4+6+8+
....
+ 1000
B= 1
+3+5+7+
....
+
18 términos
4 ;.......... ....... ; .......... .......... . ; .......... ....... ; 55
998
Restando miembro a miembro en columnas
6 primeros S = 69
A − B = 1 + 1 + 1 + 1 + .... + 1 500 veces
A − B = 500
2 4.
Las
edades
En una P.A.
de
3
hermanos
están
en
6 siguientes S =177
=
Donde
r
Luego
a2
progresión aritmética creciente cuya suma es 63; si la suma de sus cuadrados es 1395, la edad del mayor es:
a 10
A) 17 D) 33 - 10 -
B) 27
C) 13 E) 45
C) 10 y 55
an r
=
6 últimos S = 285
= a1 +(n − 1)r − a1 n −1
an
55 − 4 17
→
r = 3
= 4 + (2 − 1)3
→
= 4 + (10 − 1)3
→
a 2 = 7 a 10
= 31
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
2 6.
28.
Si: 2 + 6 + 12 + ..... + n(n + 1) n
La suma de los números: 1 + 1 + 2 + 22
= 44
El valor de “n” es:
A) 2 360
+ 3 + 3 2 + .... + 25 + 25 2
B) 6 590
C) 5 785
D) 5 850 A) 10
B) 12
E) 7 650
C) 15
D) 20
E) 25 Agrupando convenientemente S = (1 + 2 + 3 + ... + 25) + (12
Efectuando 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + .... + n(n + 1) = 44 n n(n + 1)(n + 2) 3
S=
= 44 n S
(n + 1)(n + 2) = 132
+ 2 2 + 3 2 + .... + 25 2 )
25(26) 25(26)(51) + 2 6
= 325 + 5525
→
S = 5850
(n + 1)(n + 2) = 11(12) n + 1 = 11
Comparando
→
29.
n = 10
Un profesor de aritmética considera en su
clase los
primeros números naturales y de
inmediato divide la suma de sus cuadrados entre la suma de sus cubos, luego se pregunta: ¿Si yo 2 7.
hubiera tomado una infinidad de números
El número de cifras que se utiliza al escribir la
naturales el cociente seria?
siguiente serie de números consecutivos: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ……; 450 es: A) 1 110
B) 1 324
C) P 1 242 r o
E) 1 299 f :
D) 1 379
450 números 9 números
90 números
351 números
1; 2 ; 3 ;.... ; 9 ; 10 ;11;.... ; 99 ; 100 ;101; .... ; 450
1 cifra
2 cifras
3 cifras
cifras utilizadas
D)
3 4
B) 0
C) 1 E) 2
Si hubiera tomado una infinidad de números naturales el cociente sería 12
+ 2 2 + 3 2 + 4 2 + ..... S= 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + ..... +∞
∑ n2
Del esquema Cantidad de
2 3
C
E H P A C
A) O
= 1(9) + 2(90) + 3(351) = 1242
lim n 2 n2 1 → +∞ n = n 1 = = = =0 S= lim lim +∞ 3 3 n → +∞ → +∞ n n lim n n n3 n → +∞ n =1
∑
- 11 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
30.
Si la suma de los 20 números naturales
consecutivos es M, entonces la suma de los 20 números siguientes es: A) M + 400
B) M + 500
D) M + 320
4
C) 2M
3
E) M + 700
2 3 2
2
1 1
Calculando por partes
Del enunciado (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 20) = M
• N° de paralelepípedos =
4(5) 5(6) 3(4) × × 2 2 2
= 900
Piden calcular la suma de los 20 siguientes • N° de cubos = 4(5)(3) + 3(4)(2) + 2(3)(1) = 90
números naturales consecutivos, es decir S = (x + 21) + (x + 22) + (x + 23) + ... + (x + 40)
1 + 20
3 + 20
2 + 20
20 + 20
•
N°de paralelepí pedos = 900 − 90 = 810 que no son cubos
Desdoblando adecuadamente en 2 series
+ 1 + 20 + ... + 20 S = ( x )+ (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 20) + 20 20 veces
M
32.
¿Cuantos triángulos hay?
S = M + 20(20) A) 12 S = M + 400
B) 13 C) O 14
C15 D) E r o f : P A C H E) 16
P
31.
En la siguiente figura: 1 3 2 5
¿Cuántos paralelepípedos hay? ¿Cuántos cubos hay? ¿Cuántos paralelepípedos que no son cubos hay? A) 900; 90; 810
B) 700; 90; 610
C) 800; 60; 740 D) 1000; 50; 95
- 12 -
E) 870; 60; 790
6
x
4 8
7
De 1 #
: 2; 3; 4; 6; 7; 8
De 2 #s
: 13; 56; 89
De 4 #s
: 2x47; 6x83
De 10 #s : 123456789x
∴
N° total de triángulos = 12
9
→ → → →
6 3 2 1
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
33.
Por lo tanto, en la figura 100 se pueden contar
Halla el total de cuadriláteros en:
f 100
A) 210
B) 190
C) 230
D) 340
35.
=
100 2 2
−
100 2
+ 1 = 4951 cuadriláteros
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
E) 260
1
3
2
4
5
2 3
A) 30
B) 90
C) 75
D) 165 N° total de cuadriláteros =
6(7) 4(5) × 2 2
E) 225
= 210 1 2 3
34.
¿Cuántos cuadriláteros se puede contar en la
4
figura 100 del siguiente arreglo?
P
O C
1
E H P A C
r o
2
3
f : ……
N° total de triángulos = 1
2
A) 4350
3
4
B) 4385
4
5
(6 × 5)(6 + 5) 2
= 165
C) 4951
D) 4805
E) 4881 36.
¿Cuántos cuadriláteros tiene al menos un
asterisco? f 1
c= 1
Efectuando
f 3 f 4
....
f n
1 ; 2 ; 4 ; 7 ;…
a+b= 0 2a
f 2
=
1 1
2 1
3 1
a = 1 / 2 b = −1 / 2 → c =1
f n
=
n2 2
n
A) 312
2
D) 244
− +1
B) 231
C) 146 E) 253
- 13 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Contando el total de cuadriláteros 1
2
3
4
Del gráfico
5
6
2
N°de triángulos = isósceles
3
N° de cuadriláteros =
7(8) 4(5) × 2 2
1
1
38.
+
↓
2(2)
+
1
=9
En la figura cuántos cuadriláteros que no son
cuadrados hay en total.
1
8 12
4
↓
= 280
Contando los cuadriláteros que no tienen ningún asterisco (región sombreada) 1
↓
A) 70
B) 225
D) 180
3
C) 170 E) 36
12 + 1 + 1 + 1 + 1 + 8 + 3 = 27 cuadriláteros
O
Del gráfico
C Entonces, el número de cuadriláterosP que tiene al E 5(6) 5(6) r o H × • N° de cuadriláteros = menos un asterisco será C f : P A 2 2
N°de cuadriláteros con = 280 − 27 = 253 al menos un asterisco
• N° de cuadrados =
5(6)(11) 6
= 225
= 55
N°de cuadriláteros ∴ = 225 − 55 = 170 que no son cuadrados 37.
En la figura, ¿cuántos triángulos isósceles
existen? 39.
Calcula el número de paralelepípedos que no
sean cubos. A) 800 B) 810 C) 820 A) 8 D) 14
- 14 -
B) 10
C) 12
D) 830
E) 9
E) 840
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
41.
Cuántos segmentos existen en el gráfico
siguiente: A
2 3
2
2
1
1
3
M
D
A) 24
4
S
I
O
I
B) 26
N
C) 28
D) 30
E) 40
Analizando por partes 4(5) 3(4) 5(6) • N° de paralelepípedos = × × 2 2 2
2
1
= 900
• N° de cubos = 4(3)(5) + 3(2)(4) + 2(1)(3) = 90
A
D
3
M
∴ N° de segmentos =
4
6
5
S
I
7(8) 2
O
I
N
= 28
N°de paralelepí pedos ∴ = 900 − 90 = 810 que no son cubos 42.
40.
Halla el número total de triángulos.
Halla el número total de triángulos.
A) 24 B) 26 C) 22 D) 23
A) O22
B) 23
CD) 25 E r o f : P A C H
E) 25
P
3
4 5
1
1
6
3
4
8
7
a
7 0
E) 26
2
2
C) 24
b
5 6
c
d
8 9
De 1 #
: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
De 2 #s
: 23; 45; 61; 78; 89; 90; 07
De 3 #s
: 123; 234; 345; 456; 561; 612
De 6 #s
: 123456
∴ N° total de triángulos = 24
→ → → →
10
Contando de triángulos
7
De 1 #
: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; a, b, c
6
De 2 #s
: 12; 34; 56; 78; ab; bc; cd; da
1
De 4 #s
: 1234; 3456; 56178; 7812; abcd
→ → →
11 8 5
∴ N° total de triángulos = 24
- 15 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
43.
44.
Calcula el número total de triángulos.
Cuántos cuadriláteros existe en el gráfico
siguiente: A) 7 B) 9 A) 24
B) 26
D) 23
C) 25
C) 10
E) 27
D) 11 E) 19
Analizando por partes el número de triángulos •
b 1
c d
e
3
4 De 1 # De 2 #s De 4 #s
a
2
g
→ → →
: 1; 2; 4 : 12; 23; 34; 41 : 1234
f
3 4 1
Contando cuadriláteros de 3 letras
Total = 8 •
: adf; bdg; cde
→
3
: adc; edf; bdf; adg; adc; edf
→
6
2 3
∴ N° total de cuadriláteros = 3 + 6 = 9 1
4
P De 1 # De 2 #s De 4 #s
→ → →
: 2; 3 : 12; 23; 34 : 1234
2 3 1
E
f : P A C H
r o
O C
45.
¿Cuántos triángulos existen en el siguiente
gráfico?
Total = 6 A) 16
•
B) 18 1 3
2
C) 24 D) 17
4
E) 20
5
De 1 # De 2 #s De 3 #s De 5 #s
: : : :
1 ; 2; 3; 4; 5 23; 24; 35; 45 1 23; 124 12345
→ → → →
5 4 2 1
Total = 12
∴ N° total de triángulos = 8 + 6 + 12 = 26
b a
- 16 -
d
e
c
f
g h
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Contando triángulos De 1 letra De 2 letras De 4 letras De 8 letras
: : : :
47.
→ → → →
a, b, c, d, e, f, g, h ab, cd, de, cf, ef, gh abcd, efgh abcdefgh
Halla el número de segmentos.
8 6 2 1
∴ N° total de triángulos = 17
A) 32
B) 35
C) 36
D) 31
46.
E) 30
¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un 5(6)
asterisco (*)?
2 1
A) 22
2
B) 23
∗
C) 21 D) 19
∗
E) 18
1 3
1 2
4
1 4
P 2
f :
5(6) × 2 = 30 2
2 3
∗
= 10
¿Cuántos semicírculos hay?
E H P A C
A) 16
Ahora, se halla el total de triángulos sin asterisco
∗1
2
O C
r o
N° de triángulos =
4(5)
= 10
∴ N° total de segmentos = 10 + 10 + 15 = 35
48.
3
2
4
4(5)
Hallando el número total de triángulos
2
5
3
2
1
4
3
∗
= 15
3(4) 2
B) 17
C) 18
D) 19
E) 24
3
=6
2
4 diámetros
∗ 1 1
1 2
3
1
N°de triángulos con por ∴ = 30 − 8 = 22 lo menos un asterisco
#círculos
∴ N° de semicírculos = 2(4) × 3 = 24
- 17 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
49.
¿Cuántos ángulos agudos se observan?
¿Cuántas pentágonos, como máximo, hay en
la siguiente figura?
12 11 10
A) 64
51.
B) 71
A) 9
C) 66
B) 10
D) 65
C) 11 3
E) 56
2 1
D) 7 E) 8
A 11 10
c
a
11 10
b 3 3 2 2 1 1
O
e d
Contando pentágonos
B
ángulo recto AOB
→ →
De 2 letras : ab, bc, cd, de, bd De 3 letras : abc, cde
∴ N° de ángulos agudos =
50.
11(12) − 1 = 65 2
El número de triángulos rectángulos en la
∴ N° total de pentágonos = 7
¿Cuántos 52. O
C E r o f : P A C H A) 50
figura es:
P
A) 12
5 2
triángulos hay en la figura?
B) 74
B) 22
C) 82
C) 32
D) 68
D) 36
E) 70
E) 70
3 triángulos (a, ab, abc)
3
4(5)
× 5 = 50 2
c 1
b a
3
2 3
3
1
3
∴ N° total de triángulos rectángulos = 4(3) = 12
(4 × 2)(4 + 2) 2
- 18 -
= 24
1
2 2
3
4
1
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
∴ N° total de triángulos = 24 + 50 = 74
54.
Halla la longitud del recorrido mínimo que se
debe hacer para trazar la figura sin levantar el lápiz del papel. 8 53.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
2
figura? A) 20
B) 30
C) 32
D) 40
E) 36
Identificando los puntos impares A) 95
B) 96
8
C) 97
D) 98
E) 99 2
Contando por partes Se observa que hay 6 puntos impares, entonces
•
5
N° de líneas a repetir =
1
6−2 2
1 2
3
5
6
7
∴ Recorrido mínimo = 2(8)+5(2) + 2(2) = 30
8
2
•
O C
E r o H f : P A C
9
P 10(11)
5(6)
líneas repetidas
5
4
=2
2
suma total de líneas
= 55
= 15 4
3
2
N° de trazos
1
repetidos
1
=
N°de puntos impares − 2 2
2 3 4
55.
Halla la menor distancia que debe recorrer la
punta de un lápiz para dibujar la figura. 5(6) 2
= 15
A) 48 B) 50
∴
N° total de triángulos = 66 + 30 = 96
C) 52
8 10 6
D) 54 E) 60
- 19 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
líneas repetidas
8
Inicio del recorrido
∴ Recorrido mínimo = 5(10)+10(6) + 4(6) = 134
10
suma total de líneas
6
Fin
57.
Se observa que hay 4 puntos impares, entonces 4−2 N° de líneas a repetir = 2
Como mínimo una araña emplea 15 min en
recorrer todas las aristas de un cubo construido con alambre. ¿Qué tiempo empleo en recorrer
=1
una arista? A) 2 min
líneas repetidas
B) 1 min
D) 0 min
C) 3 min E) 4 min
∴ Recorrido mínimo = 2(6+8+10) + 1(6) = 54 suma total de líneas
Fin Inicio del recorrido
56.
L
Halla la longitud del recorrido mínimo para
trazar la figura: 6 Se observa que hay 8 puntos impares, entonces
O C
10
P
r o
f :
E H C P A
N° de líneas a repetir =
8−2 2
=3
Es decir recorrió en total 15 aristas (12+3) en 15 A) 144
B) 130
C) 134
D) 120
minutos, por lo tanto, en una arista empleo 1 min.
E) 156
58. Inicio del recorrido
Cuál o cuáles de las siguientes figuras se
puede realizar sin levantar el lápiz y sin repetir el trazo. 10 A) Solo II
Fin
B) Solo II C) I y II
6
D) II y III
Se observa que hay 10 puntos impares, entonces N° de líneas a repetir =
- 20 -
10 − 2 2
(II)
(I)
E) Solo I
=4 (III)
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Contando puntos impares
(I)
Contando puntos impares
La figura tiene solo puntos pares
La figura tiene 2 puntos impares
∴ Si se puede dibujar de un
∴ Si se puede dibujar de un
solo trazo
solo trazo (I)
()
(II)
La figura tiene 4 puntos impares
La figura tiene 4 puntos impares
∴ No se puede dibujar de
∴ No se puede dibujar de
un solo trazo
un solo trazo (II)
()
(III)
( )
( )
La figura tiene 6 puntos impares
La figura tiene 2 puntos impares
∴ No se puede dibujar de
∴ Si se puede dibujar de un
un solo trazo
solo trazo (III)
()
()
Por lo tanto, solo la figura I se puede realizar de Por lo tanto, solo la figura I se puede realizar de
un solo trazo.
un solo trazo.
P 59.
O C
r o
f :
E H P A C
Determina cuál o cuáles de las siguientes
figuras se puede efectuar de un solo trazo, sin levantar la mano y sin pasar dos veces por una misma línea.
(II)
(I)
(III)
A) I y II D) I y III
B) Solo I
C) Solo II E) Solo III
- 21 -
