Estadística I Ciclo I-2015
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía Departamento de Matemática y Estadística Unidad II: Conteo y Probabilidad Básica Guía de Ejercicios Ejercicios sobre técnicas de conteo 1. En una operación de manufactura, una pieza se produce por maquinado, pulido y pintado. Si hay tres herramientas de maquinado, cuatro herramientas herramientas de pulido y tres herramientas de pintado, ¿cuántas rutas diferentes para una pieza son posibles? Detalle las rutas. 2. Unos amigos llegaron a una fonda a comer tacos al pastor. La mesera tomó la orden de tacos, de los cuales 18 deberán tener cebolla, 23 salsa picante y 29 cilantro. Además anotó que nueve sólo llevaban cilantro y picante, tres solo picante, ocho sólo cilantro y cinco los tres ingredientes. a) ¿Cuántos tacos llevaban cebolla y picante, pero no cilantro? R/ 6 b) ¿Cuántos cebolla y cilantro, sin picante? R/ 7 c) ¿Cuántos sólo cebolla?
R/ ninguno
d) Si los tacos cuestan tres pesos y además se consumieron cuatro refrescos de ocho pesos cada uno ¿a cuánto asciende la cuenta? R/ 146 pesos total de tacos 38 3. Un estudiante posee un bolso de tres depósitos y dispone de 6 libros diferentes. De cuántas maneras puede ordenar tres libros de los seis disponibles en su bolso. 4. En una escuela de idiomas hay 65 profesores y cada uno sabe al menos un idioma extranjero. Cincuenta profesores saben inglés, 35 francés, y 35 alemán. Veinticinco saben inglés y alemán, 20 saben inglés y francés, y 15 alemán y francés; de éstos últimos, 5 también hablan el inglés a la perfección. a. ¿Cuántas personas hablan los tres idiomas? b. ¿Cuántas personas hablan sólo inglés, sólo francés, sólo alemán? c. ¿Cuántas personas saben exactamente 2 idiomas? (Se recomienda utilizar diagramas de Venn) 5. Haga un detalle de los espacios muestrales siguientes (use diagrama diagrama de árbol) a. Lanzar dos dados b. Lanzar un dado y una moneda c. Extraer 2 bolas de una caja que contiene azules, blancas y rojas 6. Existen 3 errores graves que un aprendiz puede cometer al ensamblar una pieza de maquinaria. ¿De cuantas formas distintas puede cometer al menos dos errores graves?
1
7. En una distribuidora de productos electrónicos hay un lote de 250 computadoras y normalmente siempre aparecen algunas defectuosas. Si se examina la calidad al extraer muestras de tamaño 3, describa el espacio muestral. 8. Para viajar de la ciudad “A” a la “C”, se debe pasar por la cuidad “B”. Hay 4 caminos que conectan “A” con “B” y tres caminos que conectan “B” con “C”. a. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo (salir de “A” y regresar a “A”)?
R/ 144
b. ¿De cuántas maneras se puede hacer un viaje redondo, si se debe regresar por una ruta diferente en cada tramo? R/ 72 9. Un estudiante revisa a diario su correo electrónico y en un día cualquiera se da cuenta que ha recibido seis mensajes de direcciones diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede responder los seis mensajes? Sea S = {Irene, Vanessa, Rubén, y Yosabeth} de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y supervisor, ¿de cuántas maneras se puede hacer? Detalle los resultados 10. La Presidencia, la vicepresidencia y la gerencia de una compañía, están vacantes y hay ocho candidatos. ¿De cuantas maneras pueden ser ocupadas las vacantes? 11. Calcular:
a
7 ) ; 3
10 b) ; 0
10 c) 10
d)
(2) = 55.
12. Simplificar las siguientes expresiones:
a
)
7! 2!5!
b)
(n 2 1)(n 2)! (n - 1)!
c)
100! 98!2!
d)
5! 3!0!
13. Un empresario clasifica a sus clientes de acuerdo a tres criterios; según el volumen de compras (alto, medio o bajo); según su origen (nacional o extranjero) y según su política de crédito (corto, mediano y largo plazo). ¿De cuantas maneras distintas se puede clasificar un cliente? 14. Se tienen los números del 1, 4, 7 y 9. Si se seleccionan dos de estos para sumarlos, ¿Cuántas cantidades diferentes se pueden formar? R/ 6 15. En una oficina trabajan 5 hombres y 5 mujeres. De entre los cuales se van a escoger a cuatro para formar un grupo que deberá trabajar los domingos. ¿Cuántos equipos o grupos diferentes pueden formarse? Sí: a) No existen restricciones. b) Debe estar formado por dos hombres y dos mujeres. c) Debe estar formado por dos hombres y dos mujeres, pero una mujer específica no puede formar parte del equipo. d) Solo hombres. e) Solo mujeres.
2
16. Hay 5 personas que se van a formar en una fila, ¿de cuántas maneras distintas se pueden formar? 17. Deberá asignárseles a 7 hombres, 7 trabajos diferentes. De cuántas maneras se puede hacer la asignación? 18. Se nombra una persona supersticiosa a dirigir el Departamento de Obras Públicas. Por considerarlo de mala suerte, establece que los dígitos en las placas no pueden repetirse ni deben terminar en tres ni siete. ¿Cuántas placas distintas se pueden hacer ahora?, sí la misma se forma con 6 números nota: los problemas 21, 22, 23 y 24 están relacionados 19. ¿Cuántas maneras hay de seleccionar un comité de 5 personas cuando tenemos un grupo de 7 mujeres y 5 hombres? 20. ¿De cuántas maneras podemos seleccionar el comité de 5 personas si ese comité debe tener 3 mujeres y 2 hombres? 21. ¿De cuántas maneras podemos seleccionar el comité de 5 personas si ese comité debe tener 3 mujeres y 2 hombres y hay dos mujeres que no pueden servir juntas? 22. ¿De cuántas maneras podemos seleccionar el comité de 5 personas si ese comité debe tener 3 mujeres y 2 hombres y hay dos mujeres que no pueden separarse? Para responder los ejercicios 25 y 26, tome en cuenta el teorema de permutaciones con repetición Las permutaciones con repetición plantea que si de los objetos n , n 1 son iguales , n 2 son iguales.., .n k son iguales, entonces el número de permutaciones de los n objetos en donde n 1 pertenece a la clase 1, n 2 pertenece a la clase 2 …..y así sucesivamente, vendrá dada por: k n! P ( n1 , n2 , n3 .....nk ) , donde : n 1 + n2 + n3 + ...+ n k = n o bien: ni n n1! x n 2 ! x n3 !.... xnk !
ni
23. ¿Cuántas palabras diferentes de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra TATTY? R/ 20 palabras diferentes 24. Cuántas señales diferentes pueden formarse con 4 banderas azules y dos verdes idénticas. R / 15 señales 25. El valor de n en la ecuación
n P 4 =
78*[
(n-1) C 3 ]
es? (sugerencia: desarrolla los factoriales) R/ 13
26. En un torneo de tenis se realizaron 55 partidos, a una sola vuelta y jugando uno contra todos. ¿Cuántos jugadores participaron? nota: los problemas 29, 30, 31, y 32 están relacionados 27. Se formarán placas para automóviles con tres letras y cuatro números. Cuántas son las posibilidades si no hay restricciones. (Hay disponibles 26 letras y 10 dígitos) 28. Si las letras y los números no se repiten ¿Cuántas son las posibilidades? 29. Si las letras y los números no se repiten, pero además en la primera letra sólo pueden haber vocales ¿Cuántas son las posibilidades?
3
30. Si las letras y los números no se repiten y además los números deben comenzar y terminar en cifra par. ¿Cuántas son las posibilidades? 31. El candado de la bicicleta de Carlos tiene una combinación de 3 discos, cada uno de los cuales tiene todos los enteros del 0 al 9. Cuando cada uno de los tres discos señala la cifra correcta, se abre el candado. Carlos olvidó completamente el número del primer disco, pero recuerda que el número del segundo está entre 0 y 5 (ambos inclusive) y que el número del tercer disco está entre 6 y 9 (ambos inclusive) ¿Cuántos intentos puede hacer Carlos para abrir el candado? 32. Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuántas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? 33. En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? 34. Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas? 35. Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos. ¿De cuantas maneras podrá seleccionarse? 36. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares? 37. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores, ¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos? 38. La selección peruana de voleibol está conformado por 12 chicas. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo? 39. Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados? 40. Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si
¿no hay restricciones?
¿debe haber seis hombres y seis mujeres?
¿debe haber un número par de mujeres?
¿debe haber más mujeres que hombres?
¿debe haber al menos 8 hombres?
41. Mediante el uso de las regiones numeradas, identifique cada uno de los siguientes conjuntos
4
a). A – (B U C ) b). C ∩ ( A U B ) c). ( A ∩ B ∩ C ) – ( A ∩ B ) d). ( A ∩ B ´) U ( A ∩ C ´) e). ( A U B ´) ∩ C 42. Una encuesta en una universidad indica que a: 29 estudiantes les gusta el reggaetón 23 les gusta perreo 40 les gusta la música romántica 10 les gusta la música romántica y el reggaetón 13 les fascina la música perreo y romántica 5 les gusta el perreo y el reggaetón 3 les gusta el reggaetón, el perreo y la música romántica Si en total fueron 70 los estudiantes entrevistados, calcule: a. El número de estudiantes a quienes les gusta sólo la música romántica b.
El número de estudiantes a quienes les agrada el reggaetón y el perreo, pero no la música romántica
c. El número de estudiantes a quienes no les gusta el perreo, ni el reggaetón ni la música romántica 43. En una encuesta a 100 inversionista, se observó lo siguiente: 5 sólo poseían acciones 15 poseían solamente valores 70 eran propietarios de bonos 13 poseían acciones y valores
5
23 tenían valores y bonos 10 eran propietarios de acciones y bonos 3 invertían en las tres cosas a. ¿Cuántos inversionistas tenían sólo bonos? b. Cuántos poseían acciones o valores? c. Cuántos no invertían en bonos ni acciones? 44. Clasifica los siguientes experimentos como aleatorios o determinísticos a) Lanzar un dado b) Medir la distancia entre dos ciudades c) Extraer una carta de una baraja d) Jugar a la ruleta e) Adivinar en que mano esconde un compañero una moneda 45. Una pareja quiere tener tres hijos. Hallar: El espacio muestral teniendo en cuenta si son varones (V o mujeres (M) El suceso A = al menos uno de los tres hijos sea varón El suceso B el hijo mayor sea varón El suceso C la hija más pequeña sea mujer 46. Realiza un diagrama de árbol del experimento consistente en extraer dos bolas sin re emplazamiento de una urna donde tenemos bolas numeradas del 1 al 3 47. Consideremos el juego: “Tenemos un saco con 3 bolas rojas, 2 amarillas y 1 blanca”. El juego acaba cuando extremos la bola blanca. Como máximo se pueden extraer tres bolas. Escribe las diferentes posibilidades ayudándote de un diagrama de árbol 48. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias? 49. Cuántos números se pueden formar usando todos los dígitos: 2, 4, 5, 7, 9 a. Si no se pueden repetir los dígitos b. Cuántos de estos números son múltiplos de 5 c. Cuántos de ellos son mayores de 70,000 d. Cuántos de ellos son menores de 50,000 e. Cuántos de ellos son pares
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50. Se aplicó una encuesta en un despacho contable, la cual dio como resultado que el 35 % de los profesionistas son contadores; de ellos, un 30% tiene estudios de maestría. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador sea contador y tenga estudios de maestría? 51. Dos cazadores deciden ir a una selva Africana. El primer cazador tiene probabilidad de 0.6 de pegar en un blanco móvil, mientras que el segundo cazador pega en un blanco móvil con probabilidad de 0.5. Luego de dos horas de haberse internado en la jungla se aproxima un león furioso hacia ambos cazadores y éstos le disparan. ¿Cuál es la probabilidad de haber detenido a la fiera? Los resultados electorales en la elección 2012 para Consejos Municipales, en los municipios de San Salvador y Santa Tecla fueron (Aplica preguntas siguientes): Candidatos FMLN Otros Total 52. Usando sus conocimientos 56,882.00 115,797.00 172,679.00 Schafick Handal de probabilidad, ¿Es 35,180.00 25,096.00 60,276.00 Oscar Ortiz independiente el evento 92,062.00 140,893.00 232,955.00 Total voto por candidato del evento voto por partido (Debe demostrarlo)? 53. Con relación al problema anterior, se seleccionó un votante al salir del centro de votación (de santa tecla o de san salvador), ¿Cuál es la probabilidad que votase por el FMLN? 54. Un votante, encuestado (de San Salvador o de Santa Tecla) después de votar, se le consultó por quién voto, y dijo que por el FMLN, ¿Cuál es la probabilidad que votase por Oscar Ortiz? 55. Un votante, encuestado de Santa Tecla después de votar, se le consultó por quién voto, y dijo que por el FMLN, ¿Cuál es la probabilidad que votase por Schafick Handal?(Razone su respuesta) (Aplica a preguntas siguientes) La Lotto Pisto Es un sorteo en cual el participante elige una combinación de seis binomios entre 01 y 34. (Binomios 01,02,03,04,05,06,07,08,09,10….34) , no importa el orden de selección. Los premios son: PREMIOS BINOMIO PREMIO 56. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el ACERTADO premio mayor?
1er premio 2er premio 3er premio 4er premio
6 aciertos 5 aciertos 4 aciertos 3 aciertos
$50,000* $1,000 $5 REVALIDACIÓN
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57. ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos revalidar el boleto? 58. En una estadística I, se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos primeros parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales? 59. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 60. Al auditar las 87 cuentas por pagar de una compañía, se inspecciona una muestra de 10 cuentas. ¿Cuántas muestras posibles hay? 61. Del problema anterior, suponiendo que 13 de las cuentas contienen, un error, si se seleccionan 10 cuentas para la muestra ¿cuántas muestras contienen exactamente dos cuentas incorrectas? 62. Una tienda de electrodomésticos va a recibir un embarque de 50 refrigeradores, de los cuales 5 están descompuestos. El dueño de la tienda someterá a prueba dos refrigeradores al recibir el embarque y solamente lo aceptará si ninguno de ellos presenta fallas. Diga usted que probabilidades tiene de aceptar el embarque. Del trabajo de grupo de estadística, si tiene que seleccionar en forma aleatoria 10 acciones del índice SP100, responda: 63. ¿Cuál es el tamaño del espacio muestral? 64. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 60 estudiantes, se repita un portafolio? 65. Una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas. En esta fábrica se producen 100,000 botellas al día, La máquina A produce 65,000 botellas diarias, de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 35,000 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas. El inspector de calidad de la empresa selecciona una botella al azar y encuentra que esta defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la maquina A? Se sortea un viaje a las islas San Andrés, entre los 150 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 85 son mujeres, 70 están casados y 45 son mujeres casadas. 66. ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre casado? 67. Si del afortunado(a) se sabe que es mujer, ¿Cuál es la probabilidad que sea casada? 68. María Campos, gerente del departamento de crédito de un banco, sabe que la compañía utiliza 3 métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se tiene registrados, ella sabe que 55% de los deudores son visitados personalmente, el 20% se les sugiere que paguen vía telefónica y al restando se le envía una carta. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero debido a que los pagos de una cuenta con estos 3 métodos son: 0.65, 0.5 y 0.75 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que no se efectúen pagos? Los resultados del primer parcial de Estadística fueron: Resultado Aprobado
Hombre
Mujer
Total general
6
8
14
No realizado
12
14
26
Reprobado
23
24
47
Total general
41
46
87
8
Usando como estimadores para el segundo parcial, responda: 69. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el segundo parcial? 70. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno y que sea mujer? 71. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno que sea hombre y que apruebe el examen? 72. ¿Cuál es la probabilidad que dado que es hombre, apruebe el examen? 73. Se seleccionó un estudiante ¿Cuál es la probabilidad que dado que reprobó el examen, sea del género femenino? 74. ¿Es el género es independiente del resultado del examen? 75. ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar un estudiante, sea hombre o que esté aprobado? 76. Se escogió un estudiante y resulto del género masculino, ¿Cuál es la probabilidad que este reprobado? 77. Para el 2015, se estima que habrá 7,282 millones de personas, de las cuales 1,300 millones son chinos, aproximadamente una de cada 5 personas son chinos. Una pareja está esperando su quinto hijo en el hospital de la Mujer, en san salvador, ¿Cuál es la probabilidad que sea chino?
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