TALLER TALLER DE CONCEPTOS BÁSICOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
1. Proporcione Proporcione una una descripción descripción razonabl razonable e del espacio espacio muestral muestral de cada uno de los experimentos aleatorios de los ejercicios. -
Se utili utiliza za una escal escala a con dos deci decimal males es para para medir, medir, en tonel tonelada adas s la cantidad de material que ingresa a una empresa química.
X = nmero de toneladas ! = " ( x .0,0 ) , ( x .0,1 ) , ( x .0,2 ) , ( x .0,3 ) , ( x .0,4 ) , ( x .0,5 ) … ( x .0,99 )} ! = 1##
$a orden de pedido de un automó%il puede especi&icar transmisión autom'tica o est'ndar, con o sin aire acondicionado, ( uno de cuatro colores) rojo, azul, negro o blanco. *escriba el conjunto de todos los pedidos posibles para este experimento. += += transmisión autom'tica += transmisión est'ndar = con aire acondicionado S= sin aire acondicionado /= rojo = azul 0= negro = blanco !="2+,,/3,2+,,3,2+,,03,2+,,3,2+,S,/3,2+,S,3, 2+,S,03,2+ 2+,S,03,2+,S,3,2+,,/3,2 ,S,3,2+,,/3,2+,,3,2+,,03, +,,3,2+,,03,2+,,3,2+,S,/3, 2+,,3,2+,S,/3, 2+,S,3,2+,S,03,2+,S,34
5. l diagrama diagrama de 6en 6en de la &igura &igura contiene contiene tres e%entos. e%entos. /eproduz /eproduzca ca la &igura &igura ( sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes e%entos a. 7 b. 8 c. 2839 d. 2937 e. 28379
:. 3.1.6 EJERCICIOS 1. 9n taller de mantenimiento tiene tres t;cnicos) , , . ierto día dos empresas X, < requieren un t;cnico cada una. *escriba el conjunto de
posibles asignaciones si cada t;cnico puede ir solamente a una empresa. n=: =1
()
( 3 + 1−1 ) ! 3 ! = =6 1 ! ( 3−1 ) ! 1 ! 2 !
()
( 2+ 1−1 ) ! 2 ! = =2 1! 1 ! ( 2 −1 ) !
3 1
=
n=5 2
=1
1
=
2. n el ejercicio anterior, suponga que el mismo t;cnico debe ir primero a la empresa X ( luego a la empresa <. *escriba el conjunto de posibles asignaciones.
n=5 =1
( 2+ 1−1 ) ! 2 ! = =2 1 ! ( 2 −1 ) ! 1 !
() 2 1
=
n=1 =1
() 1 1
=
( 1 + 1 −1 ) ! 1 ! = =1 1! 1 ! ( 1 −1 ) !
3. >a( tres paralelos para el curso de c'lculo di&erencial ( tres paralelo para algebra lineal. 9n estudiante desea tomar ambos cursos. scriba el conjunto de posibles asignaciones.
n=? =1
() 6 1
=
( 6 + 1 −1 ) ! =6 1 ! ( 6− 1 ) !
4. n un curso preuni%ersitario los ex'menes solían tener 5# preguntas ( cada una con cinco opciones. @*e cuantas &ormas di&erentes se puede contestar el examenA
n= 5#
( ) 20
=B
5
=
( 20 + 5− 1 ) ! = 15.504 5 ! ( 20−1 ) !
>a( 1B.B#C &ormas di&erentes de contestar el examen. 5. 9na caja contiene B libros de Datematicas ( una segunda contiene C libros de Eisica. @*e cuantas maneras se puede tomar un libro por materiaA 3 si todos los libros son di&erentes. 3 si los libros de cada materia son iguales.
a3 n=F
() 9
=5
=
2
( 9 + 2 −1 ) ! 10 ! = = 36 2!8! 2 ! ( 9 −1 ) !
>a( :? maneras de tomar un libro por materia si todos son di&erentes. b3 n=5
() 2 2
=5
=
( 2+ 2−1 ) ! =1 2 ! (2 −1 ) !
>a( 1 manera de tomar un libro por materia si los libros de cada materia son iguales. 6. 9na caja contienen : bola azulas ( 5 rojas. 9na segund contiene 5 bolas rojas. *e la primera se extra una bola ( se coloca en la segunda caja. Einslmente de la segunda caja se extraen dos bolas. @u'ntos resultados di&erentes se pueden obtener al extraer las dos bolas de la segunda cajaA @en cuantos de estos resultados se obtendr'n dos bolas de di&erentes coloresA 7. Para un pro(ecto se requieren dos ingenieros ( tres t;cnicos. Si Ga( cuatro ingenieros ( cinco t;cnicos disponibles. @*e cuantas maneras se puede Gacer la elecciónA
n=C = 5
() 4 2
=
( 4 + 2−1 ) ! =¿ 2 ! ( 4 −1 ) !
n=B =:
() 5 3
=
( 5 + 3 −1 ) ! =¿ 3 ! ( 5− 1 ) !
8. 9na caja contiene ? baterias de las cuales 5 son de&ectuosas. @*e cuantas maneras se pueden tomar tres baterías de tal manera uHe solo Ga(a una de&ectuosaA
n=:
() 3
=1
1
=
( 3 +1−1 ) ! 3 ! = = 12 1! 2 ! 1 ! ( 3− 1 ) !
>a( 15 &ormas de tomar tres baterías de tal manera que solo Ga(a una de&ectuosa. 9. n un grupo de ?# estudiantes, C5 estan registrados en an'lisis num;rico, :I en estadística ( 1# no est'n registrados en ninguna de estas dos materias. @u'ntos est'n registrados nicamente en estadísticaA @u'ntos est'n registrados en estadística pero no en an'lisis num;ricoA seguridad de una bicicleta tirnr un candado de C discos. 10. l cable de seguridad ada disco tiene ? numeros. Si probar cada combinación toma cinco segundos, determine el tiempo m'ximo que le tomar' a una persona encontrar la cla%e para quitar el cable de seguridad que sujeta la bicicleta. C. S&dg 5.51 los participantes de una con%ención co n%ención se les o&rece seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de inter;s. *e cuantas maneras se puede acomodar a una persona para que %a(a a uno de los recorridos planeados por la con%ención. 2.22 n un estudio medico los pacientes se clasi&ican en I &ormas de
acuerdo a su tipo sanguíneo) J, -, J, J, -, J, - KJ u K-L ( tambi;n de acuerdo a su presión sanguínea) baja, normal o alta. ncuentre el nmero de &ormas en las que se puede clasi&icar un paciente. 2.23 Si un experimento consiste en lanzar un dado ( despu;s extraer una letra al azar del al&abeto ingles, cuantos puntos Gabr' en el espacio muestralA 2.24 $os estudiantes de Gumanidades de una uni%ersidad pri%ada se clasi&ican como estudiantes de primer aMo, segundo aMo, de penltimo aMo o de ltimo aMo, ( tambi;n de acuerdo con su g;nero 2Gombre o mujer3. alcule el nmero total de clasi&icaciones posibles para lo estudiantes de la uni%ersidad. P= Primer aMo >= Gombre
S= segundo aMo P= penltimo aMo 9= ultimo aMo
D= mujer
! = "2P,D3,2P,>3,2S,D3,2S,>3,2P,D3,2P,>3,29,D3,29,>34 !=I >a( I clasi&icaciones posibles para los estudiantes de esa 9ni%ersidad. 2.25 ierta marca de calzado existe en B di&erentes estilos ( cada estilo est' disponible en C colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que inclu(a todos los di%ersos estilos ( colores, @u'ntos pares di&erentes tendría que mostrarA
2.26 9n estudio en ali&ornia conclu(o que siguiendo N sencillas reglas para la salud un Gombre ( una mujer puede prolongar su %ida 11( N aMos en promedio, respecti%amente. stas N reglas son) no &umar, Gacer ejercicio de manera Gabitual, moderar su consumo de alcoGol, dormir siete u ocGo Goras, mantener el peso adecuado, desa(unar ( no ingerir alimentos entre comidas. *e cu'ntas &ormas puede una persona adoptar cinco de estas reglas) a3 Si la persona actualmente in&ringe las siete reglasA b3 Si la persona nunca bebe ( siempre desa(unaA
2.27 9n urbanista de un nue%o &raccionamiento o&rece a un posible comprador de una casa elegir entre C diseMos, : di&erentes sistemas de cale&acción, un garaje o cobertizo, ( un patio o un porcGe cubierto. @*e cu'ntos planos di&erentes dispone el compradorA
2.28 9n medicamento para ali%iar el asma se puede adquirir en B di&erentes laboratorios ( en &orma de líquido, comprimidos o capsulas, todas en concentración normal o alta. @*e cuantas &ormas di&erentes puede un m;dico recetar la medicina a un paciente que su&re de asmaA 5 × 2 × 3 = 30
9n medico puede recetar de :# &ormas di&erente la medicina a un paciente que su&re de asma.
2.29 n un estudio económico de combustibles, cada uno de : autos de carreras se prueba con B marcas di&erentes de gasolina en N lugares de prueba que se localizan en di&erentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 5 pilotos ( las pruebas se realizan una %ez en cada uno de los distintos grupos de condiciones, @cu'ntas pruebas se necesita realizarA
(
)
5 c 2 =10 x 7 x 3 =210
Se necesitan realizar 51# pruebas
2.30 @*e cuantas &ormas distintas se puede responder una prueba de &also%erdadero que consta de F preguntasA x =n1∗n2∗n3∗n 4∗n5∗n 6∗n7∗n8∗n9 x = 2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2∗2 x =512
*e B15 &ormas distintas se puede responder una prueba de &also o %erdadero que conste de F preguntas.
2.31 9n testigo de un accidente automo%ilístico le dijo a la policía que la matricula del culpable, que Gu(o, contenía las letras /$> seguidas por : dígitos, de los cuales el primero era un B. Si el testigo no recuerda los 5 ltimos dígitos, pero est' seguro de que los : eran distintos, calcule la cantidad m'xima de registros de automó%iles que la policía tendría que re%isar.
1 x 9 5 0 1 2 3 4 6 7 8 9
x 8
= 72
$a cantidad m'xima de registros que de automó%iles que la policía tendría que re%isar son N5.
2.32 a3 @*e cuantas maneras se pueden &ormar ? personas para abordar un autobsA b3 @uantas maneras son posibles si, de las ?, : personas especí&icas insisten en &ormarse una despu;s de la otraA
c3 @*e cuantas maneras se pueden &ormar si, de las ?, 5 personas especi&icas se reGsan a &ormarse una detr's de la otraA
2.33 Si una prueba de opción mltiple consta de B preguntas, cada una con C respuestas posibles, de las cuales solo 1 es correcta, a3 .de cuantas &ormas di&erentes puede un estudiante elegir una respuesta a cada preguntaA b3 .de cuantas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta ( obtener todas las respuestas incorrectasA 2.34 a3 @uantas permutaciones distintas se pueden Gacer con las letras de la palabra K$9D0A
n=N =N
nρk =
7!
( 7−7 ) !
=5040
Se pueden Gacer B#C# permutaciones con las letras de la palabra columna. b3 @u'ntas de estas permutaciones comienzan con la letra DA n=? =?
nρk =
6!
( 6− 6 ) !
=720
N5# estas permutaciones comienzan con la letra D
2.35 9n contratista desea construir F casas, cada una con di&erente diseMo .*e cuantas &ormas puede ubicarlas en la calle en la que las %a a construir si en un lado de esta Ga( ? lotes ( en el lado opuesto Ga( :A
2.36 a3 .uantos nmeros de tres dígitos se pueden &ormar con los dígitos #, 1, 5, :, C, B ( ? si cada dígito se puede usar solo una %ezA b3 .u'ntos de estos nmeros son imparesA c 3 .uantos son ma(ores que ::#A 2.37 @*e cuantas maneras se pueden sentar C niMos ( B niMas en una &ila, si se deben alternar unos ( otrasA 2.38 uatro parejas compran I lugares en la misma &i la para un concierto. .*e cuantas maneras di&erentes se pueden sentar) a3
sin restriccionesA 8 ! =8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1=40.320
b3 Si cada pareja se sienta junta
c3 Si todos los Gombres se sientan juntos a la derecGa de todas las mujeres.
(
)(
4 ! . 4 ! = 4∗3∗2∗1 4∗3∗2∗1
)=576
2.39 n un concurso regional de ortogra&ía, los I &inalistas son : niMos ( B niMas. ncuen ncuentre tre el nmero nmero de puntos puntos maestral maestrales es en el espacio espacio maestr maestral al S para el nmero de ordenamientos posibles al &inal del concurso para) a3
$os I &inalistas
b3
8 ! =8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1=40.320
los : primeros lugares. 8 x 7 x 6 = 336
2.40 @*e cuantas &ormas se pueden cubrir las B posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con I jugadores que pueden jugar cualquiera de las posicionesA
8 ρ 5=
8!
( 8− 5 ) !
=
8! 3!
=6.720
*e ?.N5# &ormas se pueden cubrir las B posiciones iniciales en un juego de baloncesto con I jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones.
2.41 ncuentre el nmero de &ormas en que se puede asignar ? pro&esores a C secciones de un curso introductorio de psicología, si ningn pro&esor se asigna a m's de una sección.
6 ρ 4 =
6!
( 6− 4 ) !
=
6! 2!
= 360
Se puede asignar ? pro&esores a C secciones de un curso de introducción de psicología, de :?# &ormas si ningn pro&esor se asigna a m's de una sección.
2.42 *e un grupo de C# boletos se sacan : billetes de lotería para el primero, segundo ( tercer premios. ncuentre el nmero de puntos muestrales en S para para dar los : premios, si cada concursante solo tiene un billete.
40 x 39 x 38 = 59.280
$os puntos muestrales en S para dar los tres premios es BF.5I#, si cada concursante solo tiene un boleto.
2.43 @*e cuantas maneras se pueden plantar B 'rboles di&erentes en un círculoA
( 5−1 ) ! =4 ! 4 ! = 4∗3∗ 2∗1=24
*e 5C &ormas se pueden plantar B 'rboles di&erentes en círculo.
2.44 @*e cuantas &ormas se puede acomodar en círculo una cara%ana de ocGo carretas de rizonaA
( 8− 1 ) ! =7 ! 7 ! =7∗6∗5∗4∗ 3∗2∗1=5.040
9na cara%ana en círculo de I carretas de rizona se puede acomodar de B#C# &ormas.
@uantas permutaciones distintas se pueden Gacer con las letras de la palabra INFINITOA 2.45
2.46 @*e cuantas maneras se pueden colocar : robles, C pinos ( 5 arces a lo largo de la línea di%isoria de una propiedad, si no se distingue entre arboles del mismo tipoA 2.47 @*e cuantas &ormas se puede seleccionar a : de I candidatos reci;n graduados, igualmente cali&icados, para ocupar las %acantes de un despacGo de contabilidadA 2.48 @uantas &ormas Ga( en que dos estudiantes no tengan la misma &ecGa de cumpleaMos en un grupo de ?#A
