LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO Puede interpretarse interpretarse el concepto concepto de la velocidad velocidad en el movimiento movimiento rectilíneo, rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si s = f ( t) describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por f ′ ( t 0 ) . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantid cantidad ad respec respecto to a otra. otra. Existe Existen n muchas muchas aplicac aplicacion iones es del concep concepto to de razón razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respec respecto to a su diámetro diámetro,, la razón de cambio cambio de la longit longitud ud de una varilla varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad ∆Q de un tiempo t a un tiempo t + ∆t . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:
∆Q dQ ( lt / min ) y la razón instantánea: ∆t dt
= lim
∆t →0
∆Q ∆t
min ) ( 1t / mi
Es deci decir, r, con con frec frecue uenc ncia ia tale taless prob proble lema mass pued pueden en anal analiz izar arse se de una una mane manera ra completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x por una fórmula y = f ( x) podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x. Por razón de cambio de media de y respecto respecto a x, desde x = x0 hasta x = x , se entiende la relación: f ( x) − f ( x0 ) cambio de ordenadas
x− x0
=
cambio de abscisas
Si el cociente diferencial tiene un límite cuando x → x0 , este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x. respecto to a x en x1 es la Definición: La razón de cambio instantáneo de f ( x) respec derivada f ′ ( x1 ) siempre que la derivada exista.
Ejemplos: 1). 1).
Hall Hallar ar la razó razón n de cam cambi bio o del área área de un un cuad cuadrad rado o respe respect cto o a un lad lado o cuan cuando do el el lado mide 5 pulgadas.
Solución: 2 Sea A = f ( a) = a , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces:
Da A = f ′( a) = Da a2 = 2 a
pu pu lg2 / pu lg a = 5 pu lg
⇒
Da A= 10 pulg 2 / pulg .
Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.
Supongamos que una variable w es función del tiempo de manera que al tiempo t , w está dada por w = g ( t ) , donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de w en el intervalo de tiempo
[ t , t + h ] está
dada por
g ( t + h ) − g (t ) . Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.
DEFINICIÒN
La razón media de cambio de w = g (t ) en el intervalo [ t , t + h ] es g ( t + h) − g (t ) h La razón de cambio de w = g (t ) con respecto a t es dw g (t + h ) − g (t ) = g ′(t ) = lim h→ 0 dt h
Las unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por w . A veces dw / dt se llama la razón de cambio instantáneo de w con respecto a t .
El límite de este cociente cuando h tiende a 0 (es decir, dy / dx ) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de dy / dx unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen V es una función de la temperatura t. La derivada dV / dT nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-
La intensidad I (en amperes) de la corriente eléctrica en cierto circuito está dada por I = 100/ R , donde R denota la resistencia (en ohms). Encuentre la razón de cambio de I con respecto a R cuando la resistencia es 20 ohms.
2.-
El radio (en centímetros) de un globo esférico que se está inflando, después de t minutos está dado por r (t ) = 33 t + 8 , donde 0 ≤ t ≤ 10 . ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a t de cada una de las cantidades siguientes en t = 8? (a) r(t) (b) el volumen del globo (c) El área de la superficie.
3.-
Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?
4.-
La iluminación I que produce una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad S de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d a la fuente. Suponiendo que I es igual a 120 unidades a una distancia de 2m, encuentre la razón de cambio de I con respecto a d a una distancia de 20m.
5.-
Demuestre que la razón de cambio del radio de un círculo con respecto a su perímetro es independiente del tamaño del círculo. Ilustre este hecho usando unos círculos máximos sobre dos esferas, una del tamaño de un balón de basketball y otra del de la tierra.
6.-
La relación entre la temperatura F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en 5 la escala Celsius está dada por C = ( F − 32). ¿Cuál es la razón de cambio de F 9 con respecto a C?.
7.-
Un hombre sobre la azotea de un edificio, tira de una cuerda de 10 metros de longitud en cuyo extremo esta atado un peso P. El hombre se aleja del borde de la azotea con una velocidad de 2m/s ¿Con qué velocidad se alejan o se acercan el hombre y el objeto en el instante en que ya el hombre ha caminado 3m?
8.-
Un cilindro circular recto tiene una altura fija de 8cm. Hallar la razón de cambio del volumen respecto al radio cuando este mide 2cm.
9.-
Un estudiante de Ingeniería descubrió que el radio de una bola de nieve que se derretía era de ( 4 − 0.04t ) pulgadas, donde t es el tiempo en minutos. Hallar la razón de cambio del volumen respecto al tiempo al final de 1 hora.
10.-
11.-
2 Hallar el punto (o los puntos) de la parábola y = x + 2 x, donde la razón de cambio de la pendiente de la normal respecto a x sea 2 por unidad de longitud.
Hallar la variación respecto al tiempo del ángulo agudo formado por las diagonales de un rectángulo si el lado mayor crece a razón de 4cm/seg., en una dirección y el otro permanece constante igual a 10cm; en el instante en que el lado que crece vale 17cm.
Datos:
h = 10cm
Dt b = 4cm / seg
0 = ?? se pide: D t
cuando b= 17 cm
12.-
La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de 1/ 4m3 / min . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.
13.-
Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.
14.-
x2 + 3 x ; x≤ 1 Un punto se mueve a lo largo de la curva: f ( x ) = De modo 5 x − 1 ; x > 1 que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18 .
15.-
Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal AD , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.
16.-
Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.
17.-
Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.
18.-
2 Un punto se mueve sobre la parábola 6 y = x de manera que cuando x = 6 la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?
19.-
El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?
20.-
El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm.
