La derivada como razón de cambio
Introducción George Pólya
Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican también a funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t , entonces dy dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, particula r, si y mide una distancia, se llama velocidad . Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después de pasar por un punto específico P, etc. Cuando la variable y está dada en términos de t , basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio.
Objetivos del módulo 1. Usar la derivada derivada como razón de cambio c ambio en problemas p roblemas de variable variabless ligadas, ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo.
Preguntas básicas 1. Un puente está está construido construido perpendicul perpendicularmente armente a la dirección dirección de un río recto recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente puente (figura 27.3) 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En E n ese mismo instante, instan te, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?
George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, Estados Unidos.
27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines Los problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí se llaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines, y es típico en ellos que: i. Ciertas variables variables está estánn relaci relaciona onadas das en en una una forma determinada determinada para todos todos los valores de t que se consideran en el problema. ii. Se conozcan conozcan los valores valores de algunas algunas o de todas todas las variables variables y de de sus derivadas derivadas para un instante dado. iiiii.. Se pida hallar la derivada de una una o de varia variass de las variables en dicho instante. Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas las derivadas de estas variables. De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar s eñalar en la solución de este es te tipo de problemas los siguientes pasos: 1. De ser posible, posible, hacer una una figura que ilustre ilustre la situació situaciónn propuesta. propuesta. La figura que que se traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. 2. Determinar Determinar cuáles cuáles son las variables variables que que intervienen intervienen en el el problema problema y representarlas por medio de letras como x, y, y, z, h, etc. 3. Establecer Establecer las ecuacione ecuacioness que relacionan relacionan entre entre sí la diferentes diferentes variable variabless que intervienen en el problema. 4. Obtener Obtener las relaciones relaciones necesarias necesarias entre las las variables variables y sus razones instantá instantáneas neas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. 5. Sustituir Sustituir los valores valores particulares particulares de de variables variables y derivadas derivadas dados dados en el problema problema y despejar las variables o derivadas que interesan. Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.
27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas Ejemplo 27.1
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3 /s. a. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando éste se s e encuentra a 4 m de altura?
b. ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante? Solución
En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante t .
Figura 27.1
Desígnese por: e n el instante t (s). V : volumen (en cm3) de agua en el tanque en x: radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t . y: altura del agua (en cm) en el instante t . ⎛ cm3 ⎞ = Datos: dt 50 ⎜ s ⎟ . ⎝ ⎠ dV
El volumen del agua en el instante t viene dado por 1 3
V = π x 2 ⋅ y.
(1)) (1
De la semejanza de los triángulos ODE y OBC se deduce que ⎧ y = 4 x 16 y ⎪ = ⇔ ⎨ y 4 x ⎪⎩ x = 4
a.
Puede form rmuulars rsee la pre reggunta así sí:: dy dt
= ?, cuando y = 4 m = 400 cm.
( 2) (3)
George Pólya El primer trabajo de George Pólya fue como profesor particular. En un principio no se sintió especialmente atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de filosofía le sugirió que siguiera cursos de física y de matemáticas para mejorar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficas lecciones de física de Lorán Eötvös, y las no menos excelentes de matemáticas de Lipót Fejér, influyeron decisivamente en su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y su esposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos. Pólya hablaba (según él, bastante mal), además del húngaro, su idioma natal, alemán, francés e inglés y podía leer y entender algunos más. Fue uno de los hombres míticos en la historia de las matemáticas modernas y su enseñanza a través de problemas. Sus principales obras son: Cómo plantear y resolver problemas, Matemáticas y razonamiento plausible, La découverte des mathématiqu mathématiques es y Análisis matemático . Cuando se le preguntaba cómo había llegado a ser matemático, solía decir, medio en broma, medio en serio: «No era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas que es una cosa intermedia». Fue un viajero impenitente (aunque nunca condujo automóviles) que curiosamente descubrió a los 75 años de edad las comodidades de los viajes en avión, cruzando el Atlántico y el continente varias veces.
dy
Una manera simple de calcular
dt
consiste en expresar V en (1) en términos
únicamente de la variable y (usan (usando do (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t . Así, 2
1 1 ⎛ y ⎞ π 3 V = π x 2 y = π ⎜ ⎟ · y = y 3 3 ⎝4⎠ 48 dV
=
dt
π
48
⋅ 3 y 2 ⋅
dy dt
=
π y
2
⋅
dy
16 dt
dV
16 ⋅ dy dt . = 2 π y
dt
De donde, de acuerdo a las condiciones del problema, cm3 16 ⋅ 50 dy s = 1 ⎛ cm ⎞ , = dt π (400 (400 cm) cm)2 200π ⎜⎝ s ⎟⎠
(5)) (5
lo cual indica que la altura crece a esa velocidad. b.
Puede fo form rmuulars rsee la la pre preggunta así así:: dx dt
= ?, cuando y = 4 m = 400 cm ⇔ x = 100 cm.
Una manera sencil sencilla la de encontrar encontrar la solución consiste en derivar ambos miembros de (3) con respecto a t . Así, dx dt
=
1 dy 1 ⎛ 1 ⎞ cm 1 ⎛ cm ⎞ = ⎜ = , ⎟ 4 dt 4 ⎝ 200π ⎠ s 800π ⎜⎝ s ⎟⎠
(6)) (6
lo cual indica que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solución consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t . (¡V ( ¡Verifique!) erifique!) Ejemplo 27.2
Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa obser va un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies de la base del faro?
Solución
En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema. x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t . θ : ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t .
pies ⎞ ⎛ dx Nótese que cuando « B se acerca a P» ⎜ dt = − 20 s ⎟ , entonces es de esperar ⎝ ⎠ que θ también decrece.
Figura 27.2
De la figura 27.2a se tiene tan θ =
x
250
⇒ x = 250 ⋅ tan θ .
(1)) (1
Derivando ambos miembros de (1) con respecto res pecto a t , se tiene dx dt
= 250 ⋅ sec2 θ ⋅
d θ dt
,
de donde dx d θ dt
=
dt
250 ⋅ sec
2
θ
.
En el caso particular que interesa, x = 300. Así que tan θ =
300 6 = (figura 27.2b). 2 50 5
(2)) (2
Usando la identidad trigonométrica 1 + tan 2 θ ≡ sec 2 θ , se puede escribir en este caso: 2
25 + 36 61 ⎛6⎞ sec θ = 1 + ⎜ ⎟ = = . 25 25 ⎝5⎠ 2
De otro lado,
dx dt
= −20
pies . s
(3)) (3 (4)) (4
Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente f inalmente que d θ dt
=
−20
250 ⋅
61 25
=−
2 ⎛ rad ⎞ , 61 ⎜⎝ s ⎟⎠
lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar) a una velocidad de aproximadamente 0.0327 rad/s. Ejemplo 27.3
Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto cier to momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera carreter a continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando s eparando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P? Solución
El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente por el punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido trascurr ido 5 s y por tanto el auto se encuentra en el punto M de la figura. En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo. x: distancia que recorre la lancha después de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto).
Como los triángulos CRT y CPR son rectángulos en C y P, respectivamente, se tiene, de acuerdo a la relación pitagórica, 2 2 2 z = w + (60 + y ) .
También,
2
2
w =5 +x
2
.
(1)) (1 (2)) (2
Figura 27.3
De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el auto está en el punto T y la lancha en el punto R. Así que, en ese instante, instante, x = 160 m e y = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma: ⎧ x = 160 m y y = 96 m ⎪ = ?, cuan cuando do ⎨ dx dy m m dt = 12 ⎪⎩ dt = 20 s ; dt s
dz
Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto al tiempo. Esto es: z 2 = 25 + x 2 + (60 + y )2 ,
2 z
dz dt
= 2x
dx dt
+ 2(60 + y)
dy dt
De aquí, dz dt
x
=
dx dt
+ (60 + y) z
dy dt
.
.
Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:
dz dt
m m + (154 m) ⋅12 s s = 5.048 m ≈ 22.72 m , s 49.341 s 52 + 1602 + 1542 m
(160 m) ⋅ 20 =
lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproximadamente 22.72 m / s. s. Ejemplo 27.4
Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo más hondo. a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena? b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3 /min, ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?
Figura 27.4
Solución
a.
Se debe debe calcu calcula larr ini inici cial alme ment ntee el el vol volum umen en tota totall de la la pisci piscina. na. Éste Éste corr corresp espond ondee al volumen de un sólido cuya base base es un trapecio trapecio con las siguientes medidas: base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies. Por tanto, Vp = (área de la base) · (espesor). Vp =
(9 + 4) 40 40 · 20 = 5.200 pi pies3 . 2
Ahora, el porcenta porcentaje je de piscina piscina llena corresponde correspond e al a l volumen vo lumen V ll del sólido que aparece indicado en la figura 27.5. V ll = área de la base (espesor). Vll =
4 · L · 20 20 = 40 L pies3 . 2
Figura 27.5
Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción: 5 40 = ⇒ L = 32 pie pies. 4 L Así que V ll = 40 · 32 = 1.280 pies3 . Usando una regla de tres simple se estaes tablece: Si Vp = 5.20 5.2000 pies pies3 corresponde al 100%. 1.28 1.2800 · 100% 100% ≈ 24.61% 5.200 Supóngase que en un instant ntee t deter determinado minado el e l volum volumen en de piscin piscinaa llena llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura 27.6, en el cual y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo. V ll = 1.280 1.280 pies pies3
b.
corresponde a x =
Figura 27.6
Se tiene entonces que V = y · x · 20 = 10 x · y. 2 Pero
y
4
=
x
32
⇒ x = 8 y.
(1)) (1 (2)) (2
Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir V = 80 y2.
(3)
Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene dV dt
= 160 y .
dy dt
.
dV
De donde dy = dt . dt 160 y
Como
dV dt
= 10 pi pies3 min y y = 4 pies, se tiene finalmente
10 1 pi p ies . = dt 160 × 4 64 mi min
dy
=
Ésta es la velocidad velocidad a la cual c ual crece c rece el nivel niv el del de l agua en ese instante instante.. Puede Puede verificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x también está creciendo en ese mismo instante a una razón de 1 8 pies/min.
