RAZON DE CAMBIO PROBLEMA 1 Un yate se encuentra a 120 km al norte del puerto de Salaverry y se dirige hacia este a una velocidad de 120 km/h. Otro yate sale del puerto en dirección oeste, alejándose del puerto a una velocidad de 160 km/h. Después de 30 minutos, ¿se acercan o se separan los yates y con qué rapidez lo hacen? Solución i) Planteamiento del problema Variables
Norte
y: distancia del yate A al puerto x: distancia recorrida por el yate B z
z: distancia entre los yates Rapidez de variación de y:
dy 120(km / h) dt
dx Rapidez de variación de x: 160(km / h) dt
y
yA
x Oeste
Razón de cambio por calcular:
yB
Salaverry
yA: yate A yB: yate B
dz 1 , para t 30' hora dt 2
ii) Relación entre las variables. Del diagrama, se obtiene
z2 x 2 y2 iii) Al derivar con respecto al tiempo t, se tiene d 2 d dz dx dy (z ) (x 2 y2 ) 2z 2x 2y dt dt dt dt dt
iv) Para t = 1/2 hora , se obtiene x = 80 , y = 60 y z = 100 Luego, 100
dz dz 80(160) 60(120) 56(km / h) dt dt
Por tanto, después de 1/2 hora los yates se separan a una velocidad de 56 km/h.
PROBLEMA 2 Las bases mayor y menor de un trapecio isósceles miden 8m y 4m, respectivamente, y su altura es variable. Si el área del trapecio aumenta a
razón de 2 m2/min, calcule la velocidad con la que varía el ángulo formado por la base mayor y uno de los lados no paralelos, cuando dicho ángulo mide / 4 radianes. Solución 4m
i) Planteamiento del problema Variable
Altura: h(en m),
h = h(t)
Área: A (en m2),
A = A(t)
Ángulo: (en rad), = (t) dA La razón de cambio del área es 2m2 / min dt
Razón de cambio a calcular: d , dt
cuando
4
h 2
4 8m
rad
ii) Relación entre las variables
84 A h 6h 2 De la figura adjunta, se obtiene tan
h h 2 tan 2
Luego, A = 6(2 tan) = 12 tan iii) Al derivar con respecto al tiempo t, se tiene dA d d (12 tan ) 12sec2 dt dt dt
iv) Al
dA resulta 2 y dt 4 d d 2 12sec 2 12(2) dt 4 dt d 1 0, 083 rad / min dt 12
Por tanto, el ángulo crece a una velocidad de 0,083 rad/min en el instante en que / 4 0,785 radianes.
2
PROBLEMA 3 Un tanque cónico invertido de 6 m de altura y 2 m de radio en la parte superior, se Nena con agua a una razón constante. a) Si la profundidad del agua aumenta a razón de 0,5 m/min, ¿a qué velocidad se incrementa el volumen de agua cuando el tanque está a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en llenarse? Solución Sean V el volumen de agua, r el radio de la superficie variable y h el nivel del agua en el instante t. i) La rapidez con que aumenta el nivel del agua en el instante t es
dh 0,5 m / min dt
2m
La capacidad del tanque es VT
3
(2)2 (6) 8 m3
r
6m
ii) Ecuación que relaciona las variables
V
3
2
V
h
(1)
r .h
Como el volumen consta de dos variables (r y h), conviene expresarlo únicamente en términos de h (r y dr/dt no están involucrados en el problema) para lo cual se utiliza semejanza de triángulos. r h h r 2 6 3
Así, el volumen de agua es
V
h
2
3 .h h 33 27
(2)
iii) Al derivar la ecuación (2) con respecto al tiempo t, se obtiene dV 2 dh h dt 9 dt
(3)
El nivel de agua cuando el tanque está a la mitad de su capacidad es Vt 3 4 h h 33 4 2 27
Luego, al reemplazar h 3 3 4 y
dh 0,5 en (3), resulta dt
dV 3 2 (3 4) .(0,5) 3 2 3,96 dt 9 Por tanto, el volumen del agua aumenta a razón de 3,96 m3/min. b) Como la velocidad constante a la que fluye el agua al recipiente es 3,96 m3/min , entonces el volumen del agua en cada instante t es V = 3,96t Luego, al sustituir VT 8 en esta igualdad se obtiene: 8 3,96t t 6,35 min
Por tanto, el tanque se llena aproximadamente en 6,35 minutos. PROBLEMA 4 Un pescador está parado en el muelle de Paita y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m por encima del nivel del mar. Cuando la lancha está a 4 m del muelle, el pescador está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm por minuto. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle? Solución Sean x la distancia entre la lancha y el muelle y z la longitud de la cuerda en el instante t. i) La rapidez con que disminuye la longitud de la cuerda en el instante t es
dz 0,8 min dt ii) Ecuación que relaciona las variables z2 x 2 9
iii) Al derivar la ecuación (1) con respecto al tiempo t, se obtiene 2z
dz dx dx zdz 2x dt dt dt xdt
De (1), cuando x = 4 m, se tiene z = 5 m Al reemplazar
Z 3m
dz 0,8; z 5 ; x 4 en (2), resulta dt
dx 5 (0,8) 1 dt 4 Por tanto, la lancha se aproxima al muelle a razón de 1 m por minuto.
X
PROBLEMA 5 Un tren se dirige hacia el sur con una velocidad de 80 km/h y otro hacia el este a 120 km/h. A las 16 horas, el segundo tren pasa por el punto donde el primero estuvo 3 horas antes. a) ¿Cómo varía la distancia entre ellos a las 15 horas? b) ¿Cómo varía la distancia entre ellos a las 17 horas? Solución Sean x la distancia del tren que va hacia el este al punto de cruce, y la distancia del tren que va al sur al punto de cruce y z la distancia entre ellos. a) A las 15 horas las distancias x, y y z son respectivamente N
x = 120 km, y =160 km, z = 200 km Y las velocidades con que disminuye x y aumenta y son dx dy 120 km / h , 80 km / h dt dt
T2
x
O
La ecuación que relaciona las variables x, y, z es
z
T1
z2 x 2 y2 Al derivar implícitamente con respecto al tiempo t, se obtiene 2z
E
y
dz dx dy dz x dx y dy 2x 2y dt dt dt dt z dt z dt
S
(*)
Al reemplazar x = 120, y=160, z = 200, dx/dt = - 120 , y dy /dt = 80, resulta dz 120 160 (120) (80) 8 dt 200 200
Por tanto, a las 15 horas la distancia entre los trenes disminuye a una razón de 8 km/h. b) A las 17 horas las distancias x, y, z son respectivamente x 120km y 320km, z 116800 341, 76
y las velocidades con las que aumentan tanto x como y son dx 120km / h, dt
dy 80km / h dt
N
Al sustituir estos datos en (*), se obtiene
dz 120 320 (120) (80) 117,04 dt 341,76 341,76
T2
x
O
E
y
z
T1 S
Por tanto, a las 17 horas la distancia entre los trenes aumenta a una razón de 117,04 km/h.
PROBLEMA 6 Una artesa tiene 12 pies de largo y 3 pies de ancho en su parte superior, y sus extremos tienen forma de triángulo isósceles con una altura de 3 pies. Si se vierte agua en ella a razón de 2 pie3/mm. ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando hay 1 pie de profundidad de agua? Solución Sean V la cantidad de agua que hay en la artesa, h el nivel del agua en cualquier instante y la velocidad con que varía el volumen de agua es
dV 2 pie3 / min dt La ecuación que relaciona las variables es V 12.A 12
(2x)h 12xh 2
Como el volumen consta de dos variables (x y h), conviene expresarlo únicamente en términos de h. Con este propósito, al utilizar semejanza de triángulos, se tiene x h h x 3/ 2 3 2
Así, el volumen del agua en términos de h es h V 12 (h) 6h 2 2
Al derivar implícitamente con respecto a t, se obtiene dV dh dh 1 dV 12h dt dt dt 12h dt
Al reemplazar h 1 y
dV 2 resulta dt
Por tanto, el nivel de agua sube a razón de 0,17 pies por minuto.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 12 pies y aumenta a razón de 2 pies por minuto. El otro cateto es de 16 pies y disminuye a razón de 3 pies por minuto. a) ¿Cómo varía la longitud de la hipotenusa en ese instante? b) Halle la razón de cambio del ángulo agudo opuesto al cateto en el que en ese instante mide 16 pies. 2. Un niño observa, desde una distancia de 300 pies, como un globo se eleva verticalmente con una velocidad de 5 pies por segundo. ¿Cómo cambia el ángulo de la visual del niño en el instante en que el globo se encuentra a 100 pies de altura? 3. Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior se encuentra lleno de una solución, la cual va pasando a un vaso cilíndrico de 5 cm de radio. Cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 10 cm, su nivel baja a razón de 2 cm por minuto. Halle la velocidad con que sube la solución en el vaso cilíndrico, para dicha profundidad. 4. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 4 cm/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante e igual a 80 cm2. ¿Cuál es la variación del lado que disminuye y la del perímetro, cuando la longitud del lado que aumenta es de 8 cm? 5. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice A, opuesto al origen de coordenadas, está sobre la curva de la ecuación y = ex. En el vértice A la ordenada y aumenta a razón de 2 cm por segundo. ¿Cuál es la variación del área del rectángulo en el instante en que x = 2 cm?
MAXIMOS Y MINIMOS PROBLEMA 1 Se desea construir una caja sin tapa de base cuadrada. El costo del material es de S/.4 el cm2 para la base y de S/.3 el cm2 para las caras laterales. Si el costo de construir la caja es de S/.48, determine las dimensiones de la caja de máximo volumen. Solución i) Planteamiento lado de la base: x (cm) Variables
altura: y (cm) (volumen: V (cm3)
(Var. dependiente a maximizar)
Dato: costo total de la caja (constante) Costo total = costo de la base + costo del área lateral 48 4x 2 12xy y
12 x 2 3x
Incógnitas: las dimensiones de la caja que maximizan el volumen ii) Función objetivo El volumen de la caja es V = x2y. 12 x 2 Como y , se tiene 3x
12 x 2 x3 V(x) x 2 4x , x 0; 2 3 3 3x
y
iii) V '(x) 4 x 2 (2 x)(2 x) 0 El número crítico de interés es x = 2 e Dom(V) Diagrama de signos de la primera derivada Signo de
Luego, para x=2 el volumen de la caja es máximo iv) Respuesta Las dimensiones de la caja que maximizan el volumen son: El ancho y el largo de la base miden 2cm, y la altura 1,33 cm.
x x
PROBLEMA 2 En una carretera, a través del desierto, un volquete debe ¡r desde la ciudad A hasta el poblado P a 100 km de distancia de A. Se puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B que le permite ir a una velocidad de 20 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 12 km/h. Si la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 60 km, determine la ruta en línea recta que deberá usar el volquete para ir de A a P en el menor tiempo posible. Solución Sean C el pie de la perpendicular trazada desde P a la carretera que une A y B, Q el punto donde el volquete abandona la carretera (y se dirige hacia P) y x la distancia de Q a C (ver figura adjunta). i) Por el teorema de Pitágoras en el triángulo ACP, se obtiene
P
d(A;C) 100 60 80 2
2
ii) En el triángulo QCP, se tiene
d(Q;P) x 2 602 x 2 3600
100km
Luego, el tiempo t que tarda el volquete en recorrer la distancia
60 km
d(A;Q) d(Q; P) es 80 x x 2 3600 t ; x 0;80 20 12
A
dt 1 x 5x 3 x 3600 0 x 45 iii) dx 20 12 x 2 3600 60 x 2 3600
80-x
Q
x
C
2
80km
Así, d(A;Q) 80 45 35 Por tanto, el volquete debe dejar la carretera a 35 km de la ciudad A para ir del punto A al punto P en el menor tiempo posible.
PROBLEMA 3 Un gasocentro adquiere gas a un costo de S/.4 cada galón y al precio de venta de S/.5 el galón, se venden 4000 galones en un mes. Se quiere subir el precio de venta y se estima que por un aumento de S/.0,1 en el precio de venta, se venderán 100 galones menos al mes. a) ¿Qué precio de venta se debe fijar con el fin de obtener la utilidad máxima?
B
b) ¿Cuál es la utilidad máxima? Solución a) Sea x el aumento en soles del precio de venta por galón Por la regla de tres simple, se tiene Aumento en soles
Número de galones que se deja de vender
0,1
1000
X
D
Luego, la utilidad total del gasocentro es U(x)
= (número de galones vendidos)(utilidad por galón)
4000
1000x 5 x 4
1000(x 2 3x 4) U '(x) 1000(2x 3) 0
Signos de U’(x)
0x4 x 1,5
-
+
0
1,5
4
Por tanto, se deberá fijar en S/.5 + S/.1,5 = S/.6,5 el precio de galón para que la utilidad del gasocentro sea máxima. b) La utilidad máxima es S/.6250.
PROBLEMA 4 Un depósito para granos es construido acoplando a un cilindro circular recto, de altura h y radio r, una semiesfera de radio r. Si el área total de la superficie del depósito es 20n m2, determine el valor de r y h para que su volumen sea máximo. Solución Área total de la superficie del depósito 1 AT 2 rh (4 r 2 ) r 2 2 rh 3 r 2 2
De acuerdo a las condiciones del problema, se tiene
2 rh 3 r 2 20 h
10 3r r 2 r
Volumen del depósito
14 2 3 V r 2h r3 r 2h r 23 3 5 3 10 3r 2 3 V(r) r 2 r 10 r r 6 r 2 3 5 2 V '(r) 10 r 0 r2 2
Signos de V’(r)
-
+ 0
h
2
Por tanto, las dimensiones del depósito de volumen máximo son: radio r = 2 m y altura h = 2 m.
PROBLEMA 5 Se vierte agua en un depósito que tiene la forma de un cono invertido, a razón de 15 m3/hora. El cono tiene 20 metros de profundidad y 20 metros de diámetro en su parte superior. Si por la base del depósito hay una fuga de agua a razón de 5 m3/hora, ¿a qué velocidad sube el nivel de agua cuando su profundidad es de 10 metros? Solución Sean V el volumen del agua, r radio de la superficie variable y h la profundidad del agua en el instante t. i) Rapidez con que entra el agua al depósito en el instante t dV1 15m3 / hora dt
Rapidez con que sale el agua del depósito en el instante t dV2 5m3 / hora dt
ii) Ecuación del volumen del agua en el depósito
1 V r 2h 3
Como el volumen depende de dos variables (r y h), es necesario expresarlo únicamente en términos de h, para lo cual se usa semejanza de triángulos
r h 10 20
r
h 2
Así, el volumen del agua en el depósito es
1 h V h h3 3 2 12 2
iii) La ecuación de tasas relacionadas se obtiene al derivar implícitamente la ecuación (2) con respecto al tiempo t.
dV 2 dh h dt 4 dt Como la razón de cambio del volumen de agua en el depósito en el instante t es
dV razón de entrada — razón de salida dt
10
Entonces se tiene
4
h2
dh dh 40 15 5 10 dt dt h 2
r
20
Para h = 10, resulta
dh 40 2 0,127 dt 100 5 Por tanto, el nivel del agua sube aproximadamente a razón de 0,127 m/hora.
h
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono circular recto de 4 cm de radio en la base y 12 cm de altura. Si el volumen V del cilindro es
V(r) r 2 (12 3r) , donde r es el radio de la base, determine las dimensiones del cilindro de volumen máximo. 2. En una esquina de la calle existe un terreno vacío que tiene la forma de un triángulo rectángulo tal como se muestra en la figura adjunta.
30m Campo de fulbito
20m
Determine las dimensiones del campo de fulbito de área máxima que se puede construir en dicha esquina.
3. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima, que se puede inscribir en el triángulo isósceles ABC (d(A; 5) = d(B; C)), tal como se muestra en la figura adjunta. B
8 cm
C
A 6 cm
4. En un cartel rectangular, los márgenes superiores e inferiores miden 6 cm cada uno y los laterales 4 cm. Si el área del material impreso se fija en 348 cm2, ¿cuáles son las dimensiones del cartel de área máxima?
5. El administrador de una embotelladora de jugos naturales desea lanzar al mercado una nueva presentación consistente en una lata en forma de un cilindro circular recto con capacidad de 128 cm3. Determine las dimensiones del envase a fin de utilizar la menor cantidad de material en su fabricación. 6. Una caja sin tapa se construye a partir de una plancha de madera rectangular de 12 pies por 20 pies, cortando cuadrados de lado x (en pies) en cada esquina tal como se muestra en la figura adjunta. Halle las dimensiones de la caja de capacidad máxima. 20 pies x
x x
x 12 pies
x
x x
x
7. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 150 m de ancho. El punto Q está a 300 m de B y en la misma orilla (ver figura).
Una compañía de teléfonos necesita tender un cable desde A hasta Q. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable para que e: costo total de instalación sea mínimo?
8. Un granjero dispone de 480 metros de valla para cercar un corral de forma rectangular y a su vez dividirlo en dos partes rectangulares de igual área (ver gráfico).
Determine las dimensiones del corral para que su área sea máxima. 9. La sección transversal de un canal de irrigación tiene la forma de un trapecio isósceles de base 4 cm y con lados iguales de 4 cm de longitud que forman ángulos de 6 radianes con la vertical (figura adjunta). Halle el valor del ángulo 8 para que el área de la sección transversal sea máxima. 10. Dos lados de un triángulo miden 4 cm c/u. ¿Cuál es el ángulo entre esos dos lados para que el área del triángulo sea máximo? 11. Un árbol de 7 m de altura se encuentra en la cima de una colina de 9 m de altura. Si el ojo del observador se encuentra a 1 m del suelo, ¿a qué distancia debe ubicarse el observador de un punto directamente bajo el árbol, para que el ángulo formado por las visuales de la base y la copa del árbol sea máximo? 12. Un agricultor va cercar un campo que tiene la forma de un sector circular. Si para tal fin cuenta con 200 m de alambre, calcule el radio del sector circular para que su área sea máxima. a 2 (Área del sector y longitud del arco a 2
(donde es el ángulo y a es el radio) 13. Se necesita fabricar una caldera de 45ir m 3 de capacidad, compuesta por un cilindro circular recto (de radio r y altura h) montado por una semiesfera. ¿Cuánto debe medir el radio para que la superficie exterior sea mínima? 14. Un barco de guerra se encuentra anclado a 9 km del punto más próximo de la costa. Es preciso enviar un mensajero a un campo militar situado a 15 km del punto de tierra más próximo, contados a lo largo de la costa. Si el mensajero camina a 5 km/h y rema a 4 km/h, ¿en qué punto de la costa debe desembarcar para llegar al campamento en el menor tiempo posible? 15. El costo operativo de un camión sobre una autopista (excluyendo el salario del chofer) es 1
x soles por kilómetro, donde x es la velocidad 200
(uniforme) del camión en kilómetros por hora. El salario del chofer es 18 soles por hora. ¿A qué velocidad debe manejar el chofer para que el viaje de 600 kilómetros resulte más económico? 16. Se desea construir una lámina en forma de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 5 centímetros. Calcule las dimensiones de los catetos de la lámina triangular para que su área sea máxima. 17. Se desea pintar el interior de un almacén, que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular, de base cuadrada y con capacidad de 250 metros cúbicos. La pintura para el piso y el techo del almacén cuesta US$2 por metro cuadrado y para las paredes cuesta US$1 por metro cuadrado. ¿Podrá pintarse el almacén con un presupuesto menor de US$300 en pintura?
