UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO
FACULTAD DE HUMANIDADES ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN
TITULO
: La derivada como razón de cambio.
AUTORA
: Luzmila Sandoval Ynoñan.
COAUTOR
: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar.
CICLO
:
VIII
Chiclayo – 2009
Sumario
Introducción. 1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo. Problemas. 2. Razones de cambio relacionados. 2.1.
Problemas.
Conclusiones. Bibliografía.
Introducción
El análisis es una rama de las matemáticas, que se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, limites, la integración, la derivada y la diferenciabilidad de diversas formas. Es por ello, que se desarrolla la presente investigación denominada “la derivada como razón de cambio” con el propósito de conocer más sobre el tema y problemas relacionados con la misma.
Por tal razón se tiene en cuenta que la derivada es la razón de cambio en la curva, que está creciendo o decreciendo, pero que tanto, por eso es una razón de cambio, además por que se puede interpretar como una división, que es la tangente de un triangulo de tamaño minúsculo. En otras palabras la razón de cambio es la forma o velocidad con que va cambiando la variable. Si lo comparamos con la física, podríamos que es como la aceleración y la aceleración es cómo varía la velocidad respecto respecto en el tiempo.
Ante ello, se puede decir que el concepto más general de la razón de cambio instantáneo se puede relacionar con el concepto de de la velocidad en movimiento en el movimiento rectilíneo. Pues la razón de cambio instantáneo es una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si s=f (t) describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante “t” esta representada por f¨´ (t0). De modo semejante nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra.
Para su desarrollo de se ha plateado los siguientes objetivos: dar a conocer la derivada como razón de cambio y explicar problemas relacionados con el tema. Para ello el trabajo refiere a dos puntos importantes que se toman en cuenta en el trabajo como es: velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo y razones de cambio relacionados.
Por lo tanto, dicha investigación es de relevancia, puesto que es una ayuda personal para enriquecer más los conocimientos y ponerlos en práctica, y a la vez proporcionar información a otros, con la finalidad que se profundicen aun mas en el tema.
1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo. Aquí se estudiaran cuerpos que se mueven sobre el eje x, cuya ley del movimiento se conoce, es decir, la función
que relaciona la
distancia x reconocida por el cuerpo, la cual su medida es en metros, en términos del tiempo t empleado en recorrer dicha distancia, pero medida en segundos.
Otras veces ocurrirá que la función
tiene un buen sentido para toda
“t” real, siendo su dominio natural R. Sin embargo, está función por ser representada físicamente. Sólo se considera valores de t no negativos. De hecho el valor de la función
para
, es la posición
inicial del cuerpo, es decir, que viene a ser el punto sobre el eje x de donde va a partir el movimiento del cuerpo. Pues es importante calcular la velocidad y aceleración del movimiento de este cuerpo y darle interpretación físicas a los resultados y por ende la herramienta que se utiliza para esta clase de problemas serán las derivadas de la función
Por esta razón, se recuerda que la derivada
.
de la ley del movimiento
del cuerpo, representa la velocidad instantánea del cuerpo a los t segundo de haber comenzado su movimiento
Esta derivada mide la rapidez de variación de la distancia tiempo
. Para
tenemos
cuerpo, denotado como
respecto del
que es la velocidad inicial del
. Observe que si
, entonces la función
es una función creciente, lo cual significa que los valores de aumentan con el tiempo, es decir para
, se tiene:
, lo cual se interpreta en términos de la dirección del movimiento del cuerpo, como que esta ganando distancia a medida que pasa el tiempo.
De la misma forma si
entonces la función
es decreciente,
es decir, que para
se tiene
, lo cual
significa que los valores de
disminuye con el tiempo. A continuación
veamos problemas relacionados con el tema.
1. La ley del movimiento de un cuerpo es
, en donde x se
mide en metro y t en segundos. Determine: (a)
La posición inicial, (b) la velocidad inicial, (c) la velocidad a los 2
segundos de haber comenzado el movimiento, (d) la velocidad a los 5 segundos de haber comenzado el movimiento, (e) el tiempo durante el cual se está moviendo hacia la derecha, (f) el tiempo durante el cual se esta moviendo hacia la izquierda.
Solución: a. La posición inicial del cuerpo es:
Esto indica que su movimiento comienza en el origen. Por consiguiente, para dar respuesta a lo siguiente se usará la derivada de la función b. La
velocidad
entonces
inicial
, la cual es es
de lo cual se concluye que el cuerpo comienza a
moverse hacia la izquierda. c. A los 2 segundos la velocidad es
,
esto quiere decir que el cuerpo se sigue moviendo hacia la izquierda. d. A los 5 segundos la velocidad es
. Esto
quiere decir que ahora el cuerpo se esta moviendo hacia la derecha. e. Mientras mientras
el cuerpo se moverá hacia la derecha. Es decir .
Esto ocurre para t > 3. Así pues, después de los 3 segundos, el movimiento del cuerpo es hacia la derecha. f. De (e) se concluye que para
, el movimiento del cuerpo es
hacia la izquierda. Se observa que en el instante dirección
en
el
en el que ocurre el cambio de
movimiento,
el
cuerpo
se
encontraba
en
Pues esta a 9m a la izquierda del origen. El movimiento de este cuerpo puede presentarse esquemáticamente como sigue:
t=5 t=3
t=2
t=0
-9
0
x
Por otro lado, tenemos la aceleración, que se calcula como la derivada, respecto de t de la velocidad
Es decir, en términos de la función movimiento del cuerpo, la aceleración “a” es
que proporciona la ley de Esta vendrá
a ser la segunda derivada de la función
Las unidades por la que se mide la aceleración es en m/s². También se observa que si
entonces la función
es creciente, es decir, si
, entonces la función
. Esto significa que
el cuerpo va aumentando su velocidad.
De igual manera, si decir, si
, entonces la función
es decreciente. Es
, entonces
, lo cual significa que
el cuerpo va disminuyendo su velocidad.
2. Un cuerpo se mueve sobre el eje x con una ley de movimiento , en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar los momentos en que el cuerpo se mueve hacia la derecha, hacia la izquierda, con aceleración positiva y con aceleración negativa.
Solución: La velocidad del cuerpo es
. El cuerpo se moverá hacia
la derecha cuando
lo cual ocurre para
. Es decir, que después de los
y para
minutos, el cuerpo se mueve hacia
la derecha y por razonamiento se deduce que para movimiento del cuerpo es hacia la izquierda. En el instante t
, el en que el
cuerpo cambia de dirección en su movimiento y se encontraba en la posición hacia la izquierda.
La aceleración es para
la cual es positivo para
. Es decir, la velocidad del cuerpo es siempre creciente.
Estos resultados obtenidos se muestran en la gráfica:
y negativa
t = √2
t=0
0
-4√2
x
3. La ley de un punto sobre el eje x es
en donde x se
mide en centímetros y t en minutos. Determinar la velocidad y aceleración del punto a los
y
Solución: La velocidad en el instante
es
y la aceleración
es Al
tiempo
la
velocidad
instantánea
del
punto
es
de
Esto quiere decir que el punto se mueve hacia la izquierda.
Al tiempo
la velocidad es de
Esto quiere decir que el punto se mueve hacia la derecha. La aceleración del movimiento siempre en positivo e igual a
4. Un punto sobre el eje x se mueve bajo la ley
,
en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar la velocidad inicial del punto, los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la izquierda y los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la derecha.
Solución: La velocidad instantánea es
de modo que en
, se tiene
Este es la velocidad inicial del punto. Es decir
que su movimiento comienza hacia la derecha.
Pero el movimiento del punto será hacia la izquierda en los tiempos t en que y hacia la derecha en los tiempos t en que Como
representa
geométricamente una parábola que abre hacia arriba y corta el eje t en , vemos que para
y para
se tiene
y
por lo tanto el movimiento será hacia la derecha, mientras que para se tiene
y entonces para este tiempo el movimiento es a
la izquierda.
En el instante del
punto
en que ocurre el cambio de dirección en el movimiento de
derecha
a
izquierda,
es
se
encontraban
a la derecha del origen.
Mientras que a los
cuando ocurre el segundo cambia de dirección
en el movimiento del punto de izquierda a derecha, éste se encontraba en de origen.
El esquema de todo esto es el siguiente:
metro a la derecha del
t=4 t=2
t=0 0
8/15 2/3
y
x
5. Dos cuerpos que han partido del origen comienza a moverse en el
eje
x,
con
leyes
de
, sobre y
movimiento
respectivamente, en donde los
se miden en
metros y los
en minutos. Decir si estos dos cuerpos se encuentran en
igual instante
. En caso afirmativo, calcular la velocidad de ambos en el
instante del encuentro.
Solución: Primero se observa que ambos cuerpos comienzan respectivamente sus movimientos en el origen, pues
y
. Tenemos que
los derivados de las leyes del movimiento de estos dos cuerpos son: y
. Aquí para
y
tenemos:
. Esto quiere decir, que el primer
cuerpo comienza moviéndose hacia la izquierda con una velocidad inicial de y el segundo comienza su movimiento hacia la derecha con una velocidad inicial de
.
Pero se pregunta si es que existe el encuentro de estos cuerpos. Si es que esto pasara, ocurriría en algún valor
para el cual
, lo cual nos
conduce a procurar una solución positiva de la ecuación:
de donde se obtienen las raíces y
. Este último es la solución que se busca. Es decir, que a los
5min. de haber comenzado su movimiento, los dos cuerpos se encuentran a
los
metros del origen, con
velocidades
y
de .
Entonces en el momento del encuentro ambos cuerpos se están moviendo hacia la derecha.
6. Tres puntos se mueven en el eje
, sus respectivas leyes de movimiento
son: en donde x se mide en metros y t en minutos. Verificar que en un momento los tres puntos se encuentran. Descubrir la posición y la velocidad de cada uno de los puntos en ese instante.
Solución: y
Los puntos comienzan su movimiento en respectivamente. Pero se debe ver que existe una lo cual
para
. Es decir, se debe observar que el sistema de
ecuaciones:
Tiene una solución positiva. Considerando sólo la primera igualdad: , se obtiene t = 4, este es el mismo valor por el cual: . Es entonces, a los tres
puntos
de haber comenzado el movimiento, que los se
encuentran
La velocidad de cada uno de los puntos en el instante del encuentro es:
en
y ,
se
están
moviendo
hacia
la
derecha
respectivamente de 3,2 y 1 por minutos.
2. Razones de cambio relacionados Aquí se abordaron problemas en la cual va a contener lo siguiente: Se toman dos variables que están cambiando con el tiempo, digamos: y
. Ambos pueden ser distancias, áreas, volúmenes, etc. Las
variables a su vez están relacionadas entre si por medio de una ecuación como .
Ya se conoce la velocidad a lo que está cambiando con el tiempo, digamos alguna de estas variables y se quiere conocer la velocidad a la que está cambiando la otra variable, es decir, que al conocer conocer
. Se quiere
, respectivamente, Pero la manera de abordar estos
problemas es considera la relación
esta será la ecuación que se
debe obtener correctamente, ya que conecta las variables “x” y “y”, los cuales deben ser en primera bien identificados.
Después de esto, lo que sigue es saber derivar bien la expresión respecto del tiempo, aplicando debidamente la regla de la cadena y obtener lo que el problema pide; sustituyendo la información del mismo en la expresión o derivado. A continuación se dan a conocer problemas relacionados.
1. Se lanza una piedra a un estanque de aguas tranquilas y se genera una serie de ondas circulares concéntricas. El radio de la primera onda aumenta a razón de 0.5 centímetros cada segundo. ¿A que velocidad está cambiando el área del circulo que encierra esta onda cuando el radio del círculo es metro? Solución: Primero el radio r del círculo de la onda que se está expandiendo y segundo el área A de tal circulo.
Estas dos variables son funciones del tiempo: a medida que transcurre el tiempo tanto el radio como el área cambian. Este hecho lo enfatizamos .
escribiendo
A
su
vez
estas
dos
variables
están
relacionadas entre sí.
En el problema se nos proporciona la velocidad, de aquella a la que varía el radio del círculo. Esta velocidad es la derivada ambos miembros en
. Pero si derivamos
respecto del tiempo obtenemos:
De esta última expresión conocemos
, y queremos calcular
que
es la velocidad a la que esta variando el área con el tiempo cuando el radio es Observe que este último dato es importante, pues en la
de
expresión obtenida para
, se delata que esta variación del área aumenta a
medida que crece r. Así pues se quiere conocer
cuando r = 100 cm, siendo
cm/s. Entonces
.
Esto quiere decir que el área del círculo está cambiando una de
r= f(t )
centímetros cuadrados cada segundo.
A =g(t) = πr²
2. Un punto se mueve sobre la parábola
de tal modo que su abscisa x
aumenta a una velocidad constante de
Calcular la velocidad a la que
varía la ordenada de este punto cuando pasa por (1,1). Solución: Primer tanto la abscisa como la ordenada del punto que se mueve sobre la carretera
están variando con el tiempo. En el problema se nos da la
información de que punto pasa por
y se nos pregunta
en el instante en que el
. Este es un punto de la parábola
respecto de t la expresión
Si sustituimos los valores
. Al derivar
obtenemos:
y
=2 obtenemos que:
Es decir la ordenada del punto se está moviendo a una velocidad de 4 cm/s en el instante en que el punto está pasando por (1,1).
3. Un punto se mueve sobre la hipérbola
de tal modo que su abscisa x
aumenta a una velocidad constante de 2cm/s. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de este punto Solución: Tanto la abscisa x como la ordenada y del punto que se mueve sobre la carrera están variando con el tiempo, digamos que Pues en el problema se nos da la información de que pregunta por
en el instante en que el punto pasa por
el punto de la hipérbola
. , y se nos . Este viene a ser
. Al derivar respecto de t la expresión
obtenemos:
Si sustituimos los valores
y
, obtenemos que:
La presencia del signo menos en el resultado, indica que el punto está pasando por (1,1), la ordenada
es una función decreciente del tiempo, la
ordenada va tomando valores cada vez más pequeños.
Entonces cuando el punto esta pasando por (1,1), con su abscisa que crece a una velocidad de 2cm/s, su ordenada está decreciendo con la misma rapidez, es decir con una velocidad de
.
Por lo tanto, el punto esta moviéndose sobre la parábola
del ejemplo 2.
y = x²
x
2cm/s
4. Se inyecta gas a un floro esférico a razón de
. Calcular la rapidez a la
que esta aumentando el radio del globo después de 2 horas de haber comenzado a inflarlo. Solución: al radio del globo en metros al tiempo
Llamaremos sea
el volumen en
en horas, y
del globo en el instante t. Las variables V y r
están relacionadas por (el volumen V de una esfera de radio r). Si derivamos respecto de t en ambos miembros de esta expresión nos queda:
Sabemos que
y queremos saber el valor de
después de dos
horas de haber comenzado a inflar el globo. En este instante el volumen del globo es de sea:
, de modo que su radio lo obtenemos de la formula
,o
Entonces de la expresión que obtuvimos entre
nos queda que:
Es decir a las dos horas de haber comenzado a llenar el globo su radio está aumentando con una velocidad de 13 centímetros por hora. A continuación se grafica el punto moviéndose sobre la curva y y =In(3x+1) 1cm/s x
5. Un punto comienza a moverse en coordenadas, por la curva
, partiendo del origen de
de tal modo que su ordenada crece
a una velocidad de 5cm/s. Solución: De acuerdo con la expresión del tiempo, que:
, obtenemos, al derivar respecto
Se dice que
y se nos pregunta por el instante en que
. Al
sustituir estos datos en la expresión anterior obtenemos que:
Es decir, cuando el punto está pasando por el punto de abscisa
es que
. La ordenada correspondiente de
está creciendo a una velocidad de este punto es
, puesto que está último está , concluimos que es después de
creciendo a una velocidad de
segundos de haber comenzado el movimiento, cuando el punto está pasando por
y por lo tanto, cuando su abcisa está
aumentado a una velocidad de 5cm/s. A continuación se grafica:
y=1/x
x
2 cm/s
El punto se está moviendo sobre la hipérbola
del ejemplo anterior N° 3.
6. En un recipiente, en forma de cono circular recto (invertido), con radio de base R = 30 cm. Y altura H = 50 cm, se vierte agua a razón de dos litros cada minuto. Si en
el recipiente estaba vació, calcular la velocidad a la que
esta aumentando el nivel de agua en el recipiente, después de 5 minutos de haber comenzado a llenarse. Solución: Llamemos x a la altura del agua medida, en cm respecto de la base en que descansa el recipiente. En un instante dado
, hay un cono de agua dentro
del recipiente cónico, el cual tiene altura x y radio de la base r. Tanto x como r son funciones del tiempo t, digamos
y
. El volumen V de este
cono de agua es:
La variación que tiene este volumen respecto del tiempo es
.
Por otra parte las variables r y x están relacionadas entre sí. Para determinar esta relación.
Observemos la siguiente figura.
A´ R=30cm
30
B´
50 A
B X
H=50 cm
O
El
es semejante al
de modo que:
Es decir que: , de donde se obtiene que
, y el volumen de agua vertido al
recipiente, en términos de altura x, se ve como:
Al derivar respecto del tiempo ambos miembros de esta expresión obtenemos:
Se quiere saber
, la rapidez a la que esta subiendo el nivel del agua en el
recipiente, a los 5m de haber comenzado a llenarse. Puesto que se están vertiendo 2 litros cada minuto, a los 5 m. hay 10 litros (10000cm3) de agua en el recipiente. Entonces se tiene que:
Es decir, a los 5m de comenzar a vaciar el agua al recipiente, la altura del líquido era de 29.823. De la relación encontrada entre
obtenemos que:
Así el nivel del líquido está subiendo a una rapidez de 1.988 centímetros cada 5 minutos después de que comenzó el llenado.
Conclusiones
La derivada no es más que la pendiente de una recta cualquiera la cual es tangente a una curva, que es continua en (a, b) y la razón de cambio es la proporción, donde una variable cambia con respecto a otra como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo. Los problemas relacionados con el tema de la derivada como razón de cambio, han permitido entender más sobre el tema, ya que se toman puntos como el movimiento rectilíneo que se ve en Física más la aceleración, el tiempo en que se mueve un cuerpo, entre otro.
Bibliografía
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Edwards, C. H y Ponney, D. E. (1997). Calculo diferencial o integral. Sexta edición. México: Prentice Hall.
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Espinoza, E. (2008). Análisis matemático I. Cuarta edición. Lima: Servicios Gráficos. J. J.
•
Kong, M. (1995). Calculo diferencial. Tercera edición. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú.
•
Pita, C. (1998). Calculo de una variable. México: Prentice Hall.
