Ejercicios Resueltos de Razon de Cambio

1.

La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar: a. la variación del área del rectángulo b. la variación del perímetro del rectángulo c. la variación de las longitudes de las diagonales del rectángulo

Antes de resolver los apartados, parece práctico expresar el largo y el ancho del rectángulo en función del tiempo, pues el primero disminuye con el tiempo y el segundo aumenta. Si fijamos un rectángulo de dimensiones 12x5 (largo 12 cm y ancho 5 cm), entonces el largo variará según: L = 12 - 2t ; (signo menos pues va disminuyendo) donde L es el largo, y t el tiempo expresado en segundos. El ancho A vendrá representado por: A = 5 + 2t ; (signo más pues va aumentando) t nuevamente en segundos. Luego las ecuaciones que nos van a describir en función del tiempo las dimensiones de ancho y largo del rectángulo cuyas dimensiones iniciales son de 12x5 son: A = 5 + 2t L = 12 - 2t Ahora, estamos en condiciones de responder los apartados. a. la variación del área del rectángulo El área de un rectángulo es BASE x ALTURA En este caso, como ambos lados varían en función del tiempo es lógico que el área también será función del tiempo. ÁREA = A x L = (5 + 2t) x (12 - 2t) Esto lo podemos dejar así o lo podemos desarrollar : (5 + 2t) x (12 - 2t) = 60 - 10t + 24t - 4t² = - 4t² + 14t + 60 Luego, ÁREA = - 4t² + 14t + 60 Podemos comprobar que es correcto porque si resolvemos esta ecuación del ÁREA (=0) obtenemos un tiempo negativo (!!) y un segundo tiempo igual a t = 6 segundos. Es decir, que al cabo de 6 segundos el área del rectángulo será 0.