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Calculo 1_Ingeniería
SESIÓN 9 Derivadas – Razón Razón de Cambio Instantánea
1.
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de un auto está modelado por la función
x (t ) 4t 2 5t 8 , donde la posición “x” está dada en metros y el tiempo “t” en segundos. Calcular la velocidad media durante el intervalo i ntervalo de tiempo comprendido entre el tercer y octavo segundo. Solución:
La velocidad media es la razón de cambio de la variación de las posiciones con respecto a la variación del tiempo
x (8) x (3) 83
304 59 5
49
Es decir la velocidad media en ese intervalo de tiempo es de 49 m/s. 2.
Una partícula se mueve a lo largo del eje coordenado y “s” , la distancia en cm desde el origen al concluir “t” segundos, está dada por s (t )
10t 5 . Encontrar la velocidad instantánea de la
partícula al final de 2 segundos. Solución:
La velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo, para nuestro caso:
s '(2)
5 10t 5
1 t 2
Es decir al finalizar 2 segundos la partícula está con una velocidad de 1 cm/s.
3.
La ganancia en dólares de fabricar “q” productos está dada por
G(q) 0, 5q 0, 00 002q . 2
Encuentre la tasa de cambio instantánea de la ganancia cuando q = 100. Solución:
G '(100) 0, 5 0, 00 004 q q 100 0.1 Es decir cuando se produce y vende 100 unidades al aumentar una unidad, la ganancia se incrementa en $0.1.
1
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Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo de un depósito en 1 h, la Ley de Torricelli da el volumen de agua “V” después de “t” minutos como: 2
t V (t ) 100 000 1 ; 0 t 60 60 Calcular la rapidez con la que fluye el agua hacia afuera del tanque (razón de cambio i nstantánea de V respecto a t). Solución:
2 t t V (t ) 100000 1 ; 0 t 60 30 3600
t 1 ; 0 t 60 30 1800
V '(t ) 100 000
t 1 V '(t ) 100 00 ; 0 t 60 3 180
Esta función describe la rapidez con la que fluye el agua en cualquier instante.
5.
El Producto Interno Bruto (PBI) de un país fue de N (t ) t
2
5t 106 mil millones de dólares
“t” años después del 2000.
¿A qué razón cambió el PBI con respecto al tiempo en el 2008? Solución:
N '(8) 2t 5 t 8 21 En el 2008 el PBI está cambiando a razón de 21 mil millones de dólares por año. 6.
Un fabricante estima que cuando se producen “q” unidades de un cierto artículo, el costo total
es C ( q)
p(q)
q2 8
75 q 3
3q 98 ,
y todas las “q” unidades se venderán cuando el precio sea
dólares por unidad.
a) Encontrar el costo marginal. b) Calcular el costo de producir la novena unidad como una adicional más. c) Encontrar el ingreso marginal. d) Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso derivado de la venta de la novena unidad. Solución:
a)
Encontrar el costo marginal.
C '(q )
q 4
3 2
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b)
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Calcular el costo de producir la novena unidad como una adicional más.
C '(8)
8 4
35
El costo sería de 5 dólares. c)
Encontrar el ingreso marginal. En primer lugar encontramos la función ingreso que dependa de la cantidad: I ( q ) p.q
75 q q 3
I (q)
I (q)
75q q
2
3
Ahora derivamos:
I '(q )
d)
75 2q 3
Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso derivado de la venta de la novena unidad.
I '(9)
75 2q 3
19 q 9
Al vender la novena unidad el ingreso se incrementa en 19 dólares pensando en la d écima unidad. 7.
Los sociólogos han estudiado una relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de 5
y dólares anuales, donde y 5 x 5900 ; 4 x 16 . Encuentre el ingreso marginal y evalúela cuando x =9. Interprete el resultado. Solución:
Derivando la función ingreso se tiene:
y'
25 2
x
3
Evalúe cuando x=9 y se tiene:
y'(9)
25 2
3
9
25 27 2
337,5
Si los estudios de una persona cuentan de 9 a 10 años, sus ingresos mensuales medios aumentan en $337,5 aproximadamente.
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Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido con radio de base 2m y altura 4 m. Si se bombea agua hacia el tanque la altura cambia a razón de 2m por minuto, encuentre la rapidez a la que el volumen del agua está aumentando cuando el agua tiene 3m de profundidad. Solución:
Sean: V : el volumen del agua r
: el radio de la superficie
h
: la altura del agua en el tiempo t
Por dato:
dV dt
dh
2 m3 / min y nos piden hallar
dt
cuando h es 3.
Las cantidades V y h están relacionadas por la fórmula que nos da el volumen de cono
V
r 2 h 3
Vamos a expresar V como función solo de h , para ello expresemos el radio r en función de h Usando semejanza de triángulos, tenemos:
r
h
2
r
4
h 2
Sustituyendo el radio en la fórmula del volumen de un cono, tenemos 2
h h 3 h 2 V 3
12
Ahora podemos derivar con respecto a t .
3 h 2 dh h 2 dh . . dt 12 dt 4 dt
dV De modo que:
dh dt
Sustituyendo h 3 y
dV dt
4 dV
h 2 dt
2m3 / min, tenemos
4
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dh
4
dt
(3) 8
El nivel del agua está subiendo a razón de
9.
9
2
2
8 9
0.28 m / min.
El auto A se dirige al oeste a 50 mi/h y el auto B se dirige al norte a 60 mi/h. Ambos se dirigen al cruce de los dos caminos. ¿con que rapidez se están aproximando uno al otro los dos autos, cuando el auto A está a 0.3 millas y el B está a 0.4 millas del crucero? Solución:
Trazamos la siguiente figura: Consideremos el punto C: como el cruce C
A
B
De acuerdo a la gráfica las distancias x e y disminuyen a medida que los móviles avanzan esto significa que las velocidades se considerarán con signo negativo. Es decir
dx
dy
50 mi/h y
60 mi/h dt dt Nos piden hallar la rapidez con la que se aproximan los dos autos, es decir el módulo de la derivada de las distancia z con respecto al tiempo. De acuerdo al teorema de Pitágoras se tiene:
z 2 x 2 y 2 Derivando se tiene:
2 z.
dz dt
2 x.
dx dt
2 y.
dy dt
Reemplazando las velocidades se tiene:
z.
dz dt
50 x 60 y
Lo cual nos da la variación de la distancia entre los autos de acuerdo a las distancias en ese instante, específicamente nos piden cuando x 0.3, y 0.4 y encontramos el valor de
z 0.5 por Pitágoras.
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Reemplazando se obtiene:
(0.5)
dz dt
50(0.3) 60(0.4)
dz dt
78 mi/h
En ese instante los autos se están aproximando con una rapidez de 78 mi/h . 10.
Un hombre camina por una vereda recta con una rapidez de 4 ft/s. Un proyector está colocado en el suelo a 20 ft de la vereda y se mantiene enfocado al hombre. ¿con que rapidez está girando el proyector cuando el hombre está a 15 ft del punto en la vereda más cercana al proyector? Solución:
Sea A, el punto en la vereda más cercano al proyector, veamos el gráfico
Hombre
A
Proyector
Nos piden hallar la variación del ángulo con respecto al tiempo, es decir:
d dt
x luego se deriva 20
Del gráfico se tiene: arctan
d dt
d x dt 20
x 20
1 dx
2
1
20 dt
x 20
1
2
por dato del problema
dx dt
4 entonces
1 d dt
5
x 20
2
que muestra la variación del ángulo que depende de la distancia del punto
1
sobre la vereda más cercano al proyector; en particular nos piden cuando x 15 Se tiene:
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1 d dt
5
15 20
2
0.128
1
El reflector está girando a razón de 0.128 rad/s.
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