EXPERIMENTO Nº 1: PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER
OBJETIVO :
Dete Determ rmin inar ar por por medi medio o de este este expe experi rime ment nto o los los peri period odos os de oscilación del péndulo físico y a partir de ello calcular su momento de inercia.
EQUIPOS Y MATERIALES :
Una barra metá!"a #e $n%!t L "$n a%&'er$( "!r"&are(: La cual
usaremos como péndulo físico para así lograr el objetivo del experimento.
Un ($)$rte #e ma#era "$n "&"*!a:
De la cual penderemos la barra metálica para hacerla oscilar.
Una re%a m!!metra#a: Es una regla de metal cuya mínima unidad a
medir es el milímetro y se le considera una incertidumbre igual a la mitad de su mínima unidad es decir !ue la incertidumbre en esta escala será "#.$ u.
Ran%$
D!men(!+n mm
%###mm %#&(.#x($.# $.#x%.) %.) '
METAX: Re%a #e A"er$ ,ra#&a"!+n a Frente ,ra#&a"!+n Atrá( M$#e$ %.#mm #.$ #.$mm
C+#!%$ MM
%*)#' %*$#' %*+&' ,-%%%# )+%### %*()' %*%+'
-aan.a: Es un instrumento básico en el laboratorio !ue nos sirve
para determinar el peso de un objeto despla/ando masas calibradas a lo largo de dos rieles calculando con mayor exactitud al ajustar una manilla en sentido antihorario. La balan/a contaba con los siguientes datos0
DIAL-O-GRAM ® Cap: 2610g y Numbers: 3, 135, 3 !"A #A$% 2, &2', 3' (LOR)AM% #AR*% N%"% 0&'32, !"A D)A!"®
Un "r$n+metr$ #!%!ta: Es un reloj !ue sirve para
medir fracciones de tiempo normalmente cortos y con una incertidumbre de " #.##)$ u.
Una m$r#a.a (!m)e: 1erraje !ue permite hacer firme
un cabo permitiendo filarlo con gran rapide/.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
Per/$#$: 2iempo necesario para !ue se produ/ca un ciclo completo.
-e mide en segundos. -e calcula así0 T = 2 ∏
I mgd
Donde0 T es el período # es la distancia del eje al centro de masa el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de rotación es I y la masa del cuerpo es m.
Te$rema #e Ste!ner: Es una fórmula !ue nos permite calcular el
momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación !ue pasa por un punto 3 +I 0 cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y !ue pasa por el centro de masas +I . Esta fórmula es0
Paráb$a M/n!m$ 0 C&a#rát!"a: El ajuste de curvas se hará en la
forma de la ecuación de la parábola0
F23 4 a5 6 a12 6 a727 Las ecuaciones !ue permiten calcular los coeficientes a # a% y a) son0 n
∑ yi
n
n
i =1
i =1
= a 0 n + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi2
i =1
n
n
n
∑ xi yi = a ∑ xi + a ∑ x 0
i =1
1
i =0
n
∑ xi yi = a ∑ xi
2
0
i =1
i =1
1
i =1
n
2
n
2
+ a2 ∑ x
3
i =1
n
n
+ a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi 3
i =1
4
i =1
Donde0 X! y Y! son los valores tabulados !ue tenemos de datos. Luego se reempla/a los valores de X! y Y! en las ecuaciones dadas.
C!8ra( (!%n!8!"at!9a(: 4uando se multiplica y divide varias cantidades el n5mero de cifras significativas en la respuesta final es igual al valor con menor n5mero cifras significativas de las cantidades multiplicadas o divididas. 4uando se suman o restan n5meros el n5mero de decimales en el resultado debe ser igual al n5mero más pe!ue6o de decimales en cual!uier término de la suma.
E2)re(ar e 9a$r #e err$r #e ma%n!te( #eterm!na#a( : -e parte primero del error obtenido al medir magnitudes directamente considerando !ue el error de una magnitud 7x7 es 8x9 y !ue 8x :: x se puede usar la aproximación 8x ≅ dx Entonces procediendo con diferenciales se logran obtener los casos para la suma resta multiplicación o cociente de dos magnitudes ;x7 e ;y7 incluyendo sus respectivos errores siendo expresado este valor de la siguiente manera0
a......... ?@A Donde ;a7 es cual!uiera de las operaciones elementales ?suma resta etc.A
2eniendo en cuenta lo antes mencionado el cálculo de dichas operaciones se procederá de la siguiente manera0
TA-LA Nº 1 "uma: (x + y)
Res.a: (x - y)
-acando el diferencial0 dx B dy
-acando el diferencial0 dx dy
4omo0 8x ≅ dx
4omo0 8x ≅ dx
8y ≅ dy
8y ≅ dy
Expresando el valor seg5n ?@A S&ma 4 2 6 ; <2 6 < 3
Expresando el valor seg5n ?@A Re(ta 4 2 0 ; <2 6 < 3
#r/u./: (xy)
-acando el diferencial0 dxy B dyx Cactori/ando0 xy ?dx B dyA x y
C/e.e: (x / y)
4omo0 8x ≅ dx
-acando el diferencial0 ?dx dyA y y) Cactori/ando0 x ?dx dyA y x y
8y ≅ dy
4omo0 8x ≅ dx
Expresando el valor seg5n ?@A Pr$#&"t$ 4 2 ; 2 <2 6 < 3 2
8y ≅ dy Expresando el valor seg5n ?@A C$"!ente 4 2 ; 2 <2 6 < 3 2
Obsera4: Los valores 8x y 8y no se restan como se esperaría en la
resta y el cociente ya !ue en la medición la incertidumbre está entre el mínimo y máximo error.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
1= -obre la masa y apoyado sobre su base. -ujetamos al soporte de madera con las morda/as simples.
7= bicamos el centro de masa de la barra suspendiendo ésta hori/ontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en el e!uilibrio será el centro de gravedad 4 de la barra.
>= -uspendimos la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla e hicimos oscilarla separándola ligeramente de suposición de e!uilibrio ?F ≤%$GA tomamos nota del tiempo !ue emplea en )# oscilaciones y medimos también la distancia . ?Distancia de 4 a #A.
?= Hepetimos esta operación dos veces más.
@= ,edimos las dimensiones de la barra y su masa.
CLCULOS Y RESULTADOS : !" L#$%$ #& '&#& ! *% #& ,.,$%'$ &&'$0',&" I de I de Jeriodo ?2A l?cmA " #.#$ t% ?sA " #.##$ t) ?sA " #.##$ t( ?sA " #.##$ hueco oscilaciones Jromedio " #.##)$ 33.55 % $#.K ((.( ((.(# ((.+) )# 33.2066667 ) &$.K ((.%M ().MM ((.$+ )# .K 32.2366667 ( ().)& ().)M ().%K )# ($.K 31.7866667 & (%.M% (%.$ (%.M# )# (#.K 31.72 $ (%.+$ (%.$ (%.+ )# )$.M$ 32.1266667 + ().% ().%$ ().#+ )# 33.1533333 )#.M ((.(# ((.%$ ((.#% )# M %$.M %.$) %.$( %.&M %# 17.51 20.3666667 K %#.M )#.&$ )#.# )#.$M %# 26.4933333 %# $.M )+.() )+.$ )+.++ %#
1" &" 2&3,4.$ T 5" l 6 ( T $% $# $7$ 5$', y l $%$ #$ $7$ 8*,9*%')
b% A par.r e as eua/es (θ ) y ( δ ) , eue.re e a/r e l para ue e per// sea m7m/%
2eniendo en cuenta las siguientes ecuaciones0
#er// e /sa40 T = 2π
I 1 Mgl
NNNNN. (θ )
Donde0 I 1 0 ,omento de @nercia del cuerpo respecto a un eje de referencia. M 0 ,asa del sólido g 0 ravedad l
0 Distancia del centro de gravedad del cuerpo ?4A al eje de
referencia
$e/rema e ".eer 0 I 1
= I G + Ml 2 NNNNN. ( δ )
Donde0 I 1 0 ,omento de @nercia del cuerpo respecto a un eje de referencia. I G 0 ,omento de inercia respecto al
centro de masa
M 0 ,asa de la barra l
0 Distancia del centro de gravedad del cuerpo ?4A al eje de
referencia -
Heempla/ando ( δ ) en (θ ) tenemos0 T = 2π
I G
+ Ml 2
Mgl
= 2π
I G
+
l
Mgl g
-
Luego para !ue el periodo sea mínimo derivamos en función a l 0
dT =
π −
dl
I G 2
Mgl I G
1 + g = 0
+
l
Mgl g -
Despejando la ecuación se tiene0 1 g
-
=
I G Mgl 2
Ml 2
= I G NNNNNNN ( α )
l =
I G M
NNNNNNN ( β )
Jara una barra homogénea el momento de inercia es0 I G
=
1 12
M ( L2
+ A 2 ) NNNNNNN
( µ )
Donde0 M 0 ,asa de la barra A 0 Oncho de la barra L 0 Longitud de la barra
-
Las medidas de la barra necesarias para el cálculo son0
A = 3.75cm ± 0.05u
L = 110cm ± 0.05u -
Heempla/ando ( µ ) en ( β ) 0
1 l = -
12
M ( L2 + A 2 ) M
-implificando y reempla/ando los valores numéricos0 l =
1 12
( L2
+ A2 ) =
1 12
((110 ± 0.05)
2
+ ( 3.75 ± 0.05) 2 )
l ≈ 32cm ± 0.015u
% C/mpare e a/r e l /b.e/ e +b / e ue /b.ee e a gr89a e +a% -
De las ecuaciones obtenidas de las gráficas de ?aA se tienen los valores para
-
l 0
Jara la gráfica %a0 T = 0.0012l 2
− 0.0835l + 2.9745 T − 1.5584 = (0.035l − 1.19) 2 donde : l = -
1.19 0.035
≈ 34cm
Jara la gráfica %b0 T = 0.0011l 2 − 0.0789l + 2.9089 T − 1.4689 = (0.033l − 1.2) 2 donde : l =
-
1 .2 0.033
≈ 36cm
De lo obtenido en ?bA0 l ≈ 32cm ± 0.015u
4omparando estos valores podemos apreciar !ue los datos de longitud hallados experimentalmente son cercanos a los determinados
analíticamente
ya
!ue
la
diferencia
entre
estos
es
aproximadamente )cm.
% Cu8 es e per// para es.a s.aa; -
El periodo para las gráficas de ?aA son0
-
Jara la gráfica %a0 2eniendo en cuenta lo determinado anteriormente T − 1.5584 = (0.035l − 1.19) 2 donde : T ≈ 1.56
-
Jara la gráfica %b0 2eniendo en cuenta lo determinado anteriormente T − 1.4689 = (0.033l − 1.2) 2 donde : T ≈ 1.47
-
El periodo para ?bA es0 2eniendo en cuenta la relación hallada en ?bA T = 2π
I G
+ Ml 2
Mgl
Donde reempla/amos (α ) determinado en ?bA0 Ml 2
= I G NNNNNNN
( α )
Heempla/ando y despejando tenemos0 T = 2π
Ml 2
+ Ml 2
Mgl
= 2π
-ustituyendo los valores de l y g tenemos0
2l g
de
2(0.32 ± 15 *10 −5 )
T = 2(3.14)
9.81
T = 1,6 ± 6 *10 −5
e% De su gr89/, puee eur /s pu./s e /sa4 / e msm/ per7//; I7ue/s%
De los gráficos %a y %b se pueden apreciar ) puntos coincidentes con el mismo periodo los cuales son0 -
Jara el gráfico %a0 Los puntos cuya longitud son0 l =
&$M
y
l = )$.K
Hempla/ando en la ecuación0 T = 0.0012l 2
El periodo para ambos es0 -
l + 2.9745
− 0. 0835
T
≈
1.6 s
Jara el gráfico %b0 Los puntos cuya longitud son0 l =
&$M
y
l = )$.
Hempla/ando en la ecuación0 T = 0.0011l 2 − 0.0789l + 2.9089
El periodo para ambos es0 T
≈
1.6s
" C*% $# 5* ;$ T *%*,;* $x<$,=$%'$6 $%.$%'$6 .',#,9&%;* #& $#&,>% (!)6 $# 5* ;$ I ! y ##$%$ #& '&#& 1 *% #& ,.,$%'$ &&'$0',&"
I de hueco
l) ?cm)A
" 8l)
2) ?s)A
" 82)
@) ?Pg.m)A
" 8@)
#.##M(
#.+
#.##M(
#.##M%
#.$M+
#.##
#.##M%
#.$#)
#.##+
#.##M# #.##K
#.&)M #.(+
#.##) #.##+K
#.##M%
#.(%$
#.###
#.##M& #.##MK
#.)# #.))M
#.##) #.##K
#.#%#(
#.)%%
#.#%#(
#.#%(
#.%K)
#.#%
2.8140062
%
)$K#.M%
$.#K
5 2.7567067
)
)%#+.M%
&.$M
8 2.5980066
(
%+).M%
&.%
9 2.5259804
& $
%)MM.M% K$&.M%
(.+ (.#K
4
2.515396 2.5803067
+
++M.))(
).$K
8 2.7478587
M
&().+& )&K.+&
).#M %.$M
8
3.066001 4.1480111
K
%%+.+&
%.#K
1 7.0189671
%#
((.+&
#.$M
1
?= ?&& $# @3,* I ! 5" L1 6 y &7'$#* <* $# ='*;* ;$ =0%,=* .&;&;* .%&;* #* <.%'* *'$%,;* $'% =.y ;,<$*"
" D$# @3,* &%'$,*6 y <* *=<&&,>% *% #& $.&,>% (!"1)6 ;$'$=,%$ I6 2 y M" -eg5n la ecuación ?%&.)A tenemos0 @l = @ B ,l) Q seg5n el gráfico0 @l = #.###) l) B #.%M+ 4omparando obtenemos0 , = #.###) Pg @ = #.%K#+ Pg.m )
" C*=<&$ $# 5* ;$ I 2 *'$%,;* $% $# <&* *% $# 5* ;$ #& 3>=.#& &%',& <&& .%& && ;$ #*%,'.; L y &%8* 6 I 2 !/!1M (L1 + 1 )" GQ. $* $x<$,=$%' *'.5*HGQ. <.$;$ ;$, &$& ;$ #& =&&H @@ = %*%), ?L) B b)A. 2enemos los siguientes datos0 L = %.%#m b = ##(m , = %M(+Rg @@ = #%M$( Pgm)
Err$r e2)er!menta El error !ue obtuvimos al comparar @ % y @) es E?SA = ?@ @@AT%##S* @@ = ).M+S
" ?#$ #& #*%,'.; ;$# <%;.#* ,=<#$ $4.,5$%'$6 <&& $'$ @#.#* *#,,'$ <*3$* ;$ &.#& 4.$ #$ &,%$ $# %=$* ;$ 8.$*"
-abemos !ue la ecuación del periodo del péndulo simple es0 2 = )π√?L*gA Donde L es la longitud de la cuerda !ue sostiene a la masa !ue hacemos oscilar y g es la gravedad. 2omando el hueco n5mero % y para reempla/ar con un péndulo simple de periodo igual a ).+ s resolviendo la ecuación obtenemos la longitud del péndulo0 L = g2)*?&π)A Q reempla/ando 2 = ).+ s obtenemos L = %.MK$ m.
" D$=.$'$ $% 3*=& &%',& #& $#&,*%$ (!"!) y (!"1) T = 2π
I 1 Mgl
1?=13
Donde0 I 1 0 ,omento de
@nercia del cuerpo respecto a un eje de referencia.
M 0 ,asa del sólido g 0 ravedad l
0 Distancia del centro de gravedad del cuerpo ?4A al eje de referencia
Dem/s.ra4:
U = @%V) NNN ( δ ) V = )W*2 NNN ( µ )
Donde0 U 0 2or!ue del cuerpo respecto a un eje de referencia.
V 0 Crecuencia angular. Luego0 ( µ ) en ( δ ) U = @%?)W*2A) Odemás0
U = ,g.l
Entonces0 ,g.l = @%?)W*2A)
P$r $ tant$0
X ?2*)WA) = @%* ,g.l T = 2π
I 1 Mgl
@o = @c B ,d) 1?=73
Donde0 @o 0 ,omento de @nercia del cuerpo respecto a un eje de referencia. @c 0 ,omento de inercia respecto al centro de masa M 0 ,asa de la barra
d 0 Distancia del centro de gravedad del cuerpo ?4A al eje de Dem/s.ra4:
El momento de inercia del sólido respecto de un eje !ue pasa por 3 es
El momento de inercia respecto de un eje !ue pasa por 4 es
Jara relacionar I O e I C hay !ue relacionar r y R %
En la figura tenemos !ue
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya !ue obtenemos la posición < C del centro de masa desde el centro de masa.
K"
?&& .%& #,'& ;$ . *=$%'&,* ;$ . *%#.,*%$
y
*=$%'&,*" De las gráficas se demuestran las propiedades simétricas del péndulo físico ?) puntos coincidentes igual distancia al centro de gravedad con el mismo periodoA. El periodo de oscilación de la barra disminuía hasta un cierto punto ?punto $A y de ahí en adelante nuevamente empe/aba a aumentar. Dichas variaciones se debe a la distancia desde el punto de oscilación hasta el centro de masa de la barra !ue origina una variación en la masa propiamente dicha.
,ientras mas nos acercamos al centro de masa de la barra los periodos correspondientes se hacen cada ve/ mayores. Esto se debe a la relación inversamente proporcional !ue existe entre las longitudes y los periodos %
BIBLIO2RAFA:
Jisteros
roup.
#er//%
Yen
líneaZ.
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niversidad
del
Jaís
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arcía ]ngel Cranco. =ua4 e a 8ma e r/.a4% Yen líneaZ
-.@0 niversidad del Jaís
Cacultad de 4iencias de la niversidad _acional de @ngeniería. Maua
e Lab/ra./r/ e (7sa Geera% Lima Cabet )##& pp. %K M).