Universidad Nacina! de In"enier#a FACULTAD DE MECANICA
PÉNDULO FÍSICO FISICA II ALUMNOS: PROFESOR: MESA: FECHA DE LA PRÁCTICA: FECHA DE ENTREGA:
I.OBJETIVOS:
PÉNDULO FÍSICO
Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica, midiendo el periodo de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación. Hallar la variación del T(periodo), respecto a la lonitud entre el C.!, y el e"e en #ue oscila. $eterminar el tipo de movimiento respecto al ánulo de iro de la barra metálica. %aber el procedimiento del cálculo de momento de inercia para cuerpos con eometría desconocida. II.FUNDAMENTO TEORICO: &éndulo 'ísico %e llama péndulo físico a a#uel cuerpo ríido capa de pivotar a través de un e"e *oriontal fi"o+ como se muestra en la fiura (a), este al ser desplaado de su posición de e#uilibrio, fiura (b), aparece un tor#ue e"ercido por la fuera de ravedad y teniendo como línea de acción al e"e *oriontal en el #ue se suspende el cuerpo ríido y con dirección contraria al desplaamiento anular , y de esta forma llevar al cuerpo ríido a su posición de e#uilibrio, posición #ue no lora obtener debido a la inercia del cuerpo ríido, llevándola así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un tor#ue recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio. -n el péndulo simple se cumple las siuientes relaciones (demostradas en el punto de cálculos y resultados)
√
T =2 π
I mgl
$ónde T periodo. 0o momento de inercia respecto al e"e.
I O = I G + m l
2
0! momento de inercia con respecto al centro de ravedad (cte). m masa l lonitud del centro de ravedad al e"e #ue pasa por 1.
2
I G =
2
m (a +b )
l2 lonitud del centro de ravedad a cada 3 de *ueco.
12 b lonitud de la barra(constante). a anc*o de la barra(constante). barra(constante).
•
/omento de 0nercia $ado un e"e arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas #ue componen un sistema, y el
1
PÉNDULO FÍSICO
cuadrado de las distancia 4r5 de cas partícula al e"e escoido. 6epresenta la inercia de un cuerpo a rotar. /atemáticamente se expresa como
I =∑ m i r i
2
&ara un cuerpo de masa continua (medio continua) lo anterior se eneralia como ❑
❑
I =∫ r dm=∫ ρ r dV 2
V
2
v
-l subíndice 7 de la interal indica #ue *ay interar sobre todo el volumen del cuerpo. -ste concepto desempe8a desempe8a en el movimiento de rotación un papel análoo al de masa
inercial en el caso del movimiento rectilíneo y
uniforme(la masa es la resistencia #ue presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de inercia es la resistencia #ue presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. III.EQUIPO: • • • • •
9na barra metálica de lonitud : con au"eros circulares. 9n soporte de madera con cuc*illa $os mordaas simples 9n cronometro diital 9na rela milimetrada
IV.PROCEDIMIENTO IV.PROCEDIMIENTO E EXPERIMENTAL XPERIMENTAL Y DATOS DATOS OBTENIDOS: OBTENI DOS: a) %obre la mesa y apoyado sobre su base mayor, su"ete el soporte de madera con las mordaas simples b) Halla Hallarr el cent centro ro de masa de la barra barra
suspe suspend ndién iéndol dola a *ori *orion ontal talmen mente te en la
cuc*illa( el punto de apoyo de la barra en e#uilibrio será su centro de ravedad C!) c) ;*ora suspenderla suspenderla verticalmente por 2< de los =2 *uecos en la cuc*illa y *acerla oscilar separándola lieramente de su posición de e#uilibrio(>2?@)
1
PÉNDULO FÍSICO
d) Hacer 2< oscilaciones oscilaciones para los A primeros *uecos *uecos y para ? para los B #ue están mas cercanos al C!. e) ;notar el tiempo para lueo *allar el periodo (T) y también medir las distancias(0) distancias(0) del e"e de oscilación *acia el C!. V.CALCULOS V.CALCULOS Y ERRORES: 1. TABLA I !c")
#1!$) ?<
#%!$) B
.<
.
#&!$) B
.B=
?
+ de $c*ac*,e$
T!S)
B.<
=<
<
BB .A
B=
.=<
# '("ed*
B=
B=.2
.E=
.A?
B=.=
=<
<
B=.=B
B=.=?
B=.B<
B=.=D
=<
<
B2.E
B2.
B2.<
B2.D
=<
<
B2.<
B2.E<
B2.E
B2.E
=<
<
B2.??
B=.B=
B=.<
B=.
=<
<
BB.?
BB.BA
BB.B
BB.
=<
<
2A.2
2A.D
2A.A
2A.?A
2<
<
=<.<
=<.?B
=<.
=<.?
2<
<
.=< =D.ED =D. =A.2 =D.E 2< %. -RAFICA PERIODO !T) $ DISTANCIA DISTANCIA AL AL EJE DE OSCILACION !I)
<
< .=< B? .<< B< .2< =? .<< =< .2< 2? .=< 2< .=< ?
;"uste de la curva mediante mediante la parábola mínimo mínimo cuadrática cuadrática /*
0* ?. 2<. 2?.
/*0* /*% /%*0* /&* =.?ED 2?.
=<. =?.
2.D?D 2.?EE
B. 2.=?=
B=.D DD?.D
1
A2D.?2 2
/2* 2E?.22= 22B2.DED 2=?E.A2= 2BD<.ED BE.B2= D=B=<.2=ED 2A2AA.BDE EE.E2= 2A2AB.?2=
D B
PÉNDULO FÍSICO
D EEE2A.E B<. B?. <. ?. ?<.
2.?? 2.D
.2 ?A.BA D?. A.EAD .A?=
E.D 2=2.D 2DD.D =
2?
=E=2.22= ?=.A2= DAE2A.B2= ED
D 2D=D<2.
=B
2A.DA=
A<.EE=D
2<
<2A?.2=
2A<
/ediante las siuientes formulas n
n
n
❑ y = a n + a ∑ x + a ∑ x ∑ = = = 2
i
i
0
i
1
n
n
x y =a ∑ x ∑ = = i
i
i
0
i
1
i
1
❑ i
1
i
1
+a
n
x + a ∑ x ∑ = = 2
1
i
i
n
2
i
1
n
i
i
1
i
0
i
3
i
1
i
1
$e las ecuaciones (2), (= ) y(B) a
1
333333.!%)
n
2
i
3
i
1
x y = a ∑ x + a ∑ x + a ∑ x ∑ = = = = 2
3333.!1)
1
n
1
n
2
1
2
i
4
i
1
333333!&)
PÉNDULO FÍSICO
T vs l 3.000 2.500 ! f(x)==0."7 0x^2 - 0.07x + 2.79 2.000 T
1.500 1.000 0.500 -
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
L
-ncontrar el valor de l para un mínimo como ya conocemos la función por la cual se rie #ue es una especie de parábola, entonces *allamos la primera derivada la iualamos a 4<5 Cero, asi obtenemos el máximo relativo 2
∂ ( 0.0011 x −0.0745 x + 2.8008 ) =0 ∂x
(
2 0.0011 x
) −0.0745=0
x =l =33.86 cm
b) E,c,#(a( e a( de 'a(a 45e e 'e(*d $ea "6,*"
T i =2 π
√
I i mg l i
%abemos por %teiner
1
PÉNDULO FÍSICO 2
I i = I G + m l i
I
c) C"'a(ac*7, de $ a(e$ de 8I9 b#e,*d$ e, b) c, e 45e b#*e,e de a (a;*ca e, a) $istancia obtenida mediante las ecuaciones (2.2) y (2.=)
02 < &1.=> c"
$istancia obtenida en la rafica :
I% < &&.>= c"
$iferencia de error
:?.&@ c"
&orcenta"e de error
33.86 – 31.68
E((( F F
33.86
x2<<
F D. :a diferencia, se debe a #ue #ue en los cálculos cálculos de las las ecuaciones ecuaciones (2) y (=), el momento momento de inercia del centro de de ravedad ravedad de la barra (0 !) fue calculado calculado suponiendo suponiendo #ue dic*a dic*a barra era sólid sólida a y ríida ríida,, el cual, cual, en la
realid realidad ad no es así. ;de ;demás más,, la barra barra pose posee e =2
au"eros .;simismo, no se puede descartar el ran maren de error al medir la masa de la barra. d) C5 e$ e 'e(*d 'a(a e$#a d*$#a,c*a !d < &&.>= c")
√
%e tiene T5 F =I 2.D<< s
1
0.18828 + 1.865 l
( 1.865 ) ( 9.81 ) l
2
, reemplaando T5F
PÉNDULO FÍSICO
e) De (a;*c e/*$#e d$ '5,#$ de $c*ac*7, c, e "*$" 'e(*d I,d645e$ -xisten dos puntos con un periodo mas próximo uno cuando
0 B?. J TF2.D
J y el otro cuando 0 F <. y T F 2.D
Periodo (T) vs.Distancia al eje de oscilación (d) 3 2.6 2.5 2 2
T(S)
1.72
1.67 1.66 1.63 1.59 1.6 1.61 1.64
1.5
1
0.5
0 0
10
20
30
d(cm)
&. TABLA % :
1
40
50
60
PÉNDULO FÍSICO
ee de
!'e(*d)%
$c*ac*7,
T% !$%)
N de K5ec
l !c") 1 % & 2 ? = > @ 1H
?H.> 2?.> 2H.> &?.> &H.> %?.> %H.> 1?.> 1H.> ?.>
2. aa( e (a;*c I* ,
D??A,E?? ?D,BAA A,=E =DB,A=E B?=.A2AB B
*,e(c*a
Ι ˛
%.@ %.=> %.?> %.? %.?1 %.?= %.2 %.@? 2.H% =.2
!."%) D??A,E?? ?D,BAA A,=E =DB,A=E B?=,A2AB B
=?<,D =
I%
I* G *%
I *%
I%
I*
1 % & 2 ? = > @ 1H SUMA
VS
l ² !"%)
M"e,# de
%?>H.=2 =
2DE=B?DA. 22EB=2DA.2B 2=
1
B<
PÉNDULO FÍSICO
7000 f(x) = 1."6x + 17"7.6"
6000 5000 4000 mometno de inercia (Kg.cm2)
3000 2000 1000 0 0
1000
2000
distancia 2 (cm2 )
?. De (;*c de#e("*,a"$ I -0 M $e la ecuación 0 F 0! K /l= $onde /L F 2.DA M 0!LF2AA.A M.cm =
=. C"'a(a,d I- c, a ;("5a: 1
0! F
12
/( :=Kb= )
bFB. cm : F22< cm / F2.D? M
1
3000
PÉNDULO FÍSICO
Entonces 0! F 2=.AE M.cm = NO9- -66<6 -P&-60/-QT;: %- 1RT971S 1882.79 −1787.7
-6616 0! F
P 2<<
1882.79
# ? -sto se debe a #ue la barra no es *omoénea sino #ue tiene au"eros lo cual disminuye su /omento de 0nercia teórico. Q5 '5ede dec*( ace(ca de a "a$a 1.865
-6616 / F
−1.8647 P 2<<
1.865
<.<2D También vemos #ue la masa es lieramente menor a la teórica , todo es debido a los =2 au"eros #ue presenta nuestro cuerpo ríido
. E, e$#e e$#e ca$ ca$
Kaa(e Kaa(e"$ "$ e e e45* e45*ae, ae,#e #e
a5e( + ?.
T ?
T ?
F =I
√
L ' ' g
F2.?EE s
g FE.2 mUs =
-ntonces
L' L ' '
1
F
DB.?Bcm
a ',d ',d5 5 $*"'e $*"'e de
PÉNDULO FÍSICO
>. Ec5ac*7, 12.1
:a fiura se muestra un cuerpo de forma irreular #ue puede irar sin fricción alrededor de un e"e #ue pasa por el punto 1. -n la posición de e#uilibrio el centro de ravedad esta directamente por deba"o del pivote+ en la posición mostrada en la fiura el cuerpo esta desplaado del e#uilibrio un ;nulo ;nulo #ue usamos como coordenadas para el sistema. :a distancia de 1 al centro de ravedad ravedad es d, en momento momento de inercia del cuerpo cuerpo alrededor del e"e rotación es 0 y la masa es m .Cuando el cuerpo se desplaa como se muestra, el peso m causa un momento de torsión de restitución. VF G(m )(dsen) -l sino neativo neativo indica #ue el momento momento de torsión es *orario *orario si el desplaamiento desplaamiento es anti *orario y viceversa. %i se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de e#uilibrio. -l movimiento no es armónico armónico simple simple por#ue por#ue el moment momento o de torsión torsión V es propo proporcion rcional al al sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente armónico simple. -ntonces VFG(md)
1
PÉNDULO FÍSICO
:a ecuación del movimiento es
∑ τ = Iα , así #ue
2
d θ −( mgd )= Iα = I 2 dt
2
d θ −mgd θ = 2 I d t
2
d θ 2
d t
−
¿ mgd θ =0 I
$e a*í vemos #ue la frecuencia anular esta dada por
2
=
mgd = Ι
√
mgd Ι
:a frecuencia f es 2U=I veces esto, y el periodo T es
√
T 1=2 π
Ι mgd
PÉNDULO FÍSICO
-C9;C01Q 2.= -l momento de inercia para un sistema de n partículas con respecto de un e"e de iro es
n
Ι =
mr ∑ = i
i
2
i
1
%i el cuerpo es tal #ue su masa esta distribuida en forma continua ,subdividimos su masa en elementos infinitesimales dm ubicados a una distancia r del e"e de rotación .esto sinifica #ue el momento de inercia esta dado por
∫
Ι = r
2
%$-n el diarama #ue se presenta a continuación ,se da a conocer la ubicación del elemento de masa dm ,su ubicación relativa a los e"es (ubicados en el centro de masa y en & ,respectivamente). -l lector se da cuenta de forma inmediata #ue la separación entre los e"es es constante ,en este caso se simbolia con la letra a
1
PÉNDULO FÍSICO
:a fiura representa un cuerpo continuo ubicado en el plano de la *o"a ,donde el e"e pasa por el centro de masa del cuerpo .esto sinifica #ue las coordenadas del centro de masa son dadas por
x cm
y cm
=0
=0
:as coordenadas del elemento de masa dm son
&= r cos θ
'= !"nθ
:as coordenadas del punto & son
&=
'=0
&or & pasa otro e"e de iro perpendicular ala *o"a y paralelo al e"e W . -l trao C& Fa . -l momento de inercia del cuerpo con respecto al e"e W #ue pasa por el centro de masa es
Ι cm
=
∫r
2
dm
-l momento de inercia del cuerpo con respecto de un e"e #ue pasa por & y #ue es paralelo al e"e del centro de masa es
Ι # =∫ r dm 2
$e la fiura y aplicando el teorema del coseno para un trianulo ,#ue relaciona las dimensiones de dos de sus lados y el ánulo comprendido entre ellos ,se obtiene
2
2
2
2
2
r = $ + a −2 a$ cos θ = $ + a −2 aα
1
PÉNDULO FÍSICO
$e manera #ue
∫
∫
2
2
2
2
Ι # = r dm= ( $ + a −2 ax ) dm
Ι # =∫ $ dm +∫ a dm− 2∫ a x dm 2
2
2
$ado #ue a es constante ,tenemos
Ι #
∫ $ dm+ a ∫ dm−2 a∫ x 2
=
2
2
dm = Ι cm + a
2
∫ dm−2 a ∫ x dm
&or otro lado sabemos #ue por definición de coordenadas del centro de masa
x cm
=
∫ xdm
$,$ =
%
∫ dm
$e manera #ue
∫ xdm= % & cm
J puesto #ue *emos dic*o #ue el centro de masa tiene coordenada.
1
2
PÉNDULO FÍSICO
Tenemos
& cm =0 xdm=0 $e manera #ue
Ι #
2
= Ι cm + a %
@. CONCLUSIONES Y COMENTA C OMENTARIOS: RIOS: -l cálculo de momento de inercia para cuerpo #ue no presenta eometría
conocida, es más fácil calcularlo utiliando el péndulo físico. -n un péndulo físico, cuanto más se acerca el e"e de oscilación al centro de ravedad, su periodo disminuye y lueo aumenta. -n un péndulo físico y simple el ánulo de iro debe ser muc*o menor a 2? rados, para #ue sea un /.;.% (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un /.;.; (movimiento armónico amortiuado). -n el experimento se pudo *allar la lonitud de un péndulo simple e#uivalente a la barra metálica, utiliando previamente el periodo experimental. -n el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico *ec*as en clase. -n el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta #ue existe fueras #ue no consideramos en los resultados como la temperatura, la fuera de fricción del aire. -l momento de inercia obtenido con la rafica
Ι vs L2 , varia con respecto
al momento de inercia obtenido con los datos medidos en el laboratorio, esto se debe por los valores aproximados de la formula periodo X inercia, y también en los valores aproximados en los cálculos de potencia para *allar los coeficientes de la
L = ( Ι ) ( :o mismo ocurre con la masa de la barra. 2
función
-l periodo del movimiento es independiente de la masa ya #ue en la formula dada
1
PÉNDULO FÍSICO
T i
F
√
2 π
Ι i mg l i
reemplaando del momento de inercia la masa del péndulo
se cancela, por lo tanto el periodo no depende de la masa sino de la lonitud del e"e al punto en #ue la masa esta situada.
VI ( )I)LIO )I)LIOG$* G$*I* I* : C1:-% /-T-6 -instein y el nacimiento de la ran ciencia, -ditorial
!-$0%; =<
0talrafica Caracas ,2EE?. *ttpUUes.scribd.comUdocUA==B=ABU&enduloG'isicoGyGTeoremaGdeG%teiner *ttpUUes.scribd.comUdocU2BE<DE
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1
