Laboratorio de Fisica II - Trabajo 1 Pendulo Fisico y Teorema de Steiner (1)

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER 1.

OBJETIVOS  Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular momentos de inercia.  omparar !ue "alores toma el momento de inercia en el centro de masa experimentalmente experimentalmente y analíticamente. analíticamente.

2.

#$%O TEO%IO &éndulo físico

Es cual!uier péndulo real !ue usa un cuerpo de tama'o (nito) en contraste con el modelo ideali*ado de péndulo simple en el !ue toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pe!ue'as) el an+lisis del mo"imiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple.  Teorema  Teorema de de los e,es paralelos paralelos -Teorema -Teorema de de Steiner /n cuerpo no tiene un momento de inercia 0nico. De 1ec1o tiene un n0mero in(nito) por!ue el n0mero de e,es so2re los !ue podría 3irar es in(nito. 4o o2stante) 1ay una relación sencilla entre el momento de inercia  I CM   de un cuerpo de masa # alrededor de una e,e !ue pasa por su centro de masa y el momento de inercia

 I  P

 alrededor de cual!uier otro e,e paralelo al ori3inal

pero despla*ado una distancia d. Esta relación) llamada teorema de los e,es paralelos) esta2lece !ue5  I  P  P= I CM + M d

3.

E6/I&O 7 #$TE%I$8ES     

4.

2

/na 2arra met+lica de lon3itud 8 con a3u,eros circulares /n soporte de madera con cuc1illa Dos morda*as simples /n cronómetro di3ital /na re3la milimetrada

&%OEDI#IE4TO E9&E%I#E4T$8 a. So2re So2re la mesa y apoyado apoyado so2re so2re su 2ase mayor) mayor) su,ete su,ete al soporte soporte de madera con las morda*as simples.

2. /2i!ue /2i!ue el centro centro de masa) suspendiendo suspendiendo ésta ésta 1ori*ontalm 1ori*ontalmente ente en la cuc1illa. El punto de apoyo de la 2arra en e!uili2rio ser+ el centro de 3ra"edad de la 2arra. c. Suspenda Suspenda la 2arra 2arra "erticalm "erticalmente ente por por cada uno de sus sus 1uecos 1uecos en la cuc1illa y 1+3ala oscilar separ+ndola li3eramente de su posición de e!uili2rio -cuando m+s :;<) tomar nota del tiempo !ue emplea en ; oscilaciones y medir tam2ién la distancia =d> -Distancia del centro de 3ra"edad 1acia el (nal de los 1uecos y para los tres a3u,eros m+s cercanos al centro de 3ra"edad solo ? oscilaciones. d. #edir #edir las dimensi dimensiones ones de de la 2arra 2arra y su masa. masa. 5.

D$TOS OBTE4IDOS  @ de 1ueco  

d -cm

t 1

-s

t 2

:  ? G ;

;A G; GA ?; ?A

)A: C) C)C C)FG C)G;

-s )AA C): C)CA C)GA C)??

F C   :A

; A :; :A ;

C);: C)F G) ;)F? C);A

C);F C) ;)A: ;): C)F

C) )AF C)C C);C C)CF

C) C); C)CF C);G C);:?

@ de oscilacio nes ; ; ; ; ;

C)?F C); G)G ;)G C)

C)G C)C G) ;)FG C)GC

; ; ? ? ?

t 3

-s

t  prom

 T -s :);F :); :);; :);A :);A F :)GF :);;F :)FF :) )G

Datos de la 2arra #H:.;AG 3 8H:.:A m 2H?.C cm  Dagujero =1.45 cm 4< $3u,eros5 : 6. 7. 8.

DIS/SIO4 DE %ES/8T$DOS OBSE%V$IO4ES /ESTIO4$%IO -T$B8$S 7O K%LMI$S ) $8/8OS 7 %ES/8T$DOS :. a. Kra( Kra(!u !ue e T "s. "s. d 2. Encontrar Encontrar el "alor "alor de =d> =d> para !ue T -period -periodo o sea mínim mínimo o

c. omparar omparar el "alor "alor de d o2tenid o2tenido o en -2 con con el !ue o2tiene o2tiene de la 3r+(ca en -a. d. Nu+l es el periodo periodo para esta distancia distancia e. De su 3r+(co) 3r+(co) Npuede Npuede deducir deducir dos puntos puntos de oscil oscilación ación con con el mismo periodo Indí!uelos.

. on el "alor de T conocido conocido experim experimental entales) es) encuentre encuentre el "alor "alor de  I 1

y llene la ta2la con lo si3uiente5

:

E,e de rotación d-cm ;A.C;

.;GC:F



G;.C;

.;:

?

GA.C;

.GACAG

G

?;.C;

.CGAFG

 

;

?A.C;

 

F C

;.C; A.C;

.;CAFC F .?A:F .G::?F



:;.C;

.C;;F



:A.C;

?.;?GG

:A :A

;.C;

F.AA:

@ de 1ueco  

 

 

2

( Período ) 2

T 

2

#omento de inercia

 - s  A.;GCAC: F? A.;?AF? G A.G;:;A: ;; A.?C? ;C; A.?:F? G A.FGC A.?A;; A:F A.:GGG; GG A.:CGGC?A GG? A.:F??CFG CF?

d

2

2

- cm 

;C?.A;F ; AA.CC;F ; :F;.;;F ; :CF.C;F ; GG.A;F; FF:.CC;F; G.;;F; GC.C;F; ::;.A;F; ?.CC;F;

?. Pa Pa3a 3a el 3ra( 3ra(co co  I   "s. d ) y a,0stelo por el método de mínimos 1

2

cuadrados cuando los puntos o2tenidos estén muy dispersos.

G. Del 3r+(co 3r+(co anterior) anterior) y por por comparació comparación n con la ecuación ecuación del del teorema de e,es paralelos) determine  I G  y #. ;. ompar ompare e el el "alo "alorr de  I G  o2tenido en el paso G con el "alor de la fórmula analítica para una 2arra de lon3itud 8 y anc1o 2)  I G =

1

2

12

2

 M ( L + b )

. N6ué error experimental o2tu"o Q6ué puede

decir acerca de la masa F. Palle Palle la lon3itud lon3itud del péndulo simple simple e!ui"ale e!ui"alente) nte) para este este c+lculo solicite al profesor del aula !ue le asi3ne el n0mero de 1ueco. 4< DE $K/JE%O $SIK$4DO &$%$ E8 &R4D/8OS SI#&8E E6/IV$8E4TE5 F T = 2 π 

√

 L g

@ de 1ueco

d -cm

t 1

t 2

t 3

F

;.C;

C.;:

C.;F

C.?F

 TH π 

√

0.5145 9.81

C.G

 H :.G?: s

C. Demuestr Demuestre e en forma forma analítica analítica las relacio relaciones nes  I 1 = I CM + M d

@ de  T-s oscilacion es ; :.GF

t  prom

√

T =2 π 

I 1  Mgd

y

2

=−( mgd )θ τ  z z=−( El si3no ne3ati"o indica !ue la torca de restitución es en sentido 1orario) si el despla*amiento es en sentido anti 1orario) y "ice"ersa. 8a ecuación de mo"imiento es 2

 ∂ θ −(mgd ) θ= I ∝ z= I  2 ∂ t 

∑ τ  = I   z

∝

Z 

 ) así !ue5

2

∂ θ −mgd = θ 2  I  ∂ t 

omparando con la ecuación de un mo"imiento armónico simple) se in(ere5 w=

√

mgd  I   

T =2 π 

√

I  mgd

Demostración del teorema de Steiner 

onsidere un cuerpo rí3ido !ue rota alrededor de un e,e (,o !ue se encuentra despla*ado una distancia % con respecto al punto de su centro de masa .# y es paralelo a dic1o e,e de rotación .#. omo se muestra muestra en  en la si3uiente (3ura5

Considerando el momento de Inercia I o para el punto centro de masa C.M. resulta:

onsiderando !ue las coordenadas del punto centro de masa .#. se encuentra en el ori3en del sistema de sistema de referencia. $1ora5

-%ecuerde !ue en este caso consideramos las coordenadas del centro de masa en el ori3en. Sustituyendo los "alores de "alores de las inte3rales anteriormente inte3rales anteriormente calculadas en la ecuación -) resulta5

El resultado anterior es nom2rado el teorema de Steiner o de e,es paralelos.

9.

O48/SIO4ES 7O O#E4T$%IOS

10.

11.

S/KE%E4I$S  Tratar !ue el +n3ulo de oscilación sea mínimo mínimo para !ue cumpla   Tratar con la teoría del péndulo físico.  $l soltar la 2arra para !ue oscile tratar !ue sea del reposo y no darle un impulso ya !ue el periodo ser+ menos de lo esperado. BIB8IOK%$M$  Mísica /ni"ersitaria Sears Uemansy :?ra Edición Vol. : &+3s. -?)G;;  Mísica para ciencia e in3eniería. Volumen :) Cma Edición &+3s. -A):)G?G  1ttp5.mono3ra(as.comtra2a,os:ACdemostracionWdelW teoremaWsteinerdemostracionWdelWteoremaWsteiner.s1tml