Guia 4 - Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

NIVEL: SECUNDARIA

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO  

SEMANA Nº 4

QUINTO AÑO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS DEFINICIÓN La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Elementos:

C

ϖ

b

A

a

α

Catetos (con respecto a )

ϖ

Hipotenusa (H)

ϖ

m ∢ CAB

Cateto opuesto (C.O.)

a

Cateto adyacente (C.A.)

c

b

B

c

(agudo)

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras) 2

2

b =a +c

2

Definimos con respecto a : sen

CO H

a b

Coseno de

cos

CA H

c b

Tangente de

tg

Cotangente de

ctg

Secante de

Seno de

Cosecante de Por ejemplo:

sen

CO CA

I N V

a c

E

CA CO

c a

sec

H CA

b c

csc

H CO

b a

1 3

R S A S

csc = 3

inversas tg

5 3

ctg

3 5

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

Dpto. de Publicaciones  152

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO  

NOTA: 1. En un triángulo rectángulo Entonces

0 < sen < 1

0 < cos < 1

sec > 1

2. sen2

hipotenusa > catetos

csc > 1

2 ≠ Senα

sen

3. sen

APLICACIÓN 1. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = senA secC + cosC cscA

Solución:

C Del gráfico: b

a

A

E

a b x b a

E=1+1

B

a b x b a E=2

c 1 . Calcular tg . 3

2. Si: es un ángulo agudo tal que cos Solución:

cateto adyacente

1 3

Del dato: cos

hipotenusa

debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

C 2

3

A

Por Pitágoras: 2

32

α

2

12 BC

BC 2 2

B 1 Piden: tg

2 2 1

2 2

153 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

Dpto. de Publicaciones 

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO  

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB

7. Del gráfico calcular: E

a) 0 d) b

b) 1/3 e) 1/2

c) a

3.

b) 2 e) -1

a) 1 d) 4

d) 1/4 A

z

 y

8. En un triángulo ABC recto en A se cumple

3tgC

tgB = 0,75; además: a – b = 6 m

b) 2 e) 5

Hallar su perímetro.

c) 3

a) 12 m d) 42 m

3 2

9.

a) 1 b) 2

b) 24 m e) 45 m

c) 36 m

En la semicircunferencia mostrada calcular: E = 2tgα + 6tgβ

4x + 2

c) 3

a) 3 A

C

7x + 1

e) 5 Si: sec x

7

Calcular: E

tg2x

b) 2 3

M

c) 3 3 α

d) 2

42 senx b) 12 e) 20

β

O

e) 3 a) 10 d) 18

C

e) 3/2

B

5.

x

c) 1/2

c) 0

4. Del gráfico calcular “x”. Si: tgB

d) 4

M

b) 2

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC Calcular: E 2senA

B

a) 1

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC a) 1 d) 3

ctgy ctgz ctgx

c) 14 10. Del gráfico calcular tgθ.

6. Del gráfico hallar: E 3 (tg

tg )

ctg 2

a) 1 b) 2

a) 2

m

b) 3 c) 5

d)

2 2

e)

3 3

2m

d) 2 3 e) 15

c) 3

α

θ

β

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

θ

Dpto. de Publicaciones  154

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO   e) 4 2

11. En la figura mostrada calcule ctgθ donde AC = CB, CD = DE. a) b) c) d) e)

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

A A

4 2 1 4 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2

C 1.

Calcular: E = btgC + ctgB - c θ

D a) a O

B

e) 2c

3senA = 2senB. Calcular: E

2

c) 6/5

c) c

B E 2. En un triángulo ABC recto en C se cumple

C

θ

b) 5/3

13senA 6tgB

a) 7

b) 9

d) 13

e) 15

c) 11

1 3

d) 5/6 e) 3/2

b) b

d) 2a

12. Del gráfico calcule tgθ si ABCD es un cuadrado. a) 3/5

ˆ 90º ). Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( A

A

3. Si: sen

D

2 donde “α” es agudo. Calcule: 3

ctg 13. Si en el gráfico θ es mínimo calcular: E = secθ + 9sen2θ

a)

5

b) 2 5

d)

5 5

e)

B

a) 5 b) 7

c)

5 2

2 5 3

M

c) 3

θ

d) 11 e) 22 A

4. Si: sen H

C

14. Del gráfico calcular el mínimo valor de: E = cscα . cscβ

7 4

Calcular: E 3 sec

7 tg

a) 1/3

b) 2/3

d) 7/3

e) 1

c) 5/3

a) 6,25 b) 7,25

5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º)

c) 8,25

tgA = 4tgC. Si el mayor lado mide 8 5 m.

d) 9,25

α

e) 10,25

O1

β

¿Cuál es el área del triángulo? O2

15. Del gráfico indicar el mínimo valor de ctgθ a)

2

b)

2 2

c)

3 2

d)

3 3

a) 16 cm2

b) 32

d) 8

e) 128

c) 64

6. Del gráfico, calcular ctg2β x+y a) 1 b) 3 θ

x-y

β

c) 5 d) 7

155 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

Dpto. de Publicaciones 

6xy

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO  

e) 8

5 ; determine tgθ 8

7. Si: tg a) 0,4 b) 0,5

θ

c) 0,6 d) 0,8

α

e) 1

8. En la figura mostrada AD = 6 y DC = 3. Calcular: cos2θ B a) 2/3 b) 2/7

θ

θ

c) 3/2 d) 1/3

A

H

e) 1/7

C D

D

9. Del gráfico hallar tgα . tgθ a) 2 b) 1/2

θ

c) 1/4 d) 4 α

e) 2 10. Del gráfico calcular senθ. Si: BE 8EC (“O” centro de la semicircunferencia) F

a) 1/2

C

b) 2/3

θ

c) 3/4

E

d) 4/5 e) 5/6

A

B

O

11. Si ABCD es un cuadrado además tg

3 5

Calcular: tg a) 1/5

A

b) 2/5

B

θ α

c) 3/5

F

d) 2/3 e) 1/3

D

E

C

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

Dpto. de Publicaciones  156

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

I BIM – TRIGONOMETRÍA – 5TO. AÑO  

12. Del gráfico calcular: E = ctg - tg E

a) 2/3 b) 3/2

3

D

θ

2

c) 2 d) 3

α

e) 4/3 A

B

C

13. Del gráfico calcular tg . Si: tg = 1,5 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4

θ

α

e) 0,5 14. Del gráfico calcular tg (“O” centro de la semicircunferencia) B T  M θ

A

O

D

E

a) 2

b) 3

d) 3/4

e) 4/3

C c) 3/2

15. Del gráfico calcular: tg . tg Siendo: DH = 2 y CD = 3 (“O” centro de la semicircunferencia) C a) 4/9

θ

α

b) 7/16

D

c) 5/9 d) 4/25 e) 9/25

A

H

O

B

157 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 

Dpto. de Publicaciones