A
1.
En un triángulo rectángulo ABC A 90º , se cumple: cotC+ cotB=4. Calcule: M = 16senB.senC.cosB.CosC. A)
1 4
1 2
B)
D) 2
b = 13k
C
C) 1
5k = c
a = 12k
B
Si: a c 21
E) 4
7k 21 k 3 C
a
b
Se pide: 2p 13k 5k 12k
B
A
c
90
cotC + cotB = 4 b c 4 c b
3.
En un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo.
b2 c2 4bc
Pero: b2 c2 a2 a2 4bc b c c b Luego: M 16 a a a a b2.c2 b2c2 M 16 4 16 2 2 a 16b c
A)2 D)5
M 1 En un triángulo rectángulo ABC B 90º si: tgC
B) 120 E) 136
C) 150
Si pide: E tg tg
b
Pero: a² + b² = c²
Calcular el perímetro del triángulo A) 90 D) 75
a
5 ; a c 21 12
C) 4
Si: c 2 ab
c
2.
B) 3 E) 6
a b a2 b2 E b a ab
4ab 4 ab
E=
4.
En la figura adjunta se cumple que:
AB BC 4 3
Calcular: ctg csc
A
Dato: 2x 50º 90º x 20º 13
Se pide:
B
12
D
3 4 9 D) 4
5 4 11 E) 4
A)
B)
C
C)
7 4
6.
Ε
tg60º4 3sen30º
Ε
3 4 3.
Ε
3 3
1 2
En un triángulo rectángulo ABC( ABC(C C 90 90º) º)
Si: senB sec A Si
AB BC AB 4k 4 3 BC 3K
2 sen A .c .ctgB 3
Halle: E = ctg²B + sec²A
DCB:
BD2 122 3k2...(1)
A) 13 D) 19
B) 15 E) 21
C) 17
DBA:
132 BD2 4K2...(2)
A A
2 2 2 2 2 2 (1) 13 K 12 4K 3K
25 25 25K2 K 1 12 12 ctgθ 4 BC 3 13 13 13 csc AB 4 4 13 3 ctg csc 4 4 4
5.
Si: senx 10º cosx 40º Halle: E tg3x 4 3 se sen(x 10º )
A) 3 D) 4 3
B) 2 3 E) 5 3
c b
3 1
2 2
c
s enB secA
B a
A
2 senActgB 3
b c 2 a a . c b 3 c b b2 c2 a2 2 2b2 2 bc 3 bc 3
C) 3 3 c2 b2 a2
cot 0 3 2
b 1 c 3
tan
2
2 2 3 2 1 1 8 9 17 7.
Calcule:
En un triángulo rectángulo ABC AB C B 90º se cumple que:
sen A
1 2 2 3 E) 3
A) 0
1 sen C 1 0 2
M sen cos tan 36º. tan 2 2
B)
D) 2
C) 1
Halle: tgA cscC 2 A) 0 D) 2
B) -1 E) 1
C) -2
90º cot 3 2 3 2
tan
b2 c2 a2
A
sen cos
A b c
B
1 senc 1 2 c 2a 1 c 1 c 2b 2 b 2a c 2b c 2b a
Dato: senA a
c a b 2 b a 2
5 90º 108º 6
2
2
2
90º 60º
Luego:
1
M sen30º cos 60º tan36º. tan54º
M1
cot36º
ca b 2cc a b 2c
tgA csc C 2 a b 2 c c 2c ab 2 2 c c 0
9.
En la figura calcule “tg”;
Si: AM MB A
8.
Si: sen cos 0 2
tg10º tg20º tg20º tg30º tg30º tg40º...tg80º tg40º...tg80º tg10º
tg10º tg20º tg30º tg40º ctg40º ctg30º...ctg10º
A)
1
D)
1
B)
1
C)
2 3 E) 2
3
7
E=1
1 5
11.
Del gráfico halle: W sen cos
A m
127º
9
M
10
m
B
C
m’
7 17 23 E) 17
A)1
ABC
D)
m' tg ...(1) 2m
B)
7
17
C)
23 17
MBC tg
m ...(2) m'
(1) = (2) m' m 1 m 2m m' 2 tg
1 m t g 2 m'
W sen cos ? 8 15 W 17 17 7 W 17 5 1
6
53º
127º
1
9
2
8 10 37º
17
10.
Halle:
12.
tg10º tg20º tg20º tg30º...tg80 tg30º...tg80º º tg10º
Halle “ctg” del gráfico, si: AB BC B
A) 1 D) -1
B) 0 E)-2
C)2
120º M
A) 2 3 D) 3 / 6
C) 3
B) 3 3 E) 3 / 9
14.
B
2n 60º 60º n 30º
4n
n 3
A
Si el triángulo ABC es equilátero. Determine tg. B
4n M
60º
30º
3k 3 16k 16
Se pide: tg
2n
3a
n
30º
n 3
2n 3
P
C
n 3
D
3n 3
a
3n 3 APM APM : ctg n
3 5 3 D) 8
Si CD 3AD, halle: tg (tomar: sen37º=0,6)
C
3 6 3 E) 9
A)
ctg 3 3 13.
A
B)
C)
3 7
B
60º 3a = 6k 8k 53º
1 A) 16 3 D) 16
D
C
D
A
1 B) 8 1 E) 4
3 C) 8
60º A
k 3 7k
tg
15.
9K
30º
a = 2k
60º
k
C
k 3 3 7k 7
Si ABCD es un cuadrado y BM=2CM, BN=NA. Calcule sen .
12K
C 53º
M
B
1 16 5 D) 16
1 8 7 E) 16
A)
2 2 7 D) 7
3 3 10 E) 10
A)
B)
C)
5 5
16
A
3 16
B
13
37º
3
53º 53º
37º D
2 2
Tgx =3/16
16
15 2sen 15 sen
C)
x
2 10.3 5 2.6 3.6 4.3 sen 62 2 2 2 2
B)
17.
C
12
4
De la figura, calcule: ctg B
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
M
A
16.
45º
C
Halle tgx, si ABCD es un cuadrado. A
B
B
2
x
2 2
37º
M
1 A
2
45º
3
ctg 3
1
C
18.
Del gráfico. Halle: W sec2 tg2
Entonces: tan(x 10º ). tan(x 40º ) 1
tan(x 10º) cot(x 40º) x 10º x 40º 90º
x 20º
Luego: M sec 60º cot2 30º 2 3 M 5
2
20. 1 B) 5 7 E) 3
A)5 D)
*
7 2
C) 1
W sec2 tg2 ? 2
R 3 R 2 W R R W5
Siendo “” y " β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que: cos 11. sec 1 cos . csc 1 Halle: W tg 37º30'.sen 52º30' A)1
B)
D) 3
E)
2
1 2
C)
3 2
3 3
R 3
45º R
R 2
R
R
Datos: i) cos11.sec β =111= β … (I) ii) cos . csc 1 19.
Si se verifica que:
sen90º. csc 90º 90º..(II)
sen( sen(50 50º º x) cos(40 cos(40º º x)
Ien(II) : 11 90º 15º 7º30'
tan x 10º .ta .tan(x 40º) 1
3x 3x cot Determine: M sec 3x 2 2
A)1 D)4 Como:
B)2 E)5 sen 50 50º º x
C) 3
2 165º 15º 82º30' " " enI : 11 2 2
Piden: W tg 37º30'.sen 52º30' ? W
cos( os(40 40º º x)
tg45º.s en30º
1 2
Si: BM MC M
B
21.
AD 3
C
En la Figura, S: Área. Halle “ sen ” A) B) C) D) E)
26 26 26
S
45º
5 26 26 26 5 1 5
D
A 45º
A) 2S
D)
1 10 1
1
C)
10 2
E)
10
K
2
B)
10
10
K
K
45º S
1K
K
5
S
2K
K
2K
2K
2K 2
3 1
3K
45º
K 2
2
45º
2K 2S
K
2K
45º
Si BM MC
2K
Del Gráfico:
k
S
=
13 13 2k 2 2
Sen
Sen
S sen
1k 2k 2
1
S
1
2
2
3
k
k k Sen 2
2
5
k 2k
1
De donde:
26
Sen
1 10
26 26
23. 22.
S
AD
En la figura, halle: Sen ;
Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12.
Halle la altura de dicho trapecio si el producto de sus diagonales es 80. A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
D
C) 6
2c B
S
1
a
c
4
S
d
d
2
1
A
h
C
b
4a
Si: S=64 1 acSen 64 2
12
Dato: d .d 80 Se pide: 1
S=
1 2
acSen = 128
E
Se pide:
2
S1
d d Sen90º 1
1 2c 5a Sen 2
5acSen
2
1
S= 4 12h
S1 6402
25.
En la figura mostrada, evaluar el área de la región triangular AOB en términos de
2
De donde: 80 =16h h=5 24.
El área de un triángulo ABC es 64 , se prolongan A B y BC hasta los puntos D y E respectivamente de tal manera que AD =3 A B CE = 4 BC . Halle el área de la región triangular DBE 2
A) D)
638
2
644
2
B) E)
640
2
650
C)
642
B
A
4
o
A) 4Sen C) 2Cos2 E) 3Cos2
2
2
4
B) 8Sen2 D) 5Sen
4Sen2
4
A
S 4
2 o
1 2
De la figura: S 4 4Sen Sen2
S 8Sen 2 2
130 Sen 9
Sen
26.
Si ABCD es un cuadrado, donde: CD 3ED y además: m BEA , Calcule: Csc E
C
27.
D
9
13 0 9
Csc
130
En la figura ABCD es un cuadrado, M y N son puntos medios. Determine "cot " .
B
A
M
A
B
A) D)
110 11 0 3 145 14 5 10
B) E)
121 12 1 4 160 16 0 12
C)
D
130 13 0 9
A) 2 D)
C
N
B) 1
1
E)
2
C) 3
1 3
a
2a
3a
a 3 1
S
1 0 a
3a
a 2
a
2
45º
a
3a a
S
1 2
2
3a3a
9a
2
a
2
2
a
De la figura: Cot 3
…(1)
También: 1 13a 2 (1) = (2) S
10a Sen …(2)
28.
Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
3
ct g tg A) mctg B) m tg ctg
C) mctg tg D) mtg ctg E) m.ctg tg
1
2
1
x
A) 3co 3cos 2Sen B) 2co 2cos 3Sen C) 2sen 3cos D) 3sen 2cos E) 2sen 3cos
X
3Sen
xctg
xtg
m
xt g m Del grafico: xCtg xtg x Ctg tg m
x mctg tg
1
3
2
2Cos
x
x 3Sen 2Cos
30.
En la figura, halle el perímetro del rectángulo OABC si se conoce “ ”, y el radio del cuadrante MON es “r”.
29.
En la figura, halle “X” en términos de ” ”, “ ” y “m”.
B
C
N
X
r m
A
M
O
A) m sen csc B) m cos sen C) m cos2 sen2 D) m cos2 sen E) m cos sen2
A) 2r sen cos B) r csc sen C) r sen cos D) 2r csc sec E) r2 sec csc
ABC = AB = mCCos r Csc
B
C
ADB = BD = mCos Sen .
r Sec
r Sec
B
r
A
E
r Csc
Perímetro del rectángulo OABC= 2R csc sec
A
C
D m
Co s.Sen BED: DE = m.Cos
32. 31.
2
A partir de la figura mostrada, se pide determinar M, si:
En la figura halle DE en términos de “m” y “”. 2 B
3S E
A
D m
M
9
Co t Tag
4
Cot Co t Tag
representa área
S
1
y
S
A) D)
1
B)
2 3
E)
2
2
C)
3
1 5
A)
5 1 2
B)
C) E)
5 +1 5
D) 5 1
1 4
5 1 2
2
Del gráfico: Hctg = H + Htg H ctg H 1 tg
3S
S
1
Cot
1 (3) … 3Ctg3Cot 2 1 S Cot (1) … 2 2 4S
2
en
1
1
4 2
.Cot Co t
3 2
(3)Cot Co t
1 1 tg 1 = tg 1 1 + = tg² + tg 4 2 5 1 tg 4 2
tg + tg² +
5 1 tg tg 2 2
1 4
5 1 2
4Cot=9Cot 4
Tan= . tan
34.
9
9
M 4
9 4
M=
33.
Cot Co t Tan Cot Co t
4 9
(Tan)
una distancia “x” y el ángulo de
elevación tiene por por tangente 4. Si la altura del edificio es “h”. x Halle: h
9 Cot Tan 3 2 2 6 Cot Tan 3
(Tomar: sen 37º = 0,6)
Una hormiga observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”,
si
se
acerca
Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º . Nos acercamos
hacia
él
A) 1,21 3 D) 2,13 2
B) 1,08 2 E) 3,01 5
C) 1,08 3
una
distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle:
“tg”. h=3k
Dato: tg 4 3k 4 4k x 3k 16k 4x 4x 13k
Se pide: x 4x 13k 1,083 h 4h 4(3k)
35.
Desde un punto de tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación “ ”. Nos acercamos una
distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: ctg (Tomar: sen37º = 0,6) A)
5 3
B)
D) 3
4 3
C)
7 3
E) 2
36.
Una antena de radio de 15m. de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “” y “ ”
respectivamente. Si: tan = 0,76 y tan =0,19, determinar (en m) la altura del edifico. A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
H=3k
37º 4k H
Se pide: ctg
7k 3k
7 3
15m
GE m
37.
.Calcule
2 1
2H 2m m
m 2 1 GE AG m
cot = 2 1 = 67º 30 ´
38.
Un avión que esta por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra, si ve el extremo más alejado con ángulo de depresión de 22º30’
AGF cot =
tan=0,76 tan =0,19 tan=4tan 15+H =atan H= a tan tan 15 H 4 H tan 15+H = 4H. H = 5m
2H
GF GE FE GF m
con
que
ángulo
observa el otro extremo. A) 22º30’
B) 67º30’
D) 60º
E) 120º
Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol? A) 43,6 D) 36,4
B) 30,6 E) 38,4
C) 34,6
C) 90º D 30 30
A
Horizontal 22º30'
h
m
60 C
A
40
22º30' F
G
30
2m
E
h AD Sen60º
FE 2m
AD AB 40
FEA FEA 22 22º30' º30'
h
AGE: GE=mctg 22º30’
40
3 2
h 34.6 m
B
39.
Subiendo por un camino inclinado un ángulo de 37º respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a 20m del punto de observación; ¿Cuál es la altura del poste? A) 2m D) 4m
B) 3m E) 8m
C) 6m
Poste
45º h=?
Punto de
2 0 m 53º
observación
12m
45º 37º 16m
37º
Del gráfico: h 12 16 h 4m
40.
Halle “ Csc ” del gráfico: 5u
9u
53º 53 º
(Tomar sen 37º = 0,6) A) D)
56 65 65 33
B) E)
33 65 15 14
C)
65 56
Del gráfico: S = S
14 12 2
56 65 65 Csc 56 Sen
13 15 2
Sen
