Razones Trigonométricas Trigonométricas de Ángulos Agudos I Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. Razón Trigo Trigonométrica nométrica s a n u e e t o H i p
B c a Cateto A
C
Cateto
m
Teorema T eorema de Pitágoras Pitágoras
1
b
o c
.
t hipotenusa” a 2 2 a + b = c2 a
M
Teorema T eorema
w
.
ˆ ˆ Definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo
Sen α = Cos α = Tan α =
Cateto Opuesto Hipotenusa
Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Opuesto Cateto Adyacente
Cot α =
Cateto Adyacente
Sec α =
Hipotenusa
Csc α =
Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Opuesto
= = = = = =
a
B
c b
c
c a
a
b b a c b c a
A
C b Fig. (1)
Ejemplo En un triángulo rectángulo ABC (Cˆ = 90°), se sabe que la suma de catetos es la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución Nótese que en el enunciado del problema tenemos: B
a+b=k·c Nos piden calcular:
c
A
a
Senα + Senβ =
b
Luego: Senα + Senβ =
C
kc c
a c
b c
=
ab c
=K
Ejemplo Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan ll en progresión arítmetica, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de e dicho triángulo. Resolución Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión Cateto menor = x - r Cateto mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras (x - r) 2 + x2 x2 + 2xr + r 2 + x2 x2 - 2xr x2
x + r
= (x + r)2 = x2 +2xr + r 2 = 2xr = 4xr
x
x - r Fig. (A)
x = 4r
Importante 4r
4
Nos piden calcular: Tanα = 3r = 3
5r
4r
Ejemplo Calcular el cateto menor de un triángulo rectángulo de 330 m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Resolución α” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición:
24 12 10 5
α” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras Triángulo Rectángulo Particular
Triángulo Rectángulo General 13K
13
12K
12
m
5 1
o c
5K
.
e Según dato del enunciado: a t = 330 m M Luego: 30K = 330 w w K = 11 w .
Cateto = 5K = 5 · 11 m = 55 m
Propiedades de las Razones Trigonométricas Razones Trigonométricas Recíprocas
notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. La parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Seno y Cosecante: Senα α = 1 Coseno y Secante: Cosα α = 1 Tangente y Cotangente: Tanα α = 1 iguales”
Ejemplo Indicar la verdad de las siguientes proposiciones: Resolución Nótese que en las parejas de razones trigonométricas recíprocas el producto ≠ 1; sus ángulos NO son iguales ≠ 1; sus ángulos NO son iguales I) F II) F III) V Ejemplo α α) = 1 Resolución Nótese que en la ecuación intervienen, razones z trigonométricas recíprocas; luego los ángulos son iguales. α α ) = 1 t
ANGULOS IGUALES
α α
Ejemplo Se sabe:
Senθ θ θ θ θ =
Calcular:
3 7
E = Cosθ θ θ θ θ
Resolución Recordar:
Cosθ θ = 1 Tanθ θ = 1 Secθ θ = 1 Luego, reemplazando en la condición del problema: 3
Senθ θ θ = θ θ 7 1 3 Senθ = 7
... (I)
Nos piden calcular: E = Cosθ θ θ θ θ 1 E = Cscθ = E=
1 Sen
, pero de (I) tenemos: Sen θ =
3 7
7 3
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulos sean complementarios”. NOTA:
complementario.” RAZÓN CO-RAZÓN Seno Coseno n Tangente Cotangente Secante C Cosecante i t
a
Dado: α + β a Sen e α = Cosβ Tanα = Cotβ w Secα = Cscβ Así por ejemplo:
Ejemplo Indicar el valor de verdad según las proposiciones:
Resolución Nótese que dada una función y cofunción serán iguales al evaluar que sus ángulos sean complementarios. ≠ Suman 90°
Porque suman 100° = Suman 90° Suman 90°
Ejemplo Sen5x = Cosx Resolución entonces: 1 t i a a M Ejemplo w w Sen3x – Cosy = 0 .
.
Resolución Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen3x = Cosy Reemplazando en la primera igualdad: Ejemplo Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar: Tan x
Resolución Senx = Cosy Reemplazando: 2t + 3 = 2t + 4,1 –1,1 = t Senx = 0,8 Senx =
4
... (I)
5
Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; 5
Tanx
4
Cateto Opuesto Cateto Adyacente
4 3
x 3
Por Pitágoras
m
o c
.
Razones trigonométricas en ángulos notables n I. Triángulos rectángulos notables exactos m
M
w w 1 w
2
e t
a
.
2k
1k
k3
3
2
k 2
1
k
1
k
II. Triángulos rectángulos notables aproximados
5
5k
3
3k
4k
4
25
7
25k
7k
24
24k
Tabla de las razones trigonométricas de ángulos g notables a
)<
30º
60º
45º
37º
53º
Sen )<
1/ 2
3 /2
2 /2
3/ 5
4/ 5
Cos )<
3 /2
1/ 2
2 /2
4/ 5
3/ 5
Tan )<
3 /3
3
1
3/ 4
4/ 3
7/ 24
24 / 7
Cot )<
3
3 /3
1
4/ 3
3/ 4
24 / 7
7/ 24
Sec )<
2 3 /3
2
2
5/ 4
5/ 3
25 / 24 25 / 7
Csc )<
2
2
5/ 3
5/ 4
25 / 7 25 / 24
R.T.
w w
.
2 3 /3
Ejemplo Calcular: F
Resolución Según la tabla mostrada notamos: 1 3 3 2 F 4 10 2 2 5 4
2 3 5 F = 8 2 10 1 F= 2
16º
74º
7/ 25 24 / 25 24 / 25 7/ 25
Ejemplo
9 2 Sea: F(θ) = 9 2 Evaluar para: θ
Resolución Reemplazando θ θ) tenemos:
Reemplazando sus valores notables tenemos: 1
2
1 2
3 3
2
21
2
4 2 3
=
3 2 8 3
3
6 8
Ejemplo A
B
α”
P 53º D
C
Resolución A α” no está en un triángulo rectángulo: α” gura: M luego suponemos DP = 5k. 3k
Como: DP = BC = 5k D
H
5k
4k
B
P
5k C
Luego el lado del cuadrado mide 5K - Sumando: PH + MD = AD PH + 3K = 5K PH = 2K - Sumando:
PM + HB = AB 4K + HB = 5K HB = K
- Finalmente: Tanα =
PH 2K 2 HB K
Ejemplo θ”
A P 1
m
3
1
o c
.
O
H
2
B
2
a i c t a
m
e t Resolución a Construimos un triángulo rectángulo OPH; luego aplicando el teorema de Pitágoras
A P
4
x
x 2 3 O
PE = 2 3 3 Cot θ =
PE
2
2
H
B
PH A
2 3 3
P 1
E 23
3
O
H
B
6. En un triangulo rectángulo de perímetro 60 m, calcular su área, si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8.
Problemas I A = Cosec – Ctg x+2 8
7. Si se cumple: Sen28°·Sec = 7Cos62°–4Sen28°; 0°<< 90° Calcula: K = Sec 45° (Tg + 3 Sen ) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
x
1 2 1 d) 5
1 3 1 e) 6
a)
b)
c)
1 4
" es:
2. En triangulo rectángulo la tangente de uno de los ángulos agudos es el triple de la tangente de su complemento; calcular el coseno del mayor ángulo agudo.
1 a) 2 1 d) 5
1 b) 3 1 e) 6
1 c) 4
m
1
a i c t a) a
m
e t
a
M
agudo), si se cumple: u 7x 1 Tg 50°·Cosec(x+13°)·Ctg 40°=1 2 ·
Sen
b) 3° e) 9°
b
o c
.
.
a) 1° d) 7°
a
d)
a b
b) ab
b a
e)
c)
1 ab
2a b
K = Ctg2 + 4 Tg
c) 5°
4. Calcular: 2
A
a) 1 d) 8
Tg10 Tg80 Tg 60 Sen50 Sec40 Sen30
b) 2 e) 16
c) 4
K = Cosec2 + 3
45° a) 15 d 12
b) 14 e 11
c) 13
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
agudo) Sen(3x+y+10°)·Sec(2x-y+30°)=2Cos 60°
a) 10° d) 15°
b) 20° e) 25°
c) 30°
11. Si: 2Sen+Cosec = 3 ; 0° < < 90° Calcular: K = 6Cos 2 + Ctg2 a) 2 b) 4 c) 6 d 8 e 10
17. Dado un triangulo rectángulo ABC. Si: Sec A + Ctg C = 5 Calcular:
K = Ctg(-15°) + Tg 3
K 15(Co sec C TgA) 1
2ab
a
a) l d) ±2
b a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
13. Si: Tg x – Sen 30° = 0 ; 0° < x < 90° ^ Cosec y=Tg 60°·Cosec x; 0°
d) 7
e) 10
c) ±1
K = 8Tg – 3
c) 3
a) 3
b) 2 e) 4
37°
a) 1 e) 0
b) 2 e) –1
c) 1/2
c) 6
19. Dado un triángulo ABC, la expresión: K = a(1+Cos B) + b(1+Cos A) representa: = 2 ^ Ctg = 3 a) Área ea b) D Doble del área c) Perímetro c d) Doble del perímetro i t a e) Semiperimetro m e x 10 t a M 6ab a) 1 b) 2 c) 3 w a d) 4 e) 5 w .
Calcular: Tg
b a) 2 2 +1
b) 2( 2 +1) c) 2 2 +3
d) 2( 2 +2) e) 2 2 +5 S
a) 1 d) 1/5
45°
b) 2 e) 4
2S
c) 5
16. En un triangulo ABC (recto en B) se cumple: 4Tg A · Ctg C =Sen A · Sec C Calcular: a) 3 d) 9
K = 5 · Cosec A + Tg C b) 5 c) 7 e) 11
1. c 6. d 11. c 16. c
CLAVES I 2. a 3. c 4. d 7. d 8. a 9. e 12. b 13. d 14. b 17. b 18. d 19. c
5. c 10. a 15. d 20. c
Problemas II Sen x = 0,333… ^ 2 Cos y = 0,2 7
1. Si:
Calcular:
H TanY CotX CosX SecY CscY CscX CotY CotX a)
7 2
b)
2 7
c)
1 7
2
16
9
e) 7
d) 7
2. En un triángulo rectángulo ABC (recto relación:
CscB SenB =8 SecB CosB a) 1 d) 1/2
b) 2 e) 1/8
c) 8
3. Calcular el perímetro de un triángulo valor de la tangente trigonométrica de uno de sus ángulo agudos es 5/12. a) 12 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 24 cm e) 30cm
24 25 25 d) 24 a)
7 24 7 e) 25 b)
c)
25 7
Sen(3x 20) Csc40 Cos(2x 30 ) Sec50 Tan(10 x) Cot(80 x)
a) 16°° d) 9° 9°° 1
b) 8° e) 20°
c) 18°
.
4. La altura desigual de un triángulo c ...(i) isósceles mide 15 cm; siendo su a t Sec(4x+y)–Csc(y–x) = 0 Tan(5x y) m perímetro 50 cm, calcular el cosenoo =1 ...(ii) Cot(2y x) de uno de sus ángulos iguales. a M a) x = 5° ; y = 35° w 15 17 17 1 b) x = 10° ; y = 30° a) b) c) c) x = 30° ; y = 10° 17 15 8 d) x = 15° ; y = 25° 8 8 e) x = 25° ; y = 15° d) e) .
17
15
CD W = 2Tan – Tan 2 , si: = BD 3 B
M= Sen 3A – Cot 2D + Tan 2C – Cos 3B
a) 0 d) 4
D
C D
9. Si: 2A+2B = rad y = 25g. 2 2 Calcular: 3 b) 1 e) F.D.
c) 2
10. Reducir: A
H
a) 0
b) 2
d) 2 2
e) –2 2
C c) – 2
5 3 6 4 H Sen 15 Csc 15 Cos 15 Sec 15 3 3 2 2 Tan 15 Cot 15
a) 1 c) 2sen215° e) 1/2
b) 2 d) 2Cos215°
11. Si: [Sen2]Sec=[Csc3] –Cos ; 0°< <90°. Calcular el valor de: P = [Tan3]
1 4
a) 4 8
b)
d) 1 8
e) 8
45°
c) 4
12. Si: Ctg[2x+10 g] · Ctg[11° + 5x] = 1 ;
rad a) 20 d) rad 9
”.
rad c) rad b) 18 10 e) rad 2
2 2
a)
b) 2
d) 3
e)
c)
3 3
6 3
17. En el triángulo ABC mostrado, si: 5AB = 6BC; calcular el valor de:
" y "" las medidas de dos ángulos agudos y complementarios indicar la alternativa incorrecta: m o Sen c a) =1 1 A Cos a c b) Cos – Sen = 0 i t a c) Sen · Sec = 1 6 a) m e d) Tg · Ctg = 1 5 t a e) Cos · Csc – 1 = 0 M 5 d) – w 14. Calcular el valor de:
B
127° C
.
.
w
Sen2 3 0 0, 5Csc 4 60 62 Sec3 3 Cot 4 Sec 2 3Tan 37 Tan 53 6 4
a) 1
b) 1
d) 12
e) 14
12
c)
6
e) 2 3
c)
5 6
e) 1
1 14 60°
5 A = rad ; B = 50 g y AB = 18 12
d) 2 2
6 5
” de la semi
15. En un triángulo ABC, si: a) 2 2 b) 3 2
b) –
c) 6 2
O
1 7 7 3 d) 3 a)
3 7 8 3 e) 3 b)
c)
3 8
"
M = 32Tan + 3Cot
37°
37°
45°
3 7 7 d) 4 a)
b)
4 7
c)
7 3
60°
a) 4 3 d) 24
e) 7
1. a 6. e 11. d 16. c
m
1
o c
.
a i c t a
m
e t
a
M
w w w
.
b) 12 e) 35 2. b 7. a 12. b 17. d
c) 8 3
CLAVES II 3. c 4. d 8. b 9. a 13. d 14. b 18. b 19. c
5. c 10. a 15. e 20. d
