Trigonometría ITMNIII2T1
TEMA: 1
Razones Trigonometricas Trigonometricas de Ángulos Agudos DESARROLLO DEL TEMA A
1. RA RAZONES ZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
β
b
C
A. Triangulo rectángulo rectán gulo
C
α
B
A T
a
Hipotenusa
E
Senα =
T O
c Cat. op. = = Cosβ b Hip.
Ctgα =
c Cat. op. = = Tg Tgβ b Cat. ady.
Secα =
Hip. = b = Cscβ a Cat. ady.
Csc α =
Hip. = b = Sec β c Cat. op.
Cateto Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual igual al cuadrado de la hipotenusa”. hipotenu sa”. A
III. PROPIED PROPIEDADES ADES DE LAS RA RAZONES ZONES TRIGONOMETRICAS
a2 + b2 = c2
b
C
B
C a
Teorema “Los ángulos agudos de un rectángulo son complementarios”.
triángulo
A + B = 90º
II.. DEFINICIO II DEFINICION N DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANG AN GUL ULO O AGUD UDO O Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la fgura, se establecen las sgts defniciones para el
ángulo agudo “α”:
C
A. Razones Trigonométric as Recíprocas Recíproc as “Al comparar las seis razones razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Senα • Cscα = 1 Cos α • Secα = 1 Tgα • Ctgα = 1
Ejemplos: Indicar la verdad de las proposiciones. I. Sen20 Sen20º.Csc10º º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º Tg35º.Ctg50 .Ctg50ºº =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( )
siguientes
B. Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios “Al comparar las seis R.T R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”.
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Tema 1
1
Razones Trigonometricas Ciencia Histórica - Hominiz Hominización aciónde y Prehistoria PÁngulos rehistoria Agudos
B. Triángulos Rectángulos Rectán gulos Aproximados Aproximad os 1. 37º y 53º
Nota: “Una razón trig trigonom onométri étrica ca de un ángul ángulo o al co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON → Seno Coseno → Tangente Cotangente → Secante Cosecante → Dado:
Notables
53° 5k
3k
x + y = 90º, entonces se verifca Senx = Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy
37° 4k
Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º + 70º = 90º) • Tg50º = Ctg40º (50º + 40º = 90º) • Sec80º = Csc10º (80º + 10º = 90º)
2. 16º y 74º
74°
IV. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES
25k
7k
A. Triá riángu ngulos los re rectá ctángu ngulo los s not notabl ables es ex exact actos os 1. 30º y 60º
16° 24k
60° Tabla de las r.t. de angulos notables
2k
1k
30° α
k 3
30°
60°
74°
37°
53°
16°
2/2
3/5
4/5
7/25 24/25
2/2
4/5
3/5
24/25 7/25
45°
RT Senα 1/2
2. 45º y 45º
45° k 2
k
Cos α
3/2
1/2
Tgα
3/3
3
1
3/4
4/3
7/24 24/7
Ctg α
3
3/3
1
4/3
3/4
24/7 7/24
Sec α 2 3/3 45°
Csc α
k
3/2
2
2
2
5/4
5/3
25/24 25/7
2 3/3
2
5/3
5/4
25/7 25/24
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo.
B
k.c k.c Luego: Senα + Senβ = c = k β
c
a
α
C
b Resolución:
Nótese que en el enunciado del problema tenemos: a + b = k.c
Nos piden calcular Senα + Senβ = a + b = a + b c c c
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución:
Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en
Tema 1
2
Razones Trigonometricas Ciencia Histórica - Hominiz Hominización aciónde y Prehistoria PÁngulos rehistoria Agudos
progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r
Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando
en
la
Conocido “t” calcularemos: Senx =2( –1,1) –1,1)+ +3 Senx =0,8 Senx = ..... (I)
fgura
tenemos: Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos
Teorema de Pitágoras 5r
4r
las
3r x + r α
x – – r r (x – (x – r)2 + x2 = (x + r)2 x2 – 2xr + r2 + x2 = x2 + 2xr + r2 x2 – 2xr = 2xr x2 = 4xr x = 4r
Nos piden calcular
grafcando
la
condición (I) en un triángulo, tenemos:
α
x
restantes;
Tg = 4r = 4 3r 3
Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx
5
4
x
Resolución:
3
Dado: x+ x+y = 90º → Senx = Cosy Reemplazando 2t + 3 = 3t + 4, 4,1 1 –1,1 – 1,1 = t
Tg = 4r = 4 3r 3
EJERCICIOS EJERCICI OS DE CLASE CLA SE N I V E L I
1. Calcular el valor de Secx, sabiendo que: Tgx = 2Tg45° – Cos 2 45° 13 A) 3 2 13 D) 3
13 B) 2 13 E) 4 3
D) 8 2
3.
B) 1/3
D) 8°
E) 10°
C)
A) 2
13
B) 4
D) 8
6.
C)
6
E) 10
Si:
J
Sen K10 +
L
N J x x N + 40 O O = Cos K 3 P P L2
Hallar: "x" A) 22° D) 42°
C) 3 2 /8
7.
B) 28° E) 48°
C) 36°
Hallar Hall ar "x": Tgα = 0,5, Ctgφ = 3
α
C) 4 φ
N I V E L I I
4.
C) 6°
M = (7Sen22° – 3Cos 68°)2 68°)2Csc22° Csc22°
E) 8 2 9
5 Si: x es agudo y Tgx = . 3 Calcular: Senx + Cosx M= Senx – Senx – Cosx Cosx A) 1/2 B) 2 D) 1/4 E) 3
B) 4°
5. Evaluar:
2. Sabiendo que "θ" es agudo y: 3Sen θ = =1. 1. Hallar: M = Csc θ(Cosθ + Ctgθ) A) 2 2
A) 2°
Hallar x: N N J J Cos K 7x + 4° O SecK 10x + 7° O = 1 3 P L 2 P L
x A) 1 D) 4
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
10 B) 2 E) 5
C) 3
Tema 1
3
Razones Trigonometricas Ciencia Histórica - Hominiz Hominización aciónde y Prehistoria PÁngulos rehistoria Agudos
8.
Hallar Sen "θ"
A) B) C) D) E)
5/13 5/13 12/13 7/25 24/25 3/10
13. De la fgura, hallar "Tgθ"
A) B) C) D) E)
5(x + 1) 2x – 1
B
0,1 0,2 0,3 0.4 0,5
θ
53°
A
45°
θ
M
C
9. En un triángulo ABC (recto (recto en B) B) donde se cumple TgA = 3SecC 3Sec C calcular: E = A) 1/4 B) 1/2 D) 2 E) 4
NIVEL NIV EL III
Sec2 A A – – 3CscC 3CscC C) 1
14. Hallar: 10. Hallar Ctg θ; AB = BC A) 3
x + y x – – y y
B
B) 2 3 C) 3 3
2a
120°
x°
D) 4 3 E) 5 3
θ
A
a
53° 30°
C
y
11. De la fgura hallar "x"
A) 6
A) 2
B) 8
C) 10 D) 12 E) 14
D)
x
60°
B) 3
2
C) 3
E) 4
15. Hallar Ctgθ. 30°
2 3 12. Hallar "x"
6
A) 2 3 θ
B) 3 2 C)
6
α
x
D) 6
15°
E) 9 30°
A) B) C) D) E)
Tgα + 1 Tgα – – 1 1 Ctgα – – 1 1 Ctgα + 1 2Tgα – – 1 1
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Tema 1
4
