1 2 3 4 5 ?
9 16 19 8
9 25 44 52 ?
Variable Discreta Discreta La media media de la distribuc distribución ión es 3 Ejercicio Discreto: Listado de cantidad de hijos de personal de Metro S.A.
Se entrega como dato de referencia que la media de esta distribución es 3 Se debe aplicar la fórmula de la media para obtener los datos faltantes. 3 = 1•9 + 2•16 + 3•19 + 4•8 + 5•? 52+? En este caso usted debe reemplazar el valor de la media en la fórmula donde se encuentra el resultado y despejar la incógnita. La última frecuencia absoluta la desconocemos no obstante sabemos que sumándolo a 52 nos da el total de observaciones (N) y corresponde a la última fila de la fórmula donde dicho número debe multiplicarse a 5. Ahora despeje 152+3•? =130+5•?
?= 22 22/2 = 11 11
1 2 3 4 5
9 16 8 63
9 25 44 52
0,14 0,25 0,3 0,13 0,17 0,99
Este ste núm númer ero o de debe ser ser ree reemp mpla lazzado ado en en la última fila de la tabla 0,14 0,39 0,69
0,82 0,99
La mediana mediana se se encuentra en donde ubiquemos el 50% de los datos lo cual encontramos Xi = 3 La moda moda se se ubica en la frecuencia que más se repite, es decir Xi=3
Ejercicio discreto 2
Se tomó una muestra de 11 alumnos respecto a sus estaturas, y los resultados fueron: 1,75
1,56
1,71
1,75
1,67
1,55
1,67
1,75
1,63
1,71
1,55
Responder: Calcular la media . Para ello cuando los datos están sueltos basta que los sume todos
y los divida por la cantidad de observaciones (N=11). Son variables cuantitativas contínuas
x
=
18,3
=
1,66
O sea la media son 1,66 metros
11 Calcular la moda . Basta que revise el valor que más se
repite, puede hacerlo a simple vista o con una distribución o tabla de frecuencia. En la tabla o a simple vista podemos ver que es 1,75. X
fi 1,55 1,56 1,63 1,67 1,71 1,75
hi 2 1 1 2 2 3 11
Hi 0,18 0,09 0,09 0,18 0,18 0,27 0,99
0,18 0,27 0,36 0,54 0,72 0,99
Calcular la mediana
Para ello debe calcular la frecuencia relativa acumulada y ver cual se ubica cerca del 50% por encima. La mediana es 1,67 metros
Ii 38-44 44-50 50-56 56-62 62-68 68-74 74-80
Xi
fi
Fi
hi
Hi
Ii 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
10 12 16 30 20 8 6
1) Averiguar Cuartil 1, Cuartil 3 y Per centil 70
Xi
fi
Fi
hi
Hi
4 6 7 10 2 1
2) Averiguar Cuartil 1, Cuartil 3 y Percentil 40
Ejercicio 1: El listado a una muestra que corresponde a millones de pesos acumulados por pensionados que este
año 2015 obtendrán su jubilación (cuenta de AFP). Los valores se encuentran expresados en millones de $ (M$) Ii Xi fi Fi hi Hi Pensiones MdC Cantidad 38-44 41 10 10 0,1 0,1 44-50 47 12 22 0,12 0,22 50-56 53 16 38 0,16 0,38 Q1 56-62 59 30 68 0,29 0,67 62-68 65 20 88 0,2 0,87 Q3 y P70 68-74 71 8 96 0,08 0,95 74-80 77 6 102 0,06 1,01 102 Cuartil 1 = Q1 El cuartil número 1 corresponde al 25% del total de los datos de la distribución (tabla de frecuencia)
Para obtener dicho parámetro que representaría que monto de dinero corresponde a ese 25% de los datos: Pasos para obtenerlo: 1) Ubicar la frecuencia relativa (Hi) más cercana al 25% de los datos (0,25) sino se encuentra en forma exacta debe ser el monto más cercano por encima del 0,25 de la frecuencia relativa acumulada 2) Posteriormente debe aplicar la fórmula Fq1-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la fila anterior Fq1 = Frecuencia absoluta en la fila c = Amplitud del intervalo (diferencia entre valor superior e inferior) Li = Valor más bajo del intervalo N = Cantidad total de observaciones u datos de la muestra
Q1 = 50 +
102 4 16
-22
• 6 = 50 + 1,32 = 51,32
Es decir que el 25% del total de las personas que van a jubilar debieran tener como monto total de pensión hasta 51,32 millones de pesos El cuartil 3 (Q3) corresponde al 75% del total de datos de las muestra. 3•102
Q3 = 62 +
4
- 68
• 6 = 62 + 2,58 =
64,58
20 Es decir que el 75% de las personas que jubilarán este año tendrían como máximo 64,58 millones de pesos en su cuenta de AFP.
Los Percentiles son ubicaciones respecto de una porción de la distribución de datos (por tanto se relaciona con la referencia relativa), para calcular seguir estas reglas: Procedimiento de cálculo: 1) Ubicar en la referencia relativa el porcentaje que corresponde al percentil que estoy buscando.Ejemplo, si es 0,7 equivale a 0,7 * 100 = 70% (percentil 70) 2) Aplicar la fórmula ubicando los valores necesarios en la tabla o distribución de datos.
P70 = 62 +
70 • 102 - 68 •6 100 20
=
62 +
1,02
=
63,02
Es decir que el 70% de las personas que jubilarán este año tendrían como máximo 63,02 millones de pesos en su cuenta de AFP.
Ejercicio 2: Resuelto en clases, asistentes al estreno de una película en una sala del teatro con capacidad de 30 personas.
Ii
Edad personas 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
Xi
fi
Fi
hi
Hi
Cantid. psonas 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
4 6 7 10 2 1 30
4 10 17 27 29 30
0,13 0,2 0,23 0,33 0,07 0,03 1
0,13 0,33 0,57 0,9 Ej 1 0,97 Ej 2 1
Apliquemos la fórmula de percentil ahora tomando en consideración que nos entregan el valor de la variable y debemos averiguar el percentil. Por ejemplo si la variable es edad, nos dan una edad y debemos calcular el percentil Si la variable es dinero, les entregan una cantidad de plata y así averiguar el valor del percentil
Ejemplo 1: Que porcentaje de los asistentes al cine tiene hasta 17 años. Revisar la ubicación de la edad en el intervalo de clase (15-20) Reemplazar así en la fórmula:
17 =
15 +
17 =
15 +
x • 30 100 10 0,3 • x
- 17
10 17 =
15 +
1,5 • x
10 20 + 85 = Quiere decir que tienen hasta 17 años el 70% de la gente que asistió al cine.
x=
1,5 • x
70
- 85
- 17 •5
•5
Ejemplo 2: Que porcentaje de los asistentes al cine tiene como mínimo 23 años. Se reemplaza la fórmula de la misma manera En el intervalo de clase (20-25)
23 =
20 +
23 =
20 +
x • 30 100 2 - 27
0,3 • x
- 27 •5
•5
2 6 = 1,5 • x - 135 141 = 1,5 • x Se consulta por el porcentaje mínimo desde 23 años, por tanto se debe calcular cuanto falta en % para llegar al 100% (o sea 1) desde 94 %. Simplemente realice el siguiente cálculo:
mínimo de 23 años = 100 - 94 = 6 máximo de 23 años = 94
R= El porcentaje mínimo de personas que tienen como mínimo 23 años es 6 %
x = 94
Xi
fi
Fi
1 2 3 4 5 6
4 6 5 6 10 9
4 10 15 21 31 40
8
6
50
Ii 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50
ejercicio 1 Obtener Media, Varianza y Desviación Estándar
Xi
fi
Fi 8 13 18 5 4 2
8 21 39 44 48 50
Ejercicio 2 Obtener Media, Varianza, Desviación y CdV
Ejercicio 1: La muestra corresponde a la cantidad de puntos eléctricos presentes en un conjunto habitacional del sector de providencia, donde existen total de 50 departamentos Xi
fi
Fi
hi
Cant. N° ptos De eléct. Deptos
1 2 3 4
Hi
2
Xi
Xi•fi
•fi
proporción de deptos
4 6 5 6
5 6 7 8
10 9 4 6 50 a) Calcular media
4 10 15 21
0,08 0,12 0,1 0,12
0,08 0,2 0,3 0,42
4 12 15 24
4 24 45 96
31 40 44 50
0,2 0,18 0,08 0,12 1
0,62 0,8 0,88 1
50 54 28 48 235
250 324 196 384 1323
Las dos últimas columnas permiten calcular de manera ordenada y rápida las sumatorias de las fórmulas de la media y varianza.
σ
2
Aplicando la fórmula:
235 = 4,7 50 Interpretación: Quiere decir que la cantidad de puntos eléctricos promedio o el número más representativo son 4,7. b) Calcular Varianza 26,46 2
1323 - 4,7 = 4,37 50 El cuadrado de las desviaciones respecto de la media es 4,37
Aplicando la fórmula:
c) Calcular Desviación Estándar Aplicando la fórmula: √4,37 = 2,09 Interpretación: Respecto del total de datos de los departamentos hay una variación 2,09 puntos eléctricos respecto de la media, si tomamos el dato de cualquier depto.
Ejercicio 2: Monto de deuda de empresas en millones de pesos (M$) que son clientes de falabella.com La muestra reúne a 50 empresas Ii
Xi
fi
Deuda Empr.
20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50
Fi
hi
Hi
2
Xi
Xi•fi
•fi
Cantidad Empr.
22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
8 13 18 5 4 2 50
8 21 39 44 48 50
0,16 0,26 0,36 0,1 0,08 0,04 1
0,16 180 4050 0,42 357,5 9831 0,78 585 19013 0,88 187,5 7031 0,96 170 7225 1 95 4513 1575 51663
a) Calcular media Aplicando fórmula:
1575 50
= 31,5
Quiere decir que en promedio las empresas tienen 31,5 millones de pesos de deuda b) Calcular Varianza
1033,3 992,25 Aplicando fórmula:
41,01
2
51663 - 31,5 = 41,01 50
No tiene interpretación c) Calcular Desviación Estándar Aplicando la fórmula:
√41,01 = 6,4
Quiere decir que las deudas se encuentran alejadas más menos 6,4 millones de pesos respecto del promedio. d) Calcular Coeficiente de Variación Aplicando la fórmula:
6,4 = 0,2 31,5
= 20%
Dado que el valor es relativamente alto, nos indica que la media es relativamente deficiente como número representativo de la muestra. Recuerde que si el C.V. equivale a 0, quiere decir que no hay dispersión y todos los valores de las variables son iguales o muy cercanos unos de otros.
