4.1.- DEFINICIÓN DE SERIE Una serie es la generalización de la noción de suma suma a a los términos de una sucesión infinita. infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:
lo cual suele escribirse en forma más
compacta con el símbolo de sumatorio sumatorio::
4.1.1 FINITAS Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.
bser!ando la serie "ue se encuentra al costado iz"uierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por #$%, esto significa "ue la serie esta superiormente acotada a cual"uier numero natural, y por consecuente se puede deducir "ue es una serie finita puesto a "ue tiene un numero finito de elementos acotados por &$&. '.(.) INFINITA *s un arrglo ordenado de numeros reales, uno para cada entero positi!o. +as formal mente una sucesión infinita es una funcion cuyo dominio es el conjunto de enteros positi!os y cuyo rango es un conjunto de numeros reales. odemos indicar una sucesion mediante a( ,a) ,a-,...., simplemete por an/ 0e puede especificar una sucesion dando suficientes terminos iniciales para establecer un patron como en (, ', 1, (2, (-, .... mediante una formula e3plicita para el n4énesimo termino, como en an 5 -n4), n 6 ( ara alguna
, sea
y
. *ntonces
por definición y la fórmula binomial. 7ado "ue, formalmente, y
, se 8a demostrado "ue
. 9omo el
límite del producto de 9auc8y de dos series absolutamente con!ergentes es igual al producto de los límites de esas series, se 8a demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo
.
4.2 Serie numerica y convergencia
*La serie armonica es la serie
La serie armónica es di!ergente Una serie a;ternada es una serie donde los términos alternan el signo. *jemplo:
Una serie telescópica es la suma siguiente manera:
donde an 5 bn < bn=(. 0e representa de la
La con!ergencia de dic8a serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya "ue:
Una serie 8ipergeometrica es una serie de la forma
"ue cumple "ue
5
9riterios de con!ergencia
9lasificar una serie es determinar si con!erge a un n>mero real o si di!erge ? u oscilante@. ara esto e3isten distintos criterios "ue, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de "ue tipo es ?con!ergente o di!ergente@. 9ondición del resto
ara "ue una serie sea di!ergente, una condición suficiente es "ue
*sta afirmación es muy >til, ya "ue nos a8orra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero. 9riterio de 7ABlembert o 9riterio del 9ociente ?9riterio de la razón@
tal "ue a k > 0 ? serie de términos positi!os@. 0i e3iste el 9riterio de 7ABlembert establece "ue:
si L <1,la serie con!erge.
si L > 1, entonces la serie di!erge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
Lo primero "ue miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la Csuma infinitaD tiene sentido: La serie con!erge si lo 8ace su sucesion de sumas parcialesE otra cosa distinta es "ue con!erja su termino general. 7e la definicion y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediatamente "ue si suprimimos, cambiamos o a;adimos un numero finito de terminos al principio de una serie, no se altera su caracter de con!ergencia o di!ergencia ?aun"ue si el !alor de su suma, si con!erge@, por"ue las nue!as sumas parciales diferiran de la inicial solo en un constante. or eso,
cuando estemos 8ablando simplemente de con!ergencia podremos no escribir el n en "ue empezamos a sumarE incluso escribiremos s olo #sigma% ?no ol!idando "ue son infinitos terminos@.
Blgunos tipos de series Una serie geometrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. *jemplo ?con constante (F)@:
*n general, una serie geométrica, de razón z , es con!ergente, sólo si G z G H (, a: 9riterio de aabe *n algunas series, puede ocurrir "ue ni el criterio de 7ABlembert ni el de la raíz nos permitan determinar la con!ergencia o di!ergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de aabe.
0ea una serie como la mostrada tal "ue a k > 0 ?serie de términos positi!os@. J supongamos "ue e3iste
or tanto, si L > 1, entonces la serie es con!ergente y si L < 1, la serie es di!ergente Kened cuidado a"uí, pues las conclusiones son al contrario "ue en los criterios de 7ABlembert y de la raíz. 9on!ergencia absoluta Una serie alternada a n con!erge absolutamente si
4.3 Series de oten!ias Las series finitas "ue se 8an estudiado 8asta este momento 8an consistido solo de términos constantes. B8ora se trata un tipo importante de series de términos !ariables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalización de de una función polinomial. *n las secciones restantes de este capítulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular !alores de funciones tales como sean 3, ln 3 y ?3@ (F), las cuales no se ˄
pueden e!aluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para determinar !alores de funciones racionales. 7efinición de una serie de potencias: Una serie de potencias en 34a es una serie de la forma 9o=9(?34c@=9)?34c@ )==9n?34c@ n= ˄
˄
0i la serie de potencias e3puesta anteriormente es con!ergente para 35 3(?3(diferente de 2@, entonces es absolutamente con!ergente para todos los !alores de 3 para los cuales M3NHM3(N Una serie de potencias alrededor de 352 es una serie de la forma:
Keorema 0I la serie de potencias e3puesta con anterioridad es di!ergente para 353), entonces es di!ergente para todos los !alores de 3 para los "ue M3NOM3)N rocedimiento para determinar el inter!alo de con!ergencia de una serie de potencias 34 a (.Bpli"ue el criterio de la razon ?o en ocaciones el criterio de la raiz@ para determinar el radio de con!ergencia de la serie. Blgunas series con!ergen absolutamente paratodos los !alores de 3. ).4 0i O2, la serie con!erge absolutamente para toda 3 en el inter!alo ?a4, a=@ y di!erge para M34aNO. Perifi"ue la con!ergencia en los dos e3tremos del inter!alo ?a4,a=@, por supuesto, nunguna conclucion acerca de la con!ergencia en los e3tremos puede inferirse del criterio de la razon o del criterio de la raiz.
4.4 Radio de !on"er#en!ia
*n matematicas, seg>n el teorema de 9auc8y4Qadamard, el radio de !on"er#en!ia de una serie de la forma
con !iene dado por la e3presión:
0i
nos
limitamos
al
conjunto
7efinición de los numeros
reales,
una
serie
de
la
forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x 0. La serie con!erge absolutamente para un conjunto de !alores de x "ue !erifica "ue | x − x 0 | < r , donde r es un n>mero real llamado radio de !on"er#en!ia de la serie. *sta con!erge, pues, al menos, para los !alores de x pertenecientes al inter!alo ( x 0 − r , x 0 + r ), ya "ue la con!ergencia para los e3tremos de este 8a de estudiarse aparte, por lo "ue el inter!alo real de con!ergencia puede ser también semiabierto o cerrado. 0i la serie con!erge solo para x 0, r = 0. 0i lo 8ace para cual"uier !alor de x , r = *jemplos
$ostraremos el radio de !on"er#en!ia de al#unos desarrollos en series de oten!ias !on sus rese!ti"os radios de !on"er#en!ia sin %usti&i!ar or'u( el radio de !on"er#en!ia es el dado. adio de con!ergencia finito La función ( F ?( < x @ en su desarrollo con centro 2, o sea, en series de potencia x < x 2 5 x < 2 5 x , tiene el siguiente aspecto:
. ?para el cálculo de la serie !ea serie de Kaylor@. 0u radio de con!ergencia es r ) 1. *so significa "ue para calcular si tomo cual"uier !alor cuya distancia al x 2 5 2 es menor "ue r 5 (, por ejemplo el x 5 2.)R, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo "ue remplazarlo en la función, de 8ec8o
.
?la cuenta se puede 8acer por serie de potencia@. J por otro lado
. ero si tomamos un elemento fuera del radio de con!ergencia, por ejemplo el x 5 ), los más probable es "ue al remplazarlo en la serie, ésta di!erja ?por eso el nombre de radio de con!ergencia@. *fecti!amente:
.
Distan!ia a la sin#ularidad *l cálculo del radio de con!ergencia no es simple. Peamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de con!ergencia. La misma función ( F ?( < x @ en su desarrollo con centro x 2 5 - tiene la forma: . ero en este caso su radio de con!ergencia es r ) . $otemos "ue la función ( F ?( < x @ tiene una singularidad en el (E y "ue en los dos caso anteriores el radio de con!ergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: G 2 < ( G 5 ( y G - < ( G 5 ). *sto será siempre !erdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como !eremos en el siguiente ejemplo:
9omo no 8ay singularidades reales podría suponerse "ue el radio es infinito, sin embargo su radio de con!ergencia es . *ste radio parece capric8oso pero tiene "ue !er con el 8ec8o de "ue pasando la función a dominio complejo, e3iste una singularidad en el denominador.La serie
Radio de !on"er#en!ia in&inito
or ejempo, la función e x puede desarrollarse en series de potencia de x < 2 5 x , de
8ec8o . y esto !ale para todo real x por eso el radio de con!ergencia será infinito.
4.+ Serie de Ta,lor *n matematicas, una serie de Ta,lor de una funcion f(x) infinitamente deri!able ?real o compleja@ definida en un inter!alo abierto ? a4r , a=r @ se define como la siguiente suma:
B"uí, nS es el factorial de n y f ?n@?a@ indica la n4ésima deri!ada de f en el punto a. 0i esta serie con!erge para todo x perteneciente al inter!alo ?a4r , a=r @ y la suma es igual a f ? x @, entonces la función f ? x @ se llama analti!a. ara comprobar si la serie con!erge a f ? x @, se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Kaylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potenciasE los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Kaylor. 0i a 5 2, a la serie se le llama serie de $a!laurin. *sta representación tiene tres !entajas importantes: •
La deri!ación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, "ue resultan operaciones tri!iales.
•
0e puede utilizar para calcular !alores apro3imados de la función.
•
*s posible demostrar "ue, si es !iable la transformación de una función a una serie de Kaylor, es la óptima apro3imación posible. Blgunas funciones no se pueden escribir como serie de Kaylor por"ue tienen alguna singularidad. *n estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negati!as de x ?!éase 0erie de Laurent. or ejemplo f ? x @ 5 e3p?<(F x T@ se puede desarrollar como serie de Laurent.
7efinición La serie de Kaylor de una función f de numeros reales o complejos "ue es infinitamente diferenciableen un entrono de n>meros reales o complejos a, es la serie de potencias:
"ue puede ser escrito de una manera más compacta como
donde n! es el factorial de n y f ?n@?a@ denota la n4ésima deri!ada de f en el punto aE la deri!ada cero de f es definida como la propia f y (x − a )0 y 0! son ambos definidos como uno.
series de Kaylor en el siglo PIII.
SERIES DE $ACA/RIN 0TA2R AREDED2R DE N2TA5ES
La función coseno.
Una apro3imación de octa!o orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes de arriba puestas juntas. B continuación se enumeran algunas series de Kaylor de funciones básicas. Kodos los desarrollos son también !álidos para !alores complejos de x .
Fun!ion e6onen!ial , lo#aritmo natural
Serie #eometri!a
Keorema del binomio
para y cual"uier
complejo
Fun!iones tri#onometri!as
7onde Bs son los $umero de Vernoulli.
8ttp:FFWWW.youtube.comFWatc8X!58gjKy-Yr4ZJ
4.7 Reresenta!ion de &un!iones mediante la serie de Ta,lor
sin?3@ y apro3imaciones de Kaylor centradas en 2, con polinomios de grado (, -, R,1, Z, (( y (-
La función e3ponencial ?en azul@, y la suma de los primeros n=( términos de su serie de Kaylor en torno a cero ?en rojo@.
La función e3ponencial y = e x ?línea roja continua@ y su apro3imación mediante un polinomio de Kaylor alrededor del origen de ?línea !erde discontinua@.
uedes obser!ar el comportamiento de apro3imación usando alg>n polinomio de taylor por y 5 sin 3. *l !alor en 3 5 [ en cada función se despliegan al lado derec8o.
4.8 Cal!ulo de inte#rales e6resadas !omo serie de Ta,lor
0ea f?3@ una función definida en un inter!alo "ue contiene al punto a, con deri!ada de todos los órdenes. *l polinomio de primer grado p(?3@ 5 f?a@ = f A ?a@ ?34a@ tiene el mismo !alor "ue f?3@ en el punto 35a y también, como se comprueba fácilmente, la misma deri!ada "ue f?3@ en este punto. 0u gráfica es una recta tangente a la gráfica de f?3@ en el punto a. *s posible elegir un polinomio de segundo grado, p)?3@ 5 f?a@ = f A ?a@ ?34a@ = \ f A A ?a@ ?34 a@), tal "ue en el punto 35a tenga el mismo !alor "ue f?3@ y !alores también iguales para su primera y segunda deri!adas. 0u gráfica en el punto a se acercará a la de f?3@ más "ue la anterior. *s natural esperar "ue si construimos un polinomio "ue en 35a tenga las mismas n primeras deri!adas "ue f?3@ en el mismo punto, este polinomio se apro3imará más a f?3@ en los puntos 3 pró3imos a a. Bsí obtenemos la siguiente igualdad apro3imada, "ue es la fórmula de Kaylor: f?3@ ] f?a@ = f A?a@ ?34a@ = ?(F)S@ f A A?a@ ?34a@) = ...... = ?(FnS@ f ?n@ ?a@ ?34a@ n *l segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en ?34a@. ara cada !alor de 3 puede calcularse el !alor de este polinomio si se conocen los !alores de f?a@ y de sus n primeras deri!adas. ara funciones "ue tienen deri!ada ?n=(@4ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pe"ue;a cantidad "ue tiende a cero más rápidamente "ue ?34a@n. Bdemás, es el >nico polinomio de grado n "ue difiere de f?3@, para 3 pró3imo a a, en un !alor "ue tiende a cero ?cuando 3 tiende a a@ más rápidamente "ue ?34a@n. 0i f?3@ es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad apro3imada anterior es una !erdadera igualdad. ara "ue sea e3acta la igualdad apro3imada anterior, debemos a;adir al segundo miembro un término más, llamado resto: f?3@ 5 f?a@=f A?a@?34a@=?(F)S@ f A A?a@?34a@)= ...... =?(FnS@ f ?n@?a@?34a@n=?(F?n=(@S@ f ?n=(@?c@?34a@n=( *l resto tiene la peculiaridad de "ue la deri!ada "ue en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c con!enientemente elegido, desconocido, pero interior al inter!alo de e3tremos a y 3. La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aun"ue sencilla en esencia. Las leyes naturales pueden e3presarse, por regla general, con buena apro3imación por funciones deri!ables un n>mero arbitrario de !eces, y por ello pueden ser apro3imadas por polinomios cuyo grado !iene determinado por la precisión deseada. La fórmula de Kaylor, "ue abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de !ista práctico. La idea de apro3imar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un n>mero finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye a8ora una rama independiente: la teoría de la apro3imación de funciones.
*n las siguientes escenas podemos obser!ar cómo la gráfica de las funciones se !a &tapando& con la gráfica del polinomio de Kaylor al aumentar el grado del polinomio. ara un !alor de 3 calculamos la diferencia entre el !alor real y el !alor del polinomio correspondiente. Bl aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada !ez menor. Qemos calculado los polinomios de Kaylor para a52.
La función e3ponencial y 5 e x ?línea roja continua@ y su apro3imación mediante un polinomio de Kaylor alrededor del origen de ?línea !erde discontinua@
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