ACTIVIDAD UNIDAD IV: SERIES ACTIVI ACTIVIDAD DAD:: Desarro Desarrolla llarr cada cada uno de los siguien siguientes tes temas, temas, agrega agregando ndo la teoría básica al menos dos e!em"los resueltos "ara cada uno de ellos#
$#% Serie $#& Serie num'rica con(ergencia $#) Serie de "otencias $#$ Radio de con(ergencia $#* Serie de Ta Talor lor $#+ Re"resentacin de -unciones mediante serie de Talor
$#% De-inicin de serie: -inita e in-inita Series Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina. Por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 2 !s la suma indicada de los términos de una secesión. "s# de las sucesiones anteriores o$tenemos la serie% 1&4&9&16&2 'uando el número de términos es limitado, se dice (ue la sucesión o serie es finita. 'uando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita. !l término general o término enésimo es una e)presión (ue indica la ley de formación de los términos.
Serie In-inita *as series infinitas son a(uellas donde i toma el +alor de a$solutamente todos los números naturales. on series de la forma an -) )/0n los números reales a/, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. i )/ / se o$tiene la serie an . )n. 'omo toda serie an -) )/0n puede lle+arse a la forma an .)3 n aciendo )3 ) )/ solo estudiaremos series de potencias de este último tipo. e presentan tres situaciones posi$les% series (ue con+ergen solamente para ) / series (ue con+ergen para cual(uier número real ) y series (ue con+ergen para algunos +alores de ) y di+ergen para otros. !sto conduce al siguiente% Teorema: i la serie de potencias an .)n con+erge para el +alor )/ 5 /, entonces con+erge en +alor a$soluto para cual(uier ) 7 )7 8 7 )/7 .
E.E/012 !n las o$ser+aciones in#ciales de este cap#tulo se indicó (ue la representación decimal del número racional 1 es en la realidad, una serie infinita. 1/ &1/ 2 &1/ &:1;1/:
E!em"lo: ea la serie infinita
a. o$tenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas
parciales
y solución-a0 como
Serie 3inita ucesión de números tales (ue la proporción entre cual(uier término -(ue no sea el primero0 y el término (ue le precede es una cantidad fija llamada ra<ón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, =, 16, 2, 64, 12= es una progresión geométrica con ra<ón 2 y 1, 1, , >, 9, ?, @ -10i, es una progresión geométrica con ra<ón 1. *a primera es una progresión geométrica finita con siete términos la segunda es una progresión geométrica infinita. !A!BP*C ea f la función definida por f-)0 2m mD E 1 ,2 ,4F G -10 2)12 G -20 2)24 G -0 2)6
f -40 2)4= -2, 4, 6, =0 f-)0 2m mD E 1,2,,4F es una serie finita donde m pertenece a cual(uier número del inter+alo H1, 4I
$#& Serie num'rica con(ergencia 4criterio D5Alembert criterio de Cauc67# !n matemJticas, una secuencia es una lista ordenada de o$jetos -o e+entos0. 'omo un conjunto, (ue contiene los miem$ros -tam$ién llamados elementos o términos0, y el número de términos -posi$lemente infinita0 se llama la longitud de la secuencia. " diferencia de un conjunto, el orden importa, y e)actamente los mismos elementos pueden aparecer +arias +eces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función. Por ejemplo, -', K, L0 es una secuencia de letras (ue difiere de -L, ', K0, como las cuestiones de pedido. *as secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positi+os enteros -2, 4, 6, @0. ecuencias finitas se conocen como cadenas o pala$ras y secuencias infinitas como los arroyos. *a secuencia +ac#a -0 se incluye en la mayor#a de las nociones de secuencia, pero pueden ser e)cluidos en función del conte)to. !jemplos y notación May mucas diferentes nociones de secuencias en las matemJticas, algunas de las cuales -por ejemplo, la secuencia e)acta0 no estJn cu$iertos por las anotaciones (ue se presentan a continuación. "demJs de identificar los elementos de una secuencia por su posición, como Nla tercera elementoO, elementos (ue pueden dar los nom$res de referencia con+eniente. Por ejemplo, una secuencia podr#a ser escrito como - un uno , un dos , un dos , @0, o - $ / , $ 1 , $ 2 , @0, o - c / , c 2 , c 4 , @0, dependiendo en lo (ue es útil en la aplicación. Ginito y lo infinito Una definición mJs formal de una secuencia finita con los términos de un conjunto es una función de E1, 2,@, nF a por alguna n ? /. Una secuencia infinita de es una función de E1, 2,@ "F . Por ejemplo, la secuencia de números primos -2,,,>,11, @0 es la función 1 2 , 2 , , 4 > , 11 , @. Una secuencia de longitud finita n es tam$ién llamado n tupla secuencias finitas incluyen la secuencia +ac#a -0 (ue no tiene elementos. Una de las funciones de todos los números enteros es (ue en un conjunto a +eces se denomina secuencia infinita$i o dos +#as secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia $iinfinita de todos los enteros pares -@, Q4, Q2, /, 2, 4, 6, =@0. Bultiplicati+o Reja una -una secuencia definida por una función f% E1, 2, ,@F E1, 2, ,@F, de tal manera (ue un i f -i0. *a secuencia es multiplicati+o si f -)y0 f - ) 0 f - y 0 para todo ) , y tales (ue ) e y son primos entre s#. Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
ea una serie i e)iste
, tal (ue a: ? / -serie de términos positi+os0.
'on , el 'riterio de RS"lem$ert esta$lece (ue% i * 8 1, la serie con+erge. i * ? 1, entonces la serie di+erge. i * 1, no es posi$le decir algo so$re el comportamiento de la serie. !n este caso, es necesario pro$ar otro criterio, como el criterio de Kaa$e.
!jemplo ea%
'lasificar
a0
$0 tiende a cero conforme crece rJpidamente (ue n&10
-por(ue el factorial crece mJs
c0 "plicando RS"lem$ert%
y como
, la serie
con+erge.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo Entonces, si: ! ", la serie es convergente. > " entonces la serie es divergente. #", no podemos concluir nada a priori $ tenemos que recurrir al criterio de %aa&e, o de comparaci'n, para ver si podemos llegar a alguna conclusi'n.
E!em"los 1 " n a l i < a r s i e l t e o r e m a d e 'a u c y e s a p l i c a $ l e e n e l i n t e r + a l o H 1 , 4 I a las funciones% f-)0 ) 2 Q 2) & y g-)0 ) Q >)2 & 2/) Q . !n caso afirmati+o, aplicarlo. *as funciones f-)0 y g-)0 son continuas y deri+a$les en
por ser
polinómincas, luego, en partic ular, son continuas en H1, 4I y deri+a$les en -1, 40 . " d em J s s e c um p l e ( u e g - 1 0 T g - 4 0 . Por lo tanto se +erifica el teorema de 'aucy%
$#) Serie de "otencias 'uando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula% si 8 r8 9 %, entonces
una sucesión de números reales cual(uiera. Una serie De-inicin %: ea de potencias es una serie de la forma%
Ronde es una +aria$le. . BJs generalmente, una serie de la forma
!s llamada una serie de potencias centrada en c.
Por ejemplo,
on series de potencias centradas en /, 1 y 2, respecti+amente.
Una serie de potencias en x puede ser +ista como una función en x:
'uyo dominio es el conjunto de todos los +alores (ue puede tomar x para los cuales la serie con+erge. !n particular, el dominio siempre contiene al punto x = c , en el cual +ale
!em"lo: 'onsideremos la serie de potencias
Usando el criterio del cociente y el eco (ue
enemos (ue la serie con+erge si R ; 88 9 % y di+erge si V 8 < %# Para determinar (ue ocurre en 88 ; % , o$ser+emos (ue
Re modo (ue di+erge en am$os casos. !n suma, el dominio de la función
!s -/, 10 E)% V)V 8 1F.
!A!BP*C 2
!jemplo%
$#$ Radio de con(ergencia !l número K se denomina radio de con+ergencia de la serie Por con+ención, el radio de con+ergencia es K C en el caso !l inter+alo de con+ergencia de una serie de potencias consta de todos para los cuales la serie con+erge.
!n donde el inter+alo es -Woo, &oo0. la desigualdad V)aV K 8DD pDD 8DD &DD? Ronde 'ual(uier ) es un punto e)tra, -esto es, ) a X K0 puede suceder cual(uier cosa% la serie puede con+erger para am$os puntos e)tremos o di+ergir en ellos.
Un !jemplo Buy claro de esto es el calculo del Yumero
e
(ue al igual (ue pi, es una serie infinita de teminos, pero (ue se calcula con la serie%
y como D)D pertenece a todos los reales, pues tiene un radio de con+ergencia infinito, ya (ue su dominio de dica D)D, es ! -K0.
E!ercicios "ro"uestos:
!A!K'Z'ZC 2
$#* Serie de Talor
!n matemJticas, una serie de aylor es una representación de una función como una infinita suma de términos. érminos (ue se calculan a partir de las deri+adas de la función para un determinado +alor de la +aria$le -respecto de la cual se deri+a0, lo (ue in+olucra un punto espec#fico so$re la función. *a serie de una función real o compleja ƒ- x 0 infinitamente diferencia$le en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias
[ue puede compactarse de la siguiente manera%
Ronde n\ denota el factorial de n y ƒ -n0-a0 la deri+ada enésima de ƒ e+aluada para el +alor a. i esta serie con+erge para todo x perteneciente al inter+alo -a-r, a+r 0 y la suma es igual a f - x 0, entonces la función f - x 0 se llama anal#tica. Para compro$ar si la serie con+erge a f - x 0, se suele utili
" medida (ue aumenta el grado del polinomio de aylor, se apro)ima a la función. e ilustran las apro)imaciones de aylor a sen-)0, centradas en /, de grados 1, , , >, 9, 11 y 1.
*a serie de aylor de una función f real o compleja ƒ- x 0 infinitamente diferencia$le en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias%
(ue puede ser escrito de una manera mJs compacta como la siguiente sumatoria%
Ejemplo 1: alcule la serie de maclaurin para
.
Solución:
Si para toda x, por tanto, ecuaci'n de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:
para toda n. as, de la
Ejemplo 2: *&tenga la serie te +a$lor para sen x en a. Si (x) # sen x, entonces -(x) # cos x, (x) # /sen x, (x) # /cos x, (x) # sen x, $ as sucesivamente. e este modo, de la 1'rmula de +a$lor, la +a$lor requerida se o&tiene del teorema serie de +a$lor. Ejercicios propuestos
serie
de
$#+ Re"resentacin de -unciones mediante la serie de Talor# 2 continuaci'n se enumeran algunas series de +a$lor de 1unciones &3sicas. +odos los desarrollos son tam&ién v3lidos para valores comple4os de x.
Función exponencial y logaritmo natural
Teorema del binomio
Funciones trigonométricas
onde 5s son los 67meros de 8unciones 9iper&'licas
Función W de Lambert los coefcientes bi os n7meros 5k que aparecen en los desarrollos de tan(x) $ tan9(x) son 67meros de 5ernoulli. os valores (,n) del desarrollo del &inomio son los coe1icientes &inomiales. osE k del desarrollo de sec(x) son 67meros de Euler. 2lgunas de las 1uentes: 2;* < arson =ostertle Edards
Ejercicios propuestos
N2TA: Esta es la =nica acti(idad de la unidad IV, deberá de ser entregada en un solo arc6i(o en "d-, el cual deberá incluir "ortada, índice, contenido bibliogra-ía# 1a -alta de alguno de estos "untos disminuirá su cali-icacin#
