SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL VALLE DE MORELIA CARRERA: INGENIERIA EN AGRONOMIA
CALCULO INTEGRAL
INTEGRANTES: UNIDAD 4: “SERIES”
DOCENTE: JOSE JUAN ALVARADO FLORES
TRABAJO: INVESTIGACION
GRUPO: 33
Resumen
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: . El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente. Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el índice final de la serie. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie. Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.Termino de una sucesión: S: Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera.
Introducción
La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos .
El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función. Históricamente, la teoría de la integral se desarrolló gradualmente, primero para funciones continuas y posteriormente para funciones acotadas sin imponerles la condición de que fuesen continuas. La teoría de la integral para funciones continuas fue establecida por Cauchy durante la segunda y tercera décadas del siglo xix, posteriormente y hacia la mitad de ese mismo siglo, la teoría de la integral para funciones acotadas fue desarrollada por Riemann. La teoría de Riemann fue motivada por el surgimiento de un concepto más general de función del que disponía Cauchy. Cálculo diferencial, fundamentos, aplicaciones y notas históricas x Este concepto más general de función fue dado por Dirichlet en 1837, es el que podemos encontrar hoy en día en casi todo libro de cálculo y
es el que concibe a una función como una regla de asignación que asocia a cada elemento de un conjunto llamado el dominio de la función, un único elemento de un segundo conjunto llamado el contra dominio. De la fórmula del teorema fundamental a b f x dx F b F a ( ) ( ) ( ) 5 , donde F es una primitiva de f en el intervalo [a, b], se desprende la importancia de disponer de métodos que permitan hallar una primitiva de una función dada. Estos son los llamados métodos de integración, de los cuales algunos de los más conocidos se presentan en el capítulo 3. Entre otros métodos, se presenta el denominado método de integración por partes, mismo que no puede faltar en ningún libro de cálculo. Este método se ilustra con una amplia variedad de casos. También se presenta el método de integración de funciones racionales mediante la descomposición en fracciones parciales. Estamos seguros que el lector encontrará detalles acerca de este método que no hallará en otros libros. Otro método de integración es el que se refiere a las integrales de funciones racionales en las funciones seno y coseno. En este caso se hace notar que el conocido cambio de variable u x tan 2 puede fallar en la obtención de primitivas. Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo de todo eso. En principio, parecen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base común, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar en este Capítulo. Me estoy refiriendo a los números reales que representamos por R. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que se pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos. También puedes extraer raíces de números reales positivos y elevar un número real positivo a otro número real. Lo que quizás no sepas es que todo lo que puedes hacer con los números reales es consecuencia de unas pocas propiedades que dichos números tienen que, además, son muy elementales.
4.1 DEFINICION DE SUCESION Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.
En muchos problemas cotidianos se presentan sucesiones, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...., 29, 30}; o bien cuando por alguna razón se tiene solamente al conjunto de los números pares {2, 4, 6, 8, 10, ... } ; o quizás los nones {1, 3, 5, 7, 9, ... } , etc. De cualquier forma, existe siempre una regla bajo la cual se forma el siguiente elemento de la sucesión a partir del primero. En el caso del conjunto de los pares y también de los nones, la regla es sumar 2 al último número formado. La primera parte del estudio de las sucesiones consistirá en descubrir por simple intuición cuál es dicha regla.(Luis)
Intuitivamente una sucesión {an}∞ n=1 es una lista (conjunto ordenado) inf inita de números reales a1, a2, a3, a4, . . . Más rigurosamente una sucesión es una forma de asignar a cada n ∈ N un número real en, el termino general de la sucesión. No siempre el termino general tiene una formula explicita. Por ejemplo, a1 = 1, en = 3an −1 − 1 define una sucesión por recurrencia (un elemento de la sucesión en términos de los anteriores). Una sucesión (an) es un grupo de elementos, normalmente números, que están colocados de forma ordenada siguiendo una aplicación lógica. Estas aplicaciones pueden ser incontables, pero se pueden agrupar en diferentes tipos de sucesiones según cómo esté formado el conjunto y del límite de términos que pueda contener. En primer lugar todas las sucesiones pueden ser finita o infinita, a partir de esta primera clasificación, se van definiendo el resto:
Sucesión finita: es una sucesión, una serie de elementos que tienen un final. El
primer y último número ya están definidos. Sucesión infinita: son aquellas sucesiones que no tienen un final y siempre se distinguen por ir seguido de los tres puntos (...).(MATHS, s.f.)
Una vez entendida esta clasificación de sucesiones algebraicas más general, profundizamos en los distintos tipos de sucesiones matemáticas definiendo cada una:
Se dice que una sucesión {en}∞ n=1 es
creciente si an+1 ≥ en ∀n ∈ N.
decreciente si an+1 ≤ en ∀n ∈ N.
monótona si es creciente o decreciente.
acotada (inferior o superiormente) si el conjunto formado por los aᶯ lo está.(Fernando, 2011)
.
1. Sucesiones convergentes Este tipo corresponde a las sucesiones con límite finito. Podemos decir que converge a '0' o a '1'.
o
La sucesión an = 1/n converge a 0. Por ejemplo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5..., 1/n
o
La sucesión an = n/n+1 converge a 1.Por ejemplo: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n/n+1
2. Sucesiones divergentes Este tipo de sucesión algebraica es de límite infinito. Se representa con el símbolo del
infinito (∞) o tres puntos suspensivos.
o
La fórmula es 2n+3, por ejemplo: 5, 7, 9, 11, 13, 2n+3
3. Sucesiones oscilantes Estas sucesiones no son ni convergentes, ni divergentes, se alterna de mayor a menor y viceversa. Por ejemplo: 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
4. Sucesiones alternadas Estas sucesiones hacen a su vez otra clasificación de sucesiones numéricas- convergentes, divergentes y oscilantes- y son aquellas que alternan los signos de sus términos o números.
o
Sucesiones alternadas convergentes : Son aquellas que tienen límite=0 sean pares o impares.
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
o
Sucesiones alternadas divergentes : cuando tanto términos pares o impares su límite=∞. 1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, …
o
Sucesiones alternadas oscilantes : son las series en las que se cumple la siguiente fórmula: (−1)n n
−1, 2, −3, 4 ,−5, …, (−1)n n
5. Sucesiones monótonas Las sucesiones monótonas se clasifican en sucesiones monótonas crecientes y
decrecientes. Por tanto, estas serie numéricas se dan cuando los términos de la sucesión crecen y decrecen. Crecientes sería cuando cada uno de los números es igual o menor que el que le sigue. Y. decreciente lo contrario, cuando los números son mayores o iguales que el siguiente. Creciente: ann<ó = an +1 Decreciente: an >ó = a n+ 1
6. Sucesiones acotadas Se dice que es una sucesión acotada cuando la serie ha de estar comprendida entre dos número definidos, llamemos los 'k' y 'K'. Existen dos tipos de sucesiones acotada s en álgebra según el número que limita la secuencia:
o
Secuencia acotada superiormente : Se define cuando todos los númros son iguales o mayores a un número La fórmula es :an ≤ K.
o
Secuencia acotada inferiormente : Cuando todos los términos son iguales o menores a un número K. Este número se nombra como cota inferior.
k ≤ an ≤ K
Sucesión acotada
La sucesión {an} está acotada superiormente si existe un número M tal que an ≤ M para todo n.
La sucesión {an} está acotada inferiormente si existe un número M tal que M ≤ an para todo n. La sucesión {an} está acotada si está acotada superior e inferiormente es decir si
SUCESIONES MONÓNONAS
Definición: Sea xn una sucesión de números reales . Diremos que xn es monótona creciente si : x1 x2 x3 ........ xnxn1 Diremos que es monótona decreciente si: x1 x2 x3 ........ xnxn1.
4.2 DEFINICON DE SERIE (FINITA, INFINITA) Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatoria. El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n
crece indefinidamente.(unidad 4, s.f.)
En matemáticas, una
serie es la suma de los términos de una
sucesión. Se representa
una serie con términos aicomo, donde N es el
índice final de la serie.
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el índice final de la serie. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie. Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación: El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real. Termino de una sucesión: S: NàR
Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.
SERIE FINITA Las series tienen una característica fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.
Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determina do por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N". Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7,
9, >, … (1)i , es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.
SERIE INFINITA Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales. Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an .xn. Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo. Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente: Teorema:Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô< ô x0ô .Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la represen tación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiará un proceso de limite en el que se consideran sucesiones. Suponga que asociada a la sucesión
U1, U2, U3,…, Un,… Se tiene una “suma infinita” denotada por U1+ U2 + U3 +…+ Un+… Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por
Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita
4.3 Serie Numérica y Convergencia, Criterios de la Razón, Criterio de la raíz, Criterio de la Integral. El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera. Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de An+1/An se obtiene un numero L:
El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera: Sea:
Tal que: § f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y § f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia) Se procede de la siguiente manera:
Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera: § L< 1 la serie converge § L> 1 la serie diverge § L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio. Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie
Tal que ak> 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe. Entonces, si: § L< 1, la serie es convergente. § L> 1 entonces la serie es divergente. § L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.(Integral., 2012)
4.4 Series de Potencias. Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de “x”
Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x. Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más práctico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. (unidad 4, s.f.)
Tema 4.5 Radio de Convergencia
El número R se denomina radio de convergencia de la seriepor convención, el radio de convergencia es R = O en el casoel intervalo de convergencia de una serie de potencias consta de todospara los cuales la serie converge.
En donde el intervalo es ( — oo, +oo).
la desigualdad |x-a| - R
Donde Cualquier x es un punto extra,(esto es, x = a ± R) puede suceder cualquier cosa: la serie
puede
converger
para ambos
puntos
extremos
o
divergir
en
ellos.
Un Ejemplo Muy claro de esto es el calculo del Numero eque al igual que pi, es una serie infinita
de
teminos,
pero
que
se
calcula
con
la
serie:
y como "x" pertenece a todos los reales, pues tiene un radio de convergencia infinito, ya que su dominio de dicha "x", es E (R). Definición Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma con número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un los valoresdex pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los
extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = 0.
Ejemplos Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio de convergencia es el dado. Radio de convergencia finito La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto: (Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho (La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia).
TEMA 4.6 SERIE DE TAYLOR Historia El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedo resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían
alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2 En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama. 3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.(Montoya , 2016)
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) =
exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Donde n! es el factorial de n F(n) es la enésima derivada de f en el punto a Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para
propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Existen series de Taylor para: Función exponencial Logaritmo natural Error de Propagación: Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia
entre u y ũ en
el
valor
de
la
función.
Función e Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí. Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la función e. Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie.
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo:
Función Coseno Para
el
coseno
el
procedimiento
es
el
mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.
Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:
(TAYLOR, 2008)
TEMA 4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para conprovar si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de la serie de Taylor.
Continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también validos para valores complejos.
Función exponencial y logaritmo natural:
Serie geométrica:
Teorema del binomio:
Funciones trigonométricas:
(Taylor, 2003)
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR
Este teorema permite obtener aproximaciones de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. La serie de Taylor de una función de números reales que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales
CONCLUCION
En general el término cálculo hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados. Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Galileo, Kepler, Valerio y Steven. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Arquímedes. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.
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